广西梧州市贺州市2023-2024学年高考全国统考预测卷数学试卷含解析

广西梧州市贺州市2023-2024学年高考全国统考预测密卷数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长

为（）.

A.V2B.73C.1D.卡

2.若复数z=f-（i为虚数单位），则三=（）

2-z

A.2+zB.2-zC.l+2zD.l-2z

3.“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕

达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,

33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）

0,b>0）的左右焦点分别为F[,F”点E（O,r）（r>0）.已知动点p在双曲线C的右支

上，且点P,E，6不共线.若APE月的周长的最小值为4〃，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）

22

6.已知双曲线1-与=1（。>0,6>0）的左焦点为尸，直线/经过点R且与双曲线的一条渐近线垂直，直线/与双曲线

ab

的左支交于不同的两点A,B,若AF=2FB，则该双曲线的离心率为（）.

AMc

RV6DC

323.

7.如图所示，为了测量A、5两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45。的方向上，B在

C的北偏东15°的方向上，现在船往东开2百海里到达£处，此时测得3在E的北偏西30°的方向上，再开回。处，

由C向西开2前百海里到达。处，测得4在。的北偏东22.5。的方向上，则4、3两座岛屿间的距离为（）

2「

8.在AABC中，C=30°,cosA=——,AC=V15-2,则AC边上的高为（）

3

A.也B.2C.75D.

22

9.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

俯视图

2^/3

A.2A/3B.473

亍

x

10.已知集合人="|大《。,。€尺｝,B=｛x|2<16｝,若AB,则实数。的取值范围是()

A.0B.RC.(ro,4]D.(-00,4)

11.已知函数〃x)=ln%-@+a在xe[l,e]上有两个零点，则。的取值范围是()

X

A.-------1B.------------,1|C.--------，-1]D.[-1,e)

1-e1-e)1-eJ

12.已知三棱锥D-ABC的外接球半径为2,且球心为线段8C的中点，则三棱锥D-ABC的体积的最大值为()

24816

A.—B.—C.—D.—

3333

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知点4(0,-1)是抛物线/=2刀的准线上一点，尸为抛物线的焦点，尸为抛物线上的点，且|尸耳=7T创，若

双曲线C中心在原点，户是它的一个焦点，且过尸点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为.

14.在边长为2的正三角形ABC中，BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0,x+2y=l,则的取值范围为.

15.设P(x,y)为椭圆工+反=1在第一象限上的点，则+4的最小值为______.

16124-x6-y

16.在平面直角坐标系中，已知点A-3,0),B(-l,-2),若圆(x—2了+/=/&〉0)上有且仅有一对点服刀,

使得AM45的面积是A2WLB的面积的2倍，则厂的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设数列｛4｝是等差数列，其前〃项和为S,,且%=2,'=54.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

18.(12分)已知各项均不相等的等差数列｛4｝的前4项和为$4=14,且%例,%成等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列」一］的前“项和北.

19.(12分)在平面直角坐标系中，直线丁=履+1(左wO)与抛物线C：/=40；(。>0)交于4,B两点,且

当左=1时，|AB|=8.

(1)求。的值；

(2)设线段的中点为"，抛物线C在点4处的切线与C的准线交于点N,证明：脑V//y轴.

20.(12分)语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司

的“小爱同学，，智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵，，智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了

了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精

灵”的人，具体数据如下：

“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计

男4560105

女554095

合计100100200

(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性

比购买“天猫精灵”的女性多多少人？

(2)根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？

附：片:_______<ad-bcf______

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P[K2>k]0.100.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

%=1+——t

21.(12分)已知曲线C的极坐标方程为。=4cos6>,直线/的参数方程为2(7为参数).

y=-t

I2

(1)求曲线C的直角坐标方程与直线/的普通方程；

(2)已知点直线/与曲线。交于4、B两点,求n〃A|-|M®].

22.(10分)已知函数十)=j-:必有两个极值点再，x2.

(1)求实数上的取值范围；

(2)证明：+

x1x2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,B

【解析】

首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长.

【详解】

解：根据三视图还原几何体如图所示，

所以，该四棱锥体的最长的棱长为/=JF+F+F=&.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题.

2、B

【解析】

根据复数的除法法则计算z,由共朝复数的概念写出丁

【详解】

55(2+010+5/..

z=-----=----------------=---------=2+z.

2-i(2-0(2+05，

■-z=2-i,

故选：B

【点睛】

本题主要考查了复数的除法计算，共朝复数的概念，属于容易题.

3、C

【解析】

先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为C；=10,再求出6和28恰好在同一组

包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.

【详解】

解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，

则基本事件总数为C；=10,

则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数=4,

10-43

6和28不在同一组的概率P=飞一=-.

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.

4、C

【解析】

判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.

【详解】

/(—£)=—/(£)，，函数是奇函数，排除。，

时，/(x)>0,xe仁/J时，/(x)<0,排除3,

/\1([[乃、

当时，sin2xe(0,l),—e—,—u(0,l)

.”"。弓|时，/(X)G(O,1),排除A,

。符合条件，故选C.

【点睛】

本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负,

以及单调性，极值点等排除选项.

5、A

【解析】

依题意可得C"EF2=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EF[>2PFX-2a=4b

即可得到2a+4Z?>2(a+c),从而求出双曲线的离心率的取值范围；

【详解】

解：依题意可得如下图象，CAPEF2=PE+PF2+EF2=PE+PF7+EF1

=PE+PFI+EF「2a

N2PFr2a=4b

:.2PF[=2a+4b>2(。+c)

所以2Z?>c

贝！14c2-4a2>c2

所以3c2>4/

r24

所以e?=—

a23

所以e>手，即eej¥，+co

故选：A

本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.

6,A

【解析】

b

直线/的方程为戈=—y-c,令4=1和双曲线方程联立，再由A尸=2EB得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.

a

【详解】

b

由题意可知直线I的方程为x=2y-c,不妨设a=l.

a

则且）2/-I

2

将％=力—c代入双曲线方程必_方=1中，得到仅4_1）/_2b3cy+M=0

设A（x,,yJ,3（孙为）

4

则i263c=匕A

0—10—1

2b3c

一%==

由A尸=2/8，可得力=-2%，故｛4

屋工

贝!18必。2=1一解得/=1

3

所以双曲线离心率e=§=典

a3

故选：A

【点睛】

此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.

7、B

【解析】

先根据角度分析出NCBE,ZACB,NDAC的大小，然后根据角度关系得到AC的长度，再根据正弦定理计算出的

长度，最后利用余弦定理求解出AB的长度即可.

【详解】

由题意可知：ZACB=60°,ZADC=67.5°,ZACD=45°,ZBCE=75°,ZBEC=60°,

所以ZCBE=180。—75。—60。=45。，ZDAC=180°—67.5。—45°=67.5°,

所以=所以C4=CD=2C，

又因为,B[Cf所以BC=2。2=网,

sinZBECsinZCBE2

所以A5=VAC2+BC2-2AC-BC-cosZACB=124+6—2x2&x&x；=3右.

故选：B.

【点睛】

本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.

8、C

【解析】

结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得AC边上的高.

【详解】

过3作交C4的延长线于。.由于cosA=—所以A为钝角，且sinF=Jl—cos?A=岑,所以

sinZCBA=sin(—ZCBA)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—x—=~-.在三角形

,BCV15-2

ABC中，由正弦定理得——=——，即行一而_2,所以3c=2班.在处ABCD中有

sinAsmB-------

36

BD=BCsinC=20^=#，即AC边上的高为火.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.

9、A

【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.

【详解】

由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：

FE

厂"1

冰..B

L_______I

DC

其中，底面为直角三角形，AD=2,AE=0，高为AB=2.

,该几何体的体积为V=Lx2x百x2=2石

2

故选：A.

【点睛】

本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.

10、D

【解析】

先化简3=卜|2,<16}={x|尤<4},再根据人={%|》40,。€尺},且A3求解.

【详解】

因为3={x［2*<16}={x|尤<4},

又因为A={x|xWa,awR},且AB,

所以。<4.

故选：D

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

11、C

【解析】

对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数/(力的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.

【详解】

•••/(力=：+1=签，%e［l,e］.

当1时，f(x)>0,在［l,e］上单调递增，不合题意.

当aK—e时，/(%)<0,/(力在［l,e］上单调递减，也不合题意.

当—e<a<—1时，贝！a)时，/'(九)<0,/(尤)在［1,—。)上单调递减，xe(—a,e］时，f(x)>0,/(%)在

(―a,e］上单调递增，又/⑴=0,所以〃尤)在xe［l,e］上有两个零点，只需/,)=1一2+/0即可，解得

e

-----Va<-1・

1-e

综上，。的取值范围是IF，-

Ll-e)

故选C.

【点睛】

本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题.

12、C

【解析】

由题可推断出ABC和-8CD都是直角三角形，设球心为。，要使三棱锥D-ABC的体积最大，则需满足/i=O£),

结合几何关系和图形即可求解

【详解】

先画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA^OB^OC,故ABC是直角三角形，设AB=x,AC=y,则有

x2+y2^42>2xy,又5小点=。孙，所以=g孙《4,当且仅当x=y=2®时，S^BC取最大值%要使三

11Q

棱锥体积最大，则需使高/?=8=2,此时匕4一0=35.°/=§X4*2=3，

【点睛】

本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、5/2+1

【解析】

由点A坐标可确定抛物线方程，由此得到歹坐标和准线方程；过P作准线的垂线，垂足为N,根据抛物线定义可得

黑=根，可知当直线E4与抛物线相切时，机取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得尸点坐标，根据双

\PA\

曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.

【详解】

4(0,1)是抛物线炉=2夕>准线上的一点：.p=2

二抛物线方程为V=4y.-.F(0,l),准线方程为y=-l

过P作准线的垂线，垂足为N,则|PN|=|P司

设直线PA的倾斜角为a,贝！jsincr=m

当机取得最小值时，sina最小，此时直线K4与抛物线相切

设直线9的方程为y=Ax-l,代入必=4〉得：/一4履+4=。

.•.△=16工-16=0,解得：k=+\或（一2,1）

二双曲线的实轴长为|PAHPH=2（、历一1），焦距为H耳=2

•••双曲线的离心率e=2（g_]）=3+1

故答案为：V2+1

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当机

取得最小值时，直线E4与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得P点坐标.

/c3，

14、（-2,-—]

【解析】

建立直角坐标系，依题意可求得孙+2x+2y—4,而x>0,y>0,x+y=l,故可得y=l-x,且

xe（0,l）,由此构造函数/（x）=—2必+2%—2,0<x<l,利用二次函数的性质即可求得取值范围.

【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(—1,O),3(1,0),C(0,我,设。(%,0),E(X2,%),

根据3D=xR4，即&T,0)=x(-2,0),贝！|为=1一2%,

CE=yCA)即(9，%—"s/3)=y(—1，—A/3)>贝。x?=—V，%=—+A/3,

所以CD•BE=(菁,—百)•(w—1,%)，

=jq(x2-l)-V3y2=(l-2x)(-y-l)-3(-y+l)=2xy+2x+2^-4,

x>0,J>0,x+y=l,

：.y=1-x,且xe(0,l),

故CD-BE-2x(1—x)+2,x+2(1-x)-4=-2r+2.x—2)

设/(x)=—2/+2x—2,0<%<1,易知二次函数/(尤)的对称轴为x=,，

13

故函数〃X)在[。，1]上的最大值为/(5)=—5,最小值为/(0)=/⑴=—2,

3

故CDBE的取值范围为(—2,--].

3

故答案为：(-2,--].

【点睛】

本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，

求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题.

15、4

【解析】

利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性

质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值.

【详解】

式

解：设点尸(4cosa,2百sina),其中。<1<一,

2

工一)

x3y二一(一4+4।3(-6)+18

-----+)

4-x6-yx-4y—6

418

=-4-(------+.)7+人+旦

x-4y—64—x6—y

y=2石sina

由x=4cosa990<6Z<―9

2

418418

可设z=--------1--------=----------------1---------L-------

4-x6-y4-4cosa6-2j3sina

1I3A

1-cosa73-since'

sincr3A/3COS6Z

导数为z'=

(1-cosa)?(A/3-sina)2'

由z'=。，PTW3A/3COS6Z-6^COS26Z+3^COS3or—3sincr-sin36z+2^sin2a

=(6cosa-sina)(3-6cosa-2\psina+3cos2<z+sin26z+2近sinacosa)=0,

可得百cosa-sina=0或3—6cosa—26sina+3cos2a+sin2a+24sinorcosa=0，

由3—4A/3sin(a-\—)+2+cos2a+\/3sin2a=5—4\/3sin(aH—)+2sin(2aH—)

336

=3-4石sin(a+—)+4sin2(cr+—)=(2sin(a+—)-道了>0,(0<a<—),

3332

,,儿

可得6cosa-sina=0，即tana=，3,可得

,ll')I')!

由0<a(一可得函数z递减；由—<1<—,可得函数z递增,

332

13「

可得a=一时，函数z取得最小值，且为「T+超,

32"为

x3y

则三十17的最小值为L

故答案为：L

【点睛】

本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力,

属于难题.

5V2

16、

~6~

【解析】

写出AB所在直线方程，求出圆心到直线的距离，结合题意可得关于厂的等式，求解得答案.

【详解】

解：直线A5的方程为43=二三，即x+y+3=0.

—2—U—1+3

圆（x—2）2+/=/&>0）的圆心（2,0）

|lx2+3|50

到直线A6的距离』=

由AWLB的面积是AM4B的面积的2倍的点"，N有且仅有一对,

可得点M到的距离是点N到直线AB的距离的2倍,

可得过圆的圆心，如图：

由述+-2(述八解得一述.

226

故答案为：逆.

6

【点睛】

本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)=2/7-4(2)见解析

【解析】

(1)设数列｛4｝的公差为d,由$9=9%=54,得到%=6,再结合题干所给数据得到公差d,即可求得数列的通

项公式;

(2)由(1)可得,再利用放缩法证明不等式即可;

【详解】

解：⑴设数列｛4｝的公差为d,•.•品=9/=54,••.%=6,

/.d=?~~=2，二。"=%+("-3)d=2n-4.

(2)、/-----=-/>-/---/=.2"+1—y/2n-1,

\an+3y/2n-lJ2I+42”+1

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.

n

18、(1)a=n+l.(2)T,=

n2(/7+2),

【解析】

试题分析：(1)设公差为d,列出关于的方程组，求解的值，即可得到数列的通项公式；(2)由(1)可得

111

-------=—r——即可利用裂项相消求解数列的和.

anan+in+1n+2

4〃]+6d=14

试题解析：(1)设公差为d.由已知得｛/「/,，一解得d=l或4=0(舍去)，所以％=2,故氏=〃+L

⑼+2d)=/(a1+6d)

，)、--1-----1-----1---1

,

anan+1(〃+1)(〃+2)/7+1n+2

丁111111n

“2334…n+1n+22(〃+2)

考点：等差数列的通项公式；数列的求和.

19、(1)1；(2)见解析

【解析】

(1)设A(WM),5(%,%)，联立直线和抛物线方程，得-4。=。，写出韦达定理，根据弦长公式，即可求

出"=1;

（2）由丁=：必，得y'=gx,根据导数的几何意义，求出抛物线在点A点处切线方程，进而求出.％=与，即可证

出脑V//y轴.

【详解】

解:⑴设B（x2,y2）,

将直线/代入。中整理得：犬-4力-4P=0,

占+%=4p,x,x2=-4p,

\AB\=A/2-J（X]+%）~--116p2+16p=8,

解得：P=L

）

（2同⑴假设B（x2,y2）,

由y=yx2,得y'=!x,

从而抛物线在点A点处的切线方程为y-=；玉（x-xj,

11

即Bny=~xix~~xi2*

.x?-4

令Ay=-1,得/=~z，

2国

2

1,、八/I—Xi+%iXX+x

由（1）知—4=»从而XN=-9-=-―?―=x,

2石2M

这表明MN//y轴.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程，考查转化思想

和计算能力.

20、（1）多2350人；（2）有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.

【解析】

（1）根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，即可估计该地区购买“小

爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案；

（2）根据列联表和给出的公式，求出R2,与临界值比较，即可得出结论.

【详解】

解：（1）由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，

由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”,

13000

估计购买“小爱同学”的女性有x55=7150人.

100

12000

估计购买“天猫精灵”的女性有x40=4800人.

100

贝(17150-4800=2350,

...估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.

⑵由题可知，400x(45x4。—60x55)15n-I，

105x95x100x100

.•.有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.

【点睛】

本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力.

21、(1)(%—2『+丁=4.y=gx—g⑵73

【解析】

(1)根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；

(2)设A,3两点对应的参数分别为4,t2,将直线/的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.

【详解】

(1)对于曲线C的极坐标方程为夕=4cos，，可得p2=%cose,

x=pcosdoz

又由1.c，可得Y+y2=4x,Bp(x-2)-+/=4,

所以曲线C的普通方程为(x—2p+y2=4.

x=l+^tr-

由直线/的参数方程为2。为参数)，消去参数可得上=.，即

1x-13

直线/的方程为＞=¥(%-1),即yWT

X—1H-------1

(2)设A,3两点对应的参数分别为％―2,将直线/的参数方程2a为参数)代入曲线。：必+产-4x=0

口

.V3Y127.6八

中，可得1H------1H—t—4IT------1、—0.

I2J4I2J

化简得：产—后一3=0，则4+/2=6.

所以11AMl-1H%ITJ11=R+寸=

【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了

推理与运算能力，属于基础题.

22、(1)(e,+8)(2)证明见解析

【解析】

⑴先