广东省深圳市罗湖区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案及解析）

2022-2023学年第一学期九年级数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x+l=0B.2x>2-=4

x

犬+1=5

2.下列图形中，主视图为矩形的是（）

3.一元二次方程有两个不相等的实数根，则（

A.A=0B.A<0

C.A>0D.与△的取值无关

4.如果点PQ,2）在双曲线y=A上，那么上的值是（）

X

A.-4B.4C.2D.-2

5.小张抛掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币全部正面朝上的概率是（

113

A—B.-C.一D.1

424

6.如图，已知6cs若NA=3O。，ZB=70°,则NF的度数是（）

D.100°

7.据统计，星月时代广场2020年十月份鞋帽专柜的营业额为100万元，十二月份鞋帽专

柜的营业额为150万元，设十到十二月每月平均增长率为无，则下列方程正确的是

()

A100(1+x)+100(1+元>=150B.100+100(1+x)+100(1+x)2=150

C.100(1+2x)=150D.100(1+x)2=150

8.若％=1是关于1的一元二次方程％2+如=。的一个根，则根的值是（

A.-2B.-1C.1D.2

9.关于反比例函数y=—,下列说法不正确的是（）

x

A.函数图象分别位于第二、四象限B.函数图象关于原点成中心对称

C.函数图象经过点（1,1）D.当x>0时，y随x的增大而减小

10.边长为4的正方形中，对角线AC,BD交于点、O,E在BD上，作成UCE交A8

于点E连接CF交BD于"，则下列结论:①所=EC；②CF2=CGCA;®BEDH=16；,@

若89=1,则DE=3后，正确的是（）

2

BC

A.①②④B.②③④C.①②③D.

①②③④

二、填空题（共5小题，每小题3分）

=

11.一■兀二次方程X?=4的根是X]=,x2

12.若3x=2y,则土=.

y

13.一个不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，这些球除颜色外都相同.每次摸出1个

球，进行大量的摸球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，据此估计摸到红球的

概率约为.

14.如图是小孔成像原理的示意图，OA=30cm,OC=10cm,ABCD.若物体AB的

高度为15cm,则像CD的高度是cm.

15.如图，己知一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=幺的图象交于A,8两点，点、B

x

的横坐标是1,过点A作轴于点C,连接BC,则△ABC的面积是.

三、解答题(共7小题，共55分，其中16题12分，17题6分，18题8分，

19题6分，20题7分，21题9分，22题7分)

16.解方程:

⑴X2-2X=0

⑵(x+2)(x—4)=0

⑶4尤2—4%+1=0

17.北京举行了第24届冬季奥林匹克运动会，成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运

动会和冬季奥林匹克运动会的城市.下图分别是冬奥会两个吉祥物“冰墩墩"和''雪容融”、

会徽“冬梦”、会徽“飞跃”.小张制作了4张正面分别印有这四个图案的卡片(卡片的形

状、大小、颜色和质地等都相同，这四张卡片分别用AB,。,。四个字母表示)，并将这4张

卡片背面朝上洗匀.

(1)小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“冰墩墩”的概率是；

(2)小张从这4张卡片中任意抽出一张卡片，再从剩下的卡片中任意抽出一张卡片，请利

用树状图或表格求抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物的概率.

18.已知：」WC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、3(3,4)、C(2,2)(正

方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).

ny

(1)在网格内画出A3C关于x轴的轴对称图形△人耳£,则点C1的坐标为

(—，一)；

(2)以点B为位似中心，在网格内画出△&&&，使&G与A3C位似，且位似比

为2:1；则点。2的坐标为(—，—).

19.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆座测量建筑物的高度.已知标杆座的高为

1m,测得AB=2m,AC=10m,求建筑物CD的高.

20.如图，在AABC中，NACfi=90,CDLAB，垂足为。.

(2)已知AC=4,5c=3,求的长度.

21.如图，点E是矩形A3CD的边氏4延长线上一点，连接ED,EC,EC交AD于点G,

（1）求证：四边形COM菱形；

⑵若BC=3,CD=5,求AE长；

（3）在（2）的条件下，求AG的长.

22.如图，在矩形O4BC中，04=3,0c=4,分别以。4、0C所在直线为x轴、y轴，建

立平面直角坐标系，。是边C3上的一个动点（不与。、8重合），反比例函数y=&Qk>

0）的图象经过点。且与边B4交于点E,作直线OE

3%y小

窗用图

（1）当点。运动到5C中点时，求左的值；

4

（3）连接D4,当△D4E的面积为一时，求无值.

3

2022-2023学年第一学期九年级数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x+1=0B.2x>2C.—=4D.

x

犬+1=5

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程的概念，对选项逐个判断即可.含有一个未知数并且未知数的次

数为2的整式方程为一元二次方程.

【详解】解：A、未知数的最高次数为1,不是一元二次方程，不符合题意；

B、是不等式，不是等式，不符合题意；

C、分母有未知数，为分式方程，不符合题意；

D、是一元二次方程，符合题意；

故选D

【点睛】此题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是掌握一元二次方程的概念.

2.下列图形中，主视图为矩形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到

答案.

【详解】解：A.此几何体的主视图是等腰梯形；

B.此几何体的主视图是矩形；

C.此几何体的主视图是等腰梯形；

D.此几何体的主视图是等腰三角形；

故选：B.

【点睛】本题考查了三视图，三视图是指主视图，俯视图，左视图，其中：主视图是指从

前往后看到的平面图形；俯视图是指从上往下看到的平面图形；左视图是指从左往右看到

的平面图形.

3.一元二次方程有两个不相等的实数根，则（）

A.A=0B.A<0

C.A>0D.与△的取值无关

【答案】C

【解析】

【分析】利用一元二次方程根的情况对应判别式的取值即可.

【详解】解：当A>0时，一元二次方程有两个不相同的实数根，

当A=0时，一元二次方程有两个相同的实数根，

当A<0时，一元二次方程没有实数根，

故选C.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，能够熟记判别式是解题关

键.

4.如果点PQ2）在双曲线丁=&上，那么上的值是（）

X

A.-4B.4C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】根据点P（l,2）在双曲线丁=&上可得，2=-,则可得左=2.

X1

【详解】解：由题意可得

2=彳，则左=2

故选：C

【点睛】此题考查反比例函数图像上点的坐标特征，将点坐标代入函数解析式是解题关

键.

5.小张抛掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币全部正面朝上的概率是（）

113

A.-B.；C.-D.1

424

【答案】A

【解析】

【分析】采用树状图法列举即可求解.

【详解】画树状图为：

开始

正反

人人

正反正反

共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1,

即两枚硬币全部正面向上的概率=’.

4

故选：A.

【点睛】本题考查了采用树状图法或者列表法列举求解概率的知识，准确画出树状图是解

答本题的关键.

6.如图，已知6cs△。所，若NA=30。，ZB=70°,则N尸的度数是()

【答案】C

【解析】

【分析】利用相似的三角形对应角相等及三角形内角和定理解题即可.

【详解】解：：Z\ABCS^DEF,

：.ZA=ZD,ZB=ZE,

：NA=30°,ZB=70°,

.♦.ND=30。，NE=70。，

在JyEF中，ZF=1800-ZD-ZE=180°-30°-70°=80°.

故选C.

【点睛】本题主要考查相似的性质及三角形内角和定理，能够熟练运用性质求角度是解题

关键.

7.据统计，星月时代广场2020年十月份鞋帽专柜的营业额为100万元，十二月份鞋帽专

柜的营业额为150万元，设十到十二月每月平均增长率为x,则下列方程正确的是

()

A.100(1+尤)+100(1+x)2=150B.100+100(1+%)+100(1+x)2=150

C.100(1+2x)=150D.100(1+x)2=150

【答案】D

【解析】

【分析】利用十二月份的营业额=十月份的营业额x(1+增长率)2,即可得出关于尤的

一元二次方程，此题得解.

【详解】解：依题意得：100(1+x)2=150.

故选：D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次

方程是解题的关键.

8.若x=l是关于尤的一元二次方程+7nr=0的一个根，则"z的值是()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】把％=1代入方程封+3=0,即可求解.

【详解】解：•.3=1是关于x的一元二次方程式+3=。的一个根，

•*-I2+772=0>

解得：

故选：B

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立

的未知数的值是方程的解是解题的关键.

9.关于反比例函数y=,，下列说法不正确的是()

x

A.函数图象分别位于第二、四象限B.函数图象关于原点成中心对称

C.函数图象经过点(1,1)D.当x>0时，y随x的增大而减小

【答案】A

【解析】

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对

A、B、D进行判断.

【详解】解：反比例函数y=L,左=1>0,

x

A、函数图象分别位于第一、三象限，故本选项说法不正确，符合题意；

B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确，不符合题意；

C、函数图象经过点(1,1),故本选项说法正确，不符合题意；

D、当左>0,双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随尤的增大而增小，

故本选项说法正确;

故选：A.

k

【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=—（左wO）的图象是双曲线；当

k>o,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当

k<o,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.

10.边长为4的正方形ABC。中，对角线AC,8。交于点O,E在8。上，作EFLCE交A8

于点F,连接CF交3。于“，则下列结论:①EF=EC；②CF?=CG-CA；③BE-DH=16；,④

若89=1,则=正确的是（）

2

A.①②④B.②③④C.①②③

①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】①由“SAS”可证八41）£三400£,可得AE=EC,ZDAE=ZDCE,由四

边形的内角和定理可证/47芯=/5。£=/石4/，可得AE=EF=EC；

②通过证明.FCGs./CE,可得CF2=CG-C4；

「HDH

③通过证明.ECHsCDH,可得•一=——，通过证明ECHsEBC,可得

ECCD

④通过证明△APCsaDKC,可得——=—,即可求解.

DECD

【详解】如图，连接AE，

四边形ABC。是正方形，

:.AD=CD,ZADB=NCDB=/BAC=ADAC=45。,

又・DE=DE，

:.AADE=^CDE(SAS),

:.AE=EC,NDAE=NDCE,

：.ZEAF=ZBCE,

ZABC+ZFEC+ZEFB+ZBCE=360°,

:.ZBCE+ZEFB=180°,

XZAFE+ZBFE=18Q°,

：.ZAFE=ZBCE=ZEAF,

:.AE=EF，

：.EF=EC,故①正确；

EF=EC,NFEC=90°,

:.ZEFC=ZECF=45°,

ZFAC=ZEFC=45°,

又•；ZACF=NFCG,

:「FCS.ACF,

CFCA

CG-CF(

:.CF~=CGCA，故②正确；

ZECH=NCDB,ZEHC=ZDHC,

：.ECHsCDH,

,CHEC

~DH~~CD，

.CHDH

EC~CD'

ZECH=NDBC,ZBEC=ZCEH,

-._ECH^EBC,

.CHEC

~BC~~BE'

CHBC

,,一,

ECBE

.PHBC

CD-'

:.BCCD=DHBE=16,故③正确;

BF=1,AB=4,

；.AF=3，AC=4^/2>

ZECF=ZACD=45°,

:.ZACF=ZDCE,

又・ZFAC=ZCDE=45°,

・•.AAFCS^DEC,

,AFAC

,,一,

DECD

:.DE=-^—，故④正确，

2

故选：D.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三

角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

二、填空题（共5小题，每小题3分）

11.一元二次方程三=4的根是苞=,%=

【答案】①.2②.-2

【解析】

【分析】把方程两边同时开方，即可得到结论.

【详解】•••公=4，

石=2或=—2,

故答案为：2,-2.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，正确掌握解一元二次方程的方法是解

题的关键.

12.若3x=2y,贝|土=.

y

2

【答案】|

【解析】

【分析】根据等式的基本性质，将等式的两边同时除以3J，即可得出结论.

X9

【详解】解：将等式的两边同时除以3＞，得一=:

y3

2

故答案为：

【点睛】此题考查的是将等式变形，掌握等式的基本性质是解决此题的关键.

13.一个不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，这些球除颜色外都相同.每次摸出1个

球，进行大量的摸球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，据此估计摸到红球的

概率约为.

3

【答案】0.6（二或60%）

【解析】

【分析】根据题意，首先求得摸到黑球的概率，然后求得摸到红球的概率即可.

【详解】解：•••每次摸出1个球，进行大量的球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近

摆动，

•••摸到黑球的概率约为0.4,

摸到红球的概率约为1-0.4=0.6,

故答案为：06

【点睛】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出黑球的个数.

14.如图是小孔成像原理的示意图，OA=30cm,OC=10cm,ABCD.若物体AB的

高度为15cm,则像CD的高度是cm.

【答案】5

【解析】

ABOA30

【分析】根据小孔成像的原理，因为ABCD,则有则有一=一=一,

CDOC10

AB高度已知，即可求出CD.

【详解】解：ABCD,

ABO^CDO,

•_A_B_——_O_A_—_3_0-.-I

"'CD~~OC~W~'

又，AB=15cm,

CD=5cm，

故答案为：5.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，相似比对应高度之比在相似中用的比较广泛，解

决本题的关键是要证明三角形相似再得出线段的相似比.

15.如图，己知一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=工的图象交于A,8两点，点、B

x

的横坐标是1,过点A作ACLy轴于点C,连接BC,则AABC的面积是.

【答案】12

【解析】

【分析】由一次函数解析式求得2的坐标，代入y=七求得公然后两个解析式联立成方

X

程组，解方程组求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可.

【详解】解：；一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=&的图象交于A,B两点，点2

X

的横坐标是1,

・••把代入产2x+4得，产6,

：.B(1,6),

.*.6=-1,解得旌：6,

...反比例函数的解析式为y=£

X

6

y——X=1、x=-3

解＜X得:/或＜

[y=6

y=2%+4y=-2

AA(-3,-2),

轴于点C,

：.AC=3,

.1.SAABC=1X3X(6+2)=12.

故答案为：12.

【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定

系数法求反比例函数的解析式，三角形面积等，数形结合是解本题的关键.

三、解答题(共7小题，共55分，其中16题12分，17题6分，18题8分，

19题6分，20题7分，21题9分，22题7分)

16.解方程：

(1)X2-2X=0

(2)(x+2)(%—4)=0

(3)4X2-4X+1=0

【答案】(1)玉=0,々=2

(2)=-2,%=4

(3)X]—%2=~

【解析】

【分析】(1)根据因式分解法解方程即可；

(2)根据因式分解法解方程即可；

(3)根据因式分解法解方程即可.

【小问1详解】

解：X2-2X=0

x(x-2)=0,

%=0或%-2=0,

*,•玉—0,x?—2；

小问2详解】

(x+2)(x-4)=0

***x+2=0或x—4=0,

**•石——29X?—4；

【小问3详解】

4x2-4x+1=0，

(2%_1)2=0,

2x—1=0,

.1

••尤］—九2—2.

【点睛】本题考查解一元二次方程.掌握因式分解法解方程是解题关键.

17.北京举行了第24届冬季奥林匹克运动会，成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运

动会和冬季奥林匹克运动会的城市.下图分别是冬奥会两个吉祥物“冰墩墩"和''雪容融”、

会徽“冬梦”、会徽“飞跃”.小张制作了4张正面分别印有这四个图案的卡片（卡片的形

状、大小、颜色和质地等都相同，这四张卡片分别用AB,。,。四个字母表示），并将这4张

卡片背面朝上洗匀.

“冰墩墩”“雪容融”“冬梦”“飞跃”“

ABCD“

（1）小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“冰墩墩”的概率是;

（2）小张从这4张卡片中任意抽出一张卡片，再从剩下的卡片中任意抽出一张卡片，请利

用树状图或表格求抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物的概率.

【答案】（1）I

4

⑵-

6

【解析】

【分析】（1）根据随机事件的概念即可判断求解；

（2）利用列表法求出所有的结果数和满足条件的结果数，由概率公式求解即可.

【小问1详解】

解：由题意得：小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“冰墩墩”的概率：-；

4

故答案为：—；

4

【小问2详解】

解：列表得：

ABCD

A(AI)(AC)（A，D）

B(M（B，C）（B，D）

C（C，A）(CB)(CD)

D（D，A）（D，B）(DC)

共有12种等可能性结果，其中符合抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物的结果有2种，

，抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物的概率：P=—=-.

126

【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

18.己知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0,3）、3（3,4）、C（2,2）（正

方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）.

（1）在网格内画出⑷3c关于X轴的轴对称图形与G，则点的坐标为

（一，—）；

（2）以点8为位似中心，在网格内画出△&星C2,使△4星C2与A3。位似，且位似比

为2:1；则点C2的坐标为（一,—）.

【答案】（1）q（2,-2）

（2）C2（l,0）

【解析】

【分析】（1）关于x轴的轴对称图形△4与。1，如图1所示，找出所求点坐标即可；

（2）以点8为位似中心，在网格内画出使△&层C2与乙A3。位似，且位似比为

2:1；如图2所示，找出所求点的坐标即可.

【小问1详解】

解：如图1所示，△4片£即为所作，点C1的坐标为a(2,-2)；

故答案为：(2,-2)；

图1

解：如图2所示，以8为位似中心，在网格内画出△A与Cz，使44星C2与一ABC位似,

且位似比为2:1；此时点G的坐标为Q(1,O)；

故答案为：(1,0).

图2

【点睛】此题考查了作图：轴对称变换与位似变换，熟练掌握位似变换与轴对称变换的性

质是解答此题的关键.

19.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆班测量建筑物高度.已知标杆跖的高为

1m,测得A3=2m,AC=10m,求建筑物CD的高.

【答案】5m

【解析】

【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，计算出CD的长，从而可以解答本题.

【详解】解：

/.EB//DC,

AZAEB=ZADC,ZABE=ZACD,

:.ZxABEs^ACD,

.ABBE

*'AC-CD'

：AB=2m,AC=10m,BE=Im

•2_1

''To-CD）

解得，CD=5,

即建筑物CD的高是5m.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识，正确得出△ABESAACD是解题

的关键.

20.如图，在AABC中，ZACB=90,CD±AB，垂足为。.

（2）已知AC=4,5c=3,求"）的长度.

【答案】（1）见解析（2）y

【解析】

分析】（1）利用公共角及直角通过角角判定相似即可.

（2）利用（1）中的相似的性质解题即可.

【小问1详解】

证：ZACB=90,CDLAB

：.ZACB=ZADC=90°,

VZA=ZA，

AABC-AACD

【小问2详解】

解：•.•在AABC中，ZACB=90,AC=4,BC=3,

•■­AB=V32+42=5-

由(1)得AABC〜AACD,

.ABAC

"AC-AD)

.,_AC2_4216

••ALn)----————

AB55

【点睛】本题主要考查三角形相似的判定及性质的应用，能够熟练判定三角形相似是解题

关键.

21.如图，点E是矩形A3CD的边8A延长线上一点，连接ED,EC,EC交A£）于点G,

作CF〃ED交AB于点尸,DC=DE.

（1）求证：四边形CDEF是菱形；

（2）若BC=3,CD=5,求AE的长；

（3）在（2）的条件下，求AG的长.

【答案】（1）见解析（2）AE=4

⑶-

3

【解析】

【分析】（1）由矩形的性质可得出跖ICD,结合题意可证四边形COM为平行四边形,

再根据=即证明平行四边形CDEF为菱形；

（2）由矩形的性质，菱形的性质结合题意，可得出AO=5C=3,DE=CD=5,

^DAE=90°,再根据勾股定理求解即可；

C'D5

（3）由题意易证'CGDs一EG4,即得出——=——=—,进而即可求出

AGAE4

44

AG=-AD=~.

93

【小问1详解】

:四边形A3CD为矩形，

ABCD,即EFCD.

•/CF//ED,

，四边形COM为平行四边形.

•/DC=DE,

平行四边形CDEF为菱形；

【小问2详解】

VBC=3,CD=5,四边形ABCD为矩形，四边形CD所为菱形，

AAD=BC=3,DE=CD=5,^DAE=90°,

AE=y/DE--AD2=4-

【小问3详解】

•/ZCGD=ZEGA,ZCDG=ZEAG=90°,

；._CGDs_EGA,

•DG_CD_5

"AG-)

444

AG=—AD=—x3=—.

993

【点睛】本题考查矩形性质，菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性

质.熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键.

22.如图，在矩形OABC中，。4=3,OC=4,分别以。4、OC所在直线为x轴、y轴，建

k

立平面直角坐标系，。是边上的一个动点(不与C、B重合)，反比例函数y=—Qk>

4

(3)连接ZM,当的面积为一时，求无值.