黑龙江省鹤岗三中2024届高考冲刺数学模拟试题含解析

黑龙江省鹤岗三中2024届高考冲刺数学模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2A,x<0

1.已知函数/(%)=<

log3尤,x>0

C.-log32D.log32

2.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个

以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄

色，其面积称为朱实、黄实，利用2x勾X股+(股-勾)2=4义朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2.设勾股形

中勾股比为1：百，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()

A.134B.866C.300D.500

3.已知F是双曲线C:近？+y2=4k|(改为常数)的一个焦点，则点尸到双曲线C的一条渐近线的距离为()

4.设函数/Xx)的定义域为R,满足/(x+2)=2/(x),且当xe(0,2］时，/(x)=—%(%-2).若对任意xe(―8,列),

40

都有/(x)<亍，则机的取值范围是().

—00,——co,——C.(-co,7]—00,——

433

5.定义域为R的偶函数/(x)满足任意x£R,有5(%+2)=/(%)-/(1)，且当工£[2,3]时，f(x)=-2x2+12x-18.

若函数y=/(%)-log.(x+l)至少有三个零点，则〃的取值范围是()

22

6.已知双曲线C：二—3=1（。＞0力＞0）的左右焦点分别为白，K,尸为双曲线C上一点,。为双曲线C渐近

a'b"

线上一点，P,。均位于第一象限，且2。夕=尸尸2，少？。尸2=0,则双曲线C的离心率为（）

A.73-1B.73+1C.713+2D.713-2

7.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、

艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“■一”表示一个阳爻，表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦,

这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）

3£

C.—D.

5628144

,、14

8.公比为2的等比数列｛4｝中存在两项金，%,满足4/〃=32的2,则一+一的最小值为（）

mn

9.在平行四边形ABC。中，AB=3,AD=2,AP=；A3,AQ=；AD,若CP-CQ=12,则NADC=()

5713兀In7i

A.—B.—C.—D・—

6432

—x^+%2,x<1

io.已知函数/a）halnx,,若曲线y=/（x）上始终存在两点A,B,使得且AB的中点在V

----------,x＞1

x（x+l）

轴上，则正实数4的取值范围为（）

A.（0,+oo）B.fo,-1

C.—,+a)D.[e,+oo)

e

11.在ABC中，。为边上的中点，且|A3|=1,AC|=2,N84C=12O。，贝！l|AD|=()

A.正B.-C.-D.立

2244

12.函数/(x)=Asin(or+°)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与/。)的图象交于M,N两点，且M在V轴

上，则下列说法中正确的是

A.函数的最小正周期是2兀

B.函数/(X)的图象关于点兀,oj成中心对称

C.函数/(尤)在(-=,<)单调递增

36

57r

D.函数/(尤)的图象向右平移一后关于原点成中心对称

12

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，椭圆「：二+亡l(a〉6〉0)的离心率为e,尸是「的右焦点，点尸是「上第一角限内任意一点,

“b2

UUUUL1UUUUUULU

C>e=2OP(2>0),FQ0P=Q,若/l<e,则e的取值范围是

14.从编号为1,2,3,4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第

一次抽得的卡片上数字整除的概率为.

15.已知函数/(x)=e=1,则关于％的不等式/■(2幻+/(%+1)>-2的解集为

16.已知x>0,y>0,x+3y=5xy,则x+2y的最小值是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，平面四边形ABC。中，BC//AD,ZADC=90°,ZABC=120°,E是AO上的一点，

A8=6C=2£）E,b是EC的中点，以EC为折痕把△即C折起，使点。到达点尸的位置，且PC,跖.

（1）证明：平面PECL平面ABCE；

（2）求直线PC与平面R钻所成角的正弦值.

18.（12分）若关于x的方程好+（相-2）x+5-根=0的两根都大于2,求实数，〃的取值范围.

19.（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习

惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环

保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫

生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息

规律状况类.经过数据整理，得到下表：

卫生习惯状垃圾处理状体育锻炼状心理健康状膳食合理状作息规律状

况类况类况类况类况类况类

有效答卷份数380550330410400430

习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6

假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.

（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；

（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具

备两类良好习惯的概率；

（3）利用上述六类习惯调查的排序，用=1”表示任选一位第左类受访者是习惯良好者，“短=0”表示任选一位第

左类受访者不是习惯良好者（左=1,2,3,4,5,6）.写出方差。5，呢，。或，D4,。短的大小关系.

20.（12分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的

3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的

3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、

数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名

来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为二、

.、二、二，、-、-,、-、-共8个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为-、.、_.、

_：：、〃一、—・、；「.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将二至二等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，

分别转换到91-100、81-90.71-80,61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.

举例说明.

某同学化学学科原始分为65分，该学科二一等级的原始分分布区间为58〜69,则该同学化学学科的原始成绩属二一等

级.而二_等级的转换分区间为61〜70,那么该同学化学学科的转换分为：

设该同学化学科的转换等级分为二，•一_求得二

---;=-^^―

四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.

(1)某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩

基本服从正态分布一二二::.

(i)若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为二一,其所在原始分分布区间为82〜93,求小明转换后的

物理成绩；

(ii)求物理原始分在区间-一的人数；

(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记二表示这4人中等级成绩在区间二的人数，求二的分布

列和数学期望.

(附：若随机变量口~口(口的，则口(口一二〈二〈口+二)=0.6S：f二(二-2Z<Z<0+：二)=0.954'

Z(Z-5Z<Z<O+3”0.”-)

21.(12分)已知函数/(x)=lnx-nu-疗工2(根eR).

(1)讨论函数/(%)的极值；

(2)记关于％的方程/(%)+疗X2=0的两根分别为p,q(p<q),求证：lnp+lnq>2.

22.(10分)已知函数/(x)="x2+cosx(aeR),/(x)是的导数.

(1)当。=1时，令//(%)=/'(%)—x+lnx,"(x)为/z(x)的导数.证明：丸’(x)在区间0,1^存在唯一的极小值点;

2TC

(2)已知函数y=/(2x)——X，在0,-上单调递减，求。的取值范围.

3_2_

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据分段函数解析式，先求得/当的值，再求得的值.

【详解】

故选:A

【点睛】

本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.

2、A

【解析】

分析：设三角形的直角边分别为1,代，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.

解析：设三角形的直角边分别为1,0则弦为2,故而大正方形的面积为4,小正方形的面积为(退=4-2君.

图钉落在黄色图形内的概率为上38=.

42

,落在黄色图形内的图钉数大约为1000x2=8。134.

2

故选：A.

点睛：应用几何概型求概率的方法

建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量.

⑴一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；

⑵若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角

坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；

(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐

标系即可建立与体积有关的几何概型.

3、D

【解析】

分析可得k<0,再去绝对值化简成标准形式，进而根据双曲线的性质求解即可.

【详解】

当左》0时，等式履2+V=414I不是双曲线的方程；当k<0时，62+V=41左1=—4限可化为上二—二=I,可得虚

---4k4

半轴长力=2,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.

故选：D

【点睛】

本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.

4、B

【解析】

求出/(x)在左e(2〃,2"+2］的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.

【详解】

当xe(2〃,2"+2]时，x-2ne(0,2],/(%)=2"/(x-2n)=-2"(x-2n)(x-2«-2),

40

/(x)max=2"，又4<豆<8,所以机至少小于7,此时/(x)=—23(x—6)(x—8)，

令/(x)=d，得—23(x—6)(x—8)=d，解得彳二1或刀二刀，结合图象，故

故选：B.

【点睛】

本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.

5、B

【解析】

由题意可得/■(%)的周期为2,当xe[2,3]时，/(%)=—2/+12x—18,令g(x)=log.(x+l),贝ij/(x)的图像和g«)

的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据g(2)>/(2),求得。的取值范围.

【详解】

Ax)是定义域为R的偶函数，满足任意XGR,

于(x+2)=/(x)-/(I)，令尤=—1,")=/(-I)-/(D，

又/(-I)=/(D,.-./(D=0,/(x+2)=/(x),

・・・/(x)为周期为2的偶函数，

当xe[2,3]时，/(%)=-2x2+12x—18=-2(x-3)2,

当xe[0,1],x+2e[2,3],/(x)=/(x+2)=-2(x-I)2,

当xe[-1,0],-xe[0,1],/(x)=f(-x)=-2(x+1)2,

作出/(x),g(x)图像，如下图所示：

函数V=/(x)-logfl(x+1)至少有三个零点，

则/(尤)的图像和g(x)的图像至少有3个交点，

•./(%)<0,若”>1,

/(元)的图像和g(x)的图像只有1个交点，不合题意，

所以0<。<1,f(x)的图像和g(x)的图像至少有3个交点，

则有g⑵>/⑵,即log.(2+1)>f(2)=-2,.-.loga3>-2,

.1Q21c1.八百

a233

故选:B.

【点睛】

本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.

6、D

【解析】

22

由双曲线的方程二-与=1的左右焦点分别为耳,耳，尸为双曲线C上的一点，。为双曲线C的渐近线上的一点，

a"b"

且P,Q都位于第一象限，且2QP=PF2,QFlQF2=0,

可知尸为QB的三等分点，且

点Q在直线法-砂=0上，并且|OQ|=c,则Q（a,Q,乙（c,0）,

设P（%,%）,则2（石一。,%-8）=（。一七,一%）,

f2a+c2b口弓2bx

解得为==—，乂=§，即a：-三）'

代入双曲线的方程可得（2"+：/—1=1,解得e=$=A-2,故选D.

4a24a

点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重

要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出。，。，代入公式e=£；②只需要

a

根据一个条件得到关于仇c的齐次式，转化为。的齐次式，然后转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式），

即可得e（e的取值范围）.

7、C

【解析】

分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没

有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解.

【详解】

由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是=3；

仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是端=3,于是所求的概率

P-1±2.2

故选：C

【点睛】

本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.

8、D

【解析】

根据已知条件和等比数列的通项公式，求出私〃关系，即可求解.

【详解】

ctmcin-2掰+"2=32〃/m+n=7，

1451413

当根=L〃=6时，-+—=当根=2,〃=5时，一+—=一,

mn3mnIQ

1441419

当加=3,〃=4时，—+—=—,当加=4,〃=3时，一+—=一,

mn3mn12

141114?5

当根=5,〃=2时，一+—=一,当加=6,〃=1时，一+一=一,

mn5mn6

14日।任位13

一十一最小值为二.

mn10

故选:D.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式，注意根，〃为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.

9、C

【解析】

2----------1JT

由CP=C3+3P=—AD—§A3,CQ=CD+。。=——5AD，利用平面向量的数量积运算,先求得NBAD=-,

利用平行四边形的性质可得结果.

【详解】

D,-----------------C

O

如图所示,

A

PB

平行四边形ABCD中，AB=3,AD=2,

11

AP=-AB,AQ=-AD,

:.CP=CB+BP=-AD--AB,

3

CQ=CD+DQ=-AB-^AD,

因为CPCQ=12,

所以CP.CQ=-1-|AD

2-21-24

=-AB+-AD+-ABAD

323

214

=-X392+-X292+-X3X2XCOSZBAD=12,

323

17T

cosABAD=—,:.NBAD=—,

23

7i2开

所以NADC=〃——=——，故选C.

33

【点睛】

本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量的运算有两种方法：(1)平行四边

形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；(2)三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是

和).

10、D

【解析】

根据A3中点在y轴上，设出A,B两点的坐标4(一/,「+产)，a>o).对，分成三类，利用

则04.03=0,列方程，化简后求得。=工，利用导数求得L的值域，由此求得。的取值范围.

InzInr

【详解】

根据条件可知4,3两点的横坐标互为相反数,不妨设A(T,r+/),，(/>0),若f<1,则/⑺=-t3+/，

由。4,0瓦所以0403=0,即一/+"3+/)(—/+/)=0,方程无解；若"1,显然不满足04,03；若>1,

,”、alnt2/32\々In/八t./％)lnt-1-t

则/«)=丁=，由。4.03=0,即一厂+卜+厂丁丁=0,即。=「，因为—=;―所以函数「

t(t+1)\«+1)InfUn”(inf)Inr

在(O,e)上递减，在(e,上递增，故在/=e处取得极小值也即是最小值自=6,所以函数y=£在(1+8)上的

值域为[e,+oo),故ae[e,+8).故选D.

【点睛】

本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最

小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.

11,A

【解析】

由。为边上的中点，表示出=+然后用向量模的计算公式求模.

【详解】

解：。为边上的中点，

AD=^(AB+AC)

|AD|=|(A5+AC|(A5+AC2

=也AB?+AC?+2AB-AC)

^^1(12+22+2X1X2XCOS120-)

故选：A

【点睛】

在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.

12、B

【解析】

根据函数的图象，求得函数/(x)=Asin12x+。，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案.

【详解】

T[1TCTCTC

根据给定函数的图象，可得点C的横坐标为；，所以；T=;-(-：)=”，解得了=万，

32362

所以〃龙)的最小正周期T=»,不妨令A＞0,。＜。＜万，由周期T=»,所以0=2,

又/[彳]=0，所以夕=g，所以/(%)=Asin[2x+g],

jrKTT7TX=y,即函数/（龙）的一个对称中心为］g肛0

^2x+-=k7T,keZ,mnx=—--,k^Z,当左=3时,

326

即函数/（力的图象关于点成中心对称.故选B.

【点睛】

本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得

三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能

力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

以唱

【解析】

由于点P在椭圆上运动时，。尸与X轴的正方向的夹角在变，所以先设/FOQ=，，又由/。•OP=0,可知

Q（ccos2accos6sin。），从而可得PCCOS,CCOSSin,而点尸在椭圆上，所以将点尸的坐标代入椭圆方程

中化简可得结果.

【详解】

设|。同=。，P（九,y）,ZFOQ=0,则既ccos?ccosOsin。），

由々=2筋（丸＞0）,得力十,空竽竺］,代入椭圆方程，

c2cos40c2cos2^sin20.c2b1cos26八ccc'

得---；—+---------------=22＜二，化简得丁〉------二（0。＜。＜90。）怛成皿

a~b~aa1+cos-0

力21（J?

由此得勺2上，即a222c之，故ee0,-^—.

a2I2_

故答案为：

【点睛】

此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率，综合性强，属于难题.

1

14、-

2

【解析】

基本事件总数九=4x4=16,第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求

出概率.

【详解】

解：从编号为1,2,3,4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，

基本事件总数九=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,2),(2,4),(3,3),(4,4).

Q1

所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为p=—=~.

162

故答案为

2

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.

/1、

15、(-§,+00)

【解析】

判断g(x)=/(x)+l的奇偶性和单调性，原不等式转化为g(2x)>3(x>)=g(—x—)-运用单调性，可得到所

求解集.

【详解】

令g(x)=/(x)+l，易知函数g(x)为奇函数，在R上单调递增，

/(2x)+/(x+l)>-2o/(2x)+l+/(x+l)+l>0)

即g(2x)+g(x+l)>0,

，g(2x)>T(x>)=g(—%—)

2x>—x—l即x>—

f3

故答案为：[―I，+00]

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

16、垃+1.

5

【解析】

1f131

因为x+2y=1-+-(x+2y),展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.

51yX)

【详解】

13「

由x+3y=5孙，得一+—=5,

y%

所以x+2y=，—+—(x+2y)=—5+—+-^->—(5+21->^-)=j9当且仅当尤=&)?,取等号.

51yX)51yxJ5\yx5

故答案为：亚+1

5

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2)好

5

【解析】

(1)要证平面PECL平面A3CE,只需证5尸，平面PEC,而PCL5/，所以只需证BFLEC,而由已知的数

据可证得AfiCE为等边三角形，又由于R是EC的中点，所以从而可证得结论；

(2)由于在RfAPEC中，PE=DE=PF=-EC=2a,而平面PEC,平面A6CE,所以点P在平面A3CE的投

2

影恰好为所的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【详解】

(1)由BC//AD,NAQC=9O°,AB=3C=2DE,所以平面四边形ABC。为直角梯形，设AB=BC=2DE=4a,

因为NABC=120°.

所以在RtACDE中，CD=2吗,EC=4a,tanNECD,则/ECD=30°，又ZADC=ZBCD=90°，

CD3

所以NBCE=60»由EC—BC-AB=4a,

所以ASCE为等边三角形，

又尸是EC的中点，所以5ELEC,又BF工PC,EC,PCu平面PEC,ECcPC=C,

则有所，平面PEC,

而跳'u平面ABCE,故平面PEC_L平面ABCE.

(2)解法一：在RtAPEC中,PE=DE=PF=-EC=2a,取EF中点O,所以POLE/,

2

由(1)可知平面PEC_L平面ABCE,平面PEC平面？1SCE=EC,

所以尸0,平面ABCE,

以。为坐标原点，。。方向为y轴方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,A(2\/3a,-3a,0),B(2y[3a,a,0),C(0,3a,0)>

PA=(2y/3a,-3a,-y/3a),PB=(2s[3a,a,-y/3a),PC=(0,3a,-y/3a),

m-PA=0,\2y/3ax-3ay-垂>az=0,

设平面R45的法向量m=(x,y,z),由得广厂取元=1,则〃2=(1,0,2)

[m-PB=0[2y/3ax+ay-yj3az=0,

设直线PC与平面所成角大小为0,

皿•)\m-PC26a非

贝！Isin0=---i=：―/==~~，

|国PC#+22-1给a?+(—布af5

故直线PC与平面R45所成角的正弦值为—.

5

解法二：在RtPEC中,PE=DE=PF=-EC=2a,取E尸中点。，所以POLER,由(1)可知平面PECL

2

平面ABCE,平面PEC平面ABCE=EC,

所以尸O_L平面A5CE,

过。作于H,连PH,则由尸0,平面平面A5CE,所以/RLPO,又

ABLOH,POc>OH=O,则AB,平面POH,又PHu平面POH所以在Rt_POH中,

PO=#>a,OH=BF=2#>a,所以PH=JXa，设C到平面P4B的距离为d,由匕-PAB=匕>.ABC，即

—xSPABxd=-xSBECxOP,即工义工x4a义=—x—x4ax2y/3axy/3a,

可得d

6

设直线PC与平面R45所成角大小为。，则.4d厉“后.

sinex=-----=——=—

PC26a5

【点睛】

此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题.

18、(-5,-4]

【解析】

/(2)>0

m—2

先令/(x)=/+(加-2)x+5-m,根据题中条件得到＜-——>2,求解，即可得出结果.

2

A>0

【详解】

因为关于X的方程X2+("7-2)x+5-=0的两根都大于2,

令f(x)=/+(m-2)x+5-m

/(2)=4+2m-4+5—m>Q

所以有〈一与222,

A=(m—2)2—20+4m>0

m>-5

解得〈根《-2,所以一5<加<-4.

m>4或m<-4

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型.

19、(1)0.104(2)0.766(3)。短=

【解析】

(1)设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者"的事件为A,根据古典概型求出即可；

(2)设该区“卫生习惯状况良好者“，"体育锻炼状况良好者“、"膳食合理状况良好者”事件分别为A,B,C,设事

件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则

P(E)-P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC),求出即可；

(3)根据题意，写出即可.

【详解】

(1)设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”的事件为A,

有效问卷共有380+550+330+410+400+430=2500(份)，

其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是400x0.65=260人，

故°⑴=^=°-104=

(2)设该区“卫生习惯状况良好者“，"体育锻炼状况良好者“、"膳食合理状况良好者”事件分别为A,B,C,

根据题意，可知P(A)=0.6,(B)=0.8,P(C)=0.65,

设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“

贝(JP(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+尸(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.6x0.8x0.35+0.6x0.2x0.65+0.4x0.8x0.65+0.6x0.8x0.65

=0.168+0.078+0.208+0.312

=0.766.

所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.

(3)=D^>%>D品>D^>.

【点睛】

本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题.

20、(1)(i)83.;(ii)272.(2)见解析.

【解析】

(1)根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足

二:八::二,，结合正态分布的对称性即可求得二二内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。

(2)根据各等级人数所占比例可知在区间♦二：内的概率为，由二项分布即可求得二的分布列及各情况下的概率，结

J

合数学期望的公式即可求解。

【详解】

(1)(i)设小明转换后的物理等级分为二，

二

求得DaRT

小明转换后的物理成绩为83分；

(ii)因为物理考试原始分基本服从正态分布-一..，

所以二二二：，二二F：,二：5-;-：二二

J1

="=D(M<□<«)-=□(«<□<f

Ai

f

=^(APJ4-ftd82)

=

所以物理原始分在区间二；_的人数为=七一:“二二二(人)；

(2)由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间.厂内的概率为，

5

随机抽取4人，贝!J

XI同

二(二=。)=.份=*二(二=/)=匚：.；6)’=思

的=2)=山.侯6'=老的=处="唱’6=益

-的分布列为

n01234

8121621616

J

初百

数学期望.

二仁)・w

【点睛】

本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细

心的分析和理解，属于中档题。

21、(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)对函数求导，对参数，〃讨论，得函数单调区间，进而求出极值；

(2)。，4是方程/(尤)+加2兀2=0的两根，代入方程，化简换元，构造新函数利用函数单调性求最值可解.

【详解】

石、桃由声,'/、1c2l-mx-2m2x2(l+nvc)(l-2nvc)

(1)依题意，/(%)=一—m-2mzx=--------------=----------------；

xxx

若m=0,则/'(x)=L〉O,则函数/(x)在(0,+。)上单调递增，

此时函数/(X)既无极大值，也无极小值；

若机>0,则l+mx>0,令/'(x)=0,=--,

2m

故当xe(0,f—)时，/(幻>0,/(%)单调递增；

2m

当xe(/-,+s)时，f'(x)<Q,/(九)单调递减，

2m

此时函数/(有极大值f(二一)二In二—m•二—m2(-^―)2=In二—g,无极小值；

2m2m2m2m2m4

若加<0,贝!!l-2