与圆有关的证明和计算- 2024年中考数学重难点突破

专题14与圆有关的证明和计算

(1)切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法)

③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线

(2)切线判定常用的证明方法：

①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.

1.如图，在ABC中，AB^AC,以AB为直径作圆。，分别交于点。，交C4的延长

线于点E,过点。作£>"_LAC于点连接DE交线段Q4于点

(1)求证：EH=CH；

(2)求证：斯是圆。的切线；

(3)若£4=£F=1,求圆。的半径.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)1±^.

2

【分析】(1)先判断出△EDC是等腰三角形，即可得出结论；

(2)连接先判断出△003是等腰三角形，进而得出=进而判断出

OD//AC,即可得出结论

(3)设。的半径为厂，即00=06=厂，先判断出=进而得出

ZFOD=ZEAF=ZEFA=ZOFD,得出叱=0D=r,BD=CD=DE=r+l,进而得出

BF=BD=r+l，再判断出△BED"△£72，得出比例式建立方程求解，即可求出答案.

(1)

证明：AB=AC,

:.ZB=ZC,

又在回。中，ZE=ZB,

E1NE=N3=NC,

」.△£DC是等腰三角形，

DHLEC,

回EH=CH

(2)

证明：连接如图1,

图1

OB=OD,

.「a汨是等腰三角形,

:.NOBD=NODB,

AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

...ZODB=ZOBD=ZACB，

团。D〃AC,

DH1.ACf

:.DH±OD,

回。。是＜O的半径，

二.DH是圆。的切线；

(3)

连接AD,如图L,

设团。的半径为人即OD=OB=〃，

EF=EA,

:.ZEFA=ZEAF,

^\OD//EC,

:.ZFOD=ZEAF,

贝UNFOD=NE4F=N£E4=NOFD,

:.DF=OD=r,

:.DE=DF+EF=r+1,

回△£»(7是等腰三角形，

团CD=O£,

AB=AC,

团ABC是等腰三角形，

团A3是回。的直径，

国AD1.BC,

团BD=CD,

BD=CD=DE=r+1,

在回。中，ZBDE=ZEAB,

ZBFD=ZEFA=ZEAB=ZBDE,

在V5O方中，BF=BD=r+L

:.AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(l-}-r)=r-lf

ZBFD=ZEFA,ZB=ZE,

・.△BFDs△EFA，

EFBF

FA-FD

1_r+1

r-1r，

1（舍）,

解得：rx='+后,r2=

12

综上所述，回。的半径为

2

【我思故我在】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性

质，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解（3）的关键.

2.小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究.

（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在。。中，C是劣弧A3的中点，

直线CD_LAB于点E,则=请证明此结论；

（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB

组成。的一条折弦.C是劣弧的中点，直线CD_LPA于点E,则=可以

通过延长。8、AP相交于点尸，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程；

（3）如图3,PA,尸8组成，。的一条折弦，若C是优弧A2的中点，直线CD,24于点E,

则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=PE-PB,理由见解析

【分析】（1）连接AO,BD,易证AADB为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性

质，可以证得/场=3£\

（2）根据圆内接四边形的性质，先=再证的D为等腰三角形，进一步证得

PB=PF,从而证得结论.

（3）根据N4DE=4DE,从而证明ADFE,得出然后判断出PB=P尸，

进而求得=.

【详解】证明：（1）如图1,连接AO,BD,

c

图1

C是劣弧AB的中点，

:.ZCDA=ZCDB,

'.'DELAB,

.\ZAED=ZDEB=90°,

.•.ZA+ZADE=90°,ZB+ZCDB=90°,

:.ZA=ZB,

AAOB为等腰三角形，

CD±AB,

AE=BE；

（2）如图2,延长DB、AP相交于点尸，再连接AZ）,

ADBP是圆内接四边形,

ZPBF=ZPAD,

C是劣弧A3的中点，

:.ZCDA=ZCDF,

CDLPA,

」.回刀为等腰三角形，

.*.ZF=ZA,AE=EF,

:.ZPBF=ZF,

:.PB=PF,

:.AE=PE+PB

(3)AE=PE-PB.

连接AD,BD,AB,DB、AP相交于点产，

图3

，弧AC=弧5C,

.ZADC=NBDC,

CD^AP,

;ZDEA=ZDEF,ZADE=ZFDE,

DE=DE,

.ADAE^M)FE,

.AD=DF,AE=EF,

.ZDAF=/DFA,

.ZDFA=ZPFB,ZPBD=ZDAP,

.ZPFB=ZPBF,

.PF=PB,

.AE=PE-PB.

【我思故我在】本题主要考查了垂径定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形全等的判定

及性质，解题的关键是掌握垂径定理-在5个条件中，1.平分弦所对的一条弧；2.平分弦

所对的另一条弧；3.平分弦；4.垂直于弦；5.经过圆心（或者说直径）.只要具备任意两

个条件，就可以推出其他的三个.

3.如图，AB是的直径，AC是।。的切线，连接。C,弦BDIIOC,连接BC,DC.

⑴求证：0C是:。的切线；

（2）若cosZACB=g，求tan/CBD的值.

【分析】⑴连接。。，如图，利用切线的性质得/Q4C=90,再利用平行线的性质证明

ZAOC=ZDOC,则可判定&AOC国,DOC,从而得到NODC=NQ4C=90,然后根据切线

的判定方法得到结论；（2）作OELCB于£,如图，在MA2C中由于cosNACB===/,

5DC

74r3

则可设AC=3x,BC=4x,所以AB=4x,贝UsinNABC=下=—,再在MQ5E中利用正

BC5

6Y817

弦可表示出OB=三，禾U用勾股定理可得到BE=『，于是得到CE=《x,从而在M.OCE

中根据正切定义得到tanNOCE=白，然后根据平行线的性质即可得到tanZCBD的值.

【详解】（1）证明：连接。。，如图，

AC为切线，

:.OA±AC,

ZOAC=90,

OC//BD,

.\ZAOC=ZABC,ZDOC=ZODB,

OB=OD,

:.NOBD=/ODB,

:.ZAOC=ADOC,

OA=OD

在/AOC和OOC中，＜ZAOC=ZDOC

OC=OC

AOCBDOC,

ZODC=ZOAC=90,

:.OD±CD,

•.DC是。的切线；

（2）解：作OELCB于E,如图，

3AC

在Rt一ABC中，cosNACB=—=,

5BC

设AC=3无，BC=4x,

:.AB=4x,

/.si•nN/A“3c=AC=—3,

BC5

OE3

在RtOBE中，sinZOBE=——=-,

OB5

...08=3年如,

55

BE=yj0B2-0E2=|%,

17

:.CE=BC-BE=—x,

6

-x

在ROCE中，tanZOCE=^f==

CB——1/x17

5

OC//CD,

:.NCBD=/OCB,

.•.tan/CBD的值为，.

【我思故我在】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切

线；圆的切线垂直于经过切点的半径•判定切线时"连圆心和直线与圆的公共点"或"过圆心作

这条直线的垂线"；有切线时，常常"遇到切点连圆心得半径”•也考查了解直角三角形.

4.图，是।。的直径，点C在A2的延长线上，AO平分NC4E交G。于点。，过点/

作AE_LCD,垂足为点E.

(1)判断直线CE与I。的位置关系，并说明理由；

(2)若3C=3,CD=3g,求「。的半径以及线段ED的长.

【答案】(1)CE是I。的切线，理由见解析

⑵3；班

2

【分析】(1)连接OO,根据等腰三角形的性质得出=根据角平分线的定义

得出/E4D=NOAD,即NE4r>=NOD4,根据平行线的判定方法得出8〃AE,根据

AE1CD,得出ODLCD,根据即可得出结论；

(2)^OD=x=OB,在RtC8中,由勾股定理列出关于x的方程即可；先求出

CDOC

OC=O5+BC=3+3=6,然后再根据OD〃AE,得出三=£,代入数据即可得出答案.

DE0A

【详解】(1)：CE是《。的切线，理由如下：

连接0Z),如图所示：

^ZOAD=ZODA,

回AD平分/C4E,

^Z.EAD=ZOAD,

SZEAD=ZODA,

SOD//AE,

又回AE_LCD,

SOD1CD,

回。。是半径，

团CD是。。的切线；

(2)解：^OD=x=OB,在RtO中，由勾股定理得，OD2+CD2=OC2,

即,+(3石『=(x+3『，

解得x=3,

即半径为3；

团OD=OA=OB=3,

0OC=OB+BC=3+3=6,

根据解析(1)可知，OD//AE,

CD0C

团---=---

DE0Af

3>/3_6

DE3

解得：DE=—

2

【我思故我在】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾

股定理，解题的关键是根据平行线的性质得出OD//AE.

5.如图，在等腰二ABC中，AB=AC,以AB为直径的。与BC交于点。，DE1AC,垂

足为E,ED的延长线与的延长线交于点?

⑴求证：EF是的切线;

7

(2)若。的半径为5,BD=3,求CE的长.

【详解】(1)证明：如图，连接0。，

^AB=AC,

^\ZABC=ZACB.

^\OB=OD,

田NABC=NODB,

^\ZACB=ZODB,

^\OD//AC.

^\DE1AC,

⑦DE八OD,即£F_LO£),

团。。是。。的半径，

团石尸是(。的切线；

(2)解：如图，连接AD,

团A5是《。的直径,

^\AD1BC.

^DEIAC,

ZADC=ZDEC=90°.

团NC=NC,

团CDEs,CAD,

CDCE

团---=---.

CACD

团AB=AC=7,

0DC—DB=3.

3CE

团一二---

73

9

团CE=—.

7

【我思故我在】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，圆周角定

理，相似三角形的判定和性质等知识.连接常用的辅助线是解题关键.

6.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AC为直径的，：O与斜边A3交于点。，点E为

边BC的中点，连接DE.

(1)求证：DE是的切线；

⑵填空

①若N3=30。，AC=E,则OE=；

②当N3=。时，以。，D,E,C为顶点的四边形是正方形.

【答案】⑴见解析

(2)®-；②45

【详解】(1)证明：回AC是直径，

SZADC=ZCDB^90°,

回点E为边的中点，

^\DE=CE=BE,

回NECD=NEDC,ZB=ZBDE,

连接。£>,贝！JNOCD=NODC,

0ZODE=Z.ODC+ZEDC=ZOCD+ZECD=ZACB=90°,

回£）石是<。的切线.

(2)解：①团在RtZkABC中，tan/B=—,

BC

CB-=息=3

0tan30°B，

V

13

^DE=-BC=-,

22

3

故答案为：—；

②只要以。，D,E,。为顶点的四边形就是正方形，

则NB=NBDE=-x90°=45°,

2

故答案为：45.

【我思故我在】本题考查了圆的切线的判定及解直角三角形的知识和正方形的判定，通过作

辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形是解答本题的关键.

7.如图，AB是回。的直径，弦CDLAB,E是。延长线上的一点，连接交回。于点尸

连接NRCE.

(1)若N54C=20。，求ZAFC的度数.

(2)求证：AF平分NCFE.

(3)若AB=5,CD=4,且CF经过圆心O,求CE的长.

【答案】(1)70°(2)详见解析(3)4百

【分析】(1)由垂径定理得到％=从而得到与一胡C的关系，通过直角三角

形的性质可以得到NADH,由圆周角定理的推理即可得出NAFC；

(2)由垂径定理和圆周角定理的推理可以得出NACDuNADC,再由圆内接四边形和得出

NAFD与—ACD的关系，从而得到NAfE=NACD,由圆周角定理的推理得出NAFC与

,4X-的关系，从而得出NAFC与N⑷芯的关系，得证；

(3)由垂径定理可以得出S,由勾股定理得出。〃，从而得出的长，再由勾股定理得

出/C的长，由AH〃DE,根据平行线分线段成比例定理，得出AC=AE,从而得出CE的

长.

(1)

(1)解：如图，连接。D,AD,设AB交CD于H.

SAB±CD,

^BC=BD，NAHD=90°,

SZDAB=ZBAC=20°,

0ZADH=90°-ZZMB=70°,

0EL4FC=EL4Z)//=7O°.

(2)

(2)证明：西8是直径，AB±CD,

回AC=AD，

^\ZACD=ZADC,

回NACZ)+/AFZ)=：180°,ZAFE+ZAFD=180°,

SZAFE=ZACD,

田NAFC=NADC=NACD,

^\ZAFC=ZAFE,

的尸平分NCFE.

(3)

(3)解：如图，设AB交CD于H.

C

的8是直径，ABLCD,

^\CH=DH=-CD=2,

2

团oc=3,zone=90°,

2

35

^\AH=OH+OA=-+-=4,

22

^AC=ylcH2+AH2=A/22+42=2^

团CF是直径，

^\ZCDF=ZAHC=90°f

BAH//DE,

CHCA

团----=----

DHAE

田CH=HD,

0AC=AE=2A/5,

EICE=2AC=475.

【我思故我在】本题考查了垂径定理、圆周角定理及推理、勾股定理、平行线分线段成比例

定理，熟练掌握相关定理是解决本题的关键.

8.如图，四边形48co内接于回O,2c为回。的直径，4c与BD交于点E,P为C3延长线

上一点，连接为，且aR48=EL4DB.

(1)求证：以为回。的切线；

3

(2)若/8=6,tan[?L4D5=—,求尸5的长；

4

⑶在(2)的条件下，若4D=CD,求回CDE的面积.

【答案】⑴见解析

,、90

(2)T

(3)5

【分析】(1)连接。4,根据等腰三角形的性质得到回38=回。氏4,根据圆周角定理得到

团C/8=90。，根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)根据三角函数的定义得到/C=8,根据勾股定理得到BC^y/AC2+AB2=10，求得。庆5,

1Q

过8作3小P于尸，设/尸=4后，BF=3k,求得BF=w，根据相似三角形的性质即可得到结

论；

(3)连接OD交NC于"，根据垂径定理得到N〃=C〃=4,得到。〃=后笆^?=3,根据

相似三角形的性质得到DE=^5，根据三角形的面积公式即可得到结论.

(1)

证明：连接。4,

WA^OB,

^3\OAB=^OBA,

E1BC为回。的直径,

EHC/8=90°,

EEL4C8+0Age=90°,

miDB=^ACB=^PAB,

0ELR45+00^5=90°,

030/尸=90°,

则为回。的切线；

⑵

解：^ADB^ACB,

A63

0tan[?L4D^=tan[?L4CB-——=-,

AC4

[?L45=6,

a4C=8,

^C=7AC2+AB2=10

团08=5,

过5作母国4尸于F,

3

团tan(B4Z)5=tan回5/万二一,

4

团设/方=4左，BF=3k,

的5=5左二6,

76

的M，

18

财产、，

团。/团4尸，BF^\AP,

^BF//OA,

^PBF^\POA,

BFPB

团---=------,

OAPB+5

18

即不二总，

5PB+5

cn90

^\PB=—；

7

⑶

^AD=CD,

^CD=AD，

团OZM4C,

a4//=C//=4,

^OH=yJo^-AE2

即汨二2,

^CD=^JCH2+DH2=2石，

四。=7BC2-CD2=4A/5，

^ADE=^\BDA,^DAE^\ABD,

^\ADE^\BDA,

ADDE

团---=---，

BDAD

拽一匹

即站一折

^DE=y/5,

03cM1的面积为Lc»OE=！x20x君=5.

22

9.问题提出

c

图1图2图3

⑴如图1,N3为圆O的弦，在圆O上找一点尸，使点尸到N3的距离最大.

(2)问题探究

如图2,在扇形中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为4?上任意一点，连接尸河，与

交于点。，若/8=10,AM=7,求出尸。的最大值.

⑶问题解决

如图3,小华家有一块扇形的田地，线段。4、线段。2以及AB分别为扇形/。2的边

沿部分.经过市场调查发现，小华爸爸打算在扇形工。3的田地中圈出一片空地用作种植当

季蔬菜，具体操作方式如下：在AB上选取点C，过点C作。W7/O8,CN//OA,则四边形

MCWC为小华爸爸所圈空地.已知：扇形的圆心角a4。8=60。，OA=OB=90m,且用

于修建围挡的线段部分与线段CN部分的成本均为30元/米.请你根据以上数据计算:

小华爸爸最终所花费的修建费预算最多是多少元？(即求出CA/+CN的最大值)(结果保留

整数，取指=1.73)

【答案】(1)见解析

(2)7-2A/6

(3)210元

解：如图1,过点。作OPEL48,

图1

此时点P处于中心位置,

团在圆内，弦所对弧的中点到弦的垂线段距离最大，

团此时P点到AB的距离最大；

(2)

解：如下图，0点在48的中点时，0M最小，则尸0最大,

^MA=MB,AQ=BQ,

EL45=10,AM=7,

SAQ=BQ^5,

SQM=^AM--A(^=V72-52=276,

@PQ=PM-QM=1-2娓;

⑶

解：由题意可知，当点C处于AB中点时，对角线最长，

此时，0c=04=90,48EIOC与点0,

^CMIIOB,

0EL4MC=6O°,

^CNHOA,

aacN8=6o°,

aaCM0=EICN0=60°,

aacwN为等边三角形，

同理证明回OMN也为等边三角形，

在RtfflOM。中，O0=goC=45,0M=2MQ,OM2=MQ2+OQ2,

0OAf=15>/3»26.01,

H3(WCN的周长C=OM+ON+NC+MC=4OM=8A/Q=208.08=209(不足1米按照1米计算),

团成本均为30元/米，

则预算最多为：7x30=210（元）.

【我思故我在】本题考查了弦所对弧的中点到弦的垂线段距离最大，点到弦之间的距离垂线

段最短，平行四边形周长的最大值，解题关键是把求平行四边形四条边的平方的和，换成求

平行四边形对角线的最大值，问题就得以解决.

10.如图，在AABC中，BA=BC,ZABC=90°,以AB为直径的半圆。交AC于点D,点

E是8〃上不与点B,D重合的任意一点，连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.

（1）求证：^ADF=NBDG-,

（2）填空：

①若河必，且点E是B3的中点，则DF的长为；

②取AE的中点H,当NE钻的度数为时，四边形OBEH为菱形.

【答案】（1）见解析（2）①4-2夜②30。

【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得==再应用同角的余角

相等可得ZQ4尸=ND3G,易得AD=BD,三ABDG得证；

（2）作"应用等弧所对的圆周角相等得NS4E=NZME,再应用角平分线性质可

得结论；由菱形的性质可得班'=03,结合三角函数特殊值可得NE4B=30°.

【详解】图1

解：（1）证明：如图1,BA=BC,ZABC=9Q）,

ABAC=45°

AB是：。的直径,

/.ZADB=ZAEB=90°,

/.ZDAF+ZBGD=/DBG+ZBGD=90°

/.ZDAF=ZDBG

ZABD+ZBAC=90°

:.ZABD=ZBAC=45°

:.AD=BD

\ADF=ABDG(ASA)；

图2

(2)①如图2,过F作于H,点E是的中点,

,\ZBAE=ZDAE

FDLAD,FHLAB

FH=FD

=sin/ABD=sin45°=,

BF2

BF2

AB=4,

.•.50=4cos45°=20,即B尸+尸。=20，(加+1)方。=20

故答案为4-20.

G

oB

a图3

②连接OE,EH,点H是AE的中点，

:.OHLAE,

ZAEB=9G

:.BE.LAE

:.BE//OH

四边形OBEH为菱形，

:.BE=OH=OB=-AB

2

BF1

sinZEAB=——=-

AB2

ZEAB=30°.

故答案为300

11.如图，AB是回。的直径，弦CD回AB于点E,G是AC上一动点，AG,DC的延长线交于点

F,连接AC,