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文档简介
成都石室中学2023-2024年度下期高2024届二诊模拟考试
数学试题(文)(A卷)
(总分:150分,时间:120分钟)
第I卷洪60分)
一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)
1.已知复数z=」L(其中i为虚数单位),则z的虚部是
1+1
2.若集合A-12卜3-,=则a*A是a。3的
A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件
3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩(单位:分)画出的茎叶图,其中左边的数字从左到右分别表示学
生数学月考成绩的百位数字和十位数字,右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字,则下列结论正确的是
A.这8位同学数学月考成绩的极差是14
B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122
C.这8位同学数学月考成绩的众数是118
D.这8位同学数学月考成绩的平均数是124
4.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形
组成,则这个几何体的体积是
79
B.—«C.-7tD.~n
2332
5.已知数列{a,}为等差数列,且%-%%*«10I。,贝U-aS的值为
A.2B.4C.6D.8
6.若仍是正实数,且仁L则的最小值为
A.1B.-C.1D.2
53
7.当0."三时,关于x的不等式(2asinx-cos2x_3)(sinx一次)«0有解则。的最小值是
2
A.2B.3C.4D,45/2
7T
8.已知函数f(x)-sin(2x--),则下列结论中不正确的是
A.九为函数|/(x)|的一个周期
B.点(g,0)y-f(x)
3是曲线的一个对称中心点
1
c.在区间[a,4]上单调递增,则实数”的最大值为三
12
D.将函数的图象向右平移二个长度单位后,得到一个偶函数的图象
9.已知抛物线俨=4不弦AB过其焦点,分别过弦的端点48的两条切线交于点C,点C到直线AB距离的最小值
7E
11
A.-B.—C.1D.2
42
10.如图,四棱柱ABC。4耳4。|中,E为棱4鸟的中点,尸为四边形。CGR对角线的交点,下列说法:
①所//平面3CGB|;
②若EP〃平面ADQ4,贝;
③若四边形ABCD矩形,且所RG,贝1J四棱柱ABC。44GR为直四棱柱.
其中正确说法的个数是
A.0B.lC.2D.3
11.已知函数f(x)-2V+2+cosx+x~,若a=/(A/2^),bf(-ee),c/(x"),贝U
A.c</?<tzB.a〈c<bC.c<«<Z?D.b<:cca
XV
12.若双曲线C:/-四二l(a0)的左、右焦点分别为。,勺,过右焦点弋的直线/与双曲线C交于48两点,
A一cC,-1=L>A»MO14JO'-1
已知/的斜率为左,人[.1gh+引,且产212^|,.F1AB60°
A.273B.73egD.2
第II卷洪90分)
二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)
13.已知向量£=(1,-2),5;(2,X),若Zb,则实数x=.
y20
14.已知实数x,y满足约束条件4x+3卜4,贝ljz=3x-2y的最大值是.
1x-y>0
15.已知等比数列I%}的前〃项和为S“,若S"=x.j3-27,则am…圆取最大值时,〃的值为
3
]—
16.若%二1,怛有In—-----ex-X11,则根的取值范围是.
e一mx
2
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
某校从高二年级学生中随机抽取60名学生,将他们的期中成绩(均为整数)分成六段,|40,50),[50,60),...[90,100
后得到如图所示的频率分布直方图,观察图形,回答下列问题:
(D求并估计此次期中考试成绩的众数.
(2)利用分层抽样的方法从样本中成绩在[50,601和|80,90)两个分数段内的学生中抽5人,再从这5人中随机抽取2
人,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
18.(本小题满分12分)
sinx-m,
已知q5(办玲,设/(x)="
Jcosx=八
(I)求函数/(尤)的对称中心;
(II)若\ABC中,角A,8,C所对的边分别为a,"c,/(A)手,且"BC外接圆的半径为g,D是BC边的中
点,求线段长度的最大值.
19(本小题满分12分)
如图,棱长为3的正方体A3CD中,CE-2EC「
(I)若R是线段A3的中点,求证:GF〃平面BDE;
(II)求三棱锥。38E的体积.
3
20.(本小题满分12分)
12丫2
已知点尸是椭圆Kab0)的右焦点,过原点的直线交椭圆£于AB两点,面积的最大值为百
\OF\1.
(T)求椭圆E的标准方程;
(II)已知过点P(4,yo)的直线/与椭圆E交于两点,是否存在定点尸,使得直线的斜率之和为定值?
若存在,求出定点P的坐标及该定值.若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数/(x)=/-ar,x:0.
(I)是否存在实数。使得/(x)、0在区间[a,2a+1]上恒成立,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理
由;
(II)求函数求x)=/(x)_a21nx在区间(l,e今上的零点个数(e为自然对数的底数).
选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xQy中,倾斜角为“的直线过定点L0,以。为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,
/()
曲线C的极坐标方程为psi/。=4cosfi,直线/与曲线C相交于不同的两点
(I)若n-半,求线段A3中点〃的直角坐标;
(II)若尸(L0),求陷可的最小值.
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23.(本小题满分10分)
已知函数/(x):1卜
(1)求不等式/(尤)-/(2x-1).x-7的解集;
4
111
(II)若对于正实数〃,b,。,满足—一,—二1,证明:/(x—9.
abc
5
成都石室中学2024-2025年度下期高2024届二诊模拟考试
数学试题(文)(A卷)参考答案
一、选择题:
1.已知复数(其中i为虚数单位),贝心的虚部是
A.-1B.-liC.-D.li
2222
l.Az二」二,所以z的虚部是
1+122
1,
2.若集合A-{1,2;,B-!y|y=/},则auA是。匚3的
(J
A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.AB[0,-,),则A是2的真子集,则。eA是。后3的充分不必要条件.
3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩(单位:分)画出的茎叶图,其中左边的数字从左到右
分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字,右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字,则
下列结论正确的是11877
A.这8位同学数学月考成绩的极差是1412513
B.这8位同学数学月考成绩的中位数是1221312
C.这8位同学数学月考成绩的众数是118
D.这8位同学数学月考成绩的平均数是124
3.B对于选项A,极差是13211715,故A错误;
对于选项B,中位数是121/23122,故B正确;
2
对于选项C,众数是117,故C错误;
对于选项D,平均数是故D错误,故选B.
4.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半
圆和矩形组成,则这个几何体的体积是————1——
3579
A.—RB.一八C.—nD.—H正视图侧视图
2332
4.A还原成直观图后,几何体由一个圆柱和八分之三个球组成,故这个
几何体的体积展JUj-%4.i3.42=24n.
382俯视图
5.已知数列{a“}为等差数列,且。2♦%%1。,则。4♦“8的值为
A.2B.4C.6D.8
1
5.B因为%%-%,。9•T°,由等差数列的性质,得5a6二1。,%=2,所以。广如4-
6.若“是正实数,且上--4rL则4的最小值为
A.1B.-C.1D.2
53
;〃;]〃.〃卜(〃11
6.A因为〃-Z?二|(3-Z?)-(la-4Z?)|1(32•4b%
3a-b2a-4b
=2+给+黑卜;当且仅当。J时取等号,所以“一。的最小值为。
7.当0.x,人时,关于x的不等式(2asinx-cos2x_3)(sinx一上0有解则。的最小值是
2
A.2B.3C.4D.4^/2
7.A当CLx■今时,sinx.x,所以2asinx-cos2x_3。在0.x-;g上有解,
所以2asinx-3—cos2x=2.2sin2x,所以a;-......sinx|.由一1―+sinx-2,当且仅当二时取
Isin尤;minsmxX2
等号,所以。的最小值是2.
7.当0.:x「三时,关于x的不等式(2a-sinx+cos2x-3)(sinx-x)匚0有解,则a的最小值是
15153,
1682
7.A当0—尤<三吐sinx-x,所以2。十sinx十cos2x—3、0在0x-三上有解,
22
2
所以2a+sinx}3-cos2x-2+2sin2》,所以。;sinx-!|"”,当且仅当sinx_工时取
I4/16164
等号,所以a的最小值是3.
8.在2023年成都“世界大学生运动会”期间,组委会将甲,乙,丙,丁四位志愿者分配到ABC三个场馆
执勤,若每个场馆至少分到一人,且甲不能被分配到A场馆,则不同分配方案的种数是
A.48B.36C.24D.12
8.C分两种情况:第一种情况,甲单独一人执勤一个场馆,共有如玛前12种,•第二种情况,甲和另
"f=24种.
一个人一起执勤一个场馆,共有CLX12种,则共有
7T
8.(文科)已知函数/'(x)=sin(2x-弓),则下列结论中不正确的是
A.〕为函数|/(尤)|的一个周期
2
B.点(丁,。)yf(x)
3是曲线的一个对称中心点
C.在区间[a,a]上单调递增,则实数。的最大值为土
D.将函数/(x)的图象向右平移看个长度单位后,得到一个偶函数的图象
8.C【解析】
对于A,函数/1(%)=sin(2x-)«n|/(x)|
3的最小正周期为,所以为函数的一个周期,正确;
TTK7TJT
对于B:令2%——-kji(kcZ),解得%-一+—(kcZ)
326
当左—1时,x竺所以点(2M是八刃
33的一个对称中心点,故B正确;
对于C:—♦2kns2x-—<—12kn,Z,得—>kn<x<Z
2321212
令左—0,-----X<——,因为在区间l-a,a]—
1212上单调递增,所以实数a的最大值为12,故C不正确;
对于D:ysin[2(xsin(2x—)cosx,故D正确.
综上,故选C
9.已知抛物线,=4x,弦AB过其焦点,分别过弦的端点A,3的两条切线交于点C,点C到直线距
离的最小值是
11
A.-B.-C.1D.2
42
9.D设(无2,>2),设过A处的直线是y-yi=Z(x-xj,联立y一无=A(x-xj,y2=4x:f>
产一Uyi4为=0,\0,即普-学-2=[±-2yi「=(U=2,则在A处的切线方程为
kkk-kyi4yl0,U1M
yiy=2x「2x,同理8处的切线方程为y2y=2马-2x,设交点C的坐标为。。,孔),点。。。丫)在两
条切线上,所以%%=2为-2与,y2yQ=2x2+2x0,则直线AB的方程是.=2x+2%.又A3过其焦点
(1,0),易知交点C的轨迹是%=1,所以C(-l,%),AB:yy0-2x-2,所以交点C到直线AB的距
3
1',0乙21_____
离是d—.J4^y§,所以当y()hO时d的最小值为2.
10.如图,四棱柱ABCO-ABiG2中,E为棱4鸟的中点,尸为四边形。C。,对角线的交点,下列说
法:
4
①EF〃平面BCGBi;
②若所〃平面ADQA,则BC//AO;/\,
③若四边形ABCD矩形,且斯RG,贝晒棱柱ABC。人声/向为直[/'
BC
四棱柱.
其中正确说法的个数是
A.0B.lC.2D.3
10.C对于①,若所〃平面BCGB],过歹作CC]的平行线交CQi于其中点为连接E8,由于切〃
平面BCG%且所〃平面BCG%所以平面ERH〃平面BCCWi,所以E”〃平面BCGS,所以EH
〃。即当AR与C氏不平行时,EHHCB1不成立.①是假命题.
对于②,同①,EH代跖,则BC//A9②是真命题.
对于③,四边形ABC。矩形,所以AD//BC.又DDJ/CC],所以平面9R。//平面BCG4,所以四
棱柱ABCD-4月42可看作AA^D为上底面,BCC/i为下底面的四棱柱,过E作CQ的平行线交
G2于点X,则》为C12的中点,连接即,由条件有即RC1,又EFRC],则RG一平面
EFH,则切〃G,FHMDD”所以功。D.Q,又功为RG,所以RG.平面AD,A],则
四棱柱ABC。4BCR为直四棱柱.③是真命题.
1O.(B卷)如图,在长方体984耳C.中,ABAD2,P,"分别是棱3C和CD
11
的两个动点,且尸Q2,则P。的中点5到的距离为()
4
A.立B.正
22
10.C取CG的中点尸,连接£尸,
以。为坐标原点,DA,DC,DDxyz
t所在直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则尸(x,2,0)Q(O,y,囱,目0,2,?|,
因为E是PQ的中点,所以4会42,’"
所以诟;$?,。;一…(«)
―CC=DD=0,0,3,
所以FE.Cq\0,即/」顾7所以席£到的距离就是EF,
因为尸。=2,
所以PQ:/+(y_2)2+(73)2,4,即无z+(>-2)21,
所以E广+|-_2V•(:2)2:L即取1
\2/[2.1442
所以PQ的中点E到CG的距离为]
故选:C.
11
11.已知函数/'(x)-2-cosx+炉,若4=/(")/=/(_>),。=/仁丁),则
A.c<b-aB.a-c-bC.c<a--bD.bc<a
ll.B/'(X)=2X+2」+COSX+X2是偶函数,/'(x)(2*-2*)ln2+(2x-sinx)0,则/(x)在
(-,)上是增函数构造函数g(尤)=也,贝IJg'(x)=二^,令g'(x)0,得o.X.e,令婷(X),0,得
0,x旷
5
x>e,所以g(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(%•,)上单调递减.又————,所以g(4).g仁).g(e),
24
所以孚二学.二匣.—,所以2;几、3,所以/(淄)'/仁1・/(1)=/(—£),所以/c.b.
247te
11.(B卷)设a=logi211,b=logi312c=logo.12O.ll,则()
A.c<a<bB,a<b<cC,b<a<cD,b<c<a
1LB由对数函数性质知log/log12lllog1212,即0.Q.1,同理0,」,
又logo.12O.ll-logo.12O.i2,即c:1
lglllgl3.(Igll;lgl3>(竽广(生产)21g212
f12
汇2.Iglllgl2lglllgl3-lgl2‘八日口’厅L,
所以a-b-......---.....———----------------0,BPa<b,综上,b-c,
lgl2lgl3Igl21gl3
故选:B.
x1y2
12.若双曲线C:/-/=l(a。力-0)的左、右焦点分别为居,无,过右焦点生的直线/与双曲线C交于
AB两点,已知/的斜率为左,k2,一,且2^|,.FiAB60。'"一"°"—
A.2^/3B.V3C•事D.2
12.A设/B|=x,则尸2A卜2尤,由双曲线定义,得6A|=2a-2x,F]8|:2a-x.
在\4片8中,由余弦定理,得同回,回Ak一2产维㈣cos60。'ex=1.
在、山/中,由余弦定理,得4c2一库那一,2A『.2河川尸2Aleos60°,解得e-手.
法一:令a=3窜0),则c=7f立6=2f,C:;——二二1,设/:x=⑺--/5?0"—[,联立
9rAt-1.3J
22产
28-x/13m^16
-----二1,x-my+,得^m9产.8-^irnty-16C二0,。产32=/邛不,yy,一.由
9r4r4mz9i24mz
9
|A引二2同回,得2y2,则根]5,所以KAB25.
b2b2
法二:设直线倾斜角/为",由双曲线第二定义得:L4F|一,环kw0t,X|AF|=2|FB\,
121l—ecosfi22
2-1
贝心=,又k[-,-x;,则图B=2退.
TT7a
二、填空题:
6
13.已知向量〃:(1,一2),1二(2,%),若Q.乙则实数x二.
13.1因为。b,所以12-(-2)x=0,解得入:1.
[y>o
14.已知实数x,y满足约束条件'4%♦3y4,贝[]z=3尤+2y的最大值是.
1x0
14.3作出羽y满足的可行域如图中阴影部分所示,作出直线并平移,当直线过点A(1,O)时,
Zmax=3-1-203,所以z=3x-2y的最大值是3.
15.已知等比数列“)的前〃项和为S,,若S"=x.|T...
-27,则am取最大值时,〃的值
为.
aI
15.3等比数列;的公比为q,由等比数列前〃项和公式分:,,q"ex=f,q-1又
q1-q3
1M12,
18,则〃〃二18不।,〃2:6,a3=2,a4=瓦所以aaT-Q赧•最大值时,〃的值是3.
--1
16.若X”,恒有In-------ex-x2.mx1,则根的取值范围是.
mx
工2-]
16.(-r,e-2]由In---------ex-x2-mx1,得e*-mx0在X:1上恒成立,即机•e.
exmx
且ln(x2-1।ln(ex-mx)-mx).][即in(f_1).(//)ln(e*—mxj_机/.因为
y:Inx-尤在[1,+r)上是增函数,所以炉1e,-mx,所以利e*-尤?_i.令/⑴=―A―1,则
sx
x
广(无)=(x-D(e;-D,0所以〃x)在[1,.「)上单调递增,/(x)皿=/⑴=e-2,所以“e-2.
X
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)
7
为了去库存,某商场举行如下促销活动:有两个摸奖箱,A箱内有1个红球、1个黑球、8个白球,8箱
内有4个红球、4个黑球、2个白球,每次摸奖后放回.消费额满300元有一次A箱内摸奖机会,消费额
满600元有一次3箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1个球,中奖规则如下:红球奖50元代金券、
黑球奖30元代金券、白球奖10元代金券.
(I)某三位顾客各有一次B箱内摸奖机会,求中奖10元代金券人数二的分布列;
(II)某顾客消费额为600元,请问:这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大?
解:(I)三位顾客每人一次B箱内摸奖中10元代金券的概率都为1,
中奖10元代金券的人数-服从二项分布3(3,1),
1『4'尸
P(:=k)=C^-J,左=0,1,2,3..........................................................4分
故二的分布列为
匕0123
6448121
P
125125125125
...............6分
(II)可以在A箱摸奖2次,或者在B箱内摸奖1次
A箱摸奖1次所得奖金的期望值为5。,-30.1>10-L16.........................................8分
1010101
8箱摸奖1次所得奖金的期望值为50'+430★410?寻34...............................................10分
A箱摸奖2次所得奖金的期望值为216-32,B箱摸奖1次所得奖金的期望值为34,
所以这位顾客选3箱摸奖1次所得奖金的期望值较大..................................12分
17.(文)某校从高二年级学生中随机抽取60名学生,将他们的期中成绩(均为整数)分成六段,
[4。,50),|50,60)….[90,10()1后得到如图所示的频率分布直方图,观察图形,回答下列问题:
8
频率
⑴求。,并估计此次期中考试成绩的众数.
(2)利用分层抽样的方法从样本中成绩在150,60)和[80,90)两个分数段内的学生中抽5人,再从这5人中
随机抽取2人,求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
【详解】(1)由直方图知:10x(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)*1,则a=0.010
由图知:区间[70,80)的频率最大,故众数为75...........................................4分
(2)成绩在[50,60)分数段的人数有600.15:9,成绩在[80,90)600.16
分数段的人数有
采用分层抽样的方式,在[50,60)抽取3人,记为A,B,C,[80,90)抽取2人,记为1,2,
从这5人中随机抽取两人,所有的基本事件有(A,3),(AC),(A,1),(A2),(2,C),
(B,1),(B,2),(C,1),(C,2),(1,2)共10种,............................8
分
2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10等价于这2个同学在同一个分数段.
记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件N,
则事件N包含的基本事件有(A,砂,(4C),(3,C),(1,2)共4种..........10分
49
所以所求概率为P(N)-........................................................................12分
18.(12分)
sinx=m,
已知64(根'R),设了(X)”.
Icosx:\3八y]3m
(I)求函数/⑴的对称中心;
(II)若中,角A,B,C所对的边分别为/(A)且\A8C外接圆的半径为g,D
是边的中点,求线段长度的最大值.
sinx»mr-反
解。(I)由^3,得/(%)二sin%------cosx=------sin(x.
耕•"Ry「机十Tcosx336
9
令X+:-,左二Z,解得X=所-左6Z,所以函数/(X)的对称中心为
66
(kn--,0),k.Z.....6分
6
(II)•.'/(A)=至sin(A•)=挛,&-(°不>•-A=:,又且班届外接圆的半径为£,则
36333
a2.上sinA1,
3
1222
法一:.•・由余弦定理cosA-—―,得〃-c2-be=1.
2bc
2ADAB-ACc24b2-be=2(?2-b2
1
由〃。2-加』,b2.C2y2bc,得02."2<:2,即(当且仅当时等号成立)
bc_1
.■-4|AD|2.3,即|而|一;此时,bc1..........................12分
法二:直接画出三角形的外接圆,由图可知,当AD.3C时,AD最大,此时V18C为等边三角形,所
以ADM^,所以ADmax
2.2
19.(12分)
如图,棱长为3的正方体ABCDA好©。]中,£是棱eg上靠近C的三等分点.
(I)求证:AiC与平面8£也不垂直;
(II)在线段8E上是否存在一点尸使得平面片4尸平面8DE?若存在,请计算空的值;若不存在,
BE
请说明理由.
解:以。为坐标原点建立如图的空间直角坐标系,
B(3,3,0),0(0,0,0),£(0,3,2),5(3,3,3),。®,0,3),A©,0,3,C(0,3,0).
(I)DE=(0,3,2),^=(-3,3,-3),
因为AC.DE=(_3,3,-3).(0,3,2)=3=0,
10
所以AC与平面BDE不垂直.........5分
-BF12
(II)存在点尸,且隹—.
BE17
iSBF..BE,则尸(3-3,.,3,2;.),[0,1].
DB(3,3,0),DE(0,3,2),
设平面BOE的法向量为〃i-(不,%/1),
In-DB-3巧-3%:0
则反3%.2Z]O'
令%=一2,得〃i=(2,-2,3).
同理,平面BRF的一个法向量为叼=⑵一-3,-2>,-3,3,).
若平面用2歹平面3DE,贝京五0,即4,6一4,6-9;0J,—,;|0,1].
—.1?―»
所以在线段BE上存在一点F使得平面BXDXF与平面8DE垂直,且8尸二万8E........12分
19(文科)如图,棱长为3的正方体ABC。CE-2ECV
(I)若R是线段A3的中点,求证:GR〃平面BDE;------7白
(II)求三棱锥D-38E的体积.小,一看石
解:(I)如图,分别作出线段网的三等分点H,G,连接GG,GF,L/H7
CE-2EC1
BE//GC„AH//DE
••£G分别是的中点
FGIIAH
FGHDE
XvFGGCiG
,平面GRG〃平面EBD
••GF-平面GRC
GF〃平面3DE.........................................................................6分
1119
(II)VDBEB--S-DC—x—•33-3一.......................................12分
13322
20.(12分)
11
xy
已知点尸是椭圆E:3+方:1(<7b—0)的右焦点,过原点的直线交椭圆E于A,B两点,\AB_F面积的最
大值为招\OF\1.
(I)求椭圆E的标准方程;
(II)已知过点尸(4,加的直线/与椭圆E交于M,N两点,是否存在定点P,使得直线FM,FN的斜率
之和为定值?若存在,求出定点P的坐标及该定值.若不存在,请说明理由.
解:(I)因为“ABF||(9F||JA-ys|-be,当且仅当A,B是y轴与椭圆的交点时取等号,
所以6c=瓦又。(广,所以痉=3,a2=4,
V2V2
所以椭圆E的标准方程为不♦二1
43.....................
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