隐零点问题-2024年高考数学重难点攻略含答案

隐零点问题-2024年高考数学重难点攻略

傀黎立冏题

导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，既能确定其存在，但又无法用显

性的代数进行表达.这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条

件解决问题.

【知识导图】

考点一：不含参函数的隐零点问题

考点二:含参函数的隐零点问题

【考点分析】

考点一:不含参函数的隐零点问题

规律方法已知不含参函数/（,）,导函数方程r3）=o的根存在，却无法求出，利用零点存在定理，判断零

点存在，设方程r（，）=0的根为割，则①有关系式r（g）=0成立，②注意确定g的合适范围.

［^^3X0（2023春•新疆乌鲁木齐•高三校考阶段练习）已知函数/（2）=ccosc—sin/，xG［。培］

（1）求证：/（JC）W0；

（2）若aV卓生V&对。C（0，方）恒成立，求a的最大值与b的最小值.

遒目］与（2023秋・江苏镇江•高三统考开学考试）已知函数/（为=ln;r—zef+?（e为自然对数的底数）.

（1）求函数/（为在c=1处的切线方程；

（2）若/（2）+x---1>ae-"+lnc恒成立，求证:实数a<—1.

X

〔题目回(2024•河北邢台•高三统考期末)己知函数/(2)=Sint+/.证明：f⑸>—磊.

题目同已知函数/(2)=e"-"—Inrc+2,当aW0时，证明:/(x)>x+2.

考点二:含参函数的隐零点问题

规律方法已知含参函数/(土，a),其中a为参数，导函数方程r(c,a)=0的根存在，却无法求出，设方程

f(⑼=0的根为g,则①有关系式广(x0)=0成立，该关系式给出了g,a的关系；②注意确定g的合适范

围，往往和Q的范围有关.

趣亘H(2022上•河南洛阳•南三新安县第一商it中学校考开学考试)⑴证明不等式：-2>1强(第一问必须

用隐零点解决，否则不给分)；

⑵已知函数/Q)=(，—2)e"+aQ—Ip有两个零点.求a的取值范围.(第二问必须用分段讨论解决，否则

不给分)

•••

［题目⑶(2023秋•北京•南三统考开学考试)己知函数/(.)=ax—二华，曲线夕=/3)在(OJ(O))的切线为y

e

——x+1.

⑴求a,6的值；

(2)求证:函数在区间(l,+oo)上单调递增；

(3)求函数/Q)的零点个数,并说明理由.

［题目⑶(2023秋•河北张家口•方三统才开学考试)已知f(x)=aex,g(x)=In“*.

⑴当a=1时，证明：->g(力)+1；

(2)若V16(—l,+oo),J(x)>g(劣)+1恒成立，求Q的取值范围.

题目⑷（枕尖覆基纸JL2024居高三下学期二月联合考试）已知函数/（力）=ln（/+1）—mx,g（x）=cosmx

—1,其中m6R.

（1）若m=1,九（力）=/（力）+g（力）+1,求证：h{x}在定义域内有两个不同的零点；

（2）若/（/）+。（劣）&0恒成立，求恒的值.

逊晅（2024•吉林长春•东北弹大府中校联考模拟fit测）已知/（/）=Qe—-2趾。（其中e=2.71828…为自然

对数的底数）,V劣eRJ（x）+!W0,求实数a的取值范围.

•••

【强化训练】

【题目』已知函数〃2）=e。—遍―,.当a>〃时，求证了（,）在（0,+oo）上存在极值点如且/（g）

逊口（广东篇2024届方三上学期元月期末11一调研测认数学试卷）若函数/（工）在［a,b］上有定义，且对

于任意不同的61,劣26［a,b于都有|/（判）一/（力2）|〈对力1一力21，则称/（/）为［a,fe］上的“k类函数”.若f（N）=

x

a（x-l）e-^—xlnx为［l,e］上的“2类函数”，求实数a的取值范围；

题目日已知函数/(力)=Q。一eloga力一e,其中Q>1.讨论/(力)的极值点的个数.

题国口(2024•陕西安康•安康中学校联考模拟琅凋)已知函数/(0=/ln%-ER).当/>1时，不等

式/(力)+Ina?+3>0恒成立，求整数m的最大值.

蜃1］回(2023・湖北黄冈•黄冈中学校考三模)已知函数/(⑹=/sin/+cos力+Q力1g(N)=xln-.

(1)当Q=0时，求函数/(力)在［―7U,7U］上的极值；

(2)用max{m,n}表示m,n中的最大值，记函数九(C)=max{/Q),g(/)}(/>0),讨论函数九(/)在

(0,+oo)上的零点个数.

遒用］R（2023秋•浙江•高三浙江省春醉中学校联考除我练习）己知函数/⑺=ae-eQ—I）?有两个极值点

x1,x2（x1<T2）.其中a€R,e为自然对数的底数.

（1）求实数a的取值范围；

（2）若e力i+（e—2）力2+2（1—e）>/!（力「1）（力2—1）恒成立，求义的取值范围.

（2023秋•湖南永州•高三校联考开学考试）已知函数/（力）=x2—mxlnx+1,mGR且mW0.

（1）当?n=1时，求曲线g=/（力）在点（1,/（1））处的切线方程；

（2）若关于z的不等式/（,）>|■，恒成立，其中e是自然对数的底数,求实数m的取值范围.

•••

[Ha（2023秋•辽宁沈阳通三沈超市第一二O中学校考阶段练习）已知函数/㈤=2/+3（1+M）±2

+6mrc（T6R）.

（1）讨论函数/（力）的单调性；

（2）若/（一1）=1,函数g（/）=a（lnN+1）—'（：）40在（1,+8）上恒成立,求整数。的最大值.

x2

〔题目|9）（2023秋•陕西西安・方三校联考开学考试）已知函数/（%）=In力—二+（力—2）e"-m,mGZ.

（1）当？n=1时,求曲线g=/（劣）在点（1,/（1））处的切线方程；

（2）若关于力的不等式V0在（0,1]上恒成立,求m的最小值.

dUJo]（2023春•江西萍乡•高二萍乡市安源中学校考期末）己知函数/（2）=Ina;—ma;2+（l—2rn）x+1.

（1）若？72=1,求/（/）的极值；

（2）若对任意力＞0,/（劣）40恒成立，求整数馆的最小值.

（题目|11]（2023•云南＞8通•校雇者模拟现测）设函数/（工）=e-In（力+a）,aCR.

⑴当a=l时，求/（%）的单调区间；

（2）若/（力）＞Q,求实数Q的取值范围.

〔题目〔12］(浙江盾渥州市温州中学2024居商三第一次模拟考试数学就题)已知/(2)=Sina；-k(x-1).

(1)若过点⑵2)作曲线v=/(,)的切线，切线的斜率为2,求k的值；

(2)当［1,3］时，讨论函数g(c)=/(0一2cos谓玄的零点个数.

兀2

题目13］已知函数/⑺=/Q/+(Q+1)/+\nx,aER

(1)若1是/(力)的极值点，求Q的值；

(2)求/(力)的单调区间：

(3)已知/(6)=］a/2+力有两个解如力2(力1V力2)，

⑴直接写出a的取值范围；(无需过程)

(优)/1为正实数，若对于符合题意的任意如/2，当S=4(2i+加时都有/'(S)V0,求4的取值范围.

〔题目I14〕(2023•盛相模构已知/⑸=(x-l)V-^3+Mx>0)(aER).

o

(1)讨论函数/(力)的单调性；

(2)当。=0时，判定函数gQ)=/(6)+ln力一零点的个数,并说明理由.

题目:|3(2023•天洋模器0已知函数/(/)=Inx—ax+l,g[x)=x(ex—x).

(1)若直线g=2/与函数/(为)的图象相切,求实数a的值；

(2)当a=-1时，求证：f⑸&g(x)+x2.

11

题目正(2023•包头模拟)已知函数/Q)=aeJnQ+1)-1.

(1)当a=e时，求曲线夕=/(二)在点(0,/(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积;

(2)证明：当a>1时，/(⑼没有零点.

题目旧(2023•石家庄模拟)已知函数/3)=。—In。—2.

(1)讨论函数/Q)的单调性；

(2)若对任意的cC(1,+co),都有adnx+x>k(x—1)成立,求整数k的最大值.

—

颔目卫（2023•荆门模拟）设函数/（，）=e"+bsinx,xE（-7t,+^.若函数/Q）在（0,/（0））处的切线的斜

率为2.

（1）求实数b的值；

（2）求证：/（力）存在唯一的极小值点力o,且/（g）>—1.

题目口|^（2023•绵版模拟）已知函数/（力）=ar—Inx,aER.

（1）若a=工,求函数/Q）的最小值及取得最小值时的2的值；

e

（2）若函数（a+l）ln2对tC（0,+oo）恒成立，求实数a的取值范围.

•••

导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，既能确定其存在，但又无法用显

性的代数进行表达.这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条

件解决问题.

【知识导图】

考点一：不含参函数的隐零点问题

考点二:含参函数的隐零点问题

【考点分析】

考点一:不含参函数的隐零点问题

规律方法已知不含参函数/（,）,导函数方程r3）=o的根存在，却无法求出，利用零点存在定理，判断零

点存在，设方程r（，）=0的根为割，则①有关系式r（g）=0成立，②注意确定g的合适范围.

K

遒用1（2023条新4»鸟舍木齐遇三校考阶段练习）已知函数/⑺=xcosx—sini,xE|-0:

（1）求证：/（力）<0；

（2）若aV包手V6对。C（0,女）恒成立，求a的最大值与b的最小值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）a的最大值为—,b的最小值为1.

7T

【详解】（1）由f（x）=xcosx—sin力，求导得/'（力）=cos6—xsinx—cosx=—csin力，

因为在区间上/'（力）=—isin力V0,则/（力）在区间［o，］］上单调递减，

所以/Q）W/（0）=0.

（2）当⑦>0时，“包些>Q”等价于“sin力-ax>0”「包些<b”等价于“sin力-bx<0”,

XX

令gQ)=sinx—ex,xE(0,5),则g(x)=cosc-c,

当c40时，g（c）>0对任意xE（。，年）恒成立，当1时，因为对任意xE（0号）,g'（力）=cosc—cV0,

恒成立,

当0Vc<1时,存在唯一的（0万）使得g'（Xo）=cos须）一c=0,

当力6（O,TO）时，g\x）>0,函数g［x｝单调递增，当/G（g,1）时，g\x）V0,函数g（x）单调递减,

显然g(g)>g(0)=0,g(£)=1—,则当9>0,即0Vc<2时，g（0>o对力g（0,3）恒成立,

因此当且仅当C<2时，gQ)>0对任意xE(0,71恒成立，当且仅当c>l时，gQ)V0对任意力6

兀\2

恒成立,

sin力

所以aVvb对任意力e(0,4)恒成立时，Q的最大值为—,b的最小值为1.

x\2/7T

画自且(2023/江苏澳江鹏三统考开学考信)已知函数/3=Inc—工b+十(e为自然对数的底数).

(1)求函数/(2)在2=1处的切线方程；

(2)若/(①)+x---1>ae-"+lnc恒成立，求证:实数aV—1.

X

【答案】⑴y=l-支

e

(2)证明见解析

【详解】(1)由/(力)=hlN—力定义域为(0,+8),

X

贝"3)=%?+」—\—(力—1)(」？+'？)•

xx'e*xf

所以/(/)在力=1处的切线，的斜率为fc=/(i)=o,

又/(1)二1一十，则’的方程为沙=1一!.

(2)/(力)+x---1>ae~x-\-lnxf(x)—Inx+——-——>—Q--—+力—1>—QaV(/—l)e。一力

xxexex

恒成立，

令h(x)=(力一l)e。一力，则矶/)=xex—l,

令u(x)=xex—l,力>0,则u{x}=(2+l)ex>0

所以“(/)在(0,+8)上单调递增，又认0)=—1V0,且“(1)=e—1>0,

则u(x)在(0,1)上存在零点g且“(g)=xex°—1=0,即ex(——.

og

所以以力)在(0,/0)上单调递减，在(/o,+8)上单调递增，

所以九(力)min=九(g)=(g-l)e%—力0=1—"+[-),即QV九(g).

“工。)=1—(&+工)，则〃(g)==—1=(1+加「。)

又(0,1),所以〃(g)>0,

则/z(a；o)—1—(20+」-)在(0,1)上单调递增，因此/z(g)</z(l)——1

所以aV—1.

逾回©(2024•河北邢台•高三统考期末)已知函数/(c)=sin;r+c2.证明4.

【答案】证明见解析

【解析】/(劣)=COST+2x

令函数u(x)=/'(/),则u(x)=—sinx+2>0,所以U(CD)=/(力)是增函数.

因为/(0)=1J(—])=cos方一IVO,

2

所以存在x0E(—^-,0),使得/'(g)=cosg+2g=0,即曷=-^cosx0.

所以当(―oo,x0)时，/'(C)VO,当力G(力o,+8)时，/'(力)>0,

所以/(/)在(一8,60)上单调递减，在(g,+8)上单调递增.

22_

f(x)>/(力0)=sinxo+xo=sinx0+-^cosa；o=--^sinxo+sina；o+^•

因为x0G(-^O)/^singAsine^AsiM—^)=-y,

所以Tsin2g+sing+]>-jX(-y)-y+j=一能.

故/㈤>-备

题目工|已知函数/（劣）=ex~a—\nx+力，当Q&0时，证明：于⑸>力+2.

（解析】当aW0时，令FQ）=/（2）一，-2=e'-^lna;—2,;r>0,求导得F'Q）=e^--=加一，,

XX

显然函数尸（力）在（0,+oo）上单调递增，令g（力）=xex~a—l,力>0,g{x}=（力+1）已|一@>。，即函数g{x）在（0,

1-axa

+oo）上单调递增，而g（0）=—1<O,g（l）=e—1>e—1>0,则存在唯一x0E（0,1）,使得g（g）=0,即e°~

=」-,因此存在唯一x0E（0,1）,使得F'（g）=0,当0V力Vg时，F'（g）V0,当力>g时，F'（g）>0,因此

g

函数F（G在（0,g）上递减，在（g,+co）上递增，当ex°~a=—时，g—Q=—Ing,则F（力）>F（g）=ex°~a

g

—Ing—2=——FXQ—a—2>2,1-^-,XQ—a—2=-Q>0,（当且仅当——=g即g=1时，取等号，故式子取

gV力og

不到等号）所以当a40时，/（力）>/+2.

考点二:含参函数的隐零点问题

规律方法已知含参函数/（。，a）,其中a为参数，导函数方程/侬，a）=0的根存在，却无法求出，设方程

f（①）=0的根为g,则①有关系式/（g）=0成立，该关系式给出了g,a的关系；②注意确定g的合适范

围,往往和Q的范围有关.

蜃1］口（2022上方前洛阳•商三新安县第一方11中学校考升学考试）⑴证明不等式：e7>inM第一问必须

用隐零点解决，否则不给分）；

（2）己知函数/Q）=Q—2）eNa（,-1）2有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决,否则

不给分）

【答案】（1）证明见解析；（2）（0,+8）.

【分析】⑴根据给定条件，构造函数g（，）=尸2—Inc,借助导数探讨函数最小值为正即可推理作答.

（2）求出函数/（⑼的导数，利用导数分类讨论函数/（⑼的单调性、零点情况作答.

【详解】⑴令函数g（rc）=e"T—Inc,x>0,求导得：g'（x）=ex~2―显然函数g'（cc）在（0,+oo）上单调递

X

3

增，

-1x2

而g'(l)=e—1<0,g'(2)=g>0,则存在x0E(1,2),使得g'(g)=0,即e°^=—,有xQ—2=—lug,

2XQ

当0V/Vg时，g{x}V0,当力>g时，g{x}>0,函数g(力)在(0,g)上单调递减，在(g,+8)上单调递增,

gQ)min=g(g)=ex°~2-lnxo=5+g-2>2J盘.g-2=0,

所以e,—2>Inx.

（2）函数/（力）=（x-2）ex+a（x—1尸定义域R,求导得f（%）=（x—l）ex+2a（x—l）=（x—l）（e%2a）,

当a>0时，由ff（x）V0得，力V1,由ff（x）>0得，力>1,即函数/Q）在（一8,1）上递减，在（l,+oo）上递增，

/（6）min=/（l）=-e<0,而/（2）=a>0,即存在力住（1⑵，使得/（g）=0,则函数/（力）在（l,+oo）上有唯一零

点，

取bVO且bVln0,

即存在力26（b,l）,使得/（62）=0,则函数/3）在（—00,1）上有唯一零点,

因此当Q>0时，函数/（力）有两个零点，

当Q=0时，函数/（/）=（力一2）ex只有一个零点2,

当aV0时，若一VaV0,当⑦Vln（—2a）或力>1时，/（/）>0,当ln（—2a）〈力V1时，/（力）V0,

即有/㈤在（一8,山（一2。））,（1,+8）上单调递增，在（山（一2。）,1）上单调递减，又\/力<1,/㈤V0,

因此函数/（%）在（一00,1）上没有零点，在（1,+8）上最多一个零点，即函数/（力）最多一个零点，

若。=—恒有/'㈤>0,即函数/（力）在R上单调递增，函数/（力）最多一个零点，

若a<一~，当/V1或力〉ln（—2a）时，/'（6）>0,当1<x<ln（—2a）时，/'（力）<0,

即有/（劣）在（―°0,1）,（ln（—2a）,+oo）上单调递增，在（l,ln（—2a））上单调递减，又Vx<l,/（T）V0,当力G

[l,ln（—2a））时，/Q）<0,

因此函数/（力）在（―oo,ln（—2a））上没有零点，在（ln（—2a）,+oo）上最多一个零点，即函数/（力）最多一个零

点，

综上得,当Q>0时，函数/（劣）有两个零点，当Q40时，函数/（力）最多一个零点，

所以a的取值范围是（0,+8）.

画门⑵腐状•北京•高三统考开学考匐已知函数加）=沏一木’曲线厂/⑵在（。,/（。））的切线为“

——X+1.

⑴求a,6的值；

⑵求证:函数在区间（l,+oo）上单调递增；

（3）求函数/Q）的零点个数,并说明理由.

【答案】（l）a=l,b=—1.

（2）证明见解析

（3）零点个数为0,证明见解析.•••

【详解】⑴/'(6)=a—-—色+幼,则有/(0)——b—1,解得b=—1,/(O)=a—(1—b)=a—2=—1,则a

ex

=1,6=—1.

⑵由⑴知/(2)=①-左二厅㈤=1-=e'+92,

eee

设h(x)=4+力-2,因为h{x)在(l,+oo)上单调递增，

则h(x)>九⑴=e—1>0,所以f\x)>0在(1,+oo)上恒成立,

所以函数/(力)在区间(l,+oo)上单调递增.

⑶因为/㈤=1-得殳="+：―2,令加)=o,

ee

令f(x)=0,得ex+x—2=0,设h(x)——2,

由⑵知h{x}在R上单调递增，且%(0)=-1,九⑴=e-l>0,

故存在唯一零点(0,1)使得九(宏)二0,

即存在唯一零点XQE(0,1)满足/(%0)=0,即得e*o+g—2=0,则e&=2—g,

且当力6(—oo,x0)时，/'(力)V0,此时/(T)单调递减,

当为6(g,+8)时，/'3)>0,此时/Q)单调递增,

胫1、)£/\£/、/。—1ge—g+1g(2—g)—g+l

所以/Q)min=/(g)=g-----------=-----------------------Z------------

2—0

/+g+l_(&一3+今

2—XQ2—XQ

当XQE(0,1)时，2—g>0,—(工o—■+；>—(0—■+工=1，

则/O)min>0,

则函数/(工)的零点个数为0.

邂1且(2023秋•河北张家口三统考开学考试)已知/(工)=ae",g(x)=ln^1.

(1)当a=1时，证明：f(x)>g(a)+1；

(2)若V①C(―1,+co),f(x)>g(c)+1恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

⑵a>l

【详解】(1)当a=1时，设九(力)=/(6)一。(力)-1=e*—In(6+1)—l(x>—1),

当力>0时，"(/)>0,—1V力V0时，hf(x)<0,

所以仅力)在(-1,0)单调递减，(0,+8)单调递增，

所以h(x)>h(0),而h(0)=0,h(x)>0,即f(x)>g(x)+1.

⑵法一：若VxE(-l,+oo),f(x)>g(6)+1恒成立，

即ae”>In*+1+1nae*+lna>InQ+1)+1,

即Qe"+ln(ae")>力+1+ln(6+1),

构造函数⑴=t+lnt,易知?n⑴在(0,+8)递增，

则不等式为m(ae")>?n(力+1),

・•・ae，>/+设0(力)=(力>一1),“(力)

eee

则(p(x)在(—1,0)递增，(0,+8)递减，

。(力)max=6(。)=1，・・・Q>1.

法二：VxE(—l,+oo),J(T)>g(力)+1恒成立,即aex-^-lna—ln(x+1)—1>0.

令F(x)—aex—ln(x+1)+Ina—1,F'(x)—aex-----(a>0),

6+1

x/；]

ae=有唯一实数根，设为X0(T0>-1),

Q

即ae——二，lna+g=—ln(g+l),则F(T)在(-l,x0)递减，在(g,+8)递增,

力o+1

F(/)min=FQo)=ae*°—ln(g+l)+Ina—l>0,

即一—g—21n(g+l)—1>0,

g十1

设h(x)——L—x—21n(T+1)—1,显然h(x)在(-L+oo)单调递减，

6+1

而7i(0)=0,九(g)>0,则—1<0,

Ina=—ln(g+l)—x0,XQE(—1,0],Ina0,1.

题目@（技尖着基联*2024居高三下学期二月联合考试）已知函数/⑺=ln（>+1）-mx,gQ）=cosmx

—1,其中m6R.

（1）若?71=1仇（力）=/（劣）+g（力）+1,求证：h（x）在定义域内有两个不同的零点；

（2）若/（力）+g（x）&0恒成立，求恒的值.

【答案】（1）证明过程见详解；（2）馆=1

【解析】（l）?n=1时，h（x）—cosx+In（力+1）—x,hr（x）=—sineH----三—1

2+1

①/e（—1,0］时，h!（x）在（—1,0］上单调递减，所以"（1）>//（0）=0,

所以mxrE（与—1,0）,使得拉（g）=0,即h（^x）在（一1,0］上有且仅有1个零点力1；

②力E［兀,+8）时，由（1）知/（劣）=ln（6+1）—/在［兀,+8）上单调递减，

即/（6）（兀）=ln（7U+1）—兀，所以h{x）=cos/+/（力）<1+ln（7U+1）—7r<1+Ine?—兀=3—7u<0,

所以以⑼在［兀,+8）上没有零点；

（—sin/<01

③力6（0,兀）时，{1/八，所以〃（劣）=—siniH--------1<0,

即h（x）在（0,7r）上单调递减,又九（0）=1>0,九（兀）—ln（7L+1）—71—K0,

所以九O）在（0,兀）上有且仅有1个零点62；■■

综上所述，九（力）在（一1,+8）内有两个不同的零点61,X2.

(2)令0(6)=/(0)+g(力)—ln(x+1)+cosmx—mx—1,

由于0（力）40恒成立，且0（0）=0,同时0（%）在（―l,+oo）上连续,

所以力=0是8（/）的一•个极大值点.

因为d（力）=—msinmx—m所以“(0)=1—m=0即7n=1,

下面证明771=1时，0（N）40在（―1,+00）上恒成立，

由⑴知，772=1时，/（力）在（—1,0）上单调递增，在（0,+8）上单调递减;

所以/(劣)&/(。)=0,又g(①)=cosx—K0,

故(p(x)=/(x)+g(x)W。恒成立.

画瓦可(2024•吉林长春•东北屏大席中校展考模拟演测)已知/(为=。瞪-2既"(其中e=2.71828…为自然

对数的底数),V2e兄/⑸+!W0,求实数a的取值范围.

【答案】［(1—J^)eRo)

【解析】由/(劣)=ae%—2/e”,可得f⑸=2ae2x—2(x+l)ex=2ex(aex—x—1),

由V,C兄/(2)+!W0,因为/(O)+工=a+工=且±］W0,可得a<0,

aaaa

令g(x)=aex—x—1,则g{x}在R上递减,

当rcV0时，可得e°e(0,1),则aexE(a,0),所以g(力)=aex—x—l>a—a?—1,

则g(a—l)>a—(a—1)—1=0,

-1

又因为g(—1)=ae<0,3x0E(Q—1,—1)使得g(g)=0,即g(g)=a^—Xo—l=0

且当力e(—oo,x0)时，g(x)>0,即/(劣)>0;

当x0E(力O,+8)时，g(/)VO,即/(/)VO,

所以/(力)在(—00,g)递增，在(g,+8)递减，所以/(力)max=/(g)=。/°-2力()6的，

由g(g)=a^—Xo—l=0,可得a="°”］,

e0

由/(，)皿+工40,可得(3+1)6-2,06。+/^W0,即(1-3)丫&)+140,

ag+1g+1

由力o+lV0,可得XQ-141,所以一A/2&XQ<Z—1,

因为a=,设九(力)="+L(一2《力v—1),则//(⑼=——>0,

e0exex

可知九(力)在［―V2,l)上递增，h{x)>无(—四)=1，=(1—2且九(力)</z(—1)=0,

e-V2

所以实数a的取值范围是［(1—2)eR0).

【强化训练】

题目曰已知函数/⑺=e〜力2f当.时，求证/⑺在@+8）上存在极值点如且/（切〈夫曳

【答案】证明见解析

x

【解析】/(力)=e%—a%2—力，贝i］/㈤=e，-2a/一1,令g(力)=/'(/),g'(c)=e—2af由a>^■可知，x>ln2a

时，g'(力)>0,g(d)递增，x<ln2a时，。(力)<0,g(力)递减，g(力)在力=1112a处取得最小值，

而Q(ln2a)—2a—2aln2a—1=2a(1—ln2a--7-),又记h(x)=1—Inrc——(a?>1),hf(x)=—―+工=

\2Q/xxx

故无(力)在(l,+oo)上单调递减，故九(劣)</i(l)=0,于是/I(2Q)V0,即g(ln2a)=2a,h(2a)<0;

g(2a)=e2a—4a2—1,令p［x)—ex—x2—l(x>1),p'(%)=ex—2x,记q(x)—p{x)(x>1),则，(⑼=e°—2>e1

-2>0,则q{x)=p'Q)在(1,+8)单增,Q(X)>q⑴=e—2,

故0(%)在(l,H-oo)上递增，p［x}>p(l)=e—2>0,取％=2Q,则g(2a)=p(2a)>0;

记y=Inx—x+1,y————,于是力>1时，y<Z0,y递减，0V力V1时，y>0,y递增，故g在/=1处取

x

得最大值，故g=In力一力+1CIni—1+1=0,x=l取得等号，于是1II2QV2Q—1<2a.于是，

由g(2a)・g(ln2a)<0和零点存在定理可知，3x0E(ln2a,2Q),使得g(g)=/'(g)=0,且ln2aV力Vg,

xx2

(re)<0,x0<x<2a9f\x)>0,所以g是极小值点;由/(^o)=0可得,e°—2ax0—l=0,令/(比)=e—ax

(1

—工-=efd—支/，代入a=符,整理j(X)=(1-,/(x)=,

于是力>1时,/(a;)<0,j(x)递减，/V1时,j\x)>0,j{x)递增,故,(力)在力=1处取得最大值，故，Q)<

，(1)=e2〈。，取力;电^故=电))<0,原命题得证.

遒昼叵(广东省2024届高三上学期元月期末统一调研测俄数学武卷)若函数/(①)在［a,b］上有定义，且对

于任意不同的g,劣26［。,田，都有|/(力J一/2)|〈卜限1一力21，则称/(力)为［a,fe］上的"类函数”.若f(6)=

a(xT)e'4—xlnx为［l,e］上的“2类函数”，求实数a的取值范围；

【答案】组9

e2ee+1

【解析】因为/'(力)=axex—x—Inx—1,

由题意知，对于任意不同的XI,X2E［l,e］，都有|/(xi)—/(x2)|<20i-,

可转化为对于任意/E［l,e］,都有一2V/0)<2,

由f(x)<2可转化为a<'+吗+3,令g(x)="+吗+3，只需a

xexe

G(x)=(1+力)(_?———,4"=—2—\nx—x,u{x)在［l,e］单调递减,

xex

所以“Q)⑴=—3<0,g{x)VO,故gQ)在［l,e］单调递减，

g(%)min=g(e)

e

由/⑸>-2可转化为Q>,+吗T，令h㈤=’+吗—1，只需a>M心)max

xexe

=(1+""山"一的"，令M(力)=2—\nx—x,m⑸在［l,e］单调递减，

且m⑴=1>0,m(e)=1—eVO,所以3XQE［l,e］使m(g)=0,即2—Ing—g=0,

=

即lna702—g,g=e2f,

当力C［l,x0)时，m{x}>0,h\x)>0,故无(力)在［1,T0)单调递增，

当力G(x0,e］时，m(x)<0,h!(x)VO,故九(力)在(g,e］单调递减，

/、/、g+lng-l1

以/)max="70)=----肃一==，

xoee

认1,~/4+e

故

题目目已知函数/（劣）=靖一eloga力一e,其中Q>1.讨论/（劣）的极值点的个数.

【答案】有且仅有一个极值点.

【解析】由题意知，函数/（力）的定义域为（0,+oo）,

e/a,ln2a—6

/'(力)=(flna—

xlnaxina

设gQ)=xaxlr^a—e,。>1,显然函数9(/)在(0,+oo)上单调递增,g(x)与f(力)同号,

①当a>e时，g(0)=—e<0,g(l)=tzln2a—e>0,

所以函数g[x}在（0,1）内有一个零点x0,SLxE（O,XO）,g（x）<0,xE（g,+8）,g（宏）>0,

故/O）在（0,g）单调递减，在（T0,+oo）单调递增；

所以函数f（劣）在（0,+8）上有且仅有一个极值点；

②当a=e时，由（1）知，函数/（力）在（0,+8）上有且仅有一个极值点；

③当l<aVe时，—^—>1,g（；）=aln2a—e,

In%'In%）

］

Ina1

因为Ina1"%=~~->1，所以a0>e,g>0,

In2aInaln2a

又g（l）=Q1II2Q—evO,所以函数gQ）在fl,一内有一个零点电,

'Ina）

且nG（0,Xi）,g{x）<0,T6（Xi,+oo）,g（①）>0,

故/（⑼在（0,为）单调递减，在（0,+8）单调递增；

所以函数/（力）在（0,+co）上有且仅有一个极值点；

综上所述，函数/（力）在（0,+oo）上有且仅有一个极值点.

[题目|4）（2024•陕西安*安康中学校联考模拟覆费）已知函数/⑺=/In工-mx（meR）.当c>1时，不等

式/（力）+InN+3>0恒成立,求整数m的最大值.

【答案】2

【解析】由题意，知x\nx—mx+In/+3>0对任意力>1恒成立，

可知7nVinx+I"”十）对任意力>1恒成立.

x

设函数g（力）=inx+E*+3-（力>1）,只需m<^（T）min.

对函数g⑸求导，得g'（c）=工+1-吗+刃=工Tn厂2.

XXX

设函数八（力）=%—In/—2（力>1）,对函数无（力）求导，得九'（0）=1——=——->0,

xx

所以函数人（力）在（1,+8）上单调递增.

又九（3）=1—ln3<0,从曰）=—ln-1->0,

所以存在（3,日），使无（g）=0,即g—Ing—2=0,

所以当/C（l,a?o）时，h（x）V0,g'（①）V0,函数g（力）单调递减；

当力E（g,+8）时，h（x）>0,g'（劣）>0,函数g（力）单调递增，

的!'/（\（\1Ilng+3.劣o—2+3.11

所以g（6）min=g（g）=1ng+-------=x0-2+---------=x0-\------1,

GXQXQ

所以nzVgH-----1.又x0E（3,所以x0-\■---1E（2彳,2界~）,

3?0/O.Li

所以整数771的最大值为2.

（^§^3（2023•湖北黄网•贵冈中学校考三模）已知函数/（劣）=/sin力+cos劣+a/,g⑺=/］□/_.

7U

⑴当a=0时，求函数/（力）在［―7t,7t］上的极值；

（2）用max{m,n}表示m,n中的最大值，记函数后（6）=max{/（c）,g（c）}3>0）,讨论函数人（力）在

（0,+oo）上的零点个数.

【答案】答案见解析

【解析】由h{x}=max{/（/）,g（/）}，知九（力）

（i）当力G（7r,+oo）时，g{x}>0,/.h（x）>0,故%（%）在（7U,+oo）上无零点.

（ii）当力=兀时，g（7i）=0,/（7r）=-1+兀2Q.

故当f（7l）&0时，即Q4时，h（7T）=OX=兀是无（力）的零点；

71f

当f（7l）>0时，即a>时，h（7l）—fM>0,力=7T不是九（力）的零点.

7U

（iii）当力e（0,兀）时，gQ）<0.

故无（宏）在（0,7T）的零点就是/（%）在（0,7U）的零点,

/‘（6）=x（2a+cosx）,y（0）=1.

①当a4-y时，2a+cosrc40,故力E（0,兀）时，/'（力）&0,/（力）在（0,兀）是减函数，

结合/（0）=l,/（7t）=—1+