江苏省泰州市2023-2024学年中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

江苏省泰州市2023-2024学年中考数学最后冲刺模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.某共享单车前。公里1元，超过a公里的，每公里2元，若要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，。应该要取

什么数（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

n72X

2.如果解关于x的分式方程--------=1时出现增根，那么m的值为

x-22-x

A.-2B.2C.4D.-4

3.如图，五边形ABCDE中，AB〃CD,Zl>N2、N3分别是NBAE、NAED、NEDC的外角，则N1+N2+N3等

于

二

DC

A.90°B.180°C.210°D.270°

4鼻.下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体,其左视图是（）

7F面

A.口B.口।C.二

5.下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（）

A.B.---------.C.D.

；r__!/1

--------ry

6.下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（）

g

-32

x>2x<2x>2x<2

A.<B.<C.<D.<

x>—3x<—3x<—3x>—3

7.要使式子业士2有意义，。的取值范围是（）

a

A.。W0B.t/2且C.a>-2.或。wOD.a>-2且

8.如图1,在等边AASC中，O是5C的中点，P为A3边上的一个动点，设AP=x,图1中线段OP的长为y,若表

示）与X的函数关系的图象如图2所示，则AABC的面积为（）

D.4A/3

9.如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120。得到△AB，。，连接BB，，若AC，〃BB，,

C.70°D.90°

10.如图，半径为5的A中，弦BC,所对的圆心角分别是N班C,/EAD,若DE=6,ZBAC+ZEAD^18Q0,

则弦的长等于（）

A.8B.10C.11D.12

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.分解因式：x2y-4xy+4y=.

12.如图，将直线y=x向下平移8个单位长度后得到直线/,/与反比例函数y=』（x>0）的图象相交于点A,与x

x

轴相交于点B,则OA2-0B2的值为.

13.A、B两地之间为直线距离且相距600千米，甲开车从A地出发前往B地，乙骑自行车从B地出发前往A地，已

知乙比甲晚出发1小时，两车均匀速行驶，当甲到达B地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停

止，如图是甲、乙两人之间的距离s（千类）与甲出发的时间t（小时）之间的图象，则当甲第二次与乙相遇时，乙离

B地的距离为千米.

14.已知抛物线y=ax2+6x+c的部分图象如图所示，根据函数图象可知，当y>0时，x的取值范围是

16.已知关于x的方程二--二=二有解，则k的取值范围是

17.函数y=的自变量比的取值范围是.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）（问题情境）

张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样的一个问题：如图1,在AABC中，AB=AC,点P为边3c上任一点，过点

P^PDLAB,PELAC,垂足分别为O,E,过点。作CF_LA5,垂足为尸，求证：PD+PE^CF.

图④

小军的证明思路是：如图2,连接AP,由443尸与44。＞面积之和等于448。的面积可以证得：PD+PE=CF.

小俊的证明思路是：如图2,过点尸作PGLC尸，垂足为G,可以证得：PD=GF,PE=CG,则PD+PE=C尸.

［变式探究］

如图3,当点尸在5c延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

［结论运用］

如图4,将矩形A3CZ＞沿EF折叠，使点O落在点3上，点C落在点。处，点尸为折痕EF上的任一点，过点尸作

PGLBE、PH±BC,垂足分别为G、H,若AO=8,C歹=3,求PG+7W的值；

［迁移拓展］

图5是一个航模的截面示意图.在四边形ABC。中，E为A3边上的一点，EDLAD,ECLCB,垂足分别为。、C,

HAD*CE=DE*BC,AB=2屈dm,AD=3dm,BD=737dm.M.N分别为AE、BE的中点，连接OM、CN,求

△DEM与4CEN的周长之和.

19.（5分）绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图:

（万元）

设销售员的月销售额为X（单位：万元）。销售部规定：当x<16时，为“不称职”，当16Wx<20时为“基本称职”，

当20心<25时为“称职”，当1225时为“优秀”.根据以上信息，解答下列问题：补全折线统计图和扇形统计图；求

所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数；为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励

标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能

获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果去整数）？并简述其理由.

20.（8分）如图，平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于A,B两点，与反比例函数y=K（x>0）

X

的图象交于点M（a,4）.

（1）求反比例函数y=-（x>0）的表达式；

X

（2）若点C在反比例函数y=K（x>0）的图象上，点D在x轴上，当四边形ABCD是平行四边形时，求点D的坐标.

X

21.（10分）问题探究

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使AAPD为等腰三角形，那么请画出满足

条件的一个等腰三角形^APD,并求出此时BP的长；

（2）如图②，在△ABC中，NABC=60。，BC=12,AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6

时，BC边上存在一点Q,使NEQF=90。，求此时BQ的长；

问题解决

（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用

来监视边AB,现只要使NAMB大约为60。，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知NA=NE=ND=90。，AB=270m,

AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使NAMB=60。？若存在，请求出符合条件的DM

的长，若不存在，请说明理由.

22.（10分）如图，抛物线y=ax?+bx+c（a>0）的顶点为M,直线y=m与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰

直角三角形，我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称

为碟宽，顶点M称为碟顶.

(1)由定义知，取AB中点N,连结MN,MN与AB的关系是.

(2)抛物线y=万V对应的准蝶形必经过B(m,m),则m=,对应的碟宽AB是.

(3)抛物线y=ax2-4a-j(a>0)对应的碟宽在x轴上，且AB=1.

①求抛物线的解析式；

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P(xP,yP),使得NAPB为锐角，若有，请求出yp的取值范围.若没有，

请说明理由.

23.(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线yi=2x-2与双曲线y2=8交于A、C两点，AB_LOA交x轴于点B,

x

且OA=AB.

(1)求双曲线的解析式；

(2)求点C的坐标，并直接写出yi〈y2时x的取值范围.

x

24.(14分)如图，是半圆。的直径，点尸是半圆上不与点A,5重合的动点，PC//AB,点拉是0P中点.

(1)求证：四边形03cp是平行四边形；

(2)填空:

①当/50尸=时，四边形A0C尸是菱形；

②连接3P,当NA8P=时，PC是。。的切线.

0B

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】解：根据中位数的意义，故只要知道中位数就可以了.故选B.

2、D

【解析】

yyt2x

-=1,去分母，方程两边同时乘以（X-1）,得：

x-22—x

m+lx=x-1,由分母可知，分式方程的增根可能是L

当x=l时，/n+4=l-1,m=-4,

故选D.

3、B

【解析】

试题分析：如图，如图，过点E作EF〃AB,

VAB//CD,，EF〃AB〃CD,

.\Z1=Z4,N3=N5,

Zl+Z2+Z3=Z2+Z4+Z5=180°,

故选B

4、B

【解析】

解：找到从左面看所得到的图形，从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2,3,1.

故选B.

5、B

【解析】

A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误；

B、主视图为矩形，俯视图为矩形，故B选项正确；

C、主视图，俯视图均为圆，故C选项错误；

D、主视图为矩形，俯视图为三角形，故D选项错误.

故选：B.

6、D

【解析】

此题涉及的知识点是不等式组的表示方法，根据规律可得答案.

【详解】

fx<2

由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为.

x—3

故选D.

【点睛】

本题重点考查学生对于在数轴上表示不等式的解集的掌握程度，不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间是解题

关键.

7、D

【解析】

根据二次根式和分式有意义的条件计算即可.

【详解】

解：...正包有意义，

a

.\a+2>0且a/),

解得a>-2且a/).

故本题答案为：D.

【点睛】

二次根式和分式有意义的条件是本题的考点，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0,分式有意义的条件是分

母不为0.

8、D

【解析】

分析:

由图1、图2结合题意可知，当DPLAB时，DP最短，由此可得DP最短=y最小=6，这样如图3,过点P作PD_LAB

于点P,连接AD,结合△ABC是等边三角形和点D是BC边的中点进行分析解答即可.

详解：

由题意可知：当DPJ_AB时，DP最短，由此可得DP最短可最小=6,如图3,过点P作PDLAB于点P,连接AD,

「△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点,

/.ZABC=60o,AD±BC,

；DP，AB于点P,此时DP=5

PD=凤旦

:.BD==2,

sin602

/.BC=2BD=4,

，AB=4,

•*.AD=AB-sinZ^B=4xsin60°=2^3，

：.SAABC=-ADBC=-x273x4=473.

22

故选D.

点睛：“读懂题意，知道当DPLAB于点P时，DP最短=指”是解答本题的关键.

9、D

【解析】

已知AABC绕点A按逆时针方向旋转120。得到△ABCS根据旋转的性质可得/BAB，=NCAC，=120。，AB=AB。根据

等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得NAB，B=L(180°-120°)=30。，再由AC〃BB，，可得

2

NC，AB，=NAB，B=30。，所以NCAB，=NCACJNC，AB，=120O-3(r=90。.故选D.

10、A

【解析】

作AHLBC于H,作直径CF,连结BF,先利用等角的补角相等得到NDAE=NBAF,然后再根据同圆中，相等的圆

心角所对的弦相等得到DE=BF=6,由AHLBC,根据垂径定理得CH=BH,易得AH为△CBF的中位线，然后根据

三角形中位线性质得到AH='BF=1,从而求解.

2

解：作AHLBC于H,作直径CF,连结BF,如图，

,:ZBAC+ZEAD=120°,而NBAC+NBAF=120。，

/.ZDAE=ZBAF,.,.弧DE$BF,，DE=BF=6,

VAH±BC,/.CH=BH,

VCA=AF,AH为△CBF的中位线，.*.AH=LBF=1.

2

•*-BH=^ABr-AH2=A/52-32=4-

；.BC=2BH=2.

故选A.

“点睛”本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也

考查了垂径定理和三角形中位线性质.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、J(x-2)2

【解析】

先提取公因式y,再根据完全平方公式分解即可得.

【详解】

原式=-4x+4)=y(x-2)2,

故答案为y(x-2)2.

12、1.

【解析】

解：•.•平移后解析式是y=x-b,

代入尸*得：x-b=—,

xx

BPx2-bx=5,

y=x-)与x轴交点5的坐标是(b,0),

设A的坐标是(X,j),

J.O^-OB2

=x2+y2-b1

=x2+(x-b)2-b2

=2x2-2xb

=2(x2-xb)

=2x5=1,

故答案为1.

点睛：本题是反比例函数综合题，用到的知识点有：一次函数的平移规律，一次函数与反比例函数的交点坐标，利用

了转化及方程的思想，其中利用平移的规律表示出y=x平移后的解析式是解答本题的关键.

500

13>-----

3

【解析】

根据题意和函数图象可以分别求得甲乙的速度，从而可以得到当甲第二次与乙相遇时，乙离B地的距离.

【详解】

设甲的速度为akm/h,乙的速度为bkm/h,

〃+(5—1)(〃+b)=600

%-5)q=(5-1),，

a=100

解得，｛

b=25

设第二次甲追上乙的时间为m小时,

100m-25(m-1)=600,

5田23

解得，m=—,

23500

当甲第二次与乙相遇时，乙离B地的距离为：25x(--1)=—千米,

33

.生生二500

故答案为飞-.

【点睛】

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.

14、-1<x<3

【解析】

根据抛物线的对称轴以及抛物线与X轴的一个交点，确定抛物线与X轴的另一个交点，再结合图象即可得出答案.

【详解】

解：根据二次函数图象可知：

抛物线的对称轴为直线X=l,与X轴的一个交点为（-1,0）,

二抛物线与x轴的另一个交点为（3,0）,

结合图象可知，当y>0时，即x轴上方的图象，对应的x的取值范围是-l<x<3,

故答案为：-l<x<3.

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式的问题，解题的关键是通过图象确定抛物线与x轴的另一个交点，并熟悉二次函数与不

等式的关系.

15、5或1

【解析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出a的值，b的值，根据有理数的

加法，可得答案.

【详解】

由被开方数是非负数，得

«2-1>0

\l-iz2>01

解得。=1,或a=-l,b—4,

当a=l时，a+b=l+4=5,

当a--1时，a+b=-1+4=1,

故答案为5或1.

【点睛】

本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑

分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

16、厚1

【解析】

试题分析：因为三十二二一r，所以l・x+2（x-2）=-k,所以l-x+2x-4=・k,所以x=3.k,所以-=f-，因为原方程

有解，所以-=--=/,解得=

考点：分式方程.

17、x^~1

【解析】

根据分母不等于2列式计算即可得解.

【详解】

解：根据题意得*+耳2,

解得/-1.

故答案为：x^~1.

【点睛】

考查的知识点为：分式有意义，分母不为2.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、小军的证明：见解析；小俊的证明：见解析；［变式探究］见解析；［结论运用］PG+PH的值为1；［迁移拓展"6+2旧）

dm

【解析】

小军的证明：连接AP,利用面积法即可证得；

小俊的证明：过点尸作PGLC尸，先证明四边形尸。歹G为矩形，再证明△PGC丝△<:£「，即可得到答案；

［变式探究］小军的证明思路：连接AP,根据SAABC=SAABP-SAACP,即可得到答案；

小俊的证明思路：过点C,作CGLOP,先证明四边形CF0G是矩形，再证明△CGP丝ACE尸即可得到答案；

［结论运用］过点E作EQLBG先根据矩形的性质求出BF,根据翻折及勾股定理求出DC,证得四边形EQC。是矩

形，得出尸即可得到答案；

［迁移拓展］延长A。，交于点尸，作尸，证明△AOEsaBCE得到FA=FB,设。〃=x,利用勾股定理求出x

得到5H=6,再根据NAOE=N3CE=90。，且M,N分别为AE,3E的中点即可得到答案.

【详解】

小军的证明：

连接AP,如图②

A

图②

*：PDLAB,PEVAC,CF±ABf

•••SAABC=SAABP+SAACPf

111

:.-ABxCF=-ABXPD+-ACXPE

2229

*:AB=AC9

：.CF=PD+PE.

小俊的证明：

过点P作尸G，C凡如图2,

9

：PD.LAB,CF±ABfPGLFC,

：.ZCFD=ZFDG=ZFGP=90°,

・•・四边形PDPG为矩形，

：.DP=FG9ZDPG=90°9

：.ZCGP=90°,

V-PE1AC,

・・・NCEP=90。，

：.ZPGC=ZCEPf

,:ZBDP=ZDPG=90°,

：.PG//AB,

：.ZGPC=ZBf

VAB=AC,

：.ZB=ZACBf

：.ZGPC=ZECP9

在4尸6。和4CEP中

/PGC=/CEP

<ZGPC=ZECP,

PC=CP

.•.△PGC^ACEP,

:.CG=PE,

:.CF=CG+FG=PE+PD；

［变式探究］

小军的证明思路：连接AP,如图③,

VPZ)±AB,PELAC,CFLAB,

：•SAABC=SAABP-SAACPJ

111

:.-ABxCF=-ABxPD--ACxPE,

222

*:AB=AC9

:.CF=PD-PE；

小俊的证明思路：

过点C,作CGLOP,如图③，

*:PD.LAB9CF±AB9CG±DP9

：.ZCFD=ZFDG=ZDGC=9Q09

：.CF=GD9NDGC=90。，四边形C"X?是矩形,

9

：PE±AC9

・・・NCEP=90。，

：.ZCGP=ZCEP9

VCG±PP,AB±DPf

：.ZCGP=ZBDP=90°9

:.CG//AB9

:.ZGCP=ZB9

*：AB=AC,

：.ZB=ZACB,

•:ZACB=ZPCEf

:・NGCP=NECP,

在4。6尸和4CEP中，

ZCGP=ZCEP=90

<ZGCP=NECP,

CP=CP

.•.△CGP^ACEP,

：.PG=PE,

：.CF=DG=DP-PG=DP-PE.

［结论运用］

如图④

图④

过点£作

•・•四边形A5CD是矩形，

：.AD=BC,NC=NADC=90。，

VAD=8,CF=3,

：.BF=BC-CF=AD-CF=59

由折叠得b，NBEF=NDEF,

：.DF=5,

VZC=90°,

・•・加=J-C/=1,

*：EQ±BCfZC=ZADC=90°,

/.ZEQC=90°=ZC=ZADCf

J四边形EQCD是矩形，

：.EQ=DC=1,

YAD〃BC,

：.NDEF=NEFB,

*：ZBEF=ZDEF,

:.NBEF=ZEFB,

：.BE=BF,

由问题情景中的结论可得：PG+PH^EQ,

：.PG+PH=1.

：.PG+PH的值为1.

［迁移拓展］

延长AO,交于点尸，作8"，A尸，如图⑤,

；ADxCE=DExBC,

.ADBC

••—f

DEEC

9：EDYAD,ECLCB,

：.ZADE=ZBCE=90°,

:•△ADEs^BCE,

：.NA=NCBE,

：.FA=FB,

由问题情景中的结论可得：ED+EC=BHf

设DH=X9

：.AH=AD+DH=3+X9

9

：BH±AF9

：.ZBHA=9Q°,

：.BH2=BD2-DH2=AB2-AH2,

-：AB=2y/l39AD=39BD=屈，

A（A/37）2-x2=（2而）2-（3+x）2,

・・x^~1,

：.BH2=BD2-DH2=37-1=36,

:・BH=6,

1.ED+EC=6,

VZADE=ZBCE=9Q°,且M,N分别为AE,BE的中点，

11

/.DM=EM=-AE,CN=EN=-BE,

22

:.ADEM与小CEN的周长之和

=DE+DM+EM+CN+EN+EC

^DE+AE+BE+EC

=DE+AB+EC

=DE+EC+AB

6+2y/13>

.♦.△OEM与ACEN的周长之和（6+2JF）dm.

【点睛】

此题是一道综合题，考查三角形全等的判定及性质，勾股定理，矩形的性质定理，三角形的相似的判定及性质定理，翻折的

性质，根据题中小军和小俊的思路进行证明，故正确理解题意由此进行后面的证明是解题的关键.

19、（1）补全统计图如图见解析；（2）“称职”的销售员月销售额的中位数为：22万，众数：21万；“优秀”的销售员

月销售额的中位数为：26万，众数：25万和26万；（3）月销售额奖励标准应定为22万元.

【解析】

（1）根据称职的人数及其所占百分比求得总人数，据此求得不称职、基本称职和优秀的百分比，再求出优秀的总

人数，从而得出销售26万元的人数，据此即可补全图形.

（2）根据中位数和众数的定义求解可得；

（3）根据中位数的意义求得称职和优秀的中位数即可得出符合要求的数据.

【详解】

（1）依题可得：

“不称职”人数为：2+2=4（人），

“基本称职”人数为：2+3+3+2=10（人），

“称职”人数为：4+5+4+3+4=20（人），

二总人数为:204-50%=40（人），

不称职”百分比：a=4-r40=10%,

“基本称职”百分比：b=10+40=25%,

“优秀”百分比：d=l-10%-25%-50%=15%,

“优秀”人数为：40xl5%=6（人），

...得26分的人数为：6-2-1-1=2(人),

补全统计图如图所示：

(2)由折线统计图可知：“称职”20万4人，21万5人，22万4人，23万3人，24万4人，

“优秀”25万2人，26万2人，27万1人，28万1人；

“称职”的销售员月销售额的中位数为：22万，众数：21万；

“优秀”的销售员月销售额的中位数为：26万，众数：25万和26万；

(3)由(2)知月销售额奖励标准应定为22万.

•.•“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为：22万，

二要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为22万元.

【点睛】

考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、众数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

4

20、(1)y=-(1)(1,0)

x

【解析】

(1)将点M的坐标代入一次函数解析式求得a的值；然后将点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值即可;

(1)根据平行四边形的性质得到BC〃AD且BD=AD,结合图形与坐标的性质求得点D的坐标.

【详解】

解：(1)..•点M(a,4)在直线y=lx+l上，

:.4=la+l,

解得a=l,

k

AM(1,4),将其代入y=—得到：k=xy=1x4=4,

x

k4

・・・反比例函数y=—(x>0)的表达式为y=—；

xx

(1)•・,平面直角坐标系中，直线y=lx+l与x轴，y轴分别交于A,B两点，

，当x=0时，y=l.

当y=0时，x=-1,

AB(0,1),A(-1,0).

VBC/7AD,

点c的纵坐标也等于1,且点C在反比例函数图象上，

44

将y=l代入y=—,得1=—,

xx

解得x=l,

AC(1,1).

:四边形ABCD是平行四边形，

.\BC〃AD且BD=AD,

由B(0,1),C(1,1)两点的坐标知，BC〃AD.

又BC=1,

/.AD=1,

VA(-1,0),点D在点A的右侧，

.,.点D的坐标是(1,0).

【点睛】

考查了反比例函数与一次函数交点问题.熟练掌握平行四边形的性质和函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键，

难度适中.

21、(1)1；2-币;币;(1)4+^/3；(4)(200-25石-40夜)米.

【解析】

(1)由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可

解决问题.

(1)以EF为直径作。O,易证。O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方

形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.

(4)要满足/AMB=40。，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然

后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长.

【详解】

(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①，

贝！］PA=PD.

••.△PAD是等腰三角形.

•.•四边形ABCD是矩形，

；.AB=DC,ZB=ZC=90°.

VPA=PD,AB=DC,

/.RtAABP^RtADCP(HL).

ABP=CP.

VBC=2,

ABP=CP=1.

②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点Pl如图①,

贝！)DA=DP'.

•••△P&D是等腰三角形.

•・•四边形ABCD是矩形，

.\AD=BC,AB=DC,ZC=90°.

VAB=4,BC=2,

ADC=4,DPr=2.

.•.CP，="2—32=币.

:.BP，=2-S.

③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P”,如图①,

则AD=AP".

...△P”AD是等腰三角形.

同理可得：BP"=用.

综上所述：在等腰三角形AADP中，

若PA=PD,贝！jBP=1；

若DP=DA,贝！]BP=2-不；

若AP=AD,贝!]BP="

(1)；E、F分别为边AB、AC的中点,

1

AEF/ZBC,EF=-BC.

2

,.,BC=11,

/.EF=4.

以EF为直径作。O,过点O作OQLBC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.

VAD±BC,AD=4,

；.EF与BC之间的距离为4.

/.OQ=4

.*.OQ=OE=4.

.•.(DO与BC相切，切点为Q.

；EF为。O的直径，

/.ZEQF=90°.

过点E作EGLBC,垂足为G,如图②.

VEG1BC,OQ±BC,

；.EG〃OQ.

VEO/7GQ,EG〃OQ,ZEGQ=90°,OE=OQ,

二四边形OEGQ是正方形.

.\GQ=EO=4,EG=OQ=4.

VZB=40°,ZEGB=90°,EG=4,

/.BG=V3.

；.BQ=GQ+BG=4+6.

.•.当NEQF=90。时，BQ的长为4+g.

(4)在线段CD上存在点M,使NAMB=40。.

理由如下：

以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG,

作GP_LAB,垂足为P,作AK_LBG,垂足为K.

设GP与AK交于点O,以点O为圆心，OA为半径作。O,

过点O作OHLCD,垂足为H,如图③.

••.△ABG是等边三角形，GP±AB,

1

.\AP=PB=-AB.

2

VAB=170,

，AP=145.

VED=185,

.*.OH=185-145=6.

•••△ABG是等边三角形，AK±BG,

/.ZBAK=ZGAK=40°.

:.OP=AP*tan40°

=145x2/1

3

=25A

.\OA=lOP=90V3.

/.OH<OA.

...（DO与CD相交，设交点为M,连接MA、MB,如图③.

:.NAMB=NAGB=40。，OM=OA=906..

VOH±CD,OH=6,OM=90G，

•*-HM=yjoM2-OH-=7（90A/3）2-1502=40夜.

VAE=200,OP=25^,

.,.DH=200-25V3.

若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=200-25逝+400.

V200-2573+40^/2>420,

/.DM>CD.

.•.点M不在线段CD上，应舍去.

若点M在点H的右边，则DM=DH-HM=200-25-4072.

V200-2573-4072<420,

/.DM<CD.

.•.点M在线段CD±.

综上所述：在线段CD上存在唯一的点M,使NAMB=40。，

此时DM的长为(200-256-40夜)米.

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周

角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探

究等能力，综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.

22、(1)MN与AB的关系是：MN1AB,MN=-AB,(2)2,4；(2)①丫=!*?-2；②在此抛物线的对称轴上有

23

这样的点P,使得NAPB为锐角，yp的取值范围是yp<-2或yp>2.

【解析】

(1)直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；

(2)利用已知点为B(m,m),代入抛物线解析式进而得出m的值，即可得出AB的值；

(2)①根据题意得出抛物线必过(2,0),进而代入求出答案；

②根据y=；x2-2的对称轴上P(0,2),P(0,-2)时，ZAPB为直角，进而得出答案.

【详解】

(1)MN与AB的关系是：MN±AB,MN=-AB,

2

如图1,是等腰直角三角形，且N为AB的中点，

/.MN±AB,MN=-AB,

2

故答案为MN_LAB,MN=-AB；

,2

1,

(2)•.,抛物线丫二万/对应的准蝶形必经过B(m,m),

2

解得：m=2或m=0(不合题意舍去)，

当m=2贝！I，2=—X2,

2

解得：x=±2,

则AB=2+2=4；

故答案为2,4；

(2)①由已知，抛物线对称轴为：y轴，