2024届河北高三年级下册省级联测考试（3月）数学试题+答案

绝密★启用前

2023-2024高三省级联测考试

数学试卷

班级姓名

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合人=(]£?4|(x+2)(x-l)<0},B={2,3}，则AUB=

A.{0,1,2,3}B.{0,2,3}C.{1,2,3}D.0

2.已知复数z满足(1—i)・2=|1+1|,则£=

.4242.7272.V272.42.42.

Bn--y-T1C-T+T'D--T+T1

3.将向量次=(1,1)绕坐标原点O逆时针旋转60°得到演，则5X•AB=

A.1B.-1C.2D.-2

4.已知cos停+a)=9,则,sin停+2a)=

33„23「23

AA'-25Rn25C「云D.西

5.已知抛物线式=4z的焦点为F,准线为2,P是抛物线上位于第一象限内的一点，过点P作2

的垂线，垂足为Q,若直线QF的倾斜角为150°,则\PF\=

41

A.2B.9C.-D.3

6.甲、乙、丙、丁4位同学报名参加学校举办的数学建模、物理探究、英语演讲、劳动实践四项活

动,每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下,4位同学所报活动各

不相同的概率为

2C2

A18B-32,99

省级联测考试I数学(五)•冲刺卷n第1页(共4页)

7.已知双曲线C：|j一去=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为F,,而，过F2的直线交双曲线C

的右支于P,Q两点，若耐=4■超，且I配|=|用口，则双曲线C的离心率为

A.2B.4C,6D.3

8.设。=ln（l+O.l）,6=sin0.l,c=],则下列大小关系正确的是

乙JL

A.a<b<cB.aVcV6C.c<Za<ZbD.cVbVa

二、选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知正数a,6满足（a-DS—D=l,则下列选项正确的是

A,—+^-=1B.：+2625C.a+6>4D.a2+62>8

abb*t!

10.下列说法正确的是

A.若数据1,3,4,4,根的极差和平均数相等，则帆=学

B.数据1,3,7,7,9,12,16的第80百分位数为10.5

C.若X〜N（60,52）,则P（X<60）=0.5

D.若X〜8（4,9），随机变量丫=3X—1,则E（Y）=7

11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AiBCQ中,M,N分别是AB,AD的中点,P为线段

CjD,上的动点,则下列结论正确的是

A.存在点P，使得直线PM与直线AD1为异面直线

B.存在点P，使得MN_LPN

C.若P为线段GDi的中点，则三棱锥F-MNC】与三棱锥C「MNB体积相等

D.过M,N,P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为苧

三、填空题：本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.已知数列｛an｝是首项为1,公差为2的等差数列，若am=m+7,则m=.

IDD

13.已知圆0：/+丁=2,过点p（i,3）的直线/交圆o于A,B两点，且曲一=2,则满足上述

条件的一条直线I的方程为.

14.已知函数f（工）=sin<DX+73cos<DX（3>0）,若在区间[。，制上有且仅有两个不相等的实数

工1，小，满足fCci）+f（刈）=4,则3的取值范围为.

省级联测考试I数学（五）•冲刺卷n第2页（共4页）

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

记ZVIBC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知四asinB—6cosA=6.

⑴求A;

（2）若a=2,求6—2c的范围.

16.（本小题满分15分）

2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021—2035年）》，要求深入实

施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强

国.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型

车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新

技术、新结构的汽车.为了了解消费者对不同种类汽车的购买情况，某车企调查了近期购车的

100位车主的性别与购车种类的情况,得到如下数据：

单位:人

购车种类

性别合计

新能源汽车传统燃油汽车

男20

女50

合计30100

（1）补全上面的列联表，并根据小概率值a=0.001的独立性检验，判断购车种类与性别是否

有关；

（2）已知该车企的A型号新能源汽车有红、白、黑、蓝四种颜色.现有三个家庭各计划购买一

辆A型号新能源汽车，记购买的汽车颜色相同的家庭个数为£求£的分布列与数学

期望.

%y2________n(ad—be)2

(a+6)(c+〃)(a+c)S+d)，n=a+6+c+d.

a0.100.050.0100.001

2.7063.8416.63510.828

省级联测考试I数学（五）•冲剌卷口第3页（共4页）

17.(本小题满分15分)

如图，已知平行六面体ABCD-A田CQ的棱长均为3,NAIAB=NAIAD=NDAB=60°.

(1)证明：

(2)延长CG到E,使C】E=C1C,求直线A】C与平面BDE所成角的正弦值.

18.(本小题满分17分)

已知函数/(z)=-ae，-sinz—1在区间(0,同内有唯一极值点了】，其中。£R，e为自然对

数的底数.

(D求实数a的取值范围；

(2)证明：/(外在区间(0用内有唯一零点.

19.(本小题满分17分)

信息嫡是信息论之父香农(Shannon)定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信

的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余,把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息

燧”，并给出了计算信息嫡的数学表达式:设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,〃GGN*),

且尸(X=f)=力，>0G=l,2,…,〃),与力=1,定义X的信息炳H(.X')=—^ipilog,Pi.

⑴当〃=1时，计算H(X)；

(2)若力=/(3=1,2,判断并证明当〃增大时,H(x)的变化趋势；

(3)若〃=2〃z(mGN"),随机变量丫所有可能的取值为1,2,…，相，且P(y=j)=/b+

力2m+i-,G=l,2,…即)，证明：H(X)>H(Y).

省级联测考试I数学(五)•冲刺卷口第4页(共4页)

2023-2024高三省级联测考试

数学参考答案

题号1234567891011

答案AABcBcDCACDCDBCD

1.A解析：因为A=lrGN(1+2)(7一1〉&0)={0.1)・又3={2.3).所以八113={0」.2.3}.故选A.

［命题意图］本题考查知识点为集合的运算、解不等式•考查了学生的数学运算素养.

CA5y3dl…Lg”V2V2(l+i)应(1+i)42,42.42叵•A

2.A解析：因为ll+i|=V^.所以z=mj=(］f(］内)=--2----二叠+万।•所以：=万一"2U故选A*

［命题意图］本题考查知识点为复数的运算、共朝复数的概念,考查了学生的数学运算素养.

3.B解析：因为冰n/F不产=6.且1/|=历•所以示•AB=OA•(OB-OA)=OA-OB-

OA2=72XV2X1-2=-I.故选a

［命题意图］本题考查知识点为平面向量的线性运算,考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.

4.C解析:因为sin(1+2a)=sin|'2传+Q)=cos2伐+a)=2cos，信+a)—1•所以sin+a)=

123

2X——1=——.故选C.

［命题意图］本题考查知识点为三角函数公式,考查了学生的逻辑推理与数学运茸素养.

5.B解析:过点F作PQ的垂线,垂足为H,则NQFH=60°.设|FH|=1.因为QH=2,所以tan60°=

j*.所以％=竽^•所以P(y.IPFI=y+1=Y-故选B.

［命题意图］本题考查知识点为抛物线的定义、直线的倾斜角,考查了学生的叟辑推理与数学运算素券.

6.C解析：设八=“甲同学报的活动其他同学不报”.8=“4位同学所报活动各不相同”.由题得〃(A)=4X

3X3X3.〃(AB)=4X3X2X1,所以尸(35)=小黑=二|察二.故选C.

〃(71)4X3X3X39

［命题意图］本题考查知识点为条件概率,考查了学生的数学抽象、逻辑推理与数学运算素养.

7.D解析：因为PF*=|乔［=2<.所以I而|=2a+2c,又耐=；员.所以Q^［=4c•所以

I职I=为+如.在△BPF?中.cos/玛玛P=⑵"+长:产+红=4c在

Z•LCOC

人lc»/llc(4c)2+(2<)2—(2a+4c)24<'—16ac—4u3d/广ln।

△F|QF：中•cos/FiFzQ=---------------——-------------=-----------------------因为cos/F|F2P+

2•4c•2cloc

cosZFtFQ=0.所以“-J?；——2+*-16a<Ta-=0.整理得(3c+a)(c-3u)=0.故，=3a.故离

&-16c

心率e='=3.故选D.

a

数学(五)•冲剌卷n答案第1页(共7页)

［命题意图］本题考查知识点为双曲线的离心率,考查了学生的数学抽象、爱辑推理与数学运算素养.

8.(,解析:令八J)=ln(1-*-.!•)—sin.r(0<LrV］).则/'(.r)=工；1—cos.令月(.r)=./'(/).*'(.r)=

-J.1"+sinx.当OVrVB时.月’(，)单调递增仔)=---------j+sin-y>0,g/(0)=-KO,

•十I)L'2'n,,VZ

(5+1)

所以存在t6(o・］).使得/a)=o,且当丁€(0./)时,/(,)〈0.8(工)=，'(工)单调递减；当

•r€(/.同时.K’Cr)>0.八］)=/'(1)单调递增.又//(0)=0.f'(y)=―-—>0.所以存在

-2+1

，“W(0,：),使得/'(〃1)=0.且当工£(,“,同时/”)>0./(.7)单谢递增；当,€(0"“)时/—).

单谢递减.乂/(0)=0./(1)=山(1+1)-1<0•所以当OV/V：时./a)V0.即Ind+xX

£»ta4

sinx.当才=0.1时.则ln(l+O.IXsin0.1.即aV〃.令AG)=Inx~2(r^"?>Cr>l)-

J-r11

4(r—1)22

=•所以〃(1)〉人(1)=°,当M=1・1时•则卜1.1>券.即a>c・故cVaVA故

(x+l)J-(J-+1)21

选C.

［命题意图］本题考查知识点为利用导数比较大小•考查了学生的教学抽象、更辑推理与数学运算素养.

9.ACD解析：对于A.由题可得aO=a+。.即工+；=1.故A正确；对于8.%+幼=丁］+2(〃-1)+

abbb—1

2*定+2.当且仅当/，=1+乌时.等号成M.故B不正确；对于C.°+6=(“+〃)仕+!)=2+9+

2b9a

122+2=4.当且仅当a=占=2时.等号成立.故C正确；对于D.u一.当且d

”=〃=2时.等号成立.故口正确.故选ACD.

［命题意图］本题考查知识点为基本不等式•考查了学生的数学抽象、迷辑推理与数学运算素养.

10.CD解析：对于A.当m>4时.,”一1=空卫.解得，〃=孕.当14切V4时.4-1=空".解得，“=3.

545

当,〃VI时.4-，〃=空卫.无解•故A不正确：对于B.由于7X8O%=5.6,所以数据1.3.7.7.9.12.

0

16的第80百分位数为12.故B不正确；对于C.X〜N(60・5D,则P(X<60)=0.5•故C正确；对于D.

若X〜必小).则E(i)=4X,=：.所以随机变量Y的期望E(Y)=E(3X—D=3E(X)—1=8一

1=7.故口正确.故选CD.

［命题意图］本题考查知识点为数据的平均数、极差、百分位数以及正态分布、二项分布的计算•考查了学

生的教学抽象、逻辑推理与数学运算素养.

ll.BC'D解析：对于A.如图.连接AD-13g,由正方体的性质知.AB〃C|D一所以A・B.gQ四点共

面.PM.A，U平面ABC\D厂故A不正确；

数学(五)•冲剌卷n答案第2页(共7页)

对于B.如图.设CD的中点为Q.连接MQ.PQ.NQ.若P为CQi的中点.则PQJ_平面ABCD.又

MNU平面ABCD.所以PQ上MN.在ANMQ中.M.、=NQ=+=9,MQ=1,所以

MN'+NQ=MQL故MN_LNQ.又PQn.\Q=Q.PQ.NQU平面NPQ.所以MN_L平面NPQ.乂

PNU平面NPQ.所以MN_LPN.故B正确;

对于C.如图.取BC的中点F，连接PF.FM.iftACQBDO.连接.则几何体PCtF-

N()M为斜三棱柱•从而匕5Ml=《Vk,FZM=[XIxyX-J-X1=].又匕「MVH=；Xix|x

1o0444"1<5L

=奈故C正确;

对于D,如图•因为正方体中心对称（类比为球体.MN看作弦）,故过MN的子面经过正方体的对称中心

时所得截面面积量大•此时敏面交校于中点・P也为中点.取D5的中点E.gg的

中点F.BB,的中点G.连接NE.EP.PF的G.GM.所以过M.N.P•:点的平面极正方体所得极面面

枳最大时,截面形状为正六边形，面积为6X4NM-6XX'3-

,故D正确.故选BCD.

44Z4

［命题意图］本题考查版识点为立体几何中段面位置关系•假面面积、稚体体枳计算•考查了学生的直观

想象、数学抽象、逻辑推理与数学运算素养.

12.8解析：由超意得%=1+2（，〃-1）=切+7.解得，”=8.

［命题意图］本题考查知识点为等差数列的定义,考查了学生的逻辑推理与数学运算未养.

13.1=1（或y=解析：由题意得圆心。（0・0）,半径「=夜.|P（）|=J访〉々,故点P在圆（）

外.以点"k'L线/的距离为/.由需=2,得|PA|=|AB|,即2b三号刖『.即

3—二/常广.解得4=1.当K线/的斜率不存在时,即r=1,此时d=1.符合题意；当支线/的

数学（五）•冲轲卷n答案第3页（共7页）

斜率存在时.设直线/的方程为、=8（工-1）+3.则等2=1.解得反=”.故直线/的方程为、=

VV+T3

y-r+y.综1二•直线I的方程为工=1或y=*r+］.

［命题意图］本题考查知识点为直线与圆的位置关系,考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.

14.£.昌解析：/Cr）=sincur+73coscar=2sin（<ur+-y）.令/=<ur+$因为04工《北.所以

_bbz'3，33

s九+g••所以"4/靠+告<£芯.解得14>V条故卬的取值范围为

3L3/bo166，

［命题意图］本题考查知识点为三角的数图象的性质•考查了学生的直观想象、建辑推理与数学运算

素养.

15.解：（1）由正弦定理得.73sinAsinB—sinBcosA=sinB...............................................................（2分）

因为BE（O.K）.所以sin3#0.所以石sinA—cosA=1•则sin（A—］）=­♦...............（4分）

因为A£（0,靠）♦所以A—三£（一.♦"）・

b'66，

所以A-1=J•所以A=^,....................................................................................................................（6分）

oo6

bT£；=^-T-=7z=^.W6-2r=^（sinB-2sinC）.

（2）因为7（8分）

sinBsinCsinA7333

因为sinB=而（1+（、）="yco、C+$、inC・...................................................................................（10分）

J4>4>

所以b-2c=中停cosC—jsinC）=-4sin（c-.

因为CW（0・勺）•所以C—/S（一所以sin（C_]）E（_[・l）・.....................................（12分）

'3，o'bZz'6z'L'

所以心—2<=-4sin（f—/）£（-4.2）................................................................................................（13分）

［命题意图］本题考查知识点为解三角形中的求角和取值范国问题,考查了学生的建辑推理与数学运算

素养.

16.解：（D

单位：人

购车种类

性别合计

新能源汽车传统燃油汽车

男202040

女501060

合计7030100

（4分）

零假设H:购车种类与性别无关.

1OOX（2OX1O-5OX2O）2800

X-=12.698>10.828=-（7分）

40X60X70X30*63

根据小概率值a=0.001的独立性检验.我们推断H不成立.即购车种类与性别有关•此推断犯错误的

粘舟，J；\.5加'去II的安埴，市，7而'

概率不大于0.001......................................................................................................................（8分）

（2）由题得S的可能取值为0.2.3................................................................................................（9分）

P-*髀”=2）=^^....................................U2分）

所以W的分布列为

s023

91

p2

1616

39121

因此.E(Q=OXV+2X"+3X2=芸.（15分）

O1O1010

［命题意图］本题考查知识点为独立性检验、寓散型随机变量的分布列及期望.考查了学生的数学抽象、

逻辑推理与数学运算素养.

17.解：（1）证明：如图.连接AC.与BD交于点（）.连接AI.AQ.AQ.

由题意可得•在平行六面体ABCD-AIBCDI中,A|B=AJ）.所以BD±A,O..............（3分）

因为小口。是等边三角形.所以BD_LA（）.又因为A（）DA|（）=（）.所以BD_L平面A|A（）.

因为AA|U平面A|A（）.所以BD_LAA］............................................................................（6分）

(2)过点Al作A|A：_LAC.垂足为A..由(1)可知.BD_L平面A|A().

因为AiA.U平面A4).所以BD±A1A3.

因为ACn[3D=().所以AAz_L平面A8CD.

因为三桢椎A|AUD为正叫面体.所以A?为小口。的支心.

o/Q-n/.

则A.\=~z-X—=V3(),)«.\.\=v32—(V3)2=76......(8分)

4J4

以（）为原点所在克饯分别为,轴轴.过点（）垂克于底面ABCD的点线为：轴.建立如图所

示的空间先角坐标系.

则A（挈.0.0口停.。同《

3>/3,0.0)-B(O»y»0).D(0,--13.O.0）.则京=（一乃.o.vB）.

~2~2

因为CE=C1C.所以CE=2CG=2AA7=(-2^.0.2^).

竽.0.2团.

所以E（10分）

所以彳忑=（一2。.0.一痣）.话=（0.3.0）.反=（_苧/.2而）

设平面BDE的法向量为”

弘=0・

n•/)/»=()•3令a=2•则〃=(2・0.^^)・

则所以，1底（12分）

n•3・：=().a+2-/6c=0»4

2

设克线AC与平面BDE所成角为。.

n•A5石

则sin0=|cos<n.AC〉I=~9~

573

所以直线A（与平面BDE所成角的正弦值为一葭.（15分）

［命题意图］本题考查知识点为立体几何中的线面关系和利用空间向量解决空间角•考查了学生的直观

想象、逻辑推理与数学运算素养.

18.解：(1)/'(/)=-ae—cosI•当.r£(0・1)时.cos.r6(0・1)・(2分)

①当a20时./'（.r）V0./（工）在（0.1）上单调递减.没有极值点.不合题意;（4分）

②当“VO时.广一“与一一cos_r在（0吟）上分别单调递增.显然/'（丁）在（0.曰）上单调递增•

乙£1

因为/'（（））=­a—=-ae［>（）♦（6分）

所以f'（0）=-a—1V0•得a>—1.此时/'（/）在（0.T）内有唯一零点r।♦

所以当/6(0・/1)时・/'(/)<0；当r€5i'1)时./'(N)>0.

所以/（.r）在（0.：）内有唯一极小值点T］,符合题意.

综上.实数”的取值范围为（一1.0）...........................（9分）

n3n

（）证明：由（）知一所以当时・/'(/)=-aer-cos.r>0・（11分）

21IVaV0.62,1

所以当-r£（0.j■"时./'（工）〈0・/（工）单调递减；当工£（.门.，）时./'（r）>0./（r）单调递增・

所以当丁€时•，（］）</（（））=一“一1<0.则/（.rjXO.....................................................（14分）

又因为/（1）=一"£>0.所以/（.r）在（.J.4）内有唯一零点.

即人工）在（0.1）内有唯一零点...........................................................