2024-2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何本章总结提升课件新人教A版选择性必修第一册

第一章本章总结提升知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一空间向量的概念及运算1.空间向量可以看作平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加法的三角形法则和平行四边形法则,减法的几何意义,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式,等等;向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础.2.向量的运算过程较为繁杂,要注意几何问题的向量表示以及向量的规范运算,提升逻辑推理、数学运算素养.【例1】

(多选题)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD

是边长为1的正方形,S到A,B,C,D的距离都等于2.下列选项中正确的是(

)CD规律方法

空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件(1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的.(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面.特别地,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使变式训练1在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足则P点坐标为(

)A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0,-3)C专题二利用空间向量证明位置关系1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直;判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量、向量的共线和垂直进行证明.2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系,可以培养逻辑推理和数学运算素养.【例2】

在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.(1)求证:BM∥平面PAD.(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存在,确定点N的位置;若不存在,说明理由.(1)证明

以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1),规律方法

利用空间向量证明或求解立体几何问题时,首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为坐标运算,再借助于向量的有关性质求证(解).变式训练2在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1)求证:AC⊥BC1;(2)请说明在AB上是否存在点E,使得AC1∥平面CEB1.(1)证明

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).专题三利用空间向量计算距离空间距离的计算思路(2)设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到平面α的距离为(如图).【例3】

在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.解

如图所示,以AD的中点O为原点,以OD,OC所在直线为x轴、y轴,过O作OM⊥平面ACD交AB于点M,以直线OM为z轴建立空间直角坐标系,规律方法

利用向量法求点面距,只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量,代入公式求解即可.变式训练3B解析

以点A为原点,分别以直线AB,AD,AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图,易知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),则向量专题四利用空间向量求空间角空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2,则l1与l2的夹角θ满足cosθ=|cos<m1,m2>|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m,n,则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ=|cos<m,n>|.(3)设n1,n2分别是两个平面α,β的法向量,则两平面α,β的夹角θ满足cosθ=|cos<n1,n2>|.【例4】

如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC夹角的余弦值.(1)证明

如图,取AE的中点H,连接HG,HD,因为G是BE的中点,所以GH∥AB,且GH=AB.又F是CD的中点,所以DF=CD.由四边形ABCD是矩形,得AB∥CD,AB=CD,所以GH∥DF,且GH=DF,从而四边形HGFD是平行四边形,所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,所以GF∥平面ADE.(2)解

如图,在平面BEC内,过B点作BQ∥EC.因为BE⊥CE,所以BQ⊥BE.又因为AB⊥平面BEC,所以AB⊥BE,AB⊥BQ.以B为原点,分别以BE,BQ,BA所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因为AB⊥平面BEC,所以

=(0,0,2)为平面BEC的法向量.设n=(x,y