江苏省南京市江宁区2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题

2023-2024学年第二学期数学学科第一次学情分析

一、选择题（每题2分，共计12分）

1,据某数据库统计，仅2018年第一个月，区块链行业融资额就达到680000000元.将680000000用科

学记数法表示为（）

A0.68xlO9B.6.8xlO7C.6.8xlO8D.6.8xlO9

2.下列各数中，与M-l最接近的是（）

A.2B.3C.4D,5

3.有理数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

abcd

-5-4-3-2-1012345

A.a>-4B.bd>0C.同〉同D.b+c>0

4.如图，点A、B、C、。在网格中小正方形的顶点处，AD与5C相交于点O,小正方形的边长为1,

则AO的长等于（）

A.2B.-C,6&D,/

355

5.如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A、B,连接AB,在网格中再找一个格点C,使得一ABC是

等暧序用三角形，满足条件的格点C的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

6.已知二次函数％=ax2+6x+c图像与一次函数％=质的图像交于点〃、N,点、M、N的横坐标分别为

优、n(m<n).下列结论：①若a>0,则当机<x<〃时，M<%；②若a<0,则当了<机或时，

%>为；@b-k=am+an；④c=amn.其中正确结论的序号是()

A.①③B.②③C.①④D.①③④

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.)

7|-5+3|=-----；J(—2)2=--------

8.若代数式二一有意义，则实数x的取值范围是.

x-2

*勺结果是

9.计算

10.分解因式：3a2-6a+3=.

11.为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了20户家庭的月用水量，结果如下表:

月用水量(n?)45689

户数46541

3

则这20户家庭的月用水量的众数是m，中位数是

12.若24+24=2"，35+35+35=3fo，则a+A=.

3

13.如图，平行四边形ABC。顶点A在函数(x>0)的y=-图象上，其余点均在坐标轴上，则平行四边形

x

ABCD的面积为.

14.已知a、夕是方程N-2x-1=0的两个根，则a2+2£=.

15.如图，正六边形4BCOEE内接于。。，顺次连接正六边形各边的中点G、H、/、人K、L,

<5

"ABCDEF

则

SGHUKL

16.如图，_ABC绕点A逆时针旋转到ZVIB'C'的位置使点3'落在3c上，5Z>'与AC交于点Z).若

AB=2,AC=3,BC—4,87）的长为

三、解答题(共88分)

m-3

17.计算m+2-------

Im-22m-4

^-3(x-2)>4

18.解不等式组2x-1x-1并写出它的整数解.

------>----

I32

19.如图，在菱形A8CD中，E、尸是AC上两点，AE^CF.

求证：四边形BeE是菱形.

20.某初中学校共有2000名学生.为增强学生安全防护意识，该校提出“预防千万条，口罩第一条”的倡

议一一提倡在上学和放学途中佩戴口罩.学校数学兴趣小组采取简单随机抽样的方法，抽取了部分学生,

了解其在上学和放学途中佩戴口罩的情况.

收集数据

(1)数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：

方案一：从初一年级随机抽取8个班级共300名学生进行调查;

方案二：分别从三个年级随机抽取各100名学生进行调查；

方案三：随机抽取300名女生进行调查.

其中抽取的样本具有代表性的方案是.

整理数据

数学兴趣小组采取(1)中的具有代表性的方案进行了一周的调查，根据调查，将数据绘制成如下的条形

统计图：

(2)估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生人数是多少？

分析数据

(3)比较这一周抽样学生上学、放学途中佩戴口罩的情况，写出一条正确的结论.

21.某初中学校每天对全校学生的午休情况进行检查，初一，初二，初三3个年级都要被检查到.某天由

甲，乙，丙3名同学检查，他们来自3个不同的年级，每人只能检查1个年级.

(1)甲检查初一年级的概率为—；

(2)求他们郡不检查自己所在年级的概率.

22.某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲

商品比乙商品每箱多盈利5元.

(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可

卖出100箱.如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最

大？最大利润是多少？

23.【综合与实践】

有言道：”杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”.某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易

杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务.

【知识背景】如图，称重物时，移动秤蛇可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(2)+加＞/=河・(。+丁).

其中秤盘质量加。克，重物质量相克，秤蛇质量加克，秤纽与秤盘的水平距离为/厘米，秤纽与零刻线的

水平距离为a厘米，秤坨与零刻线的水平距离为y厘米.

秤纽杆秤示意图

I，

【方案设计】

目标：设计简易杆秤.设定2)=10,M=50,最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定

为50厘米.

任务一：确定/和。的值.

(1)当秤盘不放重物，秤蛇在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于/,。的方程；

(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤蛇从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于/,。的方

程；

(3)根据(1)和(2)所列方程，求出/和。的值.

任务二：确定刻线的位置.

(4)根据任务一，求y关于机的函数解析式；

(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间距离.

24.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30。的坡地

新安装了一架风力发电机，如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测

量，图2为测量示意图.已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端尸点的仰角为

45°,利用无人机在点A的正上方53米的点3处测得P点的俯角为18。，求该风力发电机塔杆的高

度.(参考数据：sinl8°»0.309,cosl8°»0.951,tanl8°®0.325)

25.如图，48是(。的直径，AB=2^/101:。的弦CDLA3于点E,8=6.过点。作。的切

线交A3的延长线于点尸，连接5C.

(1)求证：BC平分NDCF；

(2)G为AD上一点，连接CG交AB于点〃，若CH=3GH,求的长.

26.在二次函数y=£-2比+3«〉0)中，

(1)若它的图象过点(2,1),贝h的值为多少？

(2)当0WxK3时，y的最小值为一2,求出r的值：

(3)如果4>一2,。),6(4,。),。(%a)都在这个二次函数的图象上，且a</?<3,求相的取值范围.

27.(1)如图，在矩形ABCD中，EAD边上一点，连接8E,

①若BE=BC,过C作5,5E交班于点尸，求证：乙ABE乌AFCB；

②若S^ABCD=20时，则BECF=.

(2)如图，在菱形A5CD中，cosA=-,过。作CE1A5交A5的延长线于点E,过E作石尸工AD交

3

A£)于点尸，若S菱形ABCD=24时，求EF-5C的值.

(3)如图，在平行四边形ABCD中，NA=60°,AB=6,AD=5,点E在上，且CE=2,点产为

上一点，连接所，过七作EG,即交平行四边形ABCD的边于点G,若E7JEG=76时，请直

备用图

2023-2024学年第二学期数学学科第一次学情分析

一、选择题（每题2分，共计12分）

1,据某数据库统计，仅2018年第一个月，区块链行业融资额就达到680000000元.将680000000用科

学记数法表示为（）

A0.68xlO9B.6.8xlO7C.6.8xlO8D.6.8xlO9

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为oxi。"的形式，其中1<忖<10,”为

整数，确定”的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，，，的绝对值与小数点移动的位数相同，

当原数绝对值大于等于10时，〃是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：680000000=6.8xlO8.

故选：C.

2.下列各数中，与J历-1最接近的是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了无理数的估算，先得，记<而〈后，再得到4<晒<4.5,即可作答.

【详解】解：•••屈<而（后

•••4<V19<5

,•*V19<J20.25=4.5

•••4<719<4.5

，3〈厢-1<3.5

故选：B

3.有理数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

abcd

I.Iii.ii.]।।,1A

-5-4-3-2-1012345

A.a>-4B.bd>0C.同〉同D.b+c>Q

【答案】C

【解析】

【分析】观察数轴，找出“、6、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论.

【详解】解：由数轴上点的位置，得a<T<》<O<c<l<d,

A.a<-4,故A不符合题意；

B.bd<0,故B不符合题意；

C.v|a|>4,\b\<2

：.|a|>\d\,故C符合题意；

D.b+c<0>故D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键.

4.如图，点A、B、C、。在网格中小正方形的顶点处，AD与相交于点。，小正方形的边长为1,

则A0的长等于（）

「「后

a76n972

355

【答案】A

【解析】

【分析】先根据勾股定理计算A。的长，再根据△AOBs^noc,对应边成比例，从而求出A。的长.

【详解】解：AD=732+42=5>AB=2'CD=3,

：AB//DC,

：.4AOBs△DOC,

.AOAB2

"OD~CD~3,

：.设AO=2x,贝!]0D=3x,

\"AO+OD=AD,

2x+3x-5.

解得：x=lf

'.AO=2,

故选：A.

【点睛】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质.

5.如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A、B,连接AB,在网格中再找一个格点C,使得.ABC是

等暧度用三角形，满足条件的格点C的个数是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①A8为等腰直角△A8C底边；②为等腰直角4ABC

其中的一条腰.

【详解】解：如图：分情况讨论：

①48为等腰直角AABC底边时，符合条件的C点有。个；

②为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.

故共有3个点，

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实

际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.

6.已知二次函数％=4/+"；+。图像与一次函数为=区的图像交于点M、N,点M、N的横坐标分别为

m、n（m<n）.下列结论：①若a>0,则当机<x<〃时，M<为；②若。<0，则当了<，"或”时，

%>为；@b-k=am+an；@c=amn.其中正确结论的序号是（）

A.①③B.②③C.①④D.①③④

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和不等式的关系，根与系数的关键.

根据当。>0时，二次函数图象开口向上，当时，二次函数图像开口向下，画出二次函数和一次函数的

图象，即可判断①②；根据题意当％=%时，推出依2+。一左）%+。=0,结合根与系数的关键，即可判

断③④.

【详解】解：①当。>0时，二次函数图象开口向上，

如图所示：当加<X<〃时，二次函数图象低于一次函数图像，故％<%；

如图所示：当X</"或时,二次函数图象低于一次函数图像，故

则②不正确，不符合题意;

③④当％=%时，ax2+bx+c-kx>

化简，得—左）X+C=O,

・・,二次函数%=改2+笈+。图像与一次函数％=丘的图像交于点M、N,点、M、N的横坐标分别为相、

n,

工方程以2+（〃一左）%+。=0的解为再=加,％2=〃，

k-bc

，加+〃=----,mn=—,

aa

整理得：k-b=am+an,c=amn

故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；

综上：正确的有①④，

故选：C.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.）

7.卜5+3|=---；4（—=----------•

【答案】①.2②.2

【解析】

【分析】本题考查了化简绝对值和算术平方根，解题关键是掌握则正数的绝对值是它本身，负数的绝对值

是它的相反数，。的绝对值是0；以及病=时.据此即可解答.

【详解】解：卜5+3|=卜2|=2,'（—2）2=卜2|=2,

故答案为:2,2.

8.若代数式上有意义，则实数x的取值范围是.

x—2

【答案】x丰2

【解析】

【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可.

【详解】解：若代数式二一有意义，则x—2/0,

x-2

解得：x丰2,

故答案：x手2.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键.

9.计算叵的结果是

V2

【答案】3行

【解析】

【详解】分析：先计算分子，然后进行二次根式的除法运算.

详解：原式=^^=3&.

点睛：本题考查了二次根式的计算：一般情况下，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的

乘除运算，然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的

性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

10.分解因式：3a2-6a+3=.

【答案】3(a-1)2.

【解析】

【详解】解：原式=3(a2-2a+l)=3(a-1)2.

故答案为：3(a-1)2.

【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用.

11.为了解居民用水情况，小明在某小区随机抽查了20户家庭的月用水量，结果如下表：

月用水量(n?)45689

户数46541

33

则这20户家庭的月用水量的众数是m，中位数是m.

【答案】①.5②.5.5

【解析】

【分析】本题主要考查了众数和中位数.根据众数和中位数的定义求解即可.

【详解】解：由表中数据可知：这20户家庭的月用水量的众数是5m3；

由表中数据可知，这20个数据按从小到大的顺序排列后，第10个和第11个数分别是5m3和6m3,

...这20户家庭的月用水量中位数是：(5+6)+2=5.5m3.

故答案为：5；5.5.

12.若24+24=2"，35+35+35则.

【答案】11

【解析】

【分析】根据同底数暴的乘法运算法则得到24+24=25，35+35+35=36即可解答.

【详解】解：；24+24=2。，35+35+35=3*，

•••24x2=2"，35x3=3",

25=2%36=3”，

a=5,b=6,

，a+/?=n,

故答案为：n.

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法运算法则，有理数的加法运算法则，掌握同底数幕的乘法运算法则是

解题的关键.

13.如图，平行四边形ABC。的顶点4在函数(x>0)的y='图象上，其余点均在坐标轴上，则平行四边形

X

ABCD的面积为.

【答案】3

【解析】

【详解】解：•••四边形ABC。是平行四边形，

：.CD=AB,

设点A的坐标为(a,

a

CD=AB=a,

,平行四边形ABC。的面积是：CD^—=a=3,

aa

故答案为：3.

14.已知夕是方程N—2工-1=0的两个根，则层+2£=.

【答案】5

【解析】

【分析】先用一元二次方程跟与系数的关系，再利用方程变形即可

【详解】解：由题意可得：fa/3=-l

：.2。+2月=4

/.2a=4-2月

,:a、夕是方程N—2x—1=0的两个根

a2-2a-l=Q

：.«2-（4-2/7）-1=0

a--\-2/3=5

故答案是：5

【点睛】本题考查一元二次方程跟与系数的关系，换元法是关键

15.如图，正六边形4BCZJEF内接于。。，顺次连接正六边形ABCDER各边的中点G、H、/、人K、L,

4

【答案】一

3

【解析】

【分析】利用正六边的性质和判定得到正六边形GHIJKL,连接OE、OJ,如图，利用NOEJ=60。，OJJ_DE,

所以"=cos60。，则①=之，然后根据相似多边形的性质计算至处些的值.

OEOJV3S六边形GHijm

【详解】顺次连接正六边形ABCDEF各边的中点G、H、I、J、K、L得到的六边形为正六边形，

正六边形ABCDEFs正六边形GHIJKL,

连接OE、OJ,如图，

VZOEJ=60°,OJ±DE,

OJ.J3

sinNOEJ==sin60°=,

OE2

.OE2

••I—,

OJV3

,S六边形ABCDEF.OE4

..---------=（----I』—.

'六边形GHIJKLOJ3

4

故答案为一.

3

【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共

角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相

似三角形.也考查了正六边形的性质.

16.如图，_ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置使点3'落在上，5Z>'与AC交于点O.若

AB=2,AC=3,BC=4,87）的长为

巫

BB,C

,80

【答案】一

119

【解析】

【分析】先根据旋转，得

ZBAC=ZCAC,AB=AB'=2,AC=AC'==3,ZB=ZAB'C,4C4=NC',先夹角相等，两边成

ADDD*

比例，证明，ABB'ACC,得——=——；，—=C，CC=-y,结合对顶角相等，证明

ACCC,3CC2

Q3

33一一4-x

AB'DsC'CD,AB'DsC'CD,得----=二一生一一，再根据勾股定理列式，得

4-y大I-

4—=AE2=9-^4-^y^，得出y:，代入16—4x—4y=：孙，即可作答.

【详解】解：连接C'C，如图:

设33'为y，B'D=x,则C5'=4—y,C'£)=4—x,

•••ABC绕点A逆时针旋转到AAB'C的位置，

AZBAC=ZCAC,AB=AB'=2,AC=AC=3,ZB^ZAB'C,ZBCA^ZC,

/._ABBSACC,

则々=NACC',笔唱全〜CC，=ly，

VZACC'=ZAB'C,ZADB'=ZCDC,

：..AB'DsCCD,

.AB'_B'D

"Fc-CD，

2_x

即二=而‘

寸

3

CD=—xy,

4.

3

则AD=3—C£)=3——母，

4一

VZBCA=ZACB',ZADC=ZB'DC,

•LB'DC^ADC',

AC_AD_DC

^C~B'D~~DC

Q3

3-4“4-x

即J-

4-yx3

4"

16-4x-4y=—xy,

过点A作于E,

A16-4x-4x—=—x-——,

444

80-64x=55x,

on

解得x=——,

on

/.的长为——.

119

80

故答案为:

119

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，对顶角相等，旋转性质，综合性强，难度较

大，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

三、解答题（共88分）

17.计算（m+2------m---3

Vm-22m-4

【答案】2m+6

【解析】

【详解】分析：先计算机+2———,再做除法，结果化为整式或最简分式.

m-2

详解：

(c5，m-3

m+2-------|十-------

Im-2)2m-4

(zn+2)(m-2)-527rl-4

-2)m—3

_m2-92(m-2)

m-2m-3

(〃Z-3)(7〃+3)2(/77-2)

m-2m-3

=2m+6.

点睛：本题考查了分式的混合运算.解题过程中注意运算顺序.解决本题亦可先把除法转化成乘法，利用

乘法对加法的分配律后再求和.

^-3(%-2)>4

18.解不等式组2x-1%-1并写出它的整数解.

>

I3-----2

【答案】不等式组的解集是一1〈烂1,不等式组的整数解为0和1.

【解析】

【分析】先分别解出两个不等式的解集，并表示在数轴上，找到公共解集，再解出其中的整数解即可.

x-3(x-2)»4①

【详解】解：2x-1x-1小

------>——②

I32

解不等式①得：烂1,

解不等式②得：尤>T,

在数轴上表示不等式①、②的解集：

-5-4-3-2.1012345

所以不等式组的解集是〈烂1,

不等式组的整数解为0和1.

【点睛】本题考查解一元一次不等式组的整数解、将不等式组的解集表示在数轴上等知识，是重要考点,

难度较易，掌握相关知识是解题关键.

19.如图，在菱形ABC。中，E、尸是AC上两点，AE^CF.

求证：四边形BEDE是菱形.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】连接BD,交AC于点O,根据菱形对角线互相垂直且平分的性质得到。。=。8,OA=OC,

BD±AC,再结合AE=CF,解得OE=OF,继而证明四边形是平行四边形，最后根据对角线互相

垂直的平行四边形是菱形解题即可.

【详解】证明：连接8。，交AC于点。，

：四边形ABCQ是菱形，

0D=0B,OA^OC,BDLAC,

AE=CF,

：.0A-AE^0C-CF,即0E=0F

•/OD=OB,OE=OF,

；•四边形BFOE是平行四边形，

•/BD±AC,

/.平行四边形引DE是菱形.

【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识

是解题关键.

20.某初中学校共有2000名学生.为增强学生安全防护意识，该校提出“预防千万条，口罩第一条”的倡

议一一提倡在上学和放学途中佩戴口罩.学校数学兴趣小组采取简单随机抽样的方法，抽取了部分学生，

了解其在上学和放学途中佩戴口罩的情况.

收集数据

(1)数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：

方案一：从初一年级随机抽取8个班级共300名学生进行调查；

方案二：分别从三个年级随机抽取各100名学生进行调查；

方案三：随机抽取300名女生进行调查.

其中抽取的样本具有代表性的方案是.

整理数据

数学兴趣小组采取(1)中的具有代表性的方案进行了一周的调查，根据调查，将数据绘制成如下的条形

统计图：

(2)估计全校周五上学途中佩戴口罩的学生人数是多少？

分析数据

(3)比较这一周抽样学生上学、放学途中佩戴口罩的情况，写出一条正确的结论.

【答案】(1)方案二.(2)1480名学生.(3)见解析.

【解析】

【分析】(1)由方案二三个年级都有，随机抽取，样本容量100,可得方案二具有代表性即可;

(2)利用总体乘以样本中途中佩戴口罩所占百分比即可；

(3)根据完整一周数据的对比进行评价即可.

【详解】解：(1):方案二三个年级都有，随机抽取，样本容量100,

方案二具有代表性；

故答案为方案二.

222

(2)2000x——=1480(名).

300

估计周五上学途中佩戴口罩约有1480名学生.

(3)答案不唯一，例如，

结论1：这一周上学途中佩戴口罩的人数（单位：名）分别是240、210、201、213、222,由多变少再变

多，说明上学途中学生在本周初和本周末安全防护意识较强，在本周中期时安全防护意识较弱.

结论2：这一周放学途中佩戴口罩的人数（单位：名）分别是125、130、146、180、202,逐渐增加，说

明在放学途中，越接近周末学生的安全防护意识越强.

结论3：这一周上学途中平均每天佩戴口罩的人数是217.2名，放学途中平均每天佩戴口罩的人数是156.6

名，217.2>156.6,说明学生在上学途中安全防护意识较好，同时需要加强放学途中的安全防护措施.

结论4：这一周上学途中佩戴口罩人数与放学途中佩戴口罩人数之差分别是115、80、55、33、20,说明

学生在上学途中安全防护意识较好，同时需要加强放学途中的安全防护措施.

【点睛】本题考查样本的代表性，用样本百分比含量估计总体中数量，利用统计数据进行评价，掌握样本

的代表性，用样本百分比含量估计总体中数量，利用统计数据进行评价是解题关键.

21.某初中学校每天对全校学生的午休情况进行检查，初一，初二，初三3个年级都要被检查到.某天由

甲，乙，丙3名同学检查，他们来自3个不同的年级，每人只能检查1个年级.

（1）甲检查初一年级的概率为；

（2）求他们郎不检查自己所在年级的概率.

【答案】（1）（2）

33

【解析】

【分析】（1）根据概率公式解题；

（2）根据题意列表法分析所有等可能的结果，继而解得他们鄢不检查自己所在年级的概率.

【详解】解：（1）甲只能检查三个年级的一个年级，概率为：—，

3

故答案为：—；

3

（2）设甲，乙，丙分别来自于初一，初二，初三3个年级，

他们鄢不检查自己所在年级时，如下表：

初一初二初三

丙甲乙

乙丙甲

甲，乙，丙3名同学各自检查一个年级，所有可能出现的结果共有6种，满足他们都不检查自己所在年级

的结果有2种，所以尸=，2=彳1.

63

【点睛】本题考查概率、列表法或画树状图求概率等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题

关键.

22.某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲

商品比乙商品每箱多盈利5元.

（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可

卖出100箱.如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最

大？最大利润是多少？

【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大,

最大利润是2000元.

【解析】

【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可

得出结论；

（2）设甲种商品降价。元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次

函数的性质求出函数的最值.

【详解】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：

整理得：x2-18.r+45=0,

解得：_x=15或x=3（舍去），

经检验，尸15是原分式方程的解，符合实际，

.'.x-5=15-5=10（元），

答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；

（2）设甲种商品降价。元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：

w=C15-a）（100+20。）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000,

'/tz=-20,

当（7=5时，函数有最大值，最大值是2000元，

答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元.

【点睛】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式

方程及函数关系式.

23.【综合与实践】

有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”.某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易

杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务.

【知识背景】如图，称重物时，移动秤坨可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(2)+7〃>/=Af-(a+y).

其中秤盘质量加0克，重物质量相克，秤坨质量M克，秤纽与秤盘水平距离为/厘米，秤纽与零刻线的

水平距离为。厘米，秤石它与零刻线的水平距离为y厘米.

杆秤示意图

【方案设计】

目标：设计简易杆秤.设定％=10,M=50,最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定

为50厘米.

任务一：确定/和。的值.

(1)当秤盘不放重物，秤坨在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于/,a的方程；

(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤在从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于/,。的方

程；

(3)根据(1)和(2)所列方程，求出/和。的值.

任务二：确定刻线的位置.

(4)根据任务一，求y关于相的函数解析式；

(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离.

【答案】(1)l=5a

(2)101/—5a=250

(3)I=2.5,a=0.5

(5)相邻刻线间的距离为5厘米

【解析】

【分析】(1)根据题意可直接进行求解;

(2)根据题意可直接代值求解；

（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；

（4）根据（3）可进行求解；

（5）分别把m=0,加=100,m=200,m=300,帆=400,m-500,m—600,m=100,m=800,

机=900,机=1000代入求解，然后问题可求解.

【小问1详解】

解：由题意得：m=Q,y=Q,

：.10/=50a,

I=5a；

【小问2详解】

解：由题意得：加=1000,y=50,

•••(10+1000)/=50(a+50),

101/-5a=250；

【小问3详解】

I—5a

解:由（1）（2）可得:

101/-5a=250

1=2.5

解得：＜

a—0.5

【小问4详解】

解：由任务一可知：/=2.5,a=0.5,

2.5（10+777）=50（0.5+y）,

1

y=——m；

"20

【小问5详解】

解：由（4）可知y-加，

...当“2=0时，则有y=。；当7〃=100时，则有＞=5；当7”=200时，则有y=10；当机=300时，则

有y=15；当机=400时，则有y=20；当机=500时，则有y=25；当“2=600时，则有y=30；当

帆=700时，则有y=35；当机=800时，则有y=40；当机=900时，则有y=45；当加=1000时,

则有y=50；

，相邻刻线间的距离为5厘米.

【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意.

24.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30°的坡地

新安装了一架风力发电机，如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测

量，图2为测量示意图.已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为

45°,利用无人机在点A的正上方53米的点3处测得P点的俯角为18。，求该风力发电机塔杆的高

度.（参考数据：sinl8°»0.309,cosl8°»0.951,tanl8°»0.325）

【解析】

【分析】过点尸作小于点F延长交AC延长线于点E,先根据含30。角直角三角形的性质得

出。石=8,设？。=%米，则？E=?D+DE=（8+x）米，进而得出AE=（8+x）米，证明四边形

£4石尸为矩形，则尸尸=AE=（8+x）米，Ab=PE=（8+x）米，根据线段之间的和差关系得出

=”=s（45—x）米，最后根据1/=tan18。，列出方程求解即可.

【详解】解：过点尸作于点R延长尸£）交4。延长线于点E,

根据题意可得：AB，垂直于水平面，ZDCE=30°,ZPAC=45°,ZGBP=18°,

•••PELAE，

：CD=16米，

ADE=-CD=16x-=8（米），

22

设？。=x米，则PE=PD+DE=（8+x）米，

VZPAC=45°,PELAE，

PE

AE==（8+尤）米,

tan45°

；ABLAE,PELAE，PF上AB，

，四边形£4£尸为矩形，

尸尸=AE=（8+x）米，AF=PE=（8+x）米,

••・回=53米，

/.AB-AF=53-（8+x）=（45-x）米，

1/ZGBP=18°,

/.ZBPF=1S°,

BF45-Y

——=tan18°,即-------0.325,

PF8+x

解得：x«32,

答：该风力发电机塔杆。。的高度为32米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助

线，构造直角三角形,熟练掌握解直角三角形的方法和步骤.

25.如图，AB是।。直径，AB=2^/10.。的弦CD_LA3于点E,CD=6.过点。作＜。的切

（2）G为AD上一点，连接CG交AB于点“，若CH=3GH,求的长.

【答案】（1）见解析⑵BH=2+®.

【解析】

【分析】（1）利用切线的性质得到NOCF=90。，利用圆周角定理得到NACB=90。，利用垂径定理推出

BC=BD，据此可证明NA=N1=N2=N3,即可证明平分工。。产；

（2）连接OC,0G,作于点利用垂径定理求得OE=1,证明求得

GM=1,设=则HE=3x,在RtzXOGM中，利用勾股定理求得x=l,据此求解即可.

【小问1详解】

解：连接。C,

/.ZOCF=ZOCB+N3=90°,

：AB是:.。的直径，

ZACB=Z1+Z.OCB=90°,

N1=N3,

是］。的直径，且CDLAB,

BC=BD，

ZA=N2，

OA=OC,

：.ZA=Z1,

ZA=Z1=Z2=Z3,

BC平分NDCF；

【小问2详解】

解：连接OC,OG,过点6作。0，回于点M,

：AB是「。的直径，且CD，A3,

ACE=|CD=3,OC=OG=^AB=y/10,

OE=YIOC2-CE2=b

•/GMLAB,CDA.AB,

：.CE//GM,

/.Z\GMH^Z\CEH,

.GHGMMH

"CH~CE~HE'

,:CH=3GH,

•1_GMMH

一亍—说‘

：.GM=1,

设=则HE=3x,

：.HO=3x-l,OM=4x-l,

在Rt^OGM中，OM2+GM2=OG2，即（4x—1）?+12=（加『，

解得x=l（负值已舍去），

BHHO+OB^3x1-1+2+y/10.

【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理定理，相似三角形的

判定及性质，勾股定理，切线的性质是解题的关键.

26.在二次函数y-x2-2tx+3（/〉0）中,

(1)若它的图象过点(2,1),贝卜的值为多少？

(2)当0WxW3时，y的最小值为一2,求出r的值:

(3)如果4>一2,a),8(4,/?),CO,。)都在这个二次函数的图象上，且a</?<3,求他的取值范围.

3

【答案】(1)t=3

2

⑵

(3)3＜nt＜4或根＞6

【解析】

【分析】(1)将坐标代入解析式，求解待定参数值；

(2)确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分0＜/W3,当％=/时，函数值最小，以及『＞3,

当x=3时，函数值最小，求得相应的r值即可得；

(3)由2,a),C(m,a)关于对称轴对称得机—1=/,且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛

物线与y轴交点(0,3),此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3),结合已知确定出爪＞3；再分类讨

论：A,B都在对称轴左边时，A,2分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可.

【小问1详解】

将(2,1)代入丁=f—2a+3中，

得1=4—4/+3,

解得，仁工3

2

【小问2详解】

抛物线对称轴为光=■.

若0v，＜3,当光=，时，函数值最小，

/—2t2+3=—2,

解得t=.

•.v＞0,

/.t=A/5

若，＞3,当x=3时，函数值最小，

二.—2=9—6/+3,

7

解得/=—(不合题意，舍去)

3

综上所述/=君.

【小问3详解】

A(m-2,〃),。(加,a)关于对称轴对称

yn—2+

------------=—l=且A在对称轴左侧，。在对称轴右侧

2

抛物线与y轴交点为(0,3),抛物线对称轴为直线％=/,

•••此交点关于对称轴的对称点为Qm-2,3)

〃<3,/?<3且/>0

:.4<2m—2,解得相>3.

当A,3都在对称轴左边时，

a<b

/.4<m—2,

解得m>6,

:.m>6

当A,5分别在对称轴两侧时

a<b:.B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离

解得m<4

.,.3<m<4

综上所述3vzn<4或相>6.

【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是

解题的关键.

27.(1)如图，在矩形A5C。中，石为AP边上一点，连接

①若BE=BC,过。作Cb,跖交5£于点尸，求证：AABEdFCB；

②若S矩形=2°时，则BECF=.

D

E

AlB

(2)如图，在菱形ABC。中，cosA=-,过。作CE1A5交A5的延长线于点E,过E作石尸工AD交

3

A£)于点尸，若S菱形ABCD=24时，求EF-5C的值.

(3)如图，在平行四边形ABCD中，NA=60°,AB=6,AD=5,点E在上，且CE=2,点产为

上一点，连接所