2024年七年级数学下册期末复习练习题(共十个模块)

一整式的乘除

一、知识点总结：

1、同底数塞的乘法法则：am-an=a»i+n(机，〃都是正整数)

同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：(a+b)2_(。+b)3=(a+b)5

2、募的乘方法则：(。"，)"=。的(机，”都是正整数)

幕的乘方，底数不变，指数相乘。如：(-35)2=31。

用的乘方法则可以逆用:即=(。")"=3)加

如：46=(42)3=(43)2

3、积的乘方法则：(ab)"=a，，bnO是正整数)

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：(-2X3J2Z)5=(-2)5・(％3)5・(,2)5・[5=_32%15)10[5

4、同底数塞的除法法则：a，n+an=am-n(a/0,加,〃都是正整数，且加n)

同底数幕相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4+(ab)=(ab)3=a3b3

5、零指数和负指数；

。。=1,即任何不等于零的数的零次方等于lo

1

a-=­(awO,。是正整数)，即一个不等于零的数的-p次方等于这个数的p次方的

PClp

倒数。

11

如：2-3=(])3=W

6、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只

在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

如：_2%2y3z・3xy=

7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即m(a+b+c)=ma+mb+me(加,a,b,c都是单项式)

如：2x(2x-3y)-3y(x+y)

8、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。

(3a+2b)(a-3b)

如：(x+5)(x-6)

平方差公式：(a+b)(a-b)=a?-b?

如：(x+y-z)(x-y+z)

9、完全平方公式：(a±b)2=土2"+b2

公Q2+/?2=(Q+Z?)2-2ab=(Q+b)2-lab

(a-b)2=(Q+Z?)2-4ab

(-a-b)2=[-(a+Z?)]2=(〃+b)2(-a+b)2=[-(a-Z?)]2=(a-b)2

10、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母,

则连同它的指数作为商的一个因式。

如：一7a2b4m+A9a2b

11、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：(am+bm+cm)+m=am+机+bm+根++机=Q+Z?+C)

练习题：

1、若2a-2=64,则a=；若27x3"=(-3)8,则n=.

计算Q]的】

3、若。2n=3,则a6"=.

4、计算:2009x2007-20082

(1-a)(a+1凡2++1)(3x+2y-5z+1)Qx+2y-5z-1)

(5a+lb-8c)2-(5〃-7b+8c>(x+y-2z)(v+y+6z)

111

(a——b)(2a+—b)(3a2+—b2)；[(a—fa)(a+b)]24-(出一2ab+枚)—2ab.

6312

5.已知x—1=2,求12+」-的值

XX2

6.如果a2+b2—2a+4b+5=0，求a、b的值

7、已知2x—y=g,盯=2,求2x4y3—X3y4的值。

8、若x、y互为相反数，且（x+2”一（y+l）2=4,求x、y的值

9、代数式4x2+3mx+9是完全平方式则m=

11111

10.(1--)(1--)(1--)…(1--)(1-——)

22324292

11.已知x+—=2,求X2+一,x4+—的值

X九2X4

。2+/72

12.已知(a—1)(b—2)—a(/?—3)=3,求代数式——-———出?的值.

13.若（x2+px+q）（X2—2x—3）展开后不含x2,x3项，求p、q的值.

14、判断(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几？

15、在多项式4x2+1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式

是.（只写出一个即可）

16、已知。=1999%+2000,Z?=1999%+2001,c=1999%+2002,则多项式

〃2+/?2+。2-ab-ac-be的值

17、若X2+（25）xy+9y2是一个完全平方式，则巾=________.

如果多项式x2+8x+k是一个完全平方式，则k的值是

18.已知若x2+x-l=0,求：⑴彳一一；(2)^2+—；(3)%3+2x2+3(4)X4+X-4

20已知4〃2-4〃匕+262-4。+4=0,

试求一+----------+------------++(a+2009)(^+2009)的值

ab(〃+l)(b+l)(6/+2)(/?+2)

21、已知（尤-1）山=1,则x的值是多少。

二相交线和平行线

1、下列说法正确的有_______________O

①平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

②平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

③不相交的两条直线是平行线；④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.

⑤若线段AB与CD没有交点,则AB〃CD;⑥若a//b,b〃c,则a与c不相交.

2、如果两个角的两边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少30°,那么这两个角分

别为o

3、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐

弯的角度是（）

A.第一次右拐50,第二次左拐130B.第一次左拐50,第二次右拐50

C.第一次左拐50,第二次左拐130D.第一次右拐50,第二次右拐50

4、下面说法中正确的是（填序号）

（1）过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（2）平行于同一直线的两条直

线互相平行.（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行.（4）不相交的两条直线必平行.（5）

两条直线被第三条直线所截，同位角相等（6）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角

的平分线互相平行.

5、如图，l〃m,等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若N0

=30°,则/a的度数为o

6、如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'

处，折痕为EF。如果Z4BE=20。，那么度

7、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF；

且NEFC=65°,则NBEC=

8、如图，已知：DELAC于E,BCLAC,尸GLA8于G,

求证：CD±AB

9、如下图所示，AB〃DE,若/ABC=80°,ZCDE=140°,则BCD=度.

1。、如下图，AB//CD,由B点出发作〃条直线吗,BB^BB3,Bn_D,

则ZABB-ZBBB+zBBB/BDC

11、如图，已知/1=N2,Z3=Z4,CE//AB,试说明：AD//BC.

12、如图：已知/BEF=/CFE,Z1=Z2,请指出AB和CD的位置关系并说明理由。

13、如图所示，若AB〃CD,在下列两种情况下探索/APC与/PAB,

14、如图，已知1〃1,MN分别和直线1、1交于点A、B,ME分别和直线1、1交于点C、

121212

D.点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）./PCA=/0,ZCPD=Zy,ZPDB=Za

（1）如果点P在A、B两点之间运动时，/a、、Zy之间有何数量关系？请说明理由.

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，Na、/廿、ZY有何数量关系？（画图并写出结

论）

15、作图并计算：如图，已知/AOB,点P是0B边上一点，请你用圆规和直尺

（1）在/AOB的内鄢作/BPC=/AOB（保留作图痕迹）

（2）在/BPC的外即作NCPD=/AOB,射线PD交0A于点E（保留作图痕迹）

16..已知：BD〃GE,AQ平分NFAC,交BD于Q,ZGFA=50°,ZQ=15°

求：NACB的度数.

BDQ

三

1.、如图将一副直角三角板按图所示方法放置（直角顶点重合），贝IJ/AOB+/DOC=

2.如图.在AABC中，BD为其中线，DE为ADBC的中线，且已知S.=2,则S/=

（）

A.2B.4C.6D.8

3.已知RtAABC的两直角边分别为3cm,4cm,斜边长为5cm，则斜边上的高为cm.

4.若等腰三角形的两边长为6和8,则其周长为__________Ar-^4--X-——|D

5..如图，把矩形ABCD沿EF对折，若/1=50。，则/AEF等于_________\

6.如图，在AABC中，AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分成

15cm和9cm的两部分，求三角形各边长。（10分）

〃2—12〃+36+,—8|—0那Bc

7.已知三角形两边a,b满足‘

么第三边c的取值范围是_

8.如果AD是AABC的中线，且AB=10,AD=6,那么AC的范围是_________________

9.如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，且21=80。,/2=30。，贝1]/尸

>->

CB匕—■--

10.三角形ABC中，角平分线AD,BE,CF相交于点H,过H点作HG垂直于AB,垂足为

G,那么=60。时，/AHG=

11、如下图：zA+ZB+ZC+ZD+ZE=___________

12、如图zMBC中，三条高AD、BE、CF相交于一点0,求/1+/2+

Z3的度数？

23、/ABC中，ZBAC,/ACB的平分线相交于点0。

(1)若/ACB=65°,ZCAB=55°,则/A0C=

(3)若NB=76°,则/A0C=。

(4)若NA0C=120°,则/B=。

(5)你能找出NB与NA0C之间的数量关系吗？请说明理由！

14.如图AABC中，AD是BC上的中线，点E在AD上

并且DE：EA=:3:2,若AABC的面积是24,则△ABE的

面积是O

15如图所示，在ZXABC中，ZA=30°,ZACB=40°,CF平分NACB,BE

平分NCBD,且CF交BE的反向延长线于F,则NAFB=.

16、如图，BE、CF分别平分NABD和NACD,且BE与CF

相交于点G,若NBGC=120°,ZBDC=150°,求/A的大

小？

17.如图，在AABC中E是BC上的一点，EC=2BE,点D是AC的中点，设AABC,AADF,

△BEF的面积分别为S△幽，SAADF，SABEF，且S△檄=12,flijSAAD-SABE-

18.如图，在AABC中，AB=AC=12cm,BC=6cm,D为AC的中点，动点P从B出发,

以每秒1cm的速度沿B-A-C—B的方向运动，设运动时间为f秒，那么当上

秒时，过D、P两点的直线将AABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2

倍.

(18题)

D

19.如图(1),将4ABC的角沿ED折叠，恰好使Nl=/2,Z3=Z4,ZB=Z5,DA交

BC于G,EA交BC于H,探究CD与AE的位置关系并说明理由.

如图(2)将AABC的角沿DE折叠，若NA落在AABC内部，则探究NA与Nl,Z2

的关系，并证明你的结论；

如图(3),将AABC的角沿DE折叠，若NA落在AABC外部，则探究NA与Nl,Z

2的关系，只要求写出结论，不要求证明.

20.已知△A8C三边长是0、b、c,则代数式|a+。—c|一劭一。一。|=.

21.已知，4ABC是边长3cm的等边三角形.动点P以lcm/s的速度从点A出发，沿线段AB

向点B运动.

(1)如图1,设点P的运动时间为t(s),那么t=(s)时，^PBC是直角三

角形；(4分)

(2)如图2,若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以lcm/s

的速度同时出发.设运动时间为t(s),那么t为何值时，4PBQ是直角三角形？(4分)

(3)如图3,若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动.连接PQ交AC于D.如果动

点P、Q都以lcm/s的速度同时出发.设运动时间为t(s),那么t为何值时，4DCQ是等腰

三角形？(4分)

(4)如图4,若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动.连接PQ交AC于D,连接PC.如

果动点P、Q都以lcm/s的速度同时出发.请你猜想：在点P、Q的运动过程中，4PCD和4QCD

的面积有什么关系？并说明理由.(4分)

四全等三角形基础

一、已知一边与其一邻角对应相等

1.证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等.

例1已知：如图［，点E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,NB=NC.求证：AF=DE.

E1图2

2.证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等.

例2已知：如图2,D是AABC的边AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,

FC/7AB.求证：AE=CE.

二、已知两边对应相等

1.证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证全等.

例4已知：如图3,AD=AE,点D、E在BC上，BD=CE,Z1=Z2.求证:

△ABD^AACE.

E3图4

2.证第三边对应相等，再用SSS证全等.

例5已知：如图4,点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD,AM=CN,BM=DN.求

证：AM〃CN,BM〃DN.

三、已知两角对应相等

1.证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等.

例6已知：如图5,点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE,ZB=ZE,

NACB=NDFE.求证：AB=DE,AC=DF.

A

2.证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等.

例7已知：如图6,AB、CD交于点O,E、F为AB上两点，0A=0B,0E=0F,

NA=/B,ZACE=ZBDF.求证：△ACE^ABDF.

四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证

全等

例8已知：如图1,在^ABC中,B、D、E、C在一条直线上,AD=AE,ZB=ZC.

求证：ZkABD^4ACE.

五、三角形全等的判定和性质练习

1、已知：如图，B,C,E三点在同一条直线上,

AC//DE,AC=CE,ZACD=ZB.

求证：△46C会△CDE.

2、已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB=DC,BE=CF,ZB=ZC.

求证：0A=。。.

FC

3、如图，。是A8上一点，。/交AC于点E,AE=EC,CF//AB.

求证：4。=CF.

4、如图，四边形A3C。的对角线AC与5。相交于。点，Z1=Z2,Z3=Z4.

求证：（1）AAfiC^AADC；

（2）BO=DO.

5、如图，在RtZXABC中，NBAC=90°,AC=2AB,点D是

AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、

D重合，连结BE、EC.试猜想线段BE和EC的关系，并证明你的猜想.

6、已知：如图，AD=BC,AC=BD.

求证：OD=OC.

7、如图，在△ABC与△AB。中，BC=BD.设点E是BC的中点，点F是B。的中点.

（1）请你在图中作出点E和点F；（要求用尺规作图,保留作图痕迹，不写作法与证明）

(2)连接AE,AF.^ZABC=ZABD,请你证明△ABE丝ZkABF.

B

CD

8、已知，如图，点。在边BC上，点E在△ABC外部，。£交AC于F,若AO=AB,

N1=N2=N3.求证：BC=DE.

9、已知：如图，ZC=ZCAF=90°,点E在AC上，5.AE=BC,

EF_LAB于点D.求证：AB=FE.

10、.以点A为顶点作两个等腰直角三角形(&BC,AADE),如图所示放置,

使得一直角边重合，连接8。，CEo

(1)说明BD=CE

(2)延长BD,交CE于点F,求NBFC的度数

EB

A1题

五全等三角形提高

【知识点梳理】

1、能够的两个三角形叫全等三角形；

2、三角形全等的判定方法：、、、o

直角三角形的判定方法除以上方法以外还有o

3、三角形全等的性质：全等三角形、；

4、全等三角形的面积、周长,对应高、、相

等；

【典例精析】

例1.已知：点A、C、B、D在同一条直线,AC=BD,

AM/7CN,BM/7DN.求证：AM=CN,MB=ND。

例2.如图，ZE=ZF=900,NB=NC,AE=AF,试说明

EM=FN.

例3.已知:如图，AB=AC,BD1AC,CE1AB,垂足分别为D、

E,BD、CE相交于点F,求证：BE=CD.

例4.四边形ABCD中，AC平分/BAD,CELAB于E,且NB+ND=180°,

求证：AE=AD+BE

A,______P

E

BC

1.下列说法正确的是()

A.所有的等腰三角形全等

B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等

C.有两边对应相等的两个等腰三角形全等

D.腰和顶角都对应相等的两个等腰三角形全等

2.要判定两个直角三角形全等需要满足下列某个条件，以下条件中正确的说法有

()个

①有两条直角边对应相等;②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对

应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；

⑥有两条边相等.。

A.6个B.5个C.4个D.3个

3.在下列条件中，不能说明AABC咨AA'B'C的是（）.

A.NA=NA'，/C=NC',AC=A'C'B.NA=NA',AB=A'B',BC=B'C'

C.NB=NB',NC=NC',AB=A'B'D.AB=A'B',BC=B'C,AC=A'C'

4.如右图，已知：ZB=ZDEF,BOEF,现要证明AABCgaDEF,若要以“SAS”

为依据，还缺条件_；若要以“ASA”为依据，还缺条件；若

要以“AAS”为依据，还缺条件o

5.如图,BEXAC,垂足为D,且AD=CD,BD=ED,若NABC=54°,贝IZE=

6.AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线，B

点和C点在AE的异侧，BD，AE于D点，

试说明：（1）BD=DE+CE；

⑵若直线AE绕点A旋转到⑴所示的位置时，其余条件不变，则BD与DE,

CE的关系如何？请说明理由。

7.已知：等腰三角形ABC中，AB=AC,ZA=108°,BD平分NBAC,

求证：BC=AB+DC

8.如图，BD、CE分别是AABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP

=AC,点Q在CE上，CQ=ABo求证：（1）AP=AQ；（2）AP±AQ.

9、如图①，在儿43c中，AD平分N3AC,在AD延长线取一点E,作EF_LBC于F。

（1）若NC=68°,/B=32°,则NE=o（2分）

（2）设NC=a,Z5=p,且a>B,求ZE。（用a、p的代数式表示）（4分）

（3）如图②，若ZBAC=90°,且AD=ED,AC=6,AB=8,BC=10,求EF的长。（4分）

图①图②

六全等压轴题综合运用

1.(1)如图7,点0是线段AD的中点，分别以A0和DO为边在线段AD的同侧作等边三

角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求NAEB的大小;

(2)如图8,△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将^OCD绕着点0旋转

(△OAB和^OCD不能重叠)，求NAEB的大小.

图7图8

2如图a,AABC和4CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C,连接AF和

BE.

(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a中的4CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b,(1)中的结论还成立吗?作出判

断并说明理由；

(3)若将图a中的aABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即

可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.

图b

E

3.如图1,已知正方形ABC。的边CD在正方形。所G的边DE上，连接AE,GC.

（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论;

（2）将正方形。ENG绕点。按顺时针方向旋转，使E点落在边上，如图2,连接AE

和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

4如图1,四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边

经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A,B重合），另一条直角边与/CBM

的平分线BF相交于点E

⑴如图14-1,当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE,EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；

②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是_________；

③请证明你的上述两猜想.

⑵如图14-2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,

进而猜想此时DE与EF有怎样

5、已知，点B为线段AC上的一个动点，AACD与ABCE都为等边三角形，点D与点E

在直线AC的两侧，连接AE交DB的延长线于P,连接PC.

(1)如图一，当点B为线段AC的中点时，求证：PA+PC=PD;

(2)如图二，当点B不为线段AC的中点时,(1)的结论还成立么？若成立，请证明；若

不成立，请说明理由；

6.已知两个全等的等腰直角△ABC、ADEF,其中/ACB=NDFE=90,E为AB中同二

点，4DEF可绕顶点E旋转，线段DE,EF分别交线段CA,CB(或它们所在直线)于

M、N.(1)如图1,当线段EF经过AABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC

于M,求证:AM=MC；

(2)如图2,当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连

MN,EC,请探究AM,MN,CN之间的等量关系，并说明理由；

(3)如图3,当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连

MN,EC,请猜想AM,MN,CN之间的等量关系，不必说明理由。

7.（本题12分）在RtZkABC中，AC=BC,ZACB=90°,D是AC的中点，DG_LAC交AB于点

G.

（1）如图1,E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF,连结EF与CF,过

点F作FHLFC,交直线AB于点H.①求证：DG=DC,②判断FH与FC的数量关系并加以

证明.

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借

助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否

发生改变，（本小题直接写出结论，不必证明占

8、（12分）已知四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=120°,ZMBN=60°,NMBN绕B点旋转,

它的两边

分别交AD,

DC（或它们

的延长线）

于E,F.

当ZMBN

绕B点旋图1

转到

AE=CF时（如图1）,易证AE+CF=EF；

当/MBN绕B点旋转到AEWCF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成

立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不

需证明.

9、已知：4ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A,

且60°角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边NACM的平分线CF交于点F

（1）如图（1）当点E在BC边得中点位置时

①猜想AE与EF满足的数量关系是o

②连结点E与AB边得中点N,猜想NE和CF满足的数量关系是

③请证明你的上述猜想

（2）如图（2）当点E在BC边的任意位置时：

此时AE和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？

10.（12分）如图（1）,已知正方形ABCD,M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN

±DM,且交NCBE的平分线于点N.

（1）求证：MD=MN；

（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“AB上任意一点”，其余条件不变，则结论

“MD=MN”还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，说明理由（如图（2））；

（3）若将条件中“M是AB的中点”改为“M为AB延长线上任意一点”，其余条件不变，你

能判断结论"MD=MN”是否还成立吗（如图（3））?只给出结论，不需说明理由。

七轴对称图形基础

1、知识点复习

轴对称图形:如果_______图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够，

那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做。

轴对称：对于__________图形，如果沿一条直线对折后，它们能够,那

么称这两个图形成,这条直线就是。

2.例题讲解

1、下列各种图形不是轴对称图形的是（）

VOAO

ABCD

2、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A.有两个角相等的三角形B.有一个角为45°的直角三角形

C.有一个角为30°,另一个内角为120。的三角形D.有一个内角为30°的直角三角形

3、下列说法中，正确的是（）

A.两个全等三角形组成一个轴对称图形B.直角三角形一定是轴对称图形

C.轴对称图形是由两个图形组成的D.等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形

4、填空

①正方形有条对称轴，对称轴是;

②等腰三角形有一条对称轴，对称轴是；

③长方形有一条对称轴，对称轴是；

④圆有一条对称轴，对称轴是;

⑤等边三角形有条对称轴，对称轴是；

角平分线的性质和判定

一、角平分线性质:

①角是__________图形，它的对称轴是

②角平分线的性质：角平分线上的点到—

③结合图形用符号语言表示角平分线的性质

OEB

二、角平分线的判定

1、到角两边距离相等的点，是否都在角的平分线上？X

0EB

典例“讲”解

例1、如图，在RtZ\ABC中,BC_LAC,BD是/ABC的平分线DEXAB,垂足为E,DE与

DC相等吗？为什么?A

BNC

如图，CD±AB,BEXAC,垂足分别为D、E,Zl=Z2,OB=OC,

A2DB

例3、如图，CD±AO,CE±BO,垂足为D、三，若Nl=/2,则图中有哪些相等的量

A

02EB

例4、证明三角形的角平分线交于一点（请先参照图形，编写已知与求证）

已知:

求证:

练习;

1、角平分线的性质：角平分线上的点，到这个角两边的相等，如图1,BM平分

ZABC,PD_LAB,PE±BC,若PD=3,则PE=

2、如图2,已知NC=90°,N1=N2,若BC=10,BD=6,贝U点D至U边AB的距离为

B组

1、如图,在直线m上找一点P,使P到OA、0B的距离相等

2、如图：AD、CD是^ABC的两条外角平分线，AD、CD相交于D

求证：D在NB的角平分线上

BCF

视野拓展

1、三条公路/,1,1,两两相交，现在想建一个加油站，

123

使加油站P到三条公路的距离相等,这样的加油站P有几个?

解答：4个

2、如图：已知AP平分尸3平分点P恰在。C上

证明：①、AP±BP；②、点尸到直线的距离相等；③、PD=PC；

3:如图，AD是^ABC的角平分线，EF是AD的中垂线,

求证：⑴NEAD=NEDA；

(2)DF〃AC；

(3)ZEAC=ZB.

DE

中垂线的性质和判定

、中垂线的性质

①线段是__________图形，它有条对称轴

②线段垂直平分线的特征：

iiiiii

③线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到的相等。

④结合图形用符号语言表示线段中垂线平分线的性质.C

⑤锐角三角形的中垂线交点在______________________A，"B

直角三角形的中垂线交点在_______________________

钝角三角形的中垂线交点在_______________________D

二、中垂线的判定

1、到线段两个端点距离相等的点，是否都在线段的中垂线上？犬

2、结合图形，用符号语言表示线段中垂线的判定

--------------—

典例“讲”解

例1、如图，在AABC中，/C等于90°,AB的中垂线DE交BC于D,交ABA

于E,连接AD,若AD平分NBAC,找出图中相等的线段，并说说

你的理由。

BDC

例2、AABC中，BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D,BE=6,求4BCE的

周长.

BC

D

例3、已知：如图，DE是AC的垂直平分线，AB=10cm,BC=8cm,求4BCD的周长。

知识应“用”

A组

1、如图，AB是AABC的一条边，，DE是AB的垂直平分线,

垂足为E,并交BC于点D,已知AB=8cm,BD=6cm,那么

EA=,DA=.

2、不能判定直线MN是线段AB的中垂线的是（）

A.MA=MB,NA=NBB.MA=MB,MN±AB

C.MA=NA,BM=BND.MA=MB,MN平分AB

B组

某一个星期六，某中学初一年级的同学参加义务劳动，其中有四个班的同学分别在M、N两

处参加劳动，另外四个班的同学分别在道路AB、AC两处劳动，现要在道路AB、AC的交叉区

域内设一个茶水供应点P,使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN,请你找出点P的位

置，并说明理由。

视野拓展

纸上画出4个点，任意3个点组成的三角形都是等腰三角形，问这4个点应该怎么放？画出

你认为可能的几种情况

提示：任意3点组成等腰三角形，说明这4点中，任意3点不共线，且组成的三角形是轴对

称图形，因此要求这4个点组成的图形是轴对称图形

练习：

1、已知MA=MB,PA=PB,求证MP垂直平分AB。

2、在锐角三角形ABC中，NA=50°,AC,BC的垂直平分线交于点0,

则N1Z2,Z3Z4,Z5Z6,Z2+

N3=度,

Zl+Z4=度，Z5+Z6=度，ZB0C=

度.

3、下列正确的有（）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;②线段上任一点到垂直平分线两端距

离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,

则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、AABC中，ZC=90°,AB的中垂线交直线BC于D,若/BAD—/DAO22.5°,则/B等于

()

A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.无法确定

5、如图，在AABC中，AB=AC,ZA=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.

求证：CM=2BM.

6、阅读理解：某公司有三个工程师，他们各自接到了自己的任务：

A工程师任务：如图，有两个小镇A和8,现要在公路/上修建一个仓库々，使得仓库/

到两个小镇A和§的距离相等.

设计思路：

A•

•B

B工程师任务：如图，有两条公路A3和CO相交于点。.现在要在6。。的区域内的

公路/上修建一个仓库P，使得仓库P到两条公路A3和的距离相

22

等.

设计思路：

C工程师任务：如图，有两个小镇A和3,有两条公路和CD.现在要修建一个仓库

P，使得仓库P既到两个小镇A和B的距离相等，到两条公路A3和

的距离也相等.

请你帮c工程师设计一下这个仓库因该修建在什么地方？

7、如右图/AOB=30°,角内有点P,PO=15,在两边上有点Q、R（均不同于

O）,

请作图并计算出APOR的周长的最小值是.

八等腰三角形

知识点复习

①有的三角形叫做等腰三角形

②等腰三角形是____________图形，它的对称轴是

③三线合一：等腰三角形的、、

___________________重合，它们所在的直线都是等腰三角形的

④等边对等角:等腰三角形的两底角

⑤的等腰三角形是等边三角形

⑥等边三角形有条对称轴

⑦等边三角形的三边,三个内角,都等于度

⑧等角对等边:如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是三角形

⑨等边三角形的判定

推论1:三个角的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是度的是等边三角形

典例“讲”解

例1：①等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为

②等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为

③等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为

例3、在等腰△ABC中，两底角的平分线BE,CD相交于。点，判断△OBC是什么三角形?

为什么？

AA

例4：等腰三角形有一边长是另一边长的2倍，周长是50,则腰长二