河北省2022年高考压轴卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知斜率为-2的直线与双曲线C：♦—3=1（。＞0/〉0）交于A,8两点，若/（%，%）为线段中点且

后”=-4（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）

D.迪

A.75B.3C.6

4

2.已知a=（cos/sintz）,b=（cos（-«）,sin（-tz））,那么q.B=o是a=+1（左eZ）的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知y=log2，—2x+17）的值域为|m,+co）,当正数a,6满足一^―-+—二=相时，则7a+4/?的最小值为

''3a+ba+2b

（）

A.-B.5C."209

44

4.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案

种数为

A.48B.72C.90D.96

5.在四面体P—A5C中，ABC为正三角形，边长为6,PA=6,PB=8,PC=10,则四面体P—A3C的体

积为（）

A.8vHB.8A/10C.24D.1673

6.已知非零向量a、b，若忖=2忖且|2。-0=百卜卜则向量b在向量口方向上的投影为（）

A.1忖B.纲C.-^-\b\D.一赳

7.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单

位去年的水费开支占总开支的百分比为（）

2

8.U+x+yJ的展开式中方52的系数是（）

A.160B.240C.280D.320

9.已知复数z满足（1+i）z=2，，则目=（）

V2

A.V2B.1C.D.

~T2

10.下图为一个正四面体的侧面展开图，G为6尸的中点,则在原正四面体中，直线EG与直线8C所成角的余弦值

为（）

11.在AABC中，H为BC上异于B,。的任一点，M为AH的中点，^AM=AAB+^AC,则％+〃等于（）

A

M

B

IIC

12.已知将函数/(x)=sin(ox+。)(0<®<6,-生<夕〈王)的图象向右平移5个单位长度后得到函数g(x)的

223

7T

图象，若八兀)和g(%)的图象都关于％二—对称，则。的值为()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图所示，在△ABC中，AB^AC=2,AD=DC>DE=2EB，AE的延长线交BC边于点尸，若AFBCn-],

则AEAC=•

14.设a、/?为互不重合的平面，m,〃是互不重合的直线，给出下列四个命题:

①若相〃小则相〃

②若机ua,nua,m///J,n//fi9贝!]“〃/；

③若“〃入mua,na.fi,则相〃〃；

④若aC\0=m,nua,mA_n9贝!)〃_L/；

其中正确命题的序号为.

Inx,x>1

15.已知函数/(%)二,,若则。的取值范围是_

3"11

16.设常数aeR,如果犬+q的二项展开式中x项的系数为-80,那么。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面ABC。为直角梯形，AD//BC,ZADC=90，平面上40,底面

ABCD,。为AD的中点，M是棱PC上的点且PM=3MC,PA=PD=2,BC=-AD=1,CD=2.

2

8

（1）求证：平面PQ3,平面以PAD；

（2）求二面角M-BQ-C的大小.

18.（12分）如图，在四棱柱ABCD—A4G。中，底面ABC。为菱形，A5i=C3].

（1）证明：平面瓦》4，平面ABC。；

（2）若NZMfi=60。，ADB】B是等边三角形,求二面角A-8。-G的余弦值.

x=2+2cos。

19.（12分）在平面直角坐标系九0y中，曲线。的参数方程为彳.（。为参数）.以坐标原点。为极点，x

y=2sma

轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为夕sin（6+（1=5.

（1）求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

（2）设点M（O,1）,若直线/与曲线C相交于A、B两点,求的值

20.（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线「的焦点产在V轴正半轴上，圆心在直线y上的圆£与x轴相切，

2

且E,b关于点M（—1,0）对称.

（1）求E和「的标准方程；

（2）过点M的直线/与E交于4B,与「交于C,D,求证：|CD|>J5|AB|.

22

21.（12分）已知椭圆=+今=1（。〉6〉0）,上、下顶点分别是A、B,上、下焦点分别是工、B，焦距为2,

点[却在椭圆上.

（1）求椭圆的方程;

（2）若。为椭圆上异于4、3的动点，过A作与x轴平行的直线/,直线与/交于点S,直线&S与直线AQ交

于点P,判断NSPQ是否为定值，说明理由.

22.（10分）设数列｛4｝是公差不为零的等差数列，其前九项和为S“，q=l,若%,%,生成等比数列.

（1）求见及S.

（2）设3,=]FW（"eN*）,设数列他,｝的前几项和北，证明：（＜；.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

设代入双曲线方程相减可得到直线A5的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到6的等式，求

出离心率.

【详解】

k=A-4

KOM=

%

但上1

«2b2

设无2，为），则，

22

三上=1

两式相减得（玉—（%+%孕-％）=0,

ab

.•.3。=守守="=。」卜2,J8,…\R=3

故选：B.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程

相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系.

2.B

【解析】

由a.6=0,可得cos2a=0,解出即可判断出结论.

【详解】

_1

解：因为a=(cosasina),b=(cos(-cr),sin(-cz))Ka>b=0

cosa・cos（—a）+sina・sin（—a）=cos2a—sin2a=cos2a=0,

jrrr

2a=2k兀±—,解得cr=左万±—（化£Z）.

24

jr

・“b=0是好丘+，伏CZ)的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.A

【解析】

利用y=log2卜2-2%+17)的值域为[列+8),求出如再变形，利用1的代换，即可求出7a+你的最小值.

【详解】

22

Vy=log2(x-2x+17)=log2[(x-l)+161的值域为卜",+co),

•*.m=4,

41,

-----------1---------=4,

6a+2ba+2b

/.la+4-b=—[(6a+2b\+(a+2bY\\——-----1------——|

4LV)'J\6a+2ba+2b)

6a+2Z?+4（a+2Z?）

5+>-x（5+4）=-,

4a+2b6a+2b4I'4

当且仅当史士生=4("+2〃)时取等号,

a+2b6a+2b

9

・•・7a+4b的最小值为一.

4

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了对数复合函数的值域运用，同时也考查了基本不等式中“1的运用”，属于中档题.

4.D

【解析】

因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛

134

①当甲参加另外3场比赛时，共有Q.A4=72种选择方案;②当甲学生不参加任何比赛时，共有A4=24种选择方案.综

上所述，所有参赛方案有72+24=96种

故答案为：96

点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题.

5.A

【解析】

推导出分别取5C,PC的中点。,石,连结则A。，3cAELPCOELBC,推导出

3已从而.平面改’进而四面体的体积为jcX…穴行但由此能求出结果.

【详解】

解：在四面体P-ABC中，ABC为等边三角形，边长为6,

PA=6,PB=8,PC=10,

:.PB2+BC2=PC2,

:.PB±BC,

分别取5GPC的中点2石，连结ARAE,DE,

则AD±BC,AE±PC,DE±BC,

MAD=A/36^9=3A/3»DE=4,AE=536-25=而，

AE2+DE2=AD2>

:.AE±DE,

PCDE=E,PCu平面P5C,DEu平面「5C,

AE_L平面P3C,

•・四面体P—A5C的体积为：

^P-ABC=^A-PBC=§，SPBC-AE

=-x-xPBxJBCxAE=-x-x8x6x^=8ViT.

3232

故答案为：8而.

【点睛】

本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.

6.D

【解析】

设非零向量a与人的夹角为。，在等式|2a-0=6恸两边平方，求出cos。的值，进而可求得向量b在向量a方向上

的投影为Wcos9,即可得解.

【详解】

,忖=2，，由|2a—囚=6恸得|2a—整理得2)_2a力一片=0，

r.2a?—2,卜2,卜0$6—4卜］=0,解得cos6=—g,

因此，向量b在向量。方向上的投影为Wcose=-J”.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.

7.A

【解析】

由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费

开支占总开支的百分比.

【详解】

250

水费开支占总开支的百分比为,”，cc,20%=6.25%.

250+450+100

故选：A

【点睛】

本题考查折线图与柱形图，属于基础题.

8.C

【解析】

首先把g+x看作为一个整体，进而利用二项展开式求得V的系数，再求［工+X)的展开式中X-I的系数，二者相乘

即可求解.

【详解】

由二项展开式的通项公式可得p+x+丁］的第厂+1项为rLGp+x］/，令r=1,则（=c；p+x］

又［工+x］的第厂+1为&|=G，）x,"产,令厂=3,贝!1穹=35,所以犷勺2的系数是35x8=280.

故选：C

【点睛】

本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.

9.A

【解析】

根据复数的运算法则，可得z,然后利用复数模的概念，可得结果.

【详解】

2/2z(l-Q2i-2r

由题可知:

l+7-(l+z)(l-z)

由?=—1,所以z=l+i

所以忖=Vl2+12=A/2

故选:A

【点睛】

本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.

10.C

【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体，厂三点重合，记作。，取。C中点”，连接EG,EH,GH,NEGH即

为EG与直线所成的角，表示出三角形EGH的三条边长，用余弦定理即可求得cosNEGV.

【详解】

将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中厂三点重合，记作。:

则G为中点，取。C中点H,连接EG,EH,GH,设正四面体的棱长均为a,

由中位线定理可得/ABC且,=La,

22

所以ZEGH即为EG与直线所成的角,

73

EG=EH=—a

2

由余弦定理可得COSNEGH=EG1+GH2sH2

2EGGH

321232

—UH-----CI-------6Z

444=

1e1―6

2X6Z,—CL

22

所以直线EG与直线BC所成角的余弦值为显

6

故选：C.

【点睛】

本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.

11.A

【解析】

根据题意，用4比4。表示出4",3”与〃0,求出尢〃的值即可.

【详解】

解：根据题意，设BH=xBC，则

-1.1._1_1-111

AM=-AH=-(AB+BH)=-(AB+xBC)=-AB+-x(AC-AB)=-(l-x)AB+-xAC,

2222222

又AM=AAB+^/AC,

./=g(l—x),〃=gx,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.

12.B

【解析】

因为将函数/（x）=sin（s+。）（0＜。＜6,--＜（p＜-）的图象向右平移彳个单位长度后得到函数g（x）的图象,

223

可得g（x）=sin|+0=sin］（y龙一5（y+夕），结合已知，即可求得答案.

【详解】

将函数/（x）=sin（（«x+。）（0＜。＜6,—3＜夕＜3）的图象向右平移9个单位长度后得到函数g（x）的图象

/.g(x)=sinx-^\+(p=sm[a)x-^a)+(p\,

TT

又/⑴和g（x）的图象都关于X=1对称,

71.71

—①+(p=k、兀+一

412

，由，（人,左26Z）,

7171,71

——(O—-CD~\~(p—42〃+~

4

得g①=（左1_左2）乃，（人,左26Z）,

即刃二3（勺一左2）（勺,左20Z）,

又0＜口＜6,

69=3.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象

的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】

过点。做。GA尸，可得历=工4/，BF=-BC,4/=348+」4。由4尸3。=一・可得0)5/氏4。=2,可

6555'3

uunuum<4uuu1uumuum

得AE-AC=±(—A3+—AC>AC,代入可得答案.

655

【详解】

解：如图，过点。做。GAF,

生=0=」,故。G=^AF,可得：EF=-AF,

AFAC226

BFBE1FGAD1〜…1”

同理：-——,-=-，可得_8方=-BC,

FGED2GCCD15

1141

AF=AB+BF=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

44-1--1-24-22-4

由=可得(_AB+_AC).(AC_AB)=-AC——AB+—ABAC=—

,55555

14242

可得：—x4--x4+—x2x2cosABAC=一不可得：cosABAC=—9

SS4"l21222"!22

AEAC=-AFAC=-(-AB+-AC)-AC=-ABAC+-AC=-x2x2x-+-x4=—,

6655353369

22

故答案为：

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出OGA尸是解题的关键.

14.@

【解析】

根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.

【详解】

对于①，当机〃”时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出机〃a,①错误；

对于②，当wiua,nua,且》i〃p,时，由两平面平行的判定定理，不能得出々〃"，②错误；

对于③，当a〃/?,且机ua,"U/?时，由两平面平行的性质定理，不能得出机〃小③错误；

对于④，当a邛,且aA”=/n,"ua,〃时，由两平面垂直的性质定理，能够得出④正确;

综上知，正确命题的序号是④.

故答案为：④.

【点睛】

本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.

15.[O,l]o[e,+00)

【解析】

根据分段函数的性质，即可求出。的取值范围.

【详解】

当a>1时，In.1,

a.e,

当@1时,

所以般1,

故。的取值范围是

故答案为：[0』]u[e,+8).

【点睛】

本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.

16.-2

【解析】

利用二项式定理的通项公式即可得出.

【详解】

p+-^|的二项展开式的通项公式：加=6卜2广[3=arqxl0-3r,

令10-3厂=1,解得厂=3.

Aa3Cl=-80,

解得a二—2.

故答案为：-2.

【点睛】

本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.⑴证明见解析；（2）30。.

【解析】

（1）推导出。//BQ,QBLAD,从而平面R4D，由此证明平面平面以PAD；

（2）以。为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角的大小.

【详解】

解：（1）AD//8C,BC=^AD,。为AD的中点，

..四边形3CQQ为平行四边形，CQ/ABQ.

ZADC=90°,^AQB=90°,即Q8LAD.

又平面从D_L平面ABC。，且平面PAD平面ABCD=AZ）,

BQ，平面PAD.

3Qu平面PQB,

•••平面PQB，平面PAD.

（2）PA=PD,。为AD的中点，

PQ1AD.

平面PAD_L平面ABC。，且平面PADf平面ABCD=AD,

P。，平面ABC。.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

y

则平面3。。的一个法向量为〃=(0,0,1),

2（0,0,0）,P（0,0,>/3）,5（0,2,0）,C（-l,2,0）,

设M（x,y,z）,则PM=k，y,z—6）,MC=（―1—x,2—y,—z）,

PM=3MC>

x=3（—1—%）

<J=3（2-J）,

z—y/3=—3z

3

x=——

4

3

尸5

A/3

Z二---

4

"_33走

在平面AffiQ中，=(0,2,0),QM=.，~.

424

7

设平面MBQ的法向量为加=(%,y,z),

2y=0

m•QB—0

则，即<33百八，

m-QM=0——x+—yH-----Z=0

〔424

二平面MQB的一个法向量为根=(1,0,61

icostm,n

22

由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为30。.

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查了空间向量的应用，属于中档题.

18.(1)证明见解析(2)0

【解析】

(1)根据面面垂直的判定定理可知，只需证明AC，平面片即可.

由A6CD为菱形可得ACLB。，连接片和AC与的交点。,

由等腰三角形性质可得BQ1AC,即能证得AC，平面BDRBi；

(2)由题意知，耳。，平面ABC。，可建立空间直角坐标系。孙z,以。为坐标原点，Q4所在直线为x轴，08所

在直线为V轴，。片所在直线为z轴，再分别求出平面的法向量，平面的法向量，即可根据向量法求出

二面角4—8。—G的余弦值.

【详解】

(1)如图，设AC与8。相交于点。，连接与。，

又A3CD为菱形，故ACLBD,。为AC的中点.

又A3]=C4,故50，AC.

又BDu平面3。2与，BQu平面BDD[B],且8。B}O=O,

故AC，平面BDDyB},又ACu平面ABCD,

所以平面，平面A5CZ).

(2)由△。与8是等边三角形，可得用0,3。，故5。，平面ABC。，

所以用0,AC,8。两两垂直.如图以。为坐标原点，所在直线为x轴，08所在直线为V轴，。片所在直线为z

轴，建立空间直角坐标系。孙z.

DA__________C,

不妨设AB=2,则49=6，OB1=6,

则A(6,0,0),B(0,l,0),4(0,0,百)，D(0,-l,0),G(—G,—1,6)，

设”=(%,%,4)为平面GB。的法向量，

n-BD=0,2%=0,

则即V-舟-X+岛=0,可取〃

n•OC、=0,

设加=(无2，%，Z2)为平面A3。的法向量，

m,BD=0,

则<即凤=0可取…皿

m•OR=0,

n-m八

所以cos<n,m>=|-7|—J-=0

m\m\

所以二面角A.-BD-C,的余弦值为0.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的应用，以及利用向量法求二面角，意在考查学生的直观想

象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于基础题.

19.(1)C的普通方程为(x—2『+y2=4,/的直角坐标方程为x+y=l；(2)36.

【解析】

pcosd=X

(1)在曲线。的参数方程中消去参数。可得出曲线C的普通方程，利用两角和的正弦公式以及.八可将直

「sin〃=y

线I的极坐标方程化为普通方程；

[巴

x_----1

2

(2)设直线/的参数方程为zLa为参数)，并设点4、3所对应的参数分别为％、t-利用韦达定理可

y=\+旦

2

求得|舷4|+|勿8|=闻+囿的值.

【详解】

x=2+2cosOL

(1)由彳，得五一2=2coscr,y=2sin。，

y=2sin«

二曲线C的普通方程为(％—2)2+>2=4,

由夕sin[(9+；]=，，得夕sind+夕cosd=l,.,.直线/的直角坐标方程为x+y=l；

L_gt

2

（2）设直线/的参数方程为<la为参数），

y3t

[2

代入（x—2）?+y2=4,得产+3万+1=0,则A=18—4=14>0,

设A、5两点对应参数分别为％、t2,.-.r1+r2=-3V2<0,32=1>。，

"<o,r2<0,.-.|M4|+|Affi|=|z1|+|/2|=|r1+r2|=3V2.

【点睛】

本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能

力，属于中等题.

20.（1）（x+2）2+（y+l）2=l,x2=4y；（2）证明见解析.

【解析】

分析：（1）设「的标准方程为f=2py,由题意可设E（2a,a）.结合中点坐标公式计算可得「的标准方程为

x2=4y.半径厂=时=1,则E的标准方程为（x+2）2+（y+l）2=l.

%（x+l）,由弦长公式可得|A3|=2，1^.

（2）设/的斜率为左，则其方程为y=联立直线与抛物线的方程有

x2-4kx-4k=0.设C（/x）,O（%2，%），利用韦达定理结合弦长公式可得|。|=病工1上一马|

=4g.际•则用=2①+1）：代+左）>即卬〉眼明.

ABkk

详解：（1）设「的标准方程为必=2。>，则尸10,日j.

已知E在直线y=gx上，故可设E（2a,a）.

2Q+0

=-1,

2

因为E］关于M(-1,0)对称，所以＜p

+a

2

二0,

2

〃二-1,

解得

52.

所以「的标准方程为％2=4y.

因为E与X轴相切，故半径度=时=1,所以后的标准方程为(x+2y+(y+l)2=l.

(2)设/的斜率为左，那么其方程为y=%(x+l),

则E(-2,-l)至(J/的距离d=梳言，所以|=2kd2=2后；.

x2=4y,

由《.八消去V并整理得：x2-4kx-4k=Q.

y=k(x+1)

设则%+々=4左,为々=一4人,

那么|C£>|=+1%一引="2+1.%)2—例1=4\lk?+1.&2+k.

|CD|2_16(^2+1)(^2+Z:)_2(k-+\^(k1+k)2k_

所以"=——=k〉T=2.

F+l

所以|CO「>21ABl2,BP|CD|>V2|AB|.

点睛：(1)直线与抛物线的