湖南省长沙市2024届新高考适应性考试数学试卷(附答案)

湖南省长沙市2024届新高考适应性考试试卷

数学

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无

效.

3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合/={x|x<l},N={X,2<I),则(

A.M=NB.MjNC.ND.MC\N=0

2.复数z=—L在复平面内对应的点位于（）

2-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若抛物线/=⑪的焦点坐标为。刀），则实数a的值为（）

A.-2B.2C.-4D.4

4.下图是函数歹=么5由（。%+夕）的部分图象，则该函数的答案解析式可以是（）

1n

B.y=2sin—x----

23

D.j=2sinf2x-y

5.己知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中,

搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是（)

39513

A.-B.—C.一D.—

820820

6.若tan2a+4tan]a+?J=0,则sin2a=()

7.已知直线y=a与函数/（x）=e\g（x）=Inx的图象分别相交于A,B两点.设勺为曲线歹=/（x）在点A

处切线的斜率，左2为曲线＞=g（x）在点5处切线的斜率，则左色的最大值为（）

1C

A.-B.lC.eD.ec

e

8.在平面四边形48C。中，E,R分别为ZD,8C的中点.若48=2,CD=3,且丽•方=4,贝”而

()

A.姮VnV42

B.------C.------

222

二、选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列函数中，是奇函数的是（

n32c11+X

B.y=x一XC.y=tan2xDj=l°g2=

10.某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离

为4,远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线

上，则（）

A.轨道的焦距为4+4B.轨道的离心率为生且

d?+4

D.当攻越大时，轨道越扁

d2

11.在正方体/BCD-中，点p为线段上的动点，直线加为平面4。尸与平面Be尸的交线，则

A

A.存在点F,使得BB]〃面4£>尸

B.存在点？，使得8『，面ZQ尸

C.当点尸不是8。的中点时，都有机〃面4片。£（

D.当点尸不是5。的中点时，都有机，面46。

12.设等比数列｛%,｝的公比为q,前〃项积为北，下列说法正确的是（）

A.若Tg=Ti2,则须知=1

B.若n=Tn,则％°=1

10

C.若q=1024,且加为数列｛4｝的唯一最大项，则<q<\

D.若q〉0,且7；o〉L〉7；,则使得7；〉1成立的〃的最大值为20

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X的分布列如下：

X123

P0.10.70.2

则数学期望£（'）=.

14.已知函数/（x）是定义在R上的增函数，且〃2）=1,则不等式/⑴〉5-2x的解集为.

15.已知/（4,1）,8（2,2）,。（0,3）,若在圆x2+/=r2（r>0）上存在点？满足+|尸8「+|PC『=13,

则实数外的取值范围是.

16.已知正四棱锥尸-4BCQ的顶点均在球。的表面上.若正四棱锥的体积为1,则球。体积的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）已知数列｛4｝满足4+1—3%=2〃—1,且q=l.

⑴证明：数列｛a,+〃｝是等比数列：

（2）求数列｛%｝的前〃项和J.

18.（本题满分12分）如图1,在矩形A8CQ中，48=2,BC=2退,将△45。沿矩形的对角线8。进

行翻折，得到如图2所示的三棱锥/-38.

图1

(1)当48,时，求/C的长;

(2)当平面48。，平面BCD时，求平面和平面48的夹角的余弦值.

19.(本题满分12分)某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本

测试数据，制作了如下列联表：

产品优质品非优质品

更新前2416

更新后4812

(1)依据小概率值a=0.050的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率？

(2)如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设备更新后的生产

线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高

了优质率；否则认为设备更新失败.

①求经核查认定设备更新失败的概率p；

②根据p的大小解释核查方案是否合理.

n(ad-be}

附：/

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

p(/冷)0.0500.0100.001

%3.8416.63510.828

20.(本题满分12分)在△48C中，角B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足

sinS+sinC=2sinAcosB.

(1)证明：a2-b2=bc；

(2)如图，点。在线段48的延长线上，且14sl=3,忸必=1,当点。运动时，探究|CD|-|C4|是否为定

值？

ABD

21.（本题满分12分）已知函数/（x）=axlnx-x2+1.

（1）若/（x）有且仅有一个零点，求实数。的取值范围：

（2）证明：（ln2）2+[lnT]+^ln|^+…+[ln3]<1.

22.（本题满分12分）已知双曲线V—q=1与直线/：y=kx+m（4）有唯一的公共点尸，直线/

与双曲线的两条渐近线分别交于M,N两点，其中点"，尸在第一象限.

（1）探求参数左，加满足的关系式；

（2）若。为坐标原点，尸为双曲线的左焦点，证明：ZMFP=ZNFO.

参考答案

题号123456789101112

答案CBDCDAABACDBCACDBCD

224

5.答案解析若从甲盒中抽到黄球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为a=—x—=—；

15420

339

若从甲盒中抽到红球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为p,=-x-=—.

25420

4913

因此，从乙盒中抽到的红球的概率为0+p,=—+—=—.

12202020

6.答案解析由已知得2tan：+40+ta/a)=0,即2tan2。+5tana+2=0(tanow±l),

1-tana1-tana

…5，一.32sinacosa2tana4

则1+tan2a=——tana.从而sin2a=——-----------=---------=——.

2sina+cosa1+tana5

7.答案解析易知e*，=lnx8=Q,且aw(0,+oo).由/=g'(x)=L

可得尢=e""=Q,k———二—，则kk=—.

12%e。1}2ea

设〃(x)=2,则l(x)=二,可得〃(x)在(0,1)单调递增,

ee

在(1,+00)单调递减，有/z(x)max=〃(1)=L即左/2的最大值为L

8.答案解析如图，可知而=|■(丽+可=2户+砌+(前+反)=g(方+反｝

邱孚

a-c-d4+心心一4

10.答案解析由《x，解得Q二」——之，C二，——1

a-\-c=d222

则轨道的焦距为4-4,离心率为二=上外，轨道的短轴长为25力一,2=2向%.

a由+4

1.4

又三4=夕=_1+=,则或越大时，离心率越小，则轨道越圆.

"2+4I+£L1+4”2

d2d2

11.答案解析当点尸与。1点重合时，由BBJ/DDi，可知5片〃面4。尸，即A正确.

若8]尸，面AXDP,则BXP1AXD,可得BF±BXC,即△尸51c为直角三角形,且PC为斜边.易知BXP=PC,

与之矛盾，即B错误.

当？不是BA的中点时，由4。〃用。，可知4。〃面gCP,又直线加为面4。尸与面51cp的交线，则

AxDHm.从而，可得掰〃面AXBXCD,即C正确.

同上，有4。〃机，而4。_L面,则加，面4BD],即D正确.

12.答案解析若£=几，则2=。9%0%4]2=1,可得%0a11=±1,即选项A错误;

而品=axa2…％9a20=(%0%)°=L即选项B正确.

若q=1024,且几是数列｛1｝的唯一最大项.当9<0时，&<0,不合题意;

10

T\q>Tg10>1<q<g，即选项c正确.

当q>0时，由<j01，可得，即1,解得

Zo>1024夕10<1

若7]o〉1i〉“，当q<0时，7^>0,7]0<0,满足1o<4，不合题意;

Io>.

当9>0时，由<（0>与，可得知<1,10>1,60%1〉1,则%0=%。2…。20=（%0。11）>1，

Z1>19

%1=。血2…。21=（。11广<1，…，（〃210时，数列｛1｝单调递减），即选项D正确.

13.【答案】2.1

14.【答案】（2+8）

15.【答案】[2A/2-1,2A/2+1]

答案解析设尸（XJ）,将坐标代入式子|PZ『+|P8「+|pq2=13,可得x2+「_4x_4y+7=0,

即（x—2『+"—2）2=1,则点尸的轨迹是以（2,2）为圆心，1为半径的圆.

依题意，两圆有公共点，贝帅-1归2&Wr+1,解得2啦-1W20+1.

27

16.【答案】—7V

16

答案解析设球。的半径为火，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为“，r.

如图，球心在正四棱锥内时，由。0；+QB?=OB?,可得（/z—=氏2,

即〃2—2火〃+/=o（*）.

球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.

-I272

又正四棱锥的体积为—（2/）/z=l,则/=_,代入（*）式可得氏=」+二.

3',2h24/z2

通过对关于〃的函数R仅）求导，即R（/z）=5-算，可得函数及（人）在（0,班）单调递减，

在（班,+00）单调递增，则=R（g）=jg.从而，球O的体积的最小值万.

17.（本题满分10分）

答案解析⑴由二+(〃+1)=3%+21+(〃+1)=区5=3,

a„+n%+〃a„+n

可知数列｛%,+〃｝是以%+1=2为首项，3为公比的等比数列.

(2)由(1)可知，%+〃=2・3"T,贝ij%=2・3"T—

从而=(2x3°-l)+(2x31-2)+---+(2x3n-1-/7)=2(30+31+---+3n-1)-(l+2+---+«)

_20-3")(\+n)n_(1+〃)〃

-------------------------3----------------------1.

1-322

18.（本题满分12分）

答案解析（1）由48LCD,BCLCD,且45n可得8,平面48C,则

在RtaNCZ)中，根据勾股定理，AC7AD?-CD?=-22=2A/2..

(2)如图，过4点作/。_1AD于点。，易知2。=百.

由平面48£)_L平面8c。，可知/。J_平面5cZ).

在平面3c。中，过。点作8。的垂线为x轴，以。为坐标原点，BD,NO所在直线分别为z轴,

建立空间直角坐标系，则Z(0,0,G),5(0,-1,0),C(V3,2,0),0(0,3,0),

有益=(0,—1,—G),前=(53,0),CD=(-V3,l,0),2D=(0,3,-V3).

设平面Z5C的法向量加=a/i，zj,贝叶_____.L.11,

m-BC=y]3xx+3%=0

令4=1,解得其中一个法向量加二(3,-JJ,l)；

-/、n-CD=-V3X+%=0

设平面4C。的法向量〃=(%2/2，Z2)，贝M____,9厂，

n•AD=3%-\/3Z2=0

令马=1，解得其中一个法向量】=(1,6,3).

/---\m-n33

从而cos(m,n)=1II=i———-j==—，

\/V13xVi313

3

即平面ABC和平面ACD夹角的余弦值为—.

13

19.(本题满分12分)

答案解析(1)零假设为8°：设备更新与产品的优质率独立，即设备更新前与更新后的产品优质率没有差

异.

由列联表可计算力ZnlOOxC4xl2-48*16)”4.762〉3.841,依据小概率值a=0.05的独立性检验，

40x60x72x28

我们可以推断笈。不成立，因此可以认为设备更新后能够提高产品优质率.

(2)根据题意，设备更新后的优质率为0.8.可以认为从生产线中抽出的5件产品是否优质是相互独立的.

①设X表示这5件产品中优质品的件数，则X〜8(5,0.8),可得

7?=P(X<2)=Cfx0.25+C；x0.8x0.24+C；x0.82x0.23=0.05792.

②实际上设备更新后提高了优质率.当这5件产品中的优质品件数不超过2件时，认为更新失败，此时作出了

错误的判断，由于作出错误判断的概率很小，则核查方案是合理的.

20.(本题满分12分)

证明(1)由sinB+sinC=2sinZcos5,可得b+c=2〃COSJB,

〃22_h2

则b+c=2a--------------,整理得"=必

2ac

(2)cosZABC+cosZCBD=0,结合余弦定理可得“十"——打+"+忸R——必=0,

2ac2a]BD\

即4a2—/+12—31c叶=o,贝|]=|«2-162+4=|(Z?2+3Z))-1z)2+4=Z)2+46+4=(Z)+2)2,

从而|卬=6+2,故|。卜|。|=2为定值.

21.(本题满分12分)

答案解析(1)易知函数/(x)的定义域为(0,+s).由/(x)=0,可得alnx—x+」=0.

JC

'门/\1Ir【/1\八./\CLI-+CIX-I

设8⑴=alnx—x+—,则g⑴=0,g(x)=——I——五=------耳-------，

xxxx

且g(x)与/(X)有相同的零点个数.

思路I：令/(X)=-、2+QX—1,X>0,则A二。2-4.

当一2«Q«2时，A<0,则0(x)V0,即g'(x)V0,可得g(x)在(0,+oo)单调递减，

则g(x)有且仅有一个零点.

当。<-2时，显然9(%)<0,则g'(x)<0,可得g(x)在(0,+8)单调递减，则g(x)有且仅有一个零点.

当a〉2时，由/(x)=0,解得再二^--1——士，%2=♦+；——'，M0<%!<I<x2.

当不武国,马)时，9(%)>0,即g'(x)>。，则g(x)单调递增；

当了£(%2，+8)时，即g'(X)<0,则g(x)单调递减.

2

不难得知g(x2)>g(l)=0,g(4/)=々Ind/+—^--4tz<2abi2a-4a?+2a=2a(ln2a—2a+l)<0,

则g(X)在(%2，+8)有一个零点，可知g(x)不只一个零点，不合题意.

综上，可知〃£(一00,2].

思路2：令夕卜)=一'2+QX—1,x>0.

当Q40时，/(X)在(0,+oo)单调递减，有9(%)<0(0)=-1,即g'(x)<0,

可得g(%)在(。,+8)单调递减,则g(x)有且仅有一个零点.

当时，9(x)max=g[f]="-L

若QV2,0(X)V0,则g，(x)WO,可得g(x)在(0,+8)单调递减,则g(x)有且仅有一个零点.

若a>2,存在再，x2GR,且0<再<1<%2，使得/(%1)=0(％2)=°•后续过程同思路1•

综上，可知〃£(一00,2].

(2)取。=2,当x〉l时，f(x)<0,有0<21nx<x——，

x

即OvlnYvx—L贝此In-f</+±—2.

人2女+11C口/1左+1丫左+1k。口/［左+1丫11

x—-----，左7=1,2,，贝!JIn-----<-----1-------2,即In----<--------

k{kJkk+\<k)kk+\

22

从而(n2)2+(ln|)77+11111111

+IH---1-In<1-1--—<1.

n22334n72+1n+1

22.(本题满分12分)

y=kx+m

(1)联立方程|,2

答案解析v整理得(3—r)》2—26x—(掰2+3)=O(*).

“2Z_I

由左w土JL且？是双曲线与直线/的唯一公共点，可得A=(-2后〃y+4(3-左2)(小2+3)=0,

则左2—掰2=3,即为参数左，加满足的关系式.

结合图象，由点？在第一象限，可知左〉百，且加＜0.(若考生没有给出左，加的范围，不扣分)

(2)易知，双曲线的左焦点厂(-2,0),渐近线为_)；=±6》.

y=kx+m

联立方程《

y=V3x

y=kx+m

联立方程1厂

y=_j3x

结合左2—掰2=3,(*)式可变形为掰2/+2方次+左2=o,解得》=—幺，可得pI•