（人教A版2019必修第一册）高一数学上学期同步讲练拓展 对数函数及其综合应用（原卷版+解析）

拓展一：指数函数+对数函数综合应用（定义域+值

域+奇偶性+单调性）（精讲）

目录

重点题型一：指数（型）函数的值域（最值）

重点题型二：指数（型）函数的单调性

重点题型三：指数型函数的奇偶性

重点题型四：对数（型）函数的定义域

重点题型五：对数（型）函数的值域（最值）

重点题型六：对数（型）函数的单调性

重点题型七：对数（型）函数的奇偶性

重点题型一：指数（型）函数的值域（最值）

典型例题

I.（2023.全国•高三专题练习）定义：设函数“X）的定义域为。，如果同〃仁叶,使得在[加，川上

的值域为卬?],则称函数“X）在[〃?，"]上为“等域函数”，若定义域为标的函数g（x）=a'（”>0,亦1）

在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则〃的取值范围为（）

「21、r211\r41'

A.不，一B.—C.ec,ecD.ec,ec

[e-ejLe-ejL）L」

2x+3,x<0

2.（2022.江苏.华罗庚中学三模）若函数/（x）=,,的定义域和值域的交集为空集，则正数。

（x-2）,0<x<a

的取值范围是（）

A.（0,1]B.（0,1）

C.（1,4）D.（2,4）

3.（2022.北京.清华附中高一期末）已知函数/（x）=l-2*,g（x）=x2-4x+3,若存在实数a,b使得

〃a）=g3）,则/，的取值范围是（）

A.[2-&,2+0]B.（2-&,2+&）C.[1,3]D.（1,3）

4.（2022•全国•高三专题练习）已知则函数g*）=g/M+aR+2的值域为（）

A.1,+oojB.[2,+oo)C.(2,g)D.2,1

5.(2022•全国•高一专题练习)设不等式4'-机(4'+2，+1”0对于任意的xe[0,l]恒成立，则实数机的取值

范围是.

6.(2022•全国•高三专题练习)函数y=[£|'(xe[_l,2])的最大值为.

7.(2022•全国•高三专题练习)已知当xw(0,+co)时，不等式9X-MI-3X+帆+1>0恒成立，则实数机的取值

范围是•

8.(2022・河南・模拟预测(文))已知/。)=/,g(x)=(；)‘一根，若对VX10-1,3],3x,e[0,2],

则实数"?的取值范围是.

9.(2022•全国•高三专题练习)若函数y="，++2'+1的值域为[0,+8),则实数”的取值范围是.

10.(2022•四川•成都外国语学校高二阶段练习(文))已知函数/。)=1。&(9'+1)-履为偶函数，如有

/(-1)=/(1),/(-2)=/(2).

⑴求k的值；

(2)对任意1£01。限4],存在毛£[1,2]使得3人幻<也2一2%—7成立，求实数。的取值范围.

4

11.(2022・湖北•赤壁市车埠高级中学高一期中)已知函数f(x)是R上的奇函数，且/(》)=二士

2x+b

(1)求实数。，匕的值，并求f(x)的值域；

⑵函数g(x)满足f(x)[g(x)+2]=2、-2r,若对任意的x/,2],不等式g(2x)Zag(x)-3恒成立，求实数机

的最大值.

12.(2022•吉林・长春H^一高高一期末)定义在。上的函数y=/(x),如果满足：存在常数M>0,对任意

XGD,都有|/(x)归M成立，则称f(x)是。上的有界函数，其中“称为函数f(x)的上界.

/r11

(1)证明：在一不彳上是有界函数；

/x+1L22」

⑵若函数〃乃=1+4]3「+4”|在[-1,”)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

9/7+2x+l

13.(2022・湖北•十堰市教育科学研究院高一期末)已知函数彳:;，一.

(1)当。=6时，求方程/(x)=2*的解；

⑵若对任意xe(O,y),不等式恒成立，求”的取值范围.

1xtl

14.(2022.河南.商丘市第一高级中学高一期末)设函数〃,x)=^4―-2+2x>0.

2—1

⑴求函数“X)的值域；

(2)设函数g(x)=£-数+1,若对％3X2G[1,2],/(x)=g(w)，求正实数。的取值范围.

重点题型二：指数(型)函数的单调性

典型例题

1.(2022•全国•高一课时练习)已知函数〃x)=：.、八，满足对任意制办2,都有

Ha-2Jx+3«,x>0x,—x2

0成立，则。的取值范围是（）

313

A.。£(0,1)B.〃£[-』)C.。£(0,7]D.。£[;，2)

434

-x2+2ax-a,x<\…….

2.（2022.浙江•玉环市坎门中学高一开学考试）已知函数/（x）=r在R上单调速增，则实

2x,x>l

数”的取值范围是（）

A.B.[1,3]

C.[3,+co)D.(-a>,l]kj[3,+oo)

X:4M+2，X<L对于任意两个不相等实数g,都有

3.（2022.山东潍坊.高一期末）己知函数f（x）=

a

/。）-/（3）<0成立,则实数。的取值范围是（）

%一匕

A-（。身B-[M]。•照加

4.⑵22•天津和平•高一期末）已知心。且"1,函数满足对任意实数…，

都有‘（々）一/（%）>0成立,则“的取值范围是（）

A.（0,1）B.1，|C.|,+8）D.

5.（2022.广东•高二期末）设函数=数列｛叫满足4=/（〃），„eN*,且数列｛q｝

是递增数列，则实数。的取值范围是（）

A.（2,3）B.（1,3）C.（与,3）D.（1,2）

,1

log,x,x>-

6.（2022.上海虹口•高一期末）已知函数〜\"，若函数/（力在R上是严格减函数，则实

a]-,x<-

⑶3

数〃的取值范围是（）

A.（次,+（»）B.（0,+s）

C.[喀3）D.[啊,+8）

a\x>\

7.（2022.全国•高一期末）若函数/（%）=a是R上的增函数，则实数。的取值范围为（）

（4——）x+2,x<l

I2

A.(1,8)B.。收)

C.[2,4]D.[4,8)

8.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=f八满足对任意x曲2,都有(x/m)&/)成X2)]<0

(a-3)x+4a,x>0

成立，则a的取值范围为()

A.(0,」B.(0,1)C.匕,1)D.(0,3)

44

9.(2022•辽宁•辽阳市第一高级中学高二期末)已知定义在R上的函数/(力=1三是偶函数.

⑴求a的值；

(2)判断函数“X)在[0,+句上的单调性并证明；

⑶解不等式：/(-X2+4X-7)</(X2-X+1).

10.(2022•重庆九龙坡.高二期末)己知函数f(x)=2*+/为奇函数.

(1)求实数”的值；

(2)判断并证明了(x)在R上的单调性；

(3)若对任意feR,不等式/("-同+/(2-")>0恒成立，求实数％的取值范围.

11.(2022.河北省曲阳县第一高级中学高二期末)已知函数/(司=京彳是定义域为R的奇函数.

(1)求实数匕的值，并证明了(%)在R上单调递增；

(2)已知a>0且awl,若对于任意的4、毛41,3],都有/(%)+52"产恒成立，求实数。的取值范围.

12.(2022•湖北宜昌•高一期中)已知函数g(x)=2'—是奇函数.

⑴求实数«的值；并说明函数g(x)的单调性(不证明)；

⑵若对任意的实数欠［0,+8),不等式g«2_2f)+g(2*d)>0恒成立，求实数k的取值范围.

重点题型三：指数型函数的奇偶性

典型例题

1.(2022•甘肃酒泉•高二期末(文))已知函数f(x)=G2*二的1图象经过点(1,；

2'+1

(1)求。的值；

(2)求函数fM的定义域和值域；

(3)判断函数/(x)的奇偶性并证明.

2.(2022•河南•林州一中高一开学考试)已知定义在［-2,2］上的奇函数/(x),当xe［-2,0］时，函数解析式

为〃x)=9'+a3T(aeR).

⑴求4的值，并求出/(X)在［-2,2］上的解析式；

⑵若对任意的xw(0,2］,总有〃力2/一2，，求实数，的取值范围.

3.(2022.福建福州.高二期末)已知y=/(x)是定义在R上的奇申数，当xNO时，/(x)=3A+«(«eR).

⑴求函数〃x)在R上的解析式；

(2)若VxeR,/(1-x)+/(4-皿r)>0恒成立，求实数，"的取值范围.

4.(2022•河南•高二期末(理))已知函数是定义在R上的奇函数.

(1)求实数。的值：

⑵求不等式/(/W-2)>3的解集；

(3)若关于x的不等式/(x)>9+2恒成立，求实数k的取值范围.

5.(2022.辽宁.铁岭市清河高级中学高二阶段练习)已知定义域为R的函数/。)=微热是奇函数.

⑴求y=/(x)的解析式；

⑵若f(log2x-log,+/(I-⑼>0恒成立，求实数〃7的取值范围.

6.(2022・四川・遂宁中学高一开学考试)已知/(%)=邑妙(a>0且a*l)是R上的奇函数，且〃2)="

ax-b5

(1)求/(X)的解析式；

⑵若不等式/(32-24+〃如+2)20对》€1i恒成立，求，”的取值范围；

重点题型四：对数(型)函数的定义域

典型例题

1.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/。)=1理2(〃2-2依+1)定义域为R,则。的取值范围是(〉

A.(F0]B.(0,1)C.[0,1)D.(1，内)

2.(2022・全国•高三专题练习)已知函数=-":^的定义域为氏，则实数"的取值范围是

lg[(25)-4-5+/n]

()

A.(5,+8)B.(T»,5)C.(4,+oo)D.(—,4)

3.(2022♦全国•高三专题练习)函数/。)=/*，+2x-3)的定义域是

A.[-3,1]

B.(-3,1)

C.(-00,-3]D[l,+oo)

D.(—oo,-3)D(1,+QO)

4.（2022・全国•高三专题练习）若函数f（x）=lg[（a2-l）x2+（a+l）x+l]的定义域为R,则实数〃的取值范

围是.

5.（2022•全国•高三专题练习（理））已知函数/（幻=35^-，nr-〃z+3）的定义域为R,则实数"?的取值

范围为.

重点题型五：对数（型）函数的值域（最值）

典型例题

1.（2022・江西•景德镇一中高一期末）已知函数〃x）=log3（x2-1），g（x）=V-2x+。，对于任意王e[2,”），

存在七€1,3有/（xj±g（x2）,则实数。的取值范围是（）

A.（-oo,l]B.（-<»,2]

C.（-co,-2]D.I-00，—

2.（2022♦江西•景德镇一中高一期末）已知函数+一3'“"的值域为R,那么实数。的取

lnx,x>1

值范围是（）

A.（^o,l）B.（-oo,-l]

C.[1,4-30）D.（-00,-l]u[2,+oo）

3.（2022•四川宜宾•高一期末）若函数的最小值是1,则实数a的取值范围是（）

A.卜泡坏]B.

C.卜8,-G]D[G,+OO）D.[0,+e）

4.（2022・全国•高一期末）已知函数〃x）=y-"K："2一3，x<l的值域为R,那么实数”的取值范围是（）

A.（-oo,l）B.（-oo,-1]D[2,+OO）

C.[-bl）D.（-oo,-l]

5.（2022・全国・高一课时练习）已知函数丫=八1一“"+1①，的值域为R,则实数。的取值范围是（）

[1gx,x>10

A.S/)B.C.［JD.］川

6.(2022•河南・封丘一中高二期末(理))若函数〃x)=l°gd如?+x+2)的最大值为0,则实数。的值为

7.(2022.河南.林州一中高一开学考试)若函数＞=1呜［(54-2*-4,次+2］有最小值，则。的取值范围为

8.(2022.四川雅安.高一期末)若函数〃x)=log3X(l4x49),则函数产"(x)f+/(目的值域为

9.(2022・全国•高一期末)已知函数/(幻=,?27+“+。)，弹°的值域是七则实数a的最大值是

3-x,x＜0

10.(2022.全国•高三专题练习)已知函数/")=1。8“卜+£-4卜＞0,。H1)的值域为/?,则实数。的取值

范围是.

11.(2022.全国•高一专题练习)已知〃x)=2+log3X,xe［L9］,求尸［〃x)丁+/(/)的最大值及相应的

X.

12.(2022•辽宁•义县高级中学高二阶段练习)已知基函数/(x)=(-2/-3帆+1卜"-2为偶函数.

(1)求函数f(x)的解析式；

⑵若函数g(x)=logJ-/G:)+s:+3］的定义域为(-1,3),求函数g(x)的值域.

13.(2022♦重庆•高一期末)已知函数/(x)=lg(3-3')+lg(3-3-，).

(1)判断函数/(x)的奇偶性，并证明；

(2)设函数g(x)=，nx-2,若对任意的刍总存在内€(-1,1)使得g5)V/(xJ成立，求实数机的取值

范围.

14.（2022・全国•高一阶段练习）已知函数/（x）=log,,（—――皿+〃），其定义域为（一3,1）.

⑴求实数"?，〃的值；

（2）若函数f（x）的最小值为-1,求。的值.

15.（2022・辽宁・东港市第二中学高一开学考试）已知函数/。）=1。8“》（〃>0,。壬1）,广«）=2.

（1）求实数。的值；

⑵8（%）=噌）/停），xe8.求g（x）的最小值、最大值及对应的x的值.

16.（2022•吉林・长春市第二中学高一期末）已知函数丫=

⑴当xe[l,16]时，求该函数的值域；

（2）若（log」x+2）「og[x+：<mlog4,对于xe[4,16]恒成立，求实数〃?的取值范围.

重点题型六：对数（型）函数的单调性

典型例题

1.（2022•陕西省丹凤中学高一阶段练习）若/（》）=*-"）:是定义在R上的增函数，实数”的取

log.x+3,x>i

值范围是（）

A.[1,5]B.*5）

C.（|,5）D.（1.5）

2.（2022•江西吉安•高二阶段练习（文））已知"x\\,一是R上的增函数，则实数a的

取值范围是（）

A.{^|2<6Z<10|B.{a|lva<2}

C.{41<〃<2}D.{42<〃<10}

3.（2022•陕西长安一中高一期末）已知函数/（x）=12是（F,+OO）上的增函数，则实数〃

[logax（x>l）

的取值范围为（）

23

A.2B.C.23D.

i22''3

2mx+3m-6,x<2

4.（2022•河南驻马店•高一期末）函数/（x）=为定义在R上的单调函数，则实数，〃的取

log2x,x>2

值范围是（）

A.B.(0,1]

C.（0,+oo）D.[1,+<»）

5.（2022•全国♦高三专题练习）函数/（另=1。8.任-25）（〃>0且存1）在（4,+8）上单调递增，则。的

取值范围是（）

A.l<o<4B.l<a<8C.\<a<l2D.l<a<24

6.（2022•全国•高三专题练习（文））函数〃x）=ln（x2-2x-8）的单调递增区间是（）

A.（―oo，—2）B.（―oo，-1）

C.（L+8）D.（4,+<»）

7.（2022•黑龙江・牡丹江市第三高级中学高二期末）已知函数/㈤二28:"?一.+3。）在[2,y）上单调递减，

则〃的取值范围（）

A.（-oo,4]B.（-4,41C.[-4A]D.（-4,+8）

8.（2022.陕西.榆林市第十中学高二期中（文））函数y=log2（4+3x-f）的一个单调增区间是（）

A•1W）C.D.[|,4）

9.（2022.四川・闽中中学高二阶段练习（文））若函数"x）=ln（x2-or-l）在区间（l,+o>）上是单调增函数,

则实数«的取值范围是

10.（2022・河南信阳•高一期末）已知函数/（x）=10g〃（4-or）（。＞0,且力1）.

（1）求函数/（X）的定义域；

'3'

（2）是否存在实数“，使函数f（x）在区间1,-上单调递减，并且最大值为1?若存在，求出〃的值；若不存

在，请说明理由.

11.（2022・全国・高一）已知函数/（xQlogi，-侬一加）.

2

（1）若m=1,求函数f（冗）的定义域；

⑵若函数/（X）在区间（-8,1-0）上是增函数，求实数加的取值范围.

12.（2022•四川成都♦高一开学考试）已知偶函数/（x）=ln（a+bx—V）（其中。＞0）,且满足f（l）=ln3.

（1）求f（x）的解析式，并指出其在定义域内的单调性（不需要证明）；

⑵解关于x的不等式

13.（2022•湖南•高一期末）已知函数〃x）=log3（x-3）-log3（5-x）.

⑴用定义证明〃x）是（3,5）上的增函数；

（2）求不等式/（2x+1）＞0的解集.

重点题型七：对数(型)函数的奇偶性

典型例题

1.(2022•全国•高一专题练习)已知函数〃x)=“+g.

(1)求/(x)的定义域；

(2)讨论/(x)的奇偶性.

2.(2022・湖南・株洲二中高一期末)已知函数/(x)=log4(4、+l)-],XGR.

(1)试判断〃x)在其定义域上是否具有奇偶性，若有，请加以证明；

⑵若函数人(幻=/(-》)-；1。82卜21+击+。)在尺上只有一个零点，求实数〃的取值范围.

3.(2022•江苏南通•高二期末)已知函数/(x)=lg(l+x)+Hg(l-x).从下面两个条件中选择一个求出A,

并解不等式/(x)<T

①函数/(X)是偶函数；②函数/(X)是奇函数.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

4.(2022・江苏・宿迁中学高二期末)已知函数/(x)=log2(4'+l)+丘为偶函数.

⑴求实数%的值；

(2)解关于m的不等式/(/»+1)>/(2Z77-1)；

⑶设g(x)=log2(a-2'-；a)(aH0),函数/⑴与g(x)图象有2个公共点，求实数〃的取值范围.

5.(2022•河北武强中学高二期末)已知函数/(x)=bgi；7r为奇函数.

(1)求常数k的值：

(2)当%>1时，判断〃x)的单调性,并用定义给出证明;

(3)若函数g(x)=/(©-(；)+m,且g(x)在区间13,4]上没有零点，求实数机的取值范围.

2—〃丫

6.(2022•甘肃定西♦高一阶段练习)已知函数/(x)=bg3的图象关于原点对称.

X—2

⑴求4的值；

⑵当xe[3,5]时，”x)<log3(x+2k)恒成立，求实数右的取值范围.

7.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=log4(4'+l)-gx,xeR

⑴证明：为偶函数；

⑵若函数g(x)=4"*+"2'-l，-ve[0Uog23],是否存在加，使g(x)最小值为0.若存在，求出，〃的值;

若不存在，说明理由.

8.(2022嚏国•高三专题练习)已知函数”外=111卜2+依+1).

⑴若f(x)为偶函数，求“；

⑵若命题“玉〃力20"为假命题，求实数。的取值范围.

9.(2022•四川自贡♦高一期末)已知函数/")=嚏4(4*+1)-5与83=1084(分2--9。

⑴判断的奇偶性;

⑵若函数尸(x)=〃x)-g(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

拓展一：指数函数+对数函数综合应用（定

义域+值域+奇偶性+单调性）（精讲）

目录

重点题型一：指数（型）函数的值域（最值）

重点题型二：指数（型）函数的单调性

重点题型三：指数型函数的奇偶性

重点题型四：对数（型）函数的定义域

重点题型五：对数（型）函数的值域（最值）

重点题型六：对数（型）函数的单调性

重点题型七：对数（型）函数的奇偶性

重点题型一：指数（型）函数的值域（最值）

典型例题

1.（2023•全国•高三专题练习）定义：设函数/（x）的定义域为。，如果[加,〃仁。，使得“X）

在上的值域为[阳,〃],则称函数“X）在加,〃]上为“等域函数”，若定义域为^e2的

函数g（x）=。*（。>0,awl）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则。的取值范围为

()

【答案】C

当Ovavl时，函数8（力=优在g,e2上为减函数,

若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，

■]J（m

则存在机，ne-,e2（/»<«）使得｛a“=n,

_eJ[tz=m

fm\na=Inn

所以1.，消去ln〃，得wlnm=mn〃，

nlna=In/??

令2(x)=xlnx,则Z'(x)=lnx+1,

当xe1,e2时:k(x)“，所以刈力在\e2上是单调增函数，

所以符合条件的机，〃不存在.

当。>1时，函数g(x)="在上为增函数，

若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，

~r12I「1.

则存在加，〃£一。{m<n)使得。切=m，a"=n，即方程优=x在一,e*■上有两个不

ee

等实根，

即In〃=匣在［Le］上有两个不等实根，

设函数〃(x)=W(^<x<e2),则厅(力上慧，

当一4x<e时，〃(x)>0；当ecxSe?时，〃(x)<0,

所以〃(x)在%e)上单调递增，在［看］上单调递减，

所以"(x)在X=e处取得极大值，也是最大值，

所以MxLx="(e)=g，又'［£|=-e，/代)=|"，

故/Mlnacg,BP<a<e;,

故选：C.

'2v+3,x<0

2.(2022•江苏・华罗庚中学三模)若函数f(x)=,、，的定义域和值域的交集

(X-2)',0<x<a

为空集，则正数”的取值范围是()

A.(0,1］B.(0,1)

C.(1,4)D.(2,4)

【答案】B

,、2*+3,x40

解：因为〃x)=L途，所以“X)的定义域为(一句，a>0,

\x-2),Q<x<a

当x40时〃x)=2'+3,则在(田,0］上单调递增,所以/(x)«3,4卜

要使定义域和值域的交集为空集，显然0<“V3,

当0<x4a时/(x)=(x-2)~,

若2则/(2)=0,此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，

若0<a<2时在(0,4上单调递减，此时“x)e[(a-2)2,4),

则/(x)e[(a—2)2,4)」(3,4],

所以卜<5-2),解得即a«O,l)

[0<a<2''

故选：B

3.(2022.北京•清华附中高一期末)已知函数/(x)=l-2*,g(x)=/-4x+3,若存在实数

a,匕使得/(a)=gS),则人的取值范围是()

A.[2-72,2+72]B.(2-&,2+夜)C.U,3]D.(1,3)

【答案】B

因函数y=2,的值域是(0,+oo),于是得函数/(x)=1-2"的值域是(-8,1),

因存在实数"，吏得/(a)=gS),则g(6)=/(a)e(Yo』)，

因此，b2-4h+3<l,解得2-应<〃<2+应，

所以匕的取值范围是(2-&,2+应).

故选：B

4.(2022・全国•高三专题练习)已知则函数8。)=3户+/+2的值域为()

A.—,+°°^B.[2,+oo)C.^2,-1D.2,—

【答案】A

函数8。)=3"加+小+2是R上偶函数，因”>1,即函数y=优在R上单调递增，

ffijxeR,1x^0,令心=/,则壮1,因此，原函数化为：y=；/+f+2,

I17

2

显然丫=//+/+2在，€口,+00)上单调递增，则当[=1时，ymi„--xl+l+2--,

I7

所以函数g(x)=$a2M+，+2的值域为[不,+8).

故选：A

5.(2022全国•高一专题练习)设不等式4，-m(4'+2"+1)20对于任意的xe[0/恒成立,

则实数机的取值范围是.

【答案】(fg

解:由4，-M(4"+2，+1)20,得%(4*+2*+1)，4",

4X1

in<-------------

n即n4'+2*+1~iT,

1+—+—

2X4工

•.亍eP1,

则G?3'

1

,BPme—00,—

3

1

故答案为:f'I

6.（2022・全国•高三专题练习）函数y=（£）”"的最大值为

【答案】8

设r=-x2+1»

因为xe[-l,2].

所以当x=0时，/有最大俏

当*=2时,t有最小值-3,

即-34V1,

所以;4（；）’48，即y的取值范围是；，8,

所以函数的最大值为8,

故答案为：8.

7.（2022・全国•高三专题练习）已知当xe（O,K）时，不等式9x—，w3x+，〃+1>0恒成立,

则实数，〃的取值范围是

【答案】（《，2+2&）

令3x=f,当x«0,+=o)时，/G(1,+OO),则/⑺=F—"〃+"?+1>。在fe(l,+oo)上恒成立,

即函数在m）的图象在x轴的上方，而判别式A=（-/n）2-4（机+1）=1-4〃L4,

A>0

故△=m2—4/n—4<0或，-<1，解得/n<2+2亚.

2

/⑴=1-"7+机+1N0

故答案为：（-8,2+20）.

8.(2022・河南•模拟预测(文)汨知Ax)=x2,g(x)=(，-加，若对％e[-1,3],叫€[0,2],

/(西)学8(士)，则实数"，的取值范围是.

【答案】

因为对VX|€[-1，3],3X2e[0,2],f(x,)^g(x2),

所以只需〃X)msNg(X)mM即可，

因为f(x)=x2,g(x)=(g)*-m,

所以/(©Zn=f(°)=。，g(X)min=g(2)=：-机，

由0,一加，

4

解得T

4

故答案为：。，+°°).

4

9.(2022•全国•高三专题练习)若函数y=54,+a2+1的值域为[0,+8),则实数a的取

值范围是.

【答案】(-8,-2J

设g(x)=4，+a2+l,

若函数y=J4，+G2，+1的值域为[0,+8),

则等价于[0,+8)是g(X)值域的子集，

g(x)=4x+a-2x+l=(2x)2+a-2x+l,

设，=2",则/>0,

则y-/«(<)=t2+at+1,

h(0)=l>0,

，当对称轴”-名,o,即a..O时，不满足条件.

当，=一]>。，即a<0时，则判别式△=/一4..0,

[a<Q,

即冏寸…则4,-2,

(a厘或a-2

即实数。的取值范围是(V,-21.

故答案为：(一，-21

10.(2022・四川・成都外国语学校高二阶段练习(文))已知函数/(x)=log3(9、+D-辰为偶

函数，如有f(T)=/(l)J(-2)=/(2).

(1)求k的值；

(2)对任意x[0,log、41,存在％e[1,2]使得3""<ar。?一2%-7成立，求实数a的取值范围.

e4

9

【答案】⑴%=1(2)。>:

4

⑴因为函数/*)为偶函数，所以/(X)=f(T),

x

/(-x)=log3(9~+1)+6=log3(9*+1)-6=/(x)=>-2x+kx=-kx=左=1,

即攵的值为1.

qx11

⑵由(1)知，f{x}=log3(9'+1)-x=log3—^―,

Z,X,

因为对任意Xe[0,log34],存在/e[1,2]使得3<—2%成立，

3(Qx4-1A1

所以就一2%—了>[3"力小=--,设r=3*,g⑺=3〃*)=f+L

4I3兀t

x€[0,log34],/.re[1,4],所以根据对勾函数的性质可得gQ)在口,4]上单调递增，

117

即g«)max=^(4)=4+-=—,

Q172x+5

所以也2-2%-9>3在x°€[l,2]上有解，即在x°e[l,2]上有解.

44%

即a>(2%：5

1m1n,

设/?(%)=典3=29]+5伍],因为，另』],所以人小)值域为吟

x

尤oIXoy\oJ'。L4-

9

9即>

所以"（%"„=工，4-

11.（2022.湖北•赤壁市车埠高级中学高一期中）已知函数Ax）是R上的奇函数，且

/(x)=

2x+b

（1）求实数。，匕的值，并求Ax）的值域;

(2)函数g(x)满足/(x)[g(x)+2]=2,-2T,若对任意的xe[1,2],不等式g(2x)>mg(x)-3恒

成立，求实数加的最大值.

【答案】（1）。=一1,匕=1,值域为（-覃）；（2片29.

⑴解：由“X）是/?上的奇函数，那么/（o）=W1=o,则a=—l.

由"-x）=-"x）可得，什/7一*_£1=-看_1，解得6=1，

所以〃x)=W|=l-Wr，又高以°'2)，则/(x)e(T，l)，

4IX/iXJ'工

所以〃X)的值域为(-1,1).

2x-2-

(2)解：XHO时,/(x)*O,所以g(x)=

由g(2r)N/ng(x)-3得:

22t+2-2x>w(2A+2-'j-3,

即小—一空辽!

-2X+2-X2"+2一”

即"4(2'+2一")+汨9在xe[1,2]匕恒成立.

令/?(x)=x+LV%,%w(L+oo),且与<w，

//(x1)-/i(x2)

'1、(1、

=X|4---X,+—

IXjl~X2)

'/1<X(<x2,

Xj-^2<0,x[x2—1>0,x1x2>0,

.•・-//优)<0,即人(西)</1(£),

・・・〃(力在(1,80)单调递增.

当X£[L2]时，2yz4],

所以/7(2')=2'+2-，,h[2')e|,?,

"517"!「S17-

令f=2,+2-*,贝打右,〃⑺在单调递增.

24''24

因此相《记，

所以〃，的最大值为名29.

12.(2022.吉林・长春H^一高高一期末)定义在。上的函数y=/(x),如果满足：存在常数

M>0,对任意xeO,都有成立，则称〃x)是。上的有界函数，其中M称为

函数F(x)的上界.

⑴证明：/(%)=—・在-不彳上是有界函数；

X+1\_22_

⑵若函数〃x)=l+“W'+4TT在［T田)上是以3为上界的有界函数，求实数。的取值

范围.

【答案】(1)证明见解析(2)［-5』

⑴解：/。)=」7=1—-二,贝疗(x)在上是严格增函数，

故“一》4/。)</(｝，即-l</(x)<1,

故"(龙)区1,故“X)是有界函数；

(2)因为〃x)=l+a［£|''+41在h1，+8)上是以3为上界的有界函数，

所以-341+a(g)+4-143在［―1，+8)上恒成立，

令则

所以—341+a1+/43在止(0J时恒成立，

2

a<——t

所以‘，，在时恒成立，

4

a>-(t+—)

It

函数y=：2—r在fe(O/］上严格递减，所以2

函数y=_«+：)在fe(0,l］上严格递增，所以一［+-5,;.aZ_5.

所以实数a的取值范围是卜5』.

13.(2022.湖北.十堰市教育科学研究院高一期末)已知函数〃到=彳：；二.

(1)当a=6时，求方程/(力=2’的解；

(2)若对任意xe(O,+w),不等式“x)2a恒成立，求。的取值范围.

【答案】⑴2

(2)(-co,2]