2023-2024学年浙江省绍兴县中考数学模试卷含解析

2023-2024学年浙江省绍兴县中考数学模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，等腰三角形ABC底边5c的长为4cm,面积为12cm2,腰A3的垂直平分线EF交AB于点E,交AC于点

F,若。为边上的中点，M为线段E尸上一点，则ABOM的周长最小值为（）

A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm

2.已知一个多边形的内角和是1080。，则这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

AV）1nF

3.如图，在AABCOE/ABC中，RE分别在边AB,AC边上，已知——=-,则'三的值为（）

DB3BC

1112

A.-B.-C.一D.

3455

4.如图，点。在第一象限，。0,与x轴相切于H点，与y轴相交于A（0,2）,B（0,8）,则点O,的坐标是（)

C.(5,4)D.(4,5)

5.方程=.的解为（）

D4J5^3

A.x=3B.x=4C.x=5D.x=-5

6.如图，已知二次函数y=ax?+bx+c（a^O）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=O,②a+b+c>0,③④）1）,

@4ac-b2<0；其中正确的结论有（）

/:\U

—/—:K-

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.如图，等边AAKC内接于。。已知。。的半径为2,则图中的阴影部分面积为（）

,9G

A屋.--2^3B.--^3C.--3^3D.4万------

4

8.二次函数>=⑪2+法+£:（4片0）的图像如图所示，下列结论正确是（）

—A.

A.abc>0B.2a+b<QC.3a+c<0D.a:e+bx+c-3=0有两个不相等的实数根

9.下列哪一个是假命题（）

A.五边形外角和为360。

B.切线垂直于经过切点的半径

C.（3,-2）关于y轴的对称点为（-3,2）

D.抛物线y=x2-4X+2017对称轴为直线x=2

10.用配方法解方程X2-4X+1=0,配方后所得的方程是（）

A.（x-2）2=3B.（x+2）2=3C.（x-2）2=-3D.（x+2）2=-3

11.下列计算正确的是（）

A.3a-2a=1B.a2+a5=a7C.（ab）3=ab3D.a2*a4=a6

12.下列所给函数中，y随x的增大而减小的是（）

A.y=-x-1B.y=2x2（x>0）

2

C.y=—D.y=x+l

x

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.写出一个经过点（1,2）的函数表达式___.

14.计算：2sin45°—k5|+[g+G]—M.

15.因式分解：2b2a2-a3b-ab3=.

16.因式分解：a3-ab1=.

17.如图，这是一幅长为3m,宽为1m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺

在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，

发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为

18.如图1,点P从△ABC的顶点B出发，沿B-C-A匀速运动到点A,图2是点P运动时，线段BP的长度y随

时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是一.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图是8x8的正方形网格，A、8两点均在格点（即小正方形的顶点）上，试在下面三个图中，分别画出

一个以A,B,C,。为顶点的格点菱形（包括正方形），要求所画的三个菱形互不全等.

20.(6分)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和一1;乙袋中有三个完全

相同的小球，分别标有数字一1、0和L小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中

随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y,设点P的坐标为(x,y).

(1)请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；

(1)求点P在一次函数y=x+l图象上的概率.

21.(6分)某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A,B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：

销售数量

销售时段销售收入

B种型

A种型号

号

第一周3台5台1800元

第二周4台10台3100元

(进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本)

⑴求A,B两种型号的电风扇的销售单价.

⑵若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，则A种型号的电风扇最多能采购多少台？

(3)在⑵的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能,

请说明理由.

22.(8分)如图，在梯形ABCD中，相＞//5。,45=。。=5,4)=1,3。=9,点尸为边上一动点，作

垂足H在边。C上，以点P为圆心，为半径画圆，交射线PB于点E.

(1)当圆P过点A时，求圆P的半径；

⑵分别联结和E4,当AABEsACEH时,以点3为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的

取值范围；

(3)将劣弧E8沿直线翻折交8C于点产，试通过计算说明线段和石尸的比值为定值，并求出次定值.

23.(8分)如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD.小明在山坡的坡脚A处测

得宣传牌底部D的仰角为60。，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45。.已知山坡AB的坡度i=l:,AB

=10米,AE=15米,求这块宣传牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:-1.414,=1.732)

24.(10分)2018年“清明节”前夕，宜宾某花店用1000元购进若干菊花，很快售完，接着又用2500元购进第二批

花，已知第二批所购花的数量是第一批所购花数的2倍，且每朵花的进价比第一批的进价多0.5元.

(1)第一批花每束的进价是多少元.

(2)若第一批菊花按3元的售价销售，要使总利润不低于1500元(不考虑其他因素)，第二批每朵菊花的售价至少是

多少元？

25.(10分)(1)计算：(――)~—(―—4sin60—(n—1)°

(2)化简：—.....屋-4+匕

a+1a~+2a+la+1

26.(12分)如图，已知抛物线经过原点。和x轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D.直

线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.

(1)求m的值及该抛物线对应的解析式；

(2)P(x,y)是抛物线上的一点，若SAADP=SAADC,求出所有符合条件的点P的坐标;

(3)点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运

动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M的运动时间t的值；

若不能，请说明理由.

27.(12分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于点O,点E在AO上，且OE=OC.求

证：Z1=Z2；连结BE、DE,判断四边形BCDE的形状，并说明理由.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解析】

连接AD,由于△ABC是等腰三角形，点。是5c边的中点，故再根据三角形的面积公式求出AO的长，

再根据E尸是线段45的垂直平分线可知，点5关于直线E尸的对称点为点A,故AO的长为的最小值，由

此即可得出结论.

【详解】

如图，连接AD.

••,△A5c是等腰三角形，点。是3C边的中点，...SAABC=L3040=jx4x40=12,解得：AD=6Cem).

22

是线段A5的垂直平分线，.•.点5关于直线E尸的对称点为点4,.,.AZ)的长为3M+M。的最小值，

的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+-BC=6+-x4=6+2=8(cm).

22

故选C.

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

2、D

【解析】

根据多边形的内角和=(n-2)-180°,列方程可求解.

【详解】

设所求多边形边数为n,

/.(n-2)*180°=1080°,

解得n=8.

故选D.

【点睛】

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.

3、B

【解析】

根据DE〃BC得到AADE^AABC,根据相似三角形的性质解答.

【详解】

5AD1

解：,•----=—>

DB3

*AD1

••___一，

AB4

；DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

DEAD1

•••_—_—,

BCAB4

故选：B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键.

4、D

【解析】

过CF作O，C，AB于点C,过(T作O，D，x轴于点D,由切线的性质可求得OD的长，则可得O，B的长，由垂径定理

可求得CB的长，在RtACTBC中，由勾股定理可求得09的长，从而可求得。点坐标.

【详解】

如图，过。作。CLAB于点C,过O作O，D，x轴于点D,连接O，B,

为圆心，

.*.AC=BC,

VA(0,2),B(0,8),

；.AB=8-2=6,

/.AC=BC=3,

.*.OC=8-3=5,

；。0，与*轴相切，

.\O,D=O,B=OC=5,

在RtAOBC中，由勾股定理可得09=J。®Be?=疹$=4,

.2点坐标为(4,5),

故选：D.

【点睛】

本题考查了切线的性质，坐标与图形性质，解题的关键是掌握切线的性质和坐标计算.

5、C

【解析】

方程两边同乘(x-1)(x+3),得

x+3-2(x-l)=0,

解得：x=5,

检验:当x=5时,(x-1)(x+3)#0,

所以x=5是原方程的解，

故选c.

6、C

【解析】

根据图像可得:a<0,b<0,c=0,即abc=O,则①正确；

当x=l时，y<0,BPa+b+c<0,则②错误；

根据对称轴可得：一_=—.,则b=3a,根据avO,bvO可得：a>b；则③正确;

n3

根据函数与X轴有两个交点可得：.一4ac>0,则④正确.

故选C.

【点睛】

本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a,b,c的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a,b,c之间的关系是解

题关键.

7、A

【解析】解：连接。庆OC,连接AO并延长交5c于〃，则A77L5c.

,.•△45（7是等边三角形，；.3〃=945=占，OH=1,的面积==xBCxOH=6,则△OR4的面积=△04C

22

的面积=A05C的面积=也，由圆周角定理得，N5OC=120。，.•.图中的阴影部分面积

240万x220A8nz

=-----------------2,3=一万一243.故选A.

3603

点睛：本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键.

8、C

【解析】

【分析】观察图象：开口向下得到aVO；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b>0；抛物线与y轴的交点在x轴

b

的上方得到c>0,所以abcVO；由对称轴为x=------=1,可得2a+b=0；当x=-l时图象在x轴下方得到y=a-b+cVO,

2a

结合b=-2a可得3a+c<0；观察图象可知抛物线的顶点为（1,3）,可得方程双？+"+°一3=。有两个相等的实数根,

据此对各选项进行判断即可.

【详解】观察图象：开口向下得到a<0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b>0；抛物线与y轴的交点在x轴

的上方得到c>0,所以abcVO,故A选项错误；

b

,对称轴x=------=1,b=-2a,即2a+b=0,故B选项错误；

2a

当x=-l时，y=a-b+c<0,又3a+c<0,故C选项正确；

•••抛物线的顶点为(1,3),

•••公2+陵+°—3=。的解为*1=*2=1,即方程有两个相等的实数根，故D选项错误，

故选C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a/0)的图象，当a>0,开口向上，函

b

数有最小值，a<0,开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=-丁，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异

2a

号，对称轴在y轴的右侧；当c>0,抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=bZ4ac>0,抛物线与x轴有两个交点.

9^C

【解析】

分析：

根据每个选项所涉及的数学知识进行分析判断即可.

详解：

A选项中，“五边形的外角和为360。”是真命题，故不能选A；

B选项中，“切线垂直于经过切点的半径”是真命题，故不能选B；

C选项中，因为点(3,-2)关于y轴的对称点的坐标是(-3,-2),所以该选项中的命题是假命题，所以可以选C；

D选项中，“抛物线y=x2-4x+2017对称轴为直线x=2”是真命题，所以不能选D.

故选C.

点睛：熟记：(1)凸多边形的外角和都是360。；(2)切线的性质；(3)点P(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)；

h

(4)抛物线丁=以2+"+。(。/0)的对称轴是直线：x=—-等数学知识，是正确解答本题的关键.

2a

10、A

【解析】

方程变形后，配方得到结果，即可做出判断.

【详解】

方程%2-4%+1=0，

变形得：X2-4X=-1»

配方得：X2-4X+4=-1+4,即GT2）2=3,

故选A.

【点睛】

本题考查的知识点是了解一元二次方程-配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式.

11,D

【解析】

根据合并同类项法则、积的乘方及同底数暴的乘法的运算法则依次计算后即可解答.

【详解】

3a-2a=a,:.选项A不正确；

,*,a2+a5/a7,选项B不正确；

•••（诏）3="3分，.•.选项C不正确；

a?."=*,选项£）正确.

故选O.

【点睛】

本题考查了合并同类项法则、积的乘方及同底数塞的乘法的运算法则，熟练运用法则是解决问题的关键.

12、A

【解析】

根据二次函数的性质、一次函数的性质及反比例函数的性质判断出函数符合y随x的增大而减小的选项.

【详解】

解：A.此函数为一次函数，y随x的增大而减小，正确；

B.此函数为二次函数，当xVO时，y随x的增大而减小，错误；

C.此函数为反比例函数，在每个象限，y随x的增大而减小，错误；

D.此函数为一次函数，y随x的增大而增大，错误.

故选A.

【点睛】

本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，掌握函数的增减性是解决问题的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、y=x+l（答案不唯一）

【解析】

本题属于结论开放型题型，可以将函数的表达式设计为一次函数、反比例函数、二次函数的表达式.答案不唯一.

【详解】

解：所求函数表达式只要图象经过点(1,2)即可，如y=2x,y=x+l,…答案不唯一.

故答案可以是：y=x+l(答案不唯一).

【点睛】

本题考查函数，解题的关键是清楚几种函数的一般式.

14^-4-272

【解析】

此题涉及特殊角的三角函数值、零指数第、二次根式化简，绝对值的性质.在计算时，需要针对每个考点分别进行计

算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【详解】

原式=2x受—5+1-30

2

=72-4-372

=-4-272-

【点睛】

此题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数募，绝对值，解题关键在于掌握运算法则.

15、-ab(a-b)2

【解析】

首先确定公因式为ab,然后提取公因式整理即可.

【详解】

2b2a2-a3b-ab3=ab(2ab-a2-b2)=-ab(a-b)2,所以答案为-ab(a-b)2.

【点睛】

本题考查了因式分解-提公因式法，解题的关键是掌握提公因式法的概念.

16、a(a+b)(a-b).

【解析】

分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.

解析:原式=a(a+b)(a-b).

故答案为a(a+b)(a-b).

17、1.4

【解析】

由概率估计图案在整副画中所占比例，再求出图案的面积.

【详解】

估计宣传画上世界杯图案的面积约为3xlxO.4=1.4mJ.

故答案为1.4

【点睛】

本题考核知识点：几何概率.解题关键点：由几何概率估计图案在整副画中所占比例.

18、12

【解析】

根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出线段长

度解答.

【详解】

根据题意观察图象可得BC=5,点P在AC上运动时，BPLAC时，BP有最小值，观察图象可得，BP的最小值为4,

即BP，AC时BP=4,又勾股定理求得CP=3,因点P从点C运动到点A,根据函数的对称性可得CP=AP=3,所以AABC

的面积是一x(3+3)x4=12.

2

【点睛】

本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、见解析

【解析】

根据菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，可以根据正方形的四边垂直，将小正方形的边作为对角线画菱

形；也可以画出以AB为边长的正方形，据此相信你可以画出图形了，注意：本题答案不唯一.

【详解】

如图为画出的菱形：

»•图2图3|«4

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图

方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步

操作.本题掌握菱形的定义与性质是解题的关键.

20、(1)见解析；(1)

【解析】

试题分析：(1)画出树状图(或列表)，根据树状图(或表格)列出点P所有可能的坐标即可；(1)根据(1)的所有

结果，计算出这些结果中点P在一次函数一图像上的个数，即可求得点P在一次函数图像上的概率.

试题解析：(1)画树状图：

点P所有可能的坐标为(1,-1),(1,0)(1,1)(-1,-1),(-1,0)(-1,1).

•.,只有(1,1)与(-1,-1)这两个点在一次函数图像上，

.•・P(点P在一次函数「图像上)=二-二.

63

考点：用(树状图或列表法)求概率.

21、(1)A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台；(2)A种型号的电风扇最多能采购10台；(3)在

⑵的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.

【解析】

(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A

型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；

(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30-a)台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；

(3)设利润为1400元，列方程求出a的值为20,不符合(2)的条件，可知不能实现目标.

【详解】

⑴设A,B两种型号电风扇的销售单价分别为x元/台、y元/台.

3x+5y=1800%=250

依题意，得<解得<

4%+10^=3100y=210

答：A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台.

⑵设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇(30—4)台.

依题意，得200a+170(30-a)W5400,

解得a<10.

答：A种型号的电风扇最多能采购10台.

(3)依题意，有(250-200)a+(210-170)(30-a)=1400,

解得a=20.

Va<10,

在⑵的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关

系和不等关系，列方程组和不等式求解.

559EH_2也

22、(1)x=l(2)—<r<—

28EF—3

【解析】

3

⑴作AMJ_BC、连接AP,由等腰梯形性质知BM=4、AM=1,据此知tanB=tanC=-,从而可设PH=lk,则CH=4k、

4

PC=5k,再表示出PA的长，根据PA=PH建立关于k的方程，解之可得；

⑵由PH=PE=lk、CH=4k、PC=5k及BC=9知BE=9—8k,由△ABEs/\CEH得世=,，据此求得k的值，从而

BECH

得出圆P的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得；

⑴在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQ_LEG、HN，BC,先证△EPQ^APHN得EQ=PN,由PH=lk、

3416129

HC=4k、PC=5k知sinC=m、cosC=y,据此得出NC=^k、HN=ykPN=PC-NC=-k,继而表示出EF、EH

的长，从而出答案.

【详解】

⑴作AM_LBC于点M,连接AP,如图1,

D

图1

•.•梯形ABCD中，AD//BC,且AB=DC=5、AD=1>BC=9,

；.BM=4、AM=1,

tanB=tanC=—,

4

VPH±DC,

.•.设PH=lk,则CH=4k、PC=5k,

VBC=9,

PM=BC-BM-PC=5-5k,

:.AP2=AM2+PM2=9+(5-5k)2,

VPA=PH,

A9+(5-5k)2=9k2,

17

解得：14=1或1<=一,

8

17区5

当1<=一时，CP=5k=—>9,舍去;

88

/.k=l,

则圆P的半径为1.

⑵如图2,

VBC=9,

:.BE=BC-PE-PC=9-8k,

V△ABEACEH,

.ABCEnn58k

BECH9—8k4k

13

解得：,

16

3939

则PH=”,即圆P的半径为”,

1616

•・•圆B与圆P相交，且BE=9-8k=°,

2

28

⑴在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQLEG于G,HNLBC于N,

图3

贝！JEG=EF、Z1=Z1,EQ=QG、EF=EG=2EQ,

.\ZGEP=2Z1,

,."PE=PH,

•*.Z1=Z2,

.*.Z4=Z1+Z2=2Z1,

,*.ZGEP=Z4,

/.△EPQ^APHN,

；.EQ=PN,

由⑴知PH=lk、HC=4k、PC=5k,

.34

..sinC=—、cosC=—,

55

1612

/.NC=—k、HN=—k,

55

9

/.PN=PC-NC=-k,

5

18

/.EF=EG=2EQ=2PN=ykEH=-JHN2+EN?=k

.EH275

••=------

EF3

故线段EH和EF的比值为定值.

【点睛】

此题考查全等三角形的性质，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题关键在于作辅助线.

23、2.7米

【解析】

解：作BFLDE于点F,BGLAE于点G

在RtAADE中

DF

•；tanNADE=•,

AE

/.DE="AE"tanZADE=15、3

•.•山坡AB的坡度i=l：AB=10

.\BG=5,AG=;3,

AEF=BG=5,BF=AG+AE=5^3+15

VZCBF=45°

.\CF=BF=5N;+15

CD=CF+EF—DE=20—10x;=20—10x1.732=2.68-2.7

答：这块宣传牌CD的高度为2.7米.

24、(1)2元；(2)第二批花的售价至少为3.5元；

【解析】

(1)设第一批花每束的进价是x元，则第二批花每束的进价是(x+0.5)元，根据数量=总价+单价结合第二批所购花

的数量是第一批所购花数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)由第二批花的进价比第一批的进价多0.5元可求出第二批花的进价，设第二批菊花的售价为m元，根据利润=每

束花的利润x数量结合总利润不低于1500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论.

【详解】

（1）设第一批花每束的进价是X元，则第二批花每束的进价是（尤+0.5）元,

根据题意得:幽

xx+0.5

解得：x=29

经检验：x=2是原方程的解，且符合题意.

答：第一批花每束的进价是2元.

（2）由（1）可知第二批菊花的进价为2.5元.