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文档简介

2024届广东省惠州市第三中学高一下数学期末考试模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.若,则的最小值为()A. B. C. D.2.某学校从编号依次为01,02,…,72的72个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本,已知样本中相邻的两个组的编号分别为12,21,则该样本中来自第四组的学生的编号为()A.30 B.31 C.32 D.333.在正项等比数列中,,数列的前项之和为()A. B. C. D.4.已知的三边满足,则的内角C为()A. B. C. D.5.在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}A.q=2 B.数列SnC.S8=510 D.数列6.已知两点,,若直线与线段相交,则实数的取值范围是()A. B.C. D.7.某中学举行高一广播体操比赛,共10个队参赛,为了确定出场顺序,学校制作了10个出场序号签供大家抽签,高一(l)班先抽,则他们抽到的出场序号小于4的概率为()A. B. C. D.8.已知过点的直线的倾斜角为,则直线的方程为()A. B. C. D.9.矩形中,,若在该矩形内随机投一点,那么使得的面积不大于3的概率是()A. B. C. D.10.在△ABC中,AB=,AC=1,,△ABC的面积为,则()A.30° B.45° C.60° D.75°二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.函数的值域为________.12.某小区拟对如图一直角△ABC区域进行改造,在三角形各边上选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,则面积最小值为____13.若数列满足,,则数列的通项公式______.14.已知变量和线性相关,其一组观测数据为,由最小二乘法求得回归直线方程为.若已知,则______.15.在中,角所对的边为,若,且的外接圆半径为,则________.16.设向量,定义一种向量积:.已知向量,点P在的图象上运动,点Q在的图象上运动,且满足(其中O为坐标原点),则的单调增区间为________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在锐角中,角所对的边分别为,已知,,.(1)求角的大小;(2)求的面积.18.已知函数(ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值和f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)﹣m=0在区间[0,]上有两个实数解,求实数m的取值范围.19.如图,在四边形中,,,,.(1)若,求;(2)求四边形面积的最大值.20.设数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前项和.21.已知.(1)当时,解不等式;(2)若,解关于x的不等式.

参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

根据对数运算可求得且,,利用基本不等式可求得最小值.【详解】由得:且,(当且仅当时取等号)本题正确选项:【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题,关键是能够利用对数运算得到积的定值,属于基础题.2、A【解析】

根据相邻的两个组的编号确定组矩,即可得解.【详解】由题:样本中相邻的两个组的编号分别为12,21,所以组矩为9,则第一组所取学生的编号为3,第四组所取学生的编号为30.故选:A【点睛】此题考查系统抽样,关键在于根据系统抽样方法确定组矩,依次求得每组选取的编号.3、B【解析】

根据等比数列的性质,即可解出答案。【详解】故选B【点睛】本题考查等比数列的性质,同底对数的运算,属于基础题。4、C【解析】原式可化为,又,则C=,故选C.5、D【解析】

由等比数列的公比q为整数,得到a2<a3,再由等比数列的性质得出a1a4=a【详解】由等比数列的公比q为整数,得到a2由等比数列的性质得出a1a4=a2aSn=a11-qnS8=2所以,数列lgan是以故选:D.【点睛】本题考查等比数列基本性质的应用,考查等比数列求和以及等比数列的定义,充分利用等比数列下标相关的性质,将项的积进行转化,能起到简化计算的作用,考查计算能力,属于中等题。6、D【解析】

找出直线与PQ相交的两种临界情况,求斜率即可.【详解】因为直线恒过定点,根据题意,作图如下:直线与线段PQ相交的临界情况分别为直线MP和直线MQ,已知,,由图可知:当直线绕着点M向轴旋转时,其斜率范围为:;当直线与轴重合时,没有斜率;当直线绕着点M从轴至MP旋转时,其斜率范围为:综上所述:,故选:D.【点睛】本题考查直线斜率的计算,直线斜率与倾斜角的关系,属基础题.7、D【解析】

古典概率公式得到答案.【详解】抽到的出场序号小于4的概率:故答案选D【点睛】本题考查了概率的计算,属于简单题.8、B【解析】

由直线的倾斜角求得直线的斜率,再由直线的点斜式方程求解.【详解】∵直线的倾斜角为,∵直线的斜率,又直线过点,由直线方程的点斜式可得直线的方程为,即.故选:B.【点睛】本题考查直线的点斜式方程,考查直线的倾斜角与斜率的关系,是基础题.9、C【解析】

先求出的点的轨迹(一条直线),然后由面积公式可知时点所在区域,计算其面积,利用几何概型概率公式计算概率.【详解】设到的距离为,,则,如图,设,则点在矩形内,,,∴所求概率为.故选C.【点睛】本题考查几何概型概率.解题关键是确定符合条件点所在区域及其面积.10、C【解析】

试题分析:由三角形面积公式得,,所以.显然三角形为直角三角形,且,所以.考点:解三角形.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】

利用反三角函数的单调性即可求解.【详解】函数是定义在上的增函数,函数在区间上单调递增,,,函数的值域是.故答案为:【点睛】本题考查了反三角函数的单调性以及反三角函数值,属于基础题.12、【解析】

设,然后分别表示,利用正弦定理建立等式用表示,从而利用三角函数的性质得到的最小值,从而得到面积的最小值.【详解】因为,所以,显然,,设,则,且,则,所以,在中,由正弦定理可得:,求得,其中,则,因为,所以当时,取得最大值1,则的最小值为,所以面积最小值为,【点睛】本题主要考查了利用三角函数求解实际问题的最值,涉及到正弦定理的应用,属于难题.对于这类型题,关键是能够选取恰当的参数表示需求的量,从而建立相关的函数,利用函数的性质求解最值.13、【解析】

在等式两边取倒数,可得出,然后利用等差数列的通项公式求出的通项公式,即可求出.【详解】,等式两边同时取倒数得,.所以,数列是以为首项,以为公差的等差数列,.因此,.故答案为:.【点睛】本题考查利用倒数法求数列通项,同时也考查了等差数列的定义,考查计算能力,属于中等题.14、355【解析】

根据回归直线必过样本点的中心,根据横坐标结合回归方程求出纵坐标即可得解.【详解】由题:,回归直线方程为,所以,.故答案为:355【点睛】此题考查根据回归直线方程求样本点的中心的纵坐标,关键在于掌握回归直线必过样本点的中心,根据平均数求解.15、或.【解析】

利用正弦定理求出的值,结合角的取值范围得出角的值.【详解】由正弦定理可得,所以,,,或,故答案为或.【点睛】本题考查正弦定理的应用,在利用正弦值求角时,除了找出锐角还要注意相应的补角是否满足题意,考查计算能力,属于基础题.16、【解析】

设,,由求出的关系,用表示,并把代入即得,后利用余弦函数的单调性可得增区间.【详解】设,,由得:,∴,,∵,∴,,即,令,得,∴增区间为.故答案为:.【点睛】本题考查新定义,正确理解新定义运算是解题关键.考查三角函数的单调性.利用新定义建立新老图象间点的联系,求出新函数的解析式,结合余弦函数性质求得增区间.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】试题分析:(1)先由正弦定理求得与的关系,然后结合已知等式求得的值,从而求得的值;(2)先由余弦定理求得的值,从而由的范围取舍的值,进而由面积公式求解.试题解析:(1)在中,由正弦定理,得,即.又因为,所以.因为为锐角三角形,所以.(2)在中,由余弦定理,得,即.解得或.当时,因为,所以角为钝角,不符合题意,舍去.当时,因为,又,所以为锐角三角形,符合题意.所以的面积.考点:1、正余弦定理;2、三角形面积公式.18、(Ⅰ),函数的增区间为.(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)利用三角函数恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性、单调性,即可求得结论;(Ⅱ)由题意,函数的图象和直线在区间上有两个不同的交点,利用正弦函数的定义域和值域,以及正弦函数的图象特征,即可求解的取值范围.【详解】(Ⅰ)由题意,函数所以函数的最小正周期为,∴,即.令,求得,可得函数的增区间为.(Ⅱ)在区间上,则,则,即,关于x的方程在区间上有两个实数解,则的图象和直线在区间上有两个不同的交点,则.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换,以及正弦型函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记三角函数的图象与性质,以及把关于x的方程在区间上有两个实数解,转化为两个函数图象的交点个数是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.19、(1);(2).【解析】

(1)直接利用余弦定理,即可得到本题答案;(2)由四边形ABCD的面积=,得四边形ABCD的面积,求S的最大值即可得到本题答案.【详解】(1)当时,在中,由余弦定理得,设(),则,即,解得,所以;(2)的面积为,在中,由余弦定理得,所以,的面积为,所以,四边形的面积为,因为,所以当时,四边形的面积最大,最大值为.【点睛】本题主要考查利用余弦定理、面积公式及三角函数的性质解决实际问题.20、【解析】试题分析:(1)结合数列递推公式形式可知采用累和法求数列的通项公式,求解时需结合等比数列求和公式;(2)由得数列的通项公式为,求和时采用错位相减法,在的展开式中两边同乘以4后,两式相减可得到试题解析:(1)由已知,当时,==,.而,所以数列的通项公式为.(2)

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