2024届四川省成都高三年级下册二诊模拟文数及答案

成都石室中学2023-2024年度下期高2024届二诊模拟考试

数学试题（文）（A卷）

（总分：150分，时间：120分钟）

第I卷洪60分）

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1.已知复数z=」L（其中i为虚数单位），则z的虚部是

1+1

2.若集合A-12卜3-,=则a*A是a。3的

A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件

3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学

生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是

A.这8位同学数学月考成绩的极差是14

B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122

C.这8位同学数学月考成绩的众数是118

D.这8位同学数学月考成绩的平均数是124

4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形

组成，则这个几何体的体积是

79

B.—«C.-7tD.~n

2332

5.已知数列｛a,｝为等差数列,且%-%%*«10I。，贝U-aS的值为

A.2B.4C.6D.8

6.若仍是正实数，且仁L则的最小值为

A.1B.-C.1D.2

53

7.当0."三时，关于x的不等式（2asinx-cos2x_3）（sinx一次）«0有解则。的最小值是

2

A.2B.3C.4D,45/2

7T

8.已知函数f（x）-sin（2x--）,则下列结论中不正确的是

A.九为函数|/（x）|的一个周期

B.点（g,0）y-f（x）

3是曲线的一个对称中心点

1

c.在区间［a,4］上单调递增，则实数”的最大值为三

12

D.将函数的图象向右平移二个长度单位后，得到一个偶函数的图象

9.已知抛物线俨=4不弦AB过其焦点，分别过弦的端点48的两条切线交于点C,点C到直线AB距离的最小值

7E

11

A.-B.—C.1D.2

42

10.如图，四棱柱ABC。4耳4。|中，E为棱4鸟的中点，尸为四边形。CGR对角线的交点，下列说法：

①所//平面3CGB|；

②若EP〃平面ADQ4，贝；

③若四边形ABCD矩形，且所RG，贝1J四棱柱ABC。44GR为直四棱柱.

其中正确说法的个数是

A.0B.lC.2D.3

11.已知函数f(x)-2V+2+cosx+x~,若a=/(A/2^),bf(-ee),c/(x"),贝U

A.c</?<tzB.a〈c<bC.c<«<Z?D.b<：cca

XV

12.若双曲线C：/-四二l(a0)的左、右焦点分别为。,勺，过右焦点弋的直线/与双曲线C交于48两点,

A一cC，-1=L>A»MO14JO'-1

已知/的斜率为左，人［.1gh+引，且产212^|,.F1AB60°

A.273B.73egD.2

第II卷洪90分)

二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)

13.已知向量£=(1,-2),5；(2,X),若Zb,则实数x=.

y20

14.已知实数x,y满足约束条件4x+3卜4,贝ljz=3x-2y的最大值是.

1x-y>0

15.已知等比数列I%｝的前〃项和为S“，若S"=x.j3-27,则am…圆取最大值时，〃的值为

3

］—

16.若%二1,怛有In—-----ex-X11,则根的取值范围是.

e一mx

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将他们的期中成绩(均为整数)分成六段，|40,50),[50,60),...[90,100

后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：

(D求并估计此次期中考试成绩的众数.

(2)利用分层抽样的方法从样本中成绩在[50,601和|80,90)两个分数段内的学生中抽5人，再从这5人中随机抽取2

人，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

18.(本小题满分12分)

sinx-m,

已知q5(办玲，设/(x)="

Jcosx=八

(I)求函数/(尤)的对称中心；

(II)若\ABC中，角A,8,C所对的边分别为a,"c,/(A)手，且"BC外接圆的半径为g,D是BC边的中

点，求线段长度的最大值.

19(本小题满分12分)

如图，棱长为3的正方体A3CD中，CE-2EC「

(I)若R是线段A3的中点，求证：GF〃平面BDE;

(II)求三棱锥。38E的体积.

3

20.(本小题满分12分)

12丫2

已知点尸是椭圆Kab0)的右焦点，过原点的直线交椭圆£于AB两点，面积的最大值为百

\OF\1.

(T)求椭圆E的标准方程；

(II)已知过点P(4,yo)的直线/与椭圆E交于两点，是否存在定点尸，使得直线的斜率之和为定值？

若存在，求出定点P的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.

21.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=/-ar,x：0.

(I)是否存在实数。使得/(x)、0在区间［a,2a+1］上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理

由；

(II)求函数求x)=/(x)_a21nx在区间(l,e今上的零点个数(e为自然对数的底数).

选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

22.(本小题满分10分)

在平面直角坐标系xQy中，倾斜角为“的直线过定点L0,以。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,

/()

曲线C的极坐标方程为psi/。=4cosfi,直线/与曲线C相交于不同的两点

(I)若n-半，求线段A3中点〃的直角坐标；

(II)若尸(L0),求陷可的最小值.

［选修4-5:不等式选讲］(10分)

23.(本小题满分10分)

已知函数/(x)：1卜

(1)求不等式/(尤)-/(2x-1).x-7的解集；

4

111

(II)若对于正实数〃，b,。，满足—一,—二1,证明：/(x—9.

abc

5

成都石室中学2024-2025年度下期高2024届二诊模拟考试

数学试题（文）（A卷）参考答案

一、选择题：

1.已知复数（其中i为虚数单位）,贝心的虚部是

A.-1B.-liC.-D.li

2222

l.Az二」二，所以z的虚部是

1+122

1,

2.若集合A-{1,2；,B-！y|y=/},则auA是。匚3的

（J

A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.AB[0,-，），则A是2的真子集，则。eA是。后3的充分不必要条件.

3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右

分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则

下列结论正确的是11877

A.这8位同学数学月考成绩的极差是1412513

B.这8位同学数学月考成绩的中位数是1221312

C.这8位同学数学月考成绩的众数是118

D.这8位同学数学月考成绩的平均数是124

3.B对于选项A,极差是13211715,故A错误；

对于选项B,中位数是121/23122,故B正确；

2

对于选项C,众数是117,故C错误；

对于选项D,平均数是故D错误，故选B.

4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半

圆和矩形组成，则这个几何体的体积是————1——

3579

A.—RB.一八C.—nD.—H正视图侧视图

2332

4.A还原成直观图后，几何体由一个圆柱和八分之三个球组成,故这个

几何体的体积展JUj-%4.i3.42=24n.

382俯视图

5.已知数列{a“}为等差数列，且。2♦%%1。，则。4♦“8的值为

A.2B.4C.6D.8

1

5.B因为%%-%，。9•T°，由等差数列的性质，得5a6二1。，%=2,所以。广如4-

6.若“是正实数，且上--4rL则4的最小值为

A.1B.-C.1D.2

53

；〃；］〃.〃卜(〃11

6.A因为〃-Z?二|(3-Z?)-(la-4Z?)|1(32•4b%

3a-b2a-4b

=2+给+黑卜;当且仅当。J时取等号，所以“一。的最小值为。

7.当0.x,人时，关于x的不等式(2asinx-cos2x_3)(sinx一上0有解则。的最小值是

2

A.2B.3C.4D.4^/2

7.A当CLx■今时，sinx.x,所以2asinx-cos2x_3。在0.x-；g上有解,

所以2asinx-3—cos2x=2.2sin2x,所以a；-......sinx|.由一1―+sinx-2,当且仅当二时取

Isin尤;minsmxX2

等号，所以。的最小值是2.

7.当0.：x「三时，关于x的不等式(2a-sinx+cos2x-3)(sinx-x)匚0有解，则a的最小值是

15153,

1682

7.A当0—尤＜三吐sinx-x,所以2。十sinx十cos2x—3、0在0x-三上有解，

22

2

所以2a+sinx}3-cos2x-2+2sin2》,所以。；sinx-!|"”，当且仅当sinx_工时取

I4/16164

等号，所以a的最小值是3.

8.在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到ABC三个场馆

执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到A场馆，则不同分配方案的种数是

A.48B.36C.24D.12

8.C分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有如玛前12种，•第二种情况，甲和另

"f=24种.

一个人一起执勤一个场馆，共有CLX12种，则共有

7T

8.(文科)已知函数/'(x)=sin(2x-弓)，则下列结论中不正确的是

A.〕为函数|/(尤)|的一个周期

2

B.点(丁,。)yf(x)

3是曲线的一个对称中心点

C.在区间[a,a]上单调递增，则实数。的最大值为土

D.将函数/(x)的图象向右平移看个长度单位后，得到一个偶函数的图象

8.C【解析】

对于A,函数/1(%)=sin(2x-)«n|/(x)|

3的最小正周期为，所以为函数的一个周期，正确；

TTK7TJT

对于B:令2%——-kji(kcZ),解得％-一+—(kcZ)

326

当左—1时，x竺所以点(2M是八刃

33的一个对称中心点，故B正确；

对于C:—♦2kns2x-—<—12kn,Z,得—>kn<x<Z

2321212

令左—0,-----X<——,因为在区间l-a,a]—

1212上单调递增，所以实数a的最大值为12,故C不正确；

对于D:ysin[2(xsin(2x—)cosx,故D正确.

综上，故选C

9.已知抛物线,=4x,弦AB过其焦点，分别过弦的端点A,3的两条切线交于点C,点C到直线距

离的最小值是

11

A.-B.-C.1D.2

42

9.D设(无2，>2)，设过A处的直线是y-yi=Z(x-xj,联立y一无=A(x-xj,y2=4x:f>

产一Uyi4为=0,\0,即普-学-2=[±-2yi「=(U=2,则在A处的切线方程为

kkk-kyi4yl0,U1M

yiy=2x「2x,同理8处的切线方程为y2y=2马-2x,设交点C的坐标为。。，孔)，点。。。丫)在两

条切线上，所以％%=2为-2与，y2yQ=2x2+2x0,则直线AB的方程是.=2x+2%.又A3过其焦点

(1,0),易知交点C的轨迹是％=1,所以C(-l,%),AB:yy0-2x-2,所以交点C到直线AB的距

3

1'，0乙21_____

离是d—.J4^y§,所以当y（）hO时d的最小值为2.

10.如图，四棱柱ABCO-ABiG2中，E为棱4鸟的中点，尸为四边形。C。，对角线的交点，下列说

法：

4

①EF〃平面BCGBi；

②若所〃平面ADQA，则BC//AO；/\,

③若四边形ABCD矩形，且斯RG，贝晒棱柱ABC。人声/向为直[/'

BC

四棱柱.

其中正确说法的个数是

A.0B.lC.2D.3

10.C对于①，若所〃平面BCGB],过歹作CC]的平行线交CQi于其中点为连接E8,由于切〃

平面BCG%且所〃平面BCG%所以平面ERH〃平面BCCWi,所以E”〃平面BCGS，所以EH

〃。即当AR与C氏不平行时，EHHCB1不成立.①是假命题.

对于②，同①，EH代跖,则BC//A9②是真命题.

对于③，四边形ABC。矩形，所以AD//BC.又DDJ/CC],所以平面9R。//平面BCG4，所以四

棱柱ABCD-4月42可看作AA^D为上底面，BCC/i为下底面的四棱柱，过E作CQ的平行线交

G2于点X,则》为C12的中点，连接即，由条件有即RC1,又EFRC],则RG一平面

EFH,则切〃G，FHMDD”所以功。D.Q,又功为RG，所以RG.平面AD，A],则

四棱柱ABC。4BCR为直四棱柱.③是真命题.

1O.（B卷）如图，在长方体984耳C.中，ABAD2,P,"分别是棱3C和CD

11

的两个动点，且尸Q2,则P。的中点5到的距离为（）

4

A.立B.正

22

10.C取CG的中点尸，连接£尸,

以。为坐标原点，DA,DC,DDxyz

t所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸(x,2,0)Q(O,y,囱，目0,2,?|,

因为E是PQ的中点，所以4会42，’"

所以诟；$?，。；一…(«)

―CC=DD=0,0,3,

所以FE.Cq\0,即/」顾7所以席£到的距离就是EF,

因为尸。=2,

所以PQ：/+(y_2)2+(73)2,4,即无z+(>-2)21,

所以E广+|-_2V•(:2)2:L即取1

\2/[2.1442

所以PQ的中点E到CG的距离为］

故选：C.

11

11.已知函数/'(x)-2-cosx+炉,若4=/(")/=/(_>)，。=/仁丁)，则

A.c<b-aB.a-c-bC.c<a--bD.bc<a

ll.B/'(X)=2X+2」+COSX+X2是偶函数，/'(x)(2*-2*)ln2+(2x-sinx)0,则/(x)在

(-，)上是增函数构造函数g(尤)=也，贝IJg'(x)=二^,令g'(x)0,得o.X.e,令婷(X),0,得

0,x旷

5

x>e,所以g(x)在区间(0,e)上单调递增，在区间(%•,)上单调递减.又————，所以g(4).g仁).g(e),

24

所以孚二学.二匣.—,所以2；几、3，所以/(淄)'/仁1・/(1)=/(—£),所以/c.b.

247te

11.(B卷)设a=logi211,b=logi312c=logo.12O.ll,则()

A.c<a<bB,a<b<cC,b<a<cD,b<c<a

1LB由对数函数性质知log/log12lllog1212,即0.Q.1,同理0，」，

又logo.12O.ll-logo.12O.i2,即c：1

lglllgl3.(Igll；lgl3>(竽广(生产)21g212

f12

汇2.Iglllgl2lglllgl3-lgl2‘八日口’厅L,

所以a-b-......---.....———----------------0,BPa<b,综上，b-c,

lgl2lgl3Igl21gl3

故选：B.

x1y2

12.若双曲线C：/-/=l(a。力-0)的左、右焦点分别为居,无，过右焦点生的直线/与双曲线C交于

AB两点，已知/的斜率为左，k2,一，且2^|,.FiAB60。'"一"°"—

A.2^/3B.V3C•事D.2

12.A设/B|=x,则尸2A卜2尤，由双曲线定义，得6A|=2a-2x，F]8|：2a-x.

在\4片8中，由余弦定理，得同回，回Ak一2产维㈣cos60。'ex=1.

在、山/中，由余弦定理，得4c2一库那一,2A『.2河川尸2Aleos60°,解得e-手.

法一：令a=3窜0),则c=7f立6=2f,C:；——二二1,设/：x=⑺--/5?0"—[,联立

9rAt-1.3J

22产

28-x/13m^16

-----二1,x-my+,得^m9产.8-^irnty-16C二0,。产32=/邛不，yy，一.由

9r4r4mz9i24mz

9

|A引二2同回，得2y2,则根]5，所以KAB25.

b2b2

法二：设直线倾斜角/为"，由双曲线第二定义得：L4F|一，环kw0t,X|AF|=2|FB\,

121l—ecosfi22

2-1

贝心=,又k[-,-x；,则图B=2退.

TT7a

二、填空题：

6

13.已知向量〃：（1,一2）,1二（2,%）,若Q.乙则实数x二.

13.1因为。b,所以12-（-2）x=0,解得入：1.

［y>o

14.已知实数x,y满足约束条件'4%♦3y4,贝［］z=3尤+2y的最大值是.

1x0

14.3作出羽y满足的可行域如图中阴影部分所示，作出直线并平移，当直线过点A（1,O）时,

Zmax=3-1-203,所以z=3x-2y的最大值是3.

15.已知等比数列“)的前〃项和为S,,若S"=x.|T...

-27,则am取最大值时，〃的值

为.

aI

15.3等比数列；的公比为q,由等比数列前〃项和公式分：，,q"ex=f,q-1又

q1-q3

1M12,

18,则〃〃二18不।,〃2：6,a3=2,a4=瓦所以aaT-Q赧•最大值时，〃的值是3.

--1

16.若X”，恒有In-------ex-x2.mx1,则根的取值范围是.

mx

工2-]

16.(-r,e-2]由In---------ex-x2-mx1,得e*-mx0在X：1上恒成立，即机•e.

exmx

且ln(x2-1।ln(ex-mx)-mx).][即in(f_1).(//)ln(e*—mxj_机/.因为

y：Inx-尤在［1,+r）上是增函数，所以炉1e，-mx,所以利e*-尤？_i.令/⑴=―A―1,则

sx

x

广（无）=（x-D（e；-D,0所以〃x）在［1,.「）上单调递增，/（x）皿=/⑴=e-2,所以“e-2.

X

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）

7

为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱，A箱内有1个红球、1个黑球、8个白球，8箱

内有4个红球、4个黑球、2个白球，每次摸奖后放回.消费额满300元有一次A箱内摸奖机会，消费额

满600元有一次3箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1个球，中奖规则如下：红球奖50元代金券、

黑球奖30元代金券、白球奖10元代金券.

(I)某三位顾客各有一次B箱内摸奖机会，求中奖10元代金券人数二的分布列；

(II)某顾客消费额为600元，请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？

解：(I)三位顾客每人一次B箱内摸奖中10元代金券的概率都为1,

中奖10元代金券的人数-服从二项分布3(3,1),

1『4'尸

P(：=k)=C^-J,左=0,1,2,3..........................................................4分

故二的分布列为

匕0123

6448121

P

125125125125

...............6分

(II)可以在A箱摸奖2次，或者在B箱内摸奖1次

A箱摸奖1次所得奖金的期望值为5。，-30.1>10-L16.........................................8分

1010101

8箱摸奖1次所得奖金的期望值为50'+430★410?寻34...............................................10分

A箱摸奖2次所得奖金的期望值为216-32,B箱摸奖1次所得奖金的期望值为34,

所以这位顾客选3箱摸奖1次所得奖金的期望值较大..................................12分

17.(文)某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将他们的期中成绩(均为整数)分成六段,

[4。，50),|50,60)….[90,10()1后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：

8

频率

⑴求。，并估计此次期中考试成绩的众数.

(2)利用分层抽样的方法从样本中成绩在150,60)和［80,90)两个分数段内的学生中抽5人，再从这5人中

随机抽取2人，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.

【详解】(1)由直方图知:10x(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)*1,则a=0.010

由图知：区间［70,80)的频率最大，故众数为75...........................................4分

(2)成绩在［50,60)分数段的人数有600.15:9,成绩在［80,90)600.16

分数段的人数有

采用分层抽样的方式,在［50,60)抽取3人，记为A,B,C,［80,90)抽取2人，记为1,2,

从这5人中随机抽取两人，所有的基本事件有(A,3),(AC),(A,1),(A2),(2,C),

(B,1),(B,2),(C,1),(C,2),(1,2)共10种,............................8

分

2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10等价于这2个同学在同一个分数段.

记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件N,

则事件N包含的基本事件有(A,砂,(4C),(3,C),(1,2)共4种..........10分

49

所以所求概率为P(N)-........................................................................12分

18.(12分)

sinx=m,

已知64(根'R)，设了(X)”.

Icosx：\3八y］3m

(I)求函数/⑴的对称中心；

(II)若中，角A,B,C所对的边分别为/(A)且\A8C外接圆的半径为g,D

是边的中点，求线段长度的最大值.

sinx»mr-反

解。(I)由^3,得/(%)二sin%------cosx=------sin(x.

耕•"Ry「机十Tcosx336

9

令X+：-,左二Z,解得X=所-左6Z,所以函数/(X)的对称中心为

66

(kn--,0),k.Z.....6分

6

(II)•.'/(A)=至sin(A•)=挛，&-(°不＞•-A=：，又且班届外接圆的半径为£,则

36333

a2.上sinA1,

3

1222

法一：.•・由余弦定理cosA-—―,得〃-c2-be=1.

2bc

2ADAB-ACc24b2-be=2(?2-b2

1

由〃。2-加』，b2.C2y2bc,得02."2＜：2,即(当且仅当时等号成立)

bc_1

.■-4|AD|2.3,即|而|一；此时，bc1..........................12分

法二：直接画出三角形的外接圆，由图可知，当AD.3C时，AD最大，此时V18C为等边三角形，所

以ADM^,所以ADmax

2.2

19.(12分)

如图，棱长为3的正方体ABCDA好©。］中,£是棱eg上靠近C的三等分点.

(I)求证：AiC与平面8£也不垂直；

(II)在线段8E上是否存在一点尸使得平面片4尸平面8DE?若存在，请计算空的值；若不存在,

BE

请说明理由.

解：以。为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，

B(3,3,0),0(0,0,0),£(0,3,2),5(3,3,3),。®,0,3),A©,0,3,C(0,3,0).

(I)DE=(0,3,2),^=(-3,3,-3),

因为AC.DE=(_3,3,-3).(0,3,2)=3=0,

10

所以AC与平面BDE不垂直.........5分

-BF12

(II)存在点尸，且隹—.

BE17

iSBF..BE,则尸(3-3,.,3,2；.),[0,1].

DB(3,3,0),DE(0,3,2),

设平面BOE的法向量为〃i-(不，%/1),

In-DB-3巧-3%：0

则反3%.2Z]O'

令％=一2,得〃i=(2,-2,3).

同理,平面BRF的一个法向量为叼=⑵一-3,-2>,-3,3，）.

若平面用2歹平面3DE,贝京五0,即4,6一4,6-9；0J,—,；|0,1].

—.1?―»

所以在线段BE上存在一点F使得平面BXDXF与平面8DE垂直，且8尸二万8E........12分

19（文科）如图，棱长为3的正方体ABC。CE-2ECV

（I）若R是线段A3的中点，求证：GR〃平面BDE;------7白

（II）求三棱锥D-38E的体积.小，一看石

解：（I）如图，分别作出线段网的三等分点H,G,连接GG,GF,L/H7

CE-2EC1

BE//GC„AH//DE

••£G分别是的中点

FGIIAH

FGHDE

XvFGGCiG

,平面GRG〃平面EBD

••GF-平面GRC

GF〃平面3DE.........................................................................6分

1119

(II)VDBEB--S-DC—x—•33-3一.......................................12分

13322

20.(12分)

11

xy

已知点尸是椭圆E:3+方：1(<7b—0)的右焦点，过原点的直线交椭圆E于A,B两点,\AB_F面积的最

大值为招\OF\1.

(I)求椭圆E的标准方程；

(II)已知过点尸(4,加的直线/与椭圆E交于M,N两点，是否存在定点P，使得直线FM,FN的斜率

之和为定值？若存在，求出定点P的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.

解：(I)因为“ABF||(9F||JA-ys|-be,当且仅当A,B是y轴与椭圆的交点时取等号，

所以6c=瓦又。(广，所以痉=3,a2=4,

V2V2

所以椭圆E的标准方程为不♦二1

43.....................