2024届辽宁省抚顺市“抚顺六校协作体”高考全国统考预测卷数学试卷含解析

2024届辽宁省抚顺市“抚顺六校协作体”高考全国统考预测密卷数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数〃x)=Asinj0x+，-a(O<a<A)在区间0,/有三个零点占，4，/，且西<%<七,若

VL30_

57r

x1+2X2+x3=—,则/(x)的最小正周期为()

TC2〃4万

A.—B.—C.兀D.----

233

22

2.设月，骂是双曲线C：■—2r=1e>0/>0)的左，右焦点，。是坐标原点，过点B作。的一条渐近线的垂

ab

线，垂足为尸.若［PE|=C|OP|,则C的离心率为()

A.72B.73C.2D.3

3.如图，在平行四边形ABC。中，。为对角线的交点，点P为平行四边形外一点，且APOB,BP则£)p=

()

3

A.DA+2DCB.-DA+DC

2

31

C.2DA+DCD.-DA+-DC

22

71

4.已知cos。=——.ae，贝!]sin(»+o)=)

2J22J22J21

A.B.---C.D.-

3333

5.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60。，则双曲线C的方程不可能为()

6.设xeR,则“|x—1|<2"是的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必条件

7.已知函数/(x)=log/|x-2|-a)(a>0,且”1),则“已x)在(3,+s)上是单调函数”是"0<a<l”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

了20

8.若实数了，丁满足的约束条件x+y-3W0,则z=2x+y的取值范围是()

2x-y>0

A.[4,+oo)B.[0,6]C.[04]D.[6,+co)

9.已知集合4={尤|一2<%<3,%£?/},8={%|12>1}人，则集合AB=()

A.{2}B.{-1,0,1}C.{-2,2}D.{-1,0,1,2)

10.设平面a与平面夕相交于直线加，直线。在平面a内，直线〃在平面尸内，且6,和则”是“a的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分不必要条件

11.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是()

A.8B.32C.64D.128

12.某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为()

A.1B.2C.3D.0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设/(%)为偶函数，且当龙«-2,0]时，/(x)=-x(X+2)；当尤e[2,+oo)时，〃x)=(a-x)(x—2).关于函数

g(£)=/(£)-机的零点，有下列三个命题：

①当a=4时，存在实数m，使函数g(x)恰有5个不同的零点；

②若必"40,1],函数g(x)的零点不超过4个，则aW2；

③对\/〃ze(l,+8),〃e(4,+⑹，函数g(X)恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列.

其中，正确命题的序号是.

14.在(Y—2厂的二项展开式中，所有项的系数的和为

X

15.已知正方形A5C。边长为3,空间中的动点尸满足B4=2,PC=2PD,则三棱锥A-FCD体积的最大值是

16.若国4：且X/O时，不等式|依2-x-22国恒成立，则实数a的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，正方形AG/C是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等,

/处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红

绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从/处骑行到A处(不考虑A/处的红绿灯)，出发时的两条路线

(/―广，/一“)等可能选择，且总是走最近路线.

(1)请问小明上学的路线有多少种不同可能？

(2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E处，且全程不等红绿灯

的概率；

（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？

18.（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖

风景区等等.

（1）为了解“五•一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000

人，制成了如图的频率分布直方图：

现从年龄在［42,52］内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄

在［47,52］内的人数为£求尸仁=3}

（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型

游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1.将

每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：

劳动节当日客流量X1<X<33<X<5X>5

频数（年）244

以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量

相互独立.

该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日4型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客

流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：

劳动节当日客流量X1<X<33<X<5X〉5

A型游船最多使用量123

若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投

入却不被使用，则游船中心当日亏损0・5万元.记F（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，F的

数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A型游船

才能使其当日获得的总利润最大？

19.（12分）设函数/⑴=6cos2%—Gsin2%.

TT

（1）求/（五）的值；

71

（2）若xe飞,兀,求函数f（x）的单调递减区间.

20.（12分）如图，在三棱锥A-8C。中，ABLAD,BCVBD,平面A5Z>_L平面5c£>,点E,F（E与A,。不重合）

分别在棱A。，3。上，KEFLAD.

入

A

..J..<•••••

人1,

求证：（1）E尸〃平面A5C；

（2）AD±AC.

21.（12分）已知椭圆C：[+'=l（。〉）〉0）的离心率为孝，点在椭圆上.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）设直线>=丘+〃?交椭圆C于A,3两点，线段的中点M在直线％=1上，求证：线段的中垂线恒过定

点.

22.（10分）已知函数”兀）=%3_兀2_（q_]6）x,g（x）=alnx,awR.函数/z（x）=/^U-g（x）的导函数”⑺

X

在1,4上存在零点.

（1）求实数。的取值范围；

（2）若存在实数。，当％e[O,句时，函数/（X）在％=0时取得最大值，求正实数匕的最大值；

⑶若直线/与曲线丁=/（力和丁=8（九）都相切，且/在V轴上的截距为-12,求实数。的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

7JiJi5712TI8Ji

根据题意，知当冗=—时，G)X+—=一,由对称轴的性质可知石+%=—和/+%3=——，即可求出叩，即可求

369623a)3a)

出/(九)的最小正周期.

【详解】

解：由于/(x)=Asin|0X+：/。(0＜。＜A)在区间0,—有三个零点再，x2,x3,

voJ3co

、r,7兀Q兀5兀

当％=—时，coxH———

3①62

7CJLJL

由对称轴可知玉9%满足力尤1H--------HCDX2H------——X29

662

2兀

即%%=---

3①

、3Lt兀兀3兀_…8兀

同理%29七满足8％---COX^H-X2,即/+%3=---------9

6623a)

.10兀5兀八

・・X]+2%2+%3=--------=-------9①=2,

3693

所以最小正周期为：T=W27r=n.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.

2、B

【解析】

j2f2＞、

设过点M(c,o)作y=2x的垂线，其方程为y=—f(x—c),联立方程，求得x=£,y=—,即P—,由

abcc\＜cc)

|P^|=V6|OP|,列出相应方程，求出离心率.

【详解】

解：不妨设过点E(c,O)作y=的垂线，其方程为y=—g(x—c),

ab

b

y=—x27<27A

ATJZH日口D〃

由।1a解得%=—CL，y=一cib,即P一,一a"，

a(\cc\cc)

y=-c)v7

4

tIDZ7i后icoi由I、I天〃2/(aY(aa%?)

由W=J6|O尸I，所以有—+c=6—+，

c\cJ\ccJ

化简得3a2=02,所以离心率e=f=上.

a

故选：B.

【点睛】

本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题.

3、D

【解析】

连接0尸，根据题目，证明出四边形APOD为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案

【详解】

连接。尸，由APi08,BPOA知，四边形AP30为平行四边形，可得四边形APO。为平行四边形，所以

1131

DP^DA+DO=DA+~DA+-DC^-DA+-DC.

2222

【点睛】

本题考查向量的线性运算问题，属于基础题

4、B

【解析】

利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.

【详解】

1(左)

cos,ae］一,万|

a=——3【2)

，sm（万+tz）=-smtz=-----

'）3

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力.

5、C

【解析】

判断出已知条件中双曲线C的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.

【详解】

两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x轴的夹角时要分为两种情况.依题意，双曲渐近线与x轴的夹角为30。或60。,

双曲线C的渐近线方程为y=或y=±Gx.A选项渐近线为y=±gx,B选项渐近线为y=,C选项

122

渐近线为y=土5%，D选项渐近线为y=+y/3x.所以双曲线C的方程不可能为1■-%=1.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.

6、B

【解析】

解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.

【详解】

由—得-l<x<3,又由％2<x，得0<无<1,

因为集合{110<x<1}u{x|-1<x<3},

所以“|x—11<2，，是“f<%，，的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】

本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.

7、C

【解析】

先求出复合函数/(X)在(3,+8)上是单调函数的充要条件，再看其和0<。<1的包含关系，利用集合间包含关系与充

要条件之间的关系，判断正确答案.

【详解】

/(x)=logfl(|x-21-a)(a>0,且awl),

由|x-2]—a>0得％<2—a或无>2+a,

即/(x)的定义域为{尤|尤<2-。或x>2+a},(a〉0,且awl)

令f=|x-2|-a,其在(—8,2—a)单调递减，(2+a,+oo)单调递增，

2+a<3

在(3,+8)上是单调函数，其充要条件为a〉0

awl

即0<a<1.

故选：C.

【点睛】

本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.

8、B

【解析】

根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.

【详解】

^>0

实数羽y满足的约束条件<%+y-3<0,画出可行域如下图所示：

2x-y>0

y=-2x

将线性目标函数z=2x+y化为y=_2x+z,

则将y=-2x平移，平移后结合图像可知，当经过原点0(0,0)时截距最小，z1nm=0；

当经过3(3,0)时，截距最大值，zmax=2x3+0=6,

所以线性目标函数z=2x+y的取值范围为[0,6],

故选：B.

【点睛】

本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.

9、A

【解析】

化简集合4,3,按交集定义，即可求解.

【详解】

集合A={%|-2<%<3,%wN}={0,1,2},

3={x|x>1或x<-1},则AB={2}.

故选:A.

【点睛】

本题考查集合间的运算，属于基础题.

10、A

【解析】

试题分析：«±P，b±m-，「又直线a在平面a内，所以a，b,但直线■,不一定相交，所以“a，p”是“a，b”

的充分不必要条件，故选A.

考点：充分条件、必要条件.

11、C

【解析】

根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.

【详解】

由题意，执行上述程序框图，可得

第1次循环，满足判断条件，S=l,k=l.

第2次循环，满足判断条件，S=2,k=2；

第3次循环，满足判断条件，S=8次=3；

第4次循环，满足判断条件，S=64水=4；

不满足判断条件，输出S=64.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关

键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

12、C

【解析】

由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

54分7-5~~r/c

/A

其中AABC,ABCD,AADC为直角三角形.

,该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、①②③

【解析】

根据偶函数的图象关于y轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可.

【详解】

7

解：当a=4时/(力=v0、L'、又因为/(%)为偶函数

(4一xe[2,+ooj

•••可画出/(九)的图象，如下所示:

可知当加=0时g(x)=/(x)-7"有5个不同的零点；故①正确;

若V根函数g(x)的零点不超过4个，

即y=/(“与丁=根的交点不超过4个，

.•.%»2时/(力40恒成立

又当xe[2,+oo)时，/(x)=(a-x)(x-2)

.•"—x40在xe[2,+8)上恒成立

」.aWx在无e[2,+00)上恒成立

:.a<2

由于偶函数“X)的图象，如下所示:

故答案为：①②③

【点睛】

本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.

14、1

【解析】

设/(乃=(公二)6,令％=1,/⑴的值即为所有项的系数之和。

X

【详解】

设/(x)=，二)6，令X=l,

X

所有项的系数的和为/(1)=(1-2)6=1。

【点睛】

本题主要考查二项式展开式所有项的系数的和的求法一赋值法。一般地，

对于/(x)=(ax+»”,展开式各项系数之和为了(1),注意与“二项式系数之和”区分。

io3逐

10>---

4

【解析】

以A为原点，A3为x轴，为了轴，过A作平面ABC。的垂线为z轴建立空间直角坐标系，设点P(a,b,c),根据

题中条件得出。=36-5,进而可求出卜|的最大值，由此能求出三棱锥A-PCD体积的最大值.

【详解】

以A为原点，为x轴，为V轴，过A作平面ABC。的垂线为z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),C(3,3,0),£>(0,3,0),设点P®瓦c),

空间中的动点P满足Q4=2,PC=2PD,

y/a2+b~+c2=2

所以《।------；-------：——।----------：——，整理得0=36—5,

J(a-3)2+(&-3)-+0?=2+9一3)'+c2

/.|c|=1A_O1_及=注(3b-5)2-b?

31

当b=3,〃=_—时,

22

2

所以，三棱锥A—尸8的体积为匕pcD^VPACD^-SMCD-\c\<-x-x3x^-^^-.

/i_i—/IVLz3ZA/lLi>||3224

因此，三棱锥A-PCD体积的最大值为地.

4

故答案为：巫.

4

【点睛】

本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,

是中档题.

16、(-°°，-2][2,+oo)

【解析】

将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对“的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间

-上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出a的取值范围.

【详解】

因为“_工_小2凶，所以(加-尤-”“2国7，所以(方2_%_“丫“2尤「

~,、(、、~.[ax2-3x-a>0_^\ax2-3x-a<Q

所以(ax_1_Q_2x)(ar_%_q+2x)20,所以17或49,

[ax+x-a>Q[ax+x-a<Q

当a=0时，同之2国对禺v；且xwO不成立，

-2，2

,,_1奴-3x-tz>0~ax-3x-a<0

当〃>0时，取％=彳，<显然不满足，所以〈2,

2\ax+x-a>0[ax+x-a<Q

2

ax-3x-a>0ax2-3x-a>0

当avO时，取]=-5,显然不满足,所以《

ax'+x-a>0ax2+x-a>0

综上可得。的取值范围是：[2,+s).

故答案为：(…,-2][2,+w).

【点睛】

本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：(1)分类讨论

法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；(2)参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关

系求解出参数范围.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)6种；(2)—；(3)/一尸fCf3fA.

64

【解析】

(1)从4条街中选择2条横街即可；

(2)小明途中恰好经过E处，共有4条路线，即fOfA,ITHTETBTA,IfFfEfDfA,

IfF-EfBfA,分别对4条路线进行分析计算概率；

(3)分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.

【详解】

(1)路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可，所以路线总数为C：=6条.

(2)小明途中恰好经过E处，共有4条路线：

①当走EfOfA时，全程不等红绿灯的概率R=5X：XZ><1=方；

②当走/fEfA时，全程不等红绿灯的概率，=彳*=*=*二=三；

2444128

③当走/fFfEfOfA时，全程不等红绿灯的概率03；

11313

④当走/fWE->BfA时，全程不等红绿灯的概率=最.

所以途中恰好经过E处，且全程不等信号灯的概率

331311

P-P］+22+A+=-----1-------1------1-----------.

1234321283212864

（3）设以下第i条的路线等信号灯的次数为变量X,,则

①第一条：EfOfAXL"［，］,则E（Xj=|；

②第二条：I—>F—>C—>B—>A,X2~B^3,—,贝!|=3x：=：；

③另外四条路线：iTHfGlD—AI—HfEfB—A；IfFfEfDfA；

/一尸.Ef8.AXj~42,：卜=3,4,5,6）,贝！JE（Xj=2x：=|（i=3,4,5,6）

综上，小明上学的最佳路线为/fHfEfO—A；应尽量避开/一/fCf3->A.

【点睛】

本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.

4

18、（1）P（^=3）=—；（2）投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大

【解析】

⑴首先计算出在［42,47）,［47,52］内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出P（J=3）.

（2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.

【详解】

（1）年龄在［42,47）内的游客人数为150,年龄在［47,52］内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人,

则年龄在［42,47）内的人数为6人，年龄在［47,52］内的人数为4人.

r3rl4

可得网4=3）=言=京.

CqOJJ

（2）①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1,则E（F）=3（万元）.

②当投入2艘A型游船时，

若1<X<3,则V=3—0.5=2.5,此时P，=0=P（1<X<3）=［=:；

4

若XN3,则y=3x2=6,此时P（y=6）=P（3VX<5）+P（X>5）=1；

此时F的分布列如下表：

Y2.56

14

p

55

i4

此时E（y）=2.5xg+6><5=5.3（万元）.

③当投入3艘A型游船时，

21

若1<X<3,则F=3—1=2,此时P（y=2）=P（l<X<3）=历

2

若3WXW5,则V=3x2—0.5=5.5,此时P（y=5.5）=P（3VXV5）=g；

2

若X>5,则y=3x3=9,此时p（y=9）=p（x>5）=g；

此时y的分布列如下表：

Y25.59

122

P

555

122

此时E(y)=2xg+5.5><w+9xM=6.2(万元).

由于6.2>5.3>3,则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A型游船使其当日获得的总利润最大.

【点睛】

本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题

的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

19^(1)，历］=3+G(2)/(x)的递减区间为—和

【解析】

7C

(1)化简函数/(X),代入x=—,计算即可；

12

n

(2)先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合xe万即可求出.

【详解】

(1)/(%)=6cos2x-A/3sin2x=3(1+cos2x)-sinlx

=-A/3sin2x+3cos2x+3

=—2Gsin12x—百+3,

n

从而f3+百.

12

(2)令----F2%万<2x-----<—卜2k兀,ksZ.

2321

JI57r

解得-----Fk/cWxW-----Fk汽,keZ.

1212

jr57r

即函数/(%)的所有减区间为-^+k兀，不+ki,keZ,

JIJIUTT

考虑到%£，取左=0,1,可得入£—X€---，乃

12

TT57r117T

故“X）的递减区间为y,—和元环

【点睛】

本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.

20、（1）见解析（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）先由平面几何知识证明历〃AB,再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性

质定理得BC_L平面9，则8CJ_AD,再由A6J_AO及线面垂直判定定理得A。，平面A5C,即可得

ADLAC.

试题解析：证明：（1）在平面ABZ）内，因为ABLA。，EF±AD,所以跖IAB.

A

又因为Eba平面ABC,ABu平面ABC,所以EF〃平面ABC.

（2）因为平面ABOJ_平面BCD,

平面ABDC平面BCD=BD,

8。匚平面5。，BC±BD,

所以BC,平面ABO.

因为A£>u平面AB£),所以BC,AD.

又AB_L4Z),BCcAB=B,ABu平面ABC,BCu平面ABC,

所以AZ>_L平面A3C,

又因为ACu平面ABC,

所以AO_LAC.

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)

证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

2

21,(I)—+y2=1；(II)详见解析.

4-

【解析】

(I)把点P代入椭圆方程，结合离心率得到关于。力的方程，解方程即可；

(II)联立直线与椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段A5的中垂线方程即

可证明.

【详解】

131

(I)由已知椭圆过点P得,/+方j

又e，=T邛,得〃二痂,

a

2

所以/=4,/=1,即椭圆方程为土+y2=1.

4

H2=[

+V，得（左）尤矶+机

(II)证明：由T'—1+422+842—4=0,

y=kx+m

由△=64k2府-4（1+4k2）（W-4）=-16m2+64k2+16>0,得苏<1+4-

由韦达定理可得，％+x,=-

-1+4产

、4km

设AB的中点〃为（尤0,%）,得]~~—7=1,即1+442=-4切z，

1十T"/C

7m1

••Vn=KXQ+in=-,

°°1+4左24k

.•.池的中垂线方程为丁+!二一4。一：!），即y=——

4kkk\4）

故AB得中垂线恒过点N［：,。］

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综

合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.

22、(1)［10,28］；(2)4；(3)12.

【解析】

(1)由题意可知，h(x)=x1-x-a］nx-a+16,求导函数”(x),方程—%—“=。在区间|,4上有实数解，求

出实数〃的取值范围；

⑵由/a)=/—x2—(a_i6)x,贝!J/'(x)=3d—2x—a+16,分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，

得出正实数万的最大值；

(3)设直线/与曲线y="力的切点为(忌另一才—(〃―16)为)，因为/'(%)=3d—2x—(a—16),所以切线斜率

左=3才一2%一(a—16),切线方程为y=(24-a)x—12,设直线/与曲线y=g(%)的切点为(々，。山/)，因为

g'(x)=~,所以切线斜率左=巴，即切