2024年全国乙卷高考文数模拟试题及答案

1.已知集合A={-2,0,1,3},5={0,2,3},则Ac5=()

A.{-2,1}B.{-2,1,2}C.{0,3}D.{-2,0,1,2,3)

l+2i

2.---=(

4+3i

B.Sl

A.--+-i

7755

D.j

7755

2

3.在,ABC中，角A3,C的对边分别是a,4c,若。=4,b=3,sinA=—,则3=()

3

71715兀71712兀

A.-B.一或一C.-D.一或一

666333

4.已知a=0.9Li,〃=log!;，c=logi2,贝！)()

5J3

A.a>/?>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

5.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则下列说

法错误的是（）

A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%

B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为6.55%

C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为14.9%

D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.125%

,.(5兀

6.己知sinIa+—=3sin(tz-7T)，则tan2i=(

3344

A.-B.一一C.-D.——

4433

7.已知抛物线C:y2=6%,过点4（4,2）的直线/与抛物线。交于M,N两点，若MA=AN，则直线/的斜

率是)

2343

A.-B.-C.一D.-

3432

-X2+2ax,x,1,

8.已知函数/（%）=<〔（3-办+2,x〉l是定义在R上的增函数’则“的取值范围是（）

A.[l,3)B.[l,2]C.[2,3)D.(o,3)

9.已知函数〃x）=2（x—l）e*—依在R上单调递增，则a的最大值是（）

1

A.OB.-C.eD.3

e

10.已知某比赛在这4支队伍之间进行，且。队伍有一名主力队员缺席，导致。队伍无缘前2

名，假设剩下的3支队伍的水平相当，则A,3这2支队伍都进入前3名的概率是（）

1123

A.-B.—C.—D.一

3234

11.己知A,B是直线>=#与函数/（x）=sin/x+E］（0〉O）图象的两个相邻交点，若=则

。=（）

A.4B.4或8C.2D.2或10

12.在正四棱台ABCD—A4GR中，==456,"=厢，点P在底面A5CD内，且

4尸=4,则P的轨迹长度是（）

A5\/3兀n573Tt

A.——B.——C.6兀D.1271

63

第n卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知单位向量"满足卜+2司=J7,则向量的夹角是,

2x-y+2..O,

14.已知实数满足约束条件＜x+y+l..O,则2=—尤+y的最大值为.

3,2,

15.在正四面体A5CD中，E］是棱的中点，则异面直线与C尸所成角的余弦值是.

22

16.过双曲线C:=-1=1（。〉0/〉0）的右焦点工作。的一条渐近线的垂线，垂足为A，且。的左顶点

ab

「Illab

为B,'AB'=J/+.,则c的离心率为.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.（12分）

在等差数列｛4｝中,出+%=12,%,=11.

（1）求｛%｝的通项公式；

⑵若a=2册，求数列也｝的前〃项和S“.

18.（12分）

镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗

园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按［30,40）,［40,50）,［50,60）,［60,70）,［70,80］

分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.

（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；

（2）现采用分层抽样的方法从质量在［30,40）和［70,80］内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取

2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在［30,40）内的概率.

19.（12分）

如图，在三棱柱A3C-4与G中，平面ABCQABC是等边三角形，且。为棱A3的中点.

(1)证明：A5J_平面CCQ.

(2)若24、=3A3=6,求点用到平面ABC1的距离.

20.(12分)

已知点片(—1,0),乙(1,0)，动点/满足"闻+|加闾=4,动点”的轨迹记为E.

(1)求E的方程；

(2)过点工的直线/与E交于A,3两点，。为坐标原点，求二Q45面积的最大值.

21.22分)

已知函数/(x)=sinx+x2.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(。))处的切线方程；

(2)证明：/(x)>.

(二)选考题：共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

个题目计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

x=1+J3cosa,

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(a为参数)，以坐标原点。为极点，

y=gsina

无轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程是"cose+J可。sing-8=0.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)已知直线4：。=三，在第一象限内，直线4与曲线。交于点A,与直线/交于点8,求|入目的值.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知函数/(%)=卜—2卜

(1)求不等式/(%)..2x—5的解集；

⑵若/（%）..3—|x+M恒成立，求a的取值范围.

1.C由题意可得>^5={0,3}.

l+2i_（l+2i）（4—3i）4—3i+8i_6i?_21.

2B4+3i-（4+3i）（4—3i）一—16-9i2~-5+?1'

zy'A1TT57r/7T

3.A由正弦定理可得」一=——，则sinfi==一=—,则8=^或'.因为sinA=—,所以A>^,

sinAsinBa26636

则8」.

6

4.D因为0<0.9i/<0.9°uLlogAMlogzBALlogiZu-log32<0,所以A〉a>c.

5J3

5.C我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为2.5%,3.1%,

4.6%,5.5%,7.6%,10.6%,12.7%,18.4%.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为

18.4%,A正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为

5.5%+7.6%=6.55%,B正确.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为15.9%,C

2

错误.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为

-x（2.5%+3.1%+4.6%+5.5%+7.6%+10.5%+12.7%+18.4%）=8.125%,D正确.

6.B因为5足]£+5]=35111（4—兀），所以C

os«=-3sincr，所以tana=--,贝!|

3

c2tana3

tan2a=--------=——.

1-tancif4

6:3

7.D设"（石,乂）川（工2，%），则%+%=4故直线/的斜率一占一%寸£%+%—2・

Q..1,

8.B因为/（X）是定义在R上的增函数，所以<3-tz>0,解得掇b2.

—1+2凡，3—。+2,

9.A由题意可得了'(%)=2xe，—2x—a.因为/(九)在R上单调递增，所以/'(x)=2xe*—2x—a.0恒成

立，即④2xe*-2x恒成立.设g(x)=2xe，—2x,贝ijg'(x)=(2x+2)e，—2.当x<o时，g'(x)<0,当

x>0时，g'(%)>0,则g(x)在(—8,0)上单调递减，在(0,+a)上单调递增，故g(XU=g(O)=°，即

a,,0.

10.C这4支队伍按排名先后的情况有,

BCAD,BCDA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,共12种，其中A3这2支队伍排在前3位的情况有

QD

ABCD,ABDC,ACBD,BACD,BADC,BCAD,CABD,CBAD,共8种，故所求概率P=H.

123

15OTTJT|()万JT

11.D设“力的最小正周期为T，贝=或|4B|==T,即1=?或产=?,解得°=2或

666a)66a)6

o)=10.

12.B如图1,连接AC,作A"垂足为“，易证平面ABC。.因为

AB=2AlBl=4A/3，M=710,所以A”=的，则=，4看—AH?=2.因为点P在底面ABCD

内，且4尸=4,所以P〃=26似H为圆心，2G为半径画圆，如图2,则MN是P的轨迹•分别作

HE±AM,HF±AN,垂足分别为E,工由题意可得"E=HF=百,.="N=20，贝U

NMHE=NNHF=&,仄而NMHN=次,故尸的轨迹长度是2x2Q=£况.

3663

%-----7x9I-------------7，

Ai/\h.

匕,“H

AEM

图2

因为卜+24=、犷，所以a2+4a./)+4b2=7.因为|a|=|Z?|=l,所以a/=],则

cos/a,Z?\=-...=—,故向量a,b的夹角是4.

\/\a\\b\23

14.4画出可行域(图略)，当直线2=—%+丁经过点4(2,6)时，z取得最大值，且最大值为4.

15.-如图，取线段3尸的中点G，连接。G,EG,。尸.易证EG〃。尸，则/OEG是异面直线DE与

6

C尸所成的角或其补角.设48=4,则DE=B=£>/=2j§,G/=1,从而

EG=-CF=y/3,DG=VGF2+DF2=厉.在,DEG中，由余弦定理可得

2

DE?+EG?-DG?1

cosNDEG=

2DEEG6

16.2设。为坐标原点，。的焦距为2c.过点A作AH垂直于x轴，垂足为H(图略).易得

12

\AF2\=b,\AH\=^~,则由|Q4『=MH网，得所=>所以

\BH\=a+—=^AB\2-\AH\2得c+a=6b，所以(c+a>=3〃=3/?一片)，故

a

17.解：⑴设数列｛4｝的公差为d,

a2+a5=2q+5d=12,

由题意可得<解得=1,d=2.

“6=4+5d=11,

故=q+l)d=2〃-1.

b

(2)由⑴可得包=221,则包+i=22"i,从而黄=4.

因为仇=2,所以｛2｝是首项为2,公比为4的等比数列.

—2x(1—4")22n+1-2

由等比数列的前〃项和公式可得S=△—山=—'---------------

i—q1-43

18.(1)解：因为(0.008+0.018)x10=0.26<0.5,0.26+0.032x10=0.58>0.5,

所以该板栗园的板栗质量的中位数在［50,60)内.

设该板栗园的板栗质量的中位数为，则(帆—50)x0.032+0.26=0.5,

解得m=57.5,即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.

(2)由题意可知采用分层抽样的方法从质量在［30,40)内的板栗中抽取5、而=2颗，分别记为

a,b；从质量在［70,80］内的板栗中抽取5x—也叫一=3颗，分别记为c,d,e.

L」0.008+0.012

从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,共10种,

其中符合条件的情况有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,共7种,

7

故所求概率P=—.

10

19.(1)证明：由三棱柱的性质可知Ct；//

因为",平面ABC,所以CCi，平面ABC.

因为A5u平面ABC，所以

因为。为A5的中点，且‘ABC是等边三角形，所以CDLA3.

因为CD,CGu平面CC】。，且CGcCD=C,所以AB_L平面.

(2)解：因为2A=3AB=6,所以=3,AB=2,

则.的面积S=gx2x3=3.

作垂足为E，易证平面3月£.

11—

因为ABC是等边三角形，所以AE=百，则匕.四G=]S-AE=3x3x6=6.

因为CG，平面ABC,所以C£，AC,C£则AC1=5。1=而，故」A§G的面积

H=gx2xJ13—1=2技

设点B]到平面ABC,的距离为d,则三棱锥ABC,的体积％=g=半d.

因为％「ABC]=匕-BBC,所以2fd=6，所以1=万.

20.解：（1）因为|讶|+|叫|=4＞闺闾=2,所以E是以耳，鸟为焦点，且长轴长为4的椭圆.

22

设E的方程为二+]=l（a〉b〉0）,则2。=4,可得a=2.

ab

又。=1,所以〃=/—，=3,

22

所以E的方程为上+t=L

43

（2）由题意可知直线/的斜率不为0,设直线/：x=5V+l,A（菁，x）,B（马,％）•

x=my+l,

联立y2整理得（37/+4）/+6啊-9=0,

[43

则A=（6m）2-4（3m2+4）x（-9）=144（m2+1）>0,

6m9

%+%=-，%%二一

3m2+43m2+4

2

由弦长公式可得[AB]=JM2+1|弘—J；2|=1m+1.

12（m2+l）

3m2+4

/112

点。到直线/的距离d=）^=,则.Q4B的面积S=3AB|-d_6\m+1

yjm+123m2+4

6t6t_6

设1府+1..1，则一3(/—1)+4-3/+1-31十1.

t

133

因为之.1,所以31+-..4,所以S,,—,当且仅当加=0时，S=~.

t22

21.(1)解：f(x)=co&x+2x,f(O)=1,/(o)=0.

故曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程为>=%.

(2)证明：由(1)得/'(%)=COST+2%.

令函数〃(X)=/'(九)，MUu'(x)=-sinx+2>0,所以〃(九)=/'(x)是增函数.

因为/'⑼==cos^-l<0,

所以存在/,使得/'(%0)=8叫+2%0=0,即x：