2024年中考数学探究性训练-图形与坐标的性质

备考2024年中考数学探究性训练专题28图形与坐标的性质

一、选择题

1.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如④，0),a,o),

a,1),(2,2),(2,1),(1,0),<3,0),…，根据规律探索可得，第31个点的坐标为()

A.a,5;B.a,4；c.a,39D.a,2)

2.如下图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“一”方向排列，如(1,0),(2,0),

(2,1),(3,1),(3,O),(3,-1),...»根据技个规律探索可得，第100个点的坐标为()

C.(14,1)D.(14,2)

3.我们把1,1,2,3,5,8,13,21,…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列

数为半径作90。圆弧PR,P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2,P2P3,

P3P4,…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),则该折线上的点P9

的坐标为()

A.(-6,24)B.(-6,25)C.(-5,24)D.(-5,25)

4.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“一”方向排列，如(1,0),(2,0),

(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0),……，根据这个规律探索可得第2023个点的坐标是()

/(5,4)

•(43)1(5,3)

•(3,2)!：4,2)”(5,2)

/!TI

,2,1)1(3彳(4,1)(5」)

(i,0)”0)(3：0)3：0)(5：0)»>

X

A.(63,5)B.(63,6)C.(64,5)D.(64,6)

二'填空题

5.教材在第七章复习题的“拓广探索”中，曾让同学们探索发现：在平面直角坐标系中，线段中点的

横坐标(纵坐标)分别等于对应线段的两个端点的横坐标(纵坐标)和的一半，例如：点4(1,3),

点B(7,1),则线段的中点M的坐标为(4,2),请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，

点E(a+3,a),F(b,a+b+1)若线段EF的中点G恰好在久轴上，且到y轴的距离是3,则

a—b=.

6.如图，在平面直角坐标系中，点4(1,2),X2(2,0),&(3，-2),X4(4,0)……根据这个规律,

探究可得点人2023的坐标是.

2-

-V—1~〈I'I_1~

2\3,456'、7,89%

-2-

-3-

7.教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点4(4,%)、Bg,丫2)，

所连线段AB的中点是M,则M的坐标为(土磬，然2),如：点4(1,2)、点B(3,6),则线段

AB的中点M的坐标为(学，竽)，即M(2,4).利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若

E(a-1,a),F(b,a-b),线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1,则4a+b的值

等于.

8.如图，线段AB两端点坐标分别为4(-1,5),B(3,3),线段CD两端点坐标分别为C(5,3)、

D(3,-1)数学课外兴趣小组研究这两线段发现：其中一条线段绕着某点旋转一个角度可得到另一

条线段，请写出旋转中心的坐标.

9.在平面直角坐标系中，已知直线/：y=x,作4(1,0)关于y=尤的对称点Bi,将点B向右

水平平移2个单位得到点也；再作出关于y=x的对称点&,将点&向右水平平移2个单位得到点

A3；....请继续操作并探究：点43的坐标是，点外014的坐标是.

10.如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵.从3开始，把位于同一列且在拐角处的两

个数字提取出来组成有序数对：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；(31,37)….如果单独把每

个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律.请写出第n个数

八

三、理论探究题

11.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点人①，b),B(c,d),若点T(K,y)满足x=华,y=竽,

那么称点T是点4和B的衍生点.例如：M(-2,5),N(8,-2),则点T(2,1)是点M和N的衍生点.已

知点。(3,0),点E(m,m+2),点7(久，y)是点。和E的衍生点.

(1)若点E(4,6),则点7的坐标为

(2)请直接写出点T的坐标(用小表示)；

(3)若直线ET交支轴于点当ZDHT=9O。时，求点E的坐标.

12.在平面直角坐标系中，对于点P(久，y),若点Q的坐标为(ay+x,ax+y),其中a为常数，对称

点Q是点P的“a级关联点”，例如：点P(l,4)的“2级关联点”Q(2X4+1,1x2+4),即Q(9,6).

(1)已知点4(2,-1)的：“3级关联点”为B,求点B的坐标；

(2)已知点P(%,y)关于“2级关联点”为(0,3),求P的坐标；

(3)点(2m,TH-1)关于-4级关联点在第三象限，求TH的范围。

13.如图，直线y=-+6与久轴分别交于E,凡点E坐标为(一8,0),点4的坐标为(―6,0),P(x,

(1)求k的值；

(2)当点P在第二象限内运动过程中，试写出三角形。P2的面积s与％的函数关系式，并写出自变

重%的取值氾围；

(3)探究：当P运动到什么位置时，三角形OPA的面积为冬，并说明理由.

O

14.阅读：在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，可构造直角三角形，运用勾股定理，求这两点间

的距离；在平面直角坐标系中有两点4(-3,5),B(l,2),求4B两点间的距离.过点/作了轴的垂线,

过点B作y轴的垂线，相交于点C,连接4B.4C=|5-2|=3,BC=|1-(-3)|=4,在Rt△4BC

中，由勾股定理得：AB=JAC?+BC2=J32+42=5,若M(%i，yi),Ng,丫2)，从而得到两点间

的距离公式MN=J%-%2)2+(力-乃产.解决下列问题:

一r

图1图2

(1)若尸(2,4),(2(-3,-8),则PQ两点间的距离PQ=；

(2)如图2：点£)(3,3),点E(5,—1),则DE=,若。H1DE,则。4=.

15.在8义8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A(2,4),B(4,2).C是第一

象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形.

(2)将AABC绕点C旋转180。得到△AiBiCi,连接ABi、BAi,画出四边形AB1A1B,并判断四

边形ABjAiB是何种特殊四边形▲；

(3)请探究：在x轴上是否存在这样的点P,使四边形ABOP的面积等于AABC面积的2倍？若

存在，请直接写出点P的坐标(不必写出解答过程)；若不存在，请说明理由.

16.在平面直角坐标系中，若点N(x,y)的坐标满足2x-y=2,则我们称点N为“健康点”；若点

Q(无，y)的坐标满足尤+2y=6,则我们称Q为“快乐点

八〉

r-4--

3

2

1

J---->->■

—4—3-2—1O134%

II

“二4

(1)若点Z(a,2)是“健康点”，则点A的坐标为.

(2)在(1)的条件下，若点B是x轴上的“健康点”，点C是y轴上的“快乐点”，如果P为x轴

上一点，且ABPC与ATlBC面积相等，求点P的坐标.

17.如图，在平面直角坐标系中，4(0,2),B(3,0),过点B作直线211y轴，点P是直线/上的动点,

(1)如图1当点P落在点B时，则点Q的坐标是；

(2)学生甲认为点Q的坐标一定跟点P有关，于是进行了如下探究：

如图2,小聪同学画草图时，让点P落在Pi、P2、P3不同的特殊位置时(Pi在无轴上、P2%与久轴平

行、当Q落在%轴上时对应点P3)，画出了几个点对应的Ql、Q2、＜23三个不同的位置，发现Q1、＜?2、＜?3

在同一条直线上，请你根据学生甲的猜测及题目条件，求出点Q所在直线的解析式；

(3)在(2)中，虽然求出了点Q所在直线的解析式，但是小明同学认为几个特殊点确定解析式是

一种猜测，当点P在［上运动时，所有的Q点都在一条直线上吗？就解设了点Q的坐标为(％,y),希望用

一般推理的方式求出久和y满足的关系式，请你帮助小明给出解答.

18.在平面直角坐标系xOy中，对于P,Q两点给出如下定义：若点P的横纵坐标的绝对值之和等于点Q

的横纵坐标的绝对值之和，则称P,Q两点为“等和点”,下图中的P,Q两点即为“等和点”.

(1)已知点力的坐标为(一2,4),

①在点S(0,2),T(l,5),加(2,-4)中，与点4为“等和点”的是(只填字母);

②若点B在第一象限的角平分线上，且4B两点为“等和点”，则点B的坐标为

(2)已知点C的坐标为(3,0),点。的坐标为(0,-3),连接CD,点M为线段CD上一点，过点N(n,0)

作支轴的垂线若垂线［上存在点M的“等和点”，求n的取值范围.

19.我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点PQq,y。、Qg,y2)>如果满足yi-久1=为一

%2,那么称P、Q两点互为“等差点

(1)请判断在点4(2,—1)、5(1,4)、C(—2,-1)中,有哪些点与点D(-1,2)互为“等差点”？

(2)已知点E在直线y=尤—2上，点F在双曲线y(k为常数，且17±1)上，且E、F两

点互为“等差点”.请求出点F的坐标(用含k的代数式表示)；

(3)已知抛物线月=a/+bx+2(a,b为常数且a。。、b。0)的顶点为G点，与％轴交于M、N

两点，GM1GN,P、Q两点分别在抛物线月=。/+以+2和直线为=｝一3上，如果P、Q两点互

为“等差点”，且P、Q两点的横坐标是一元二次方程a/+竽％+<=0的两根，求3a—b的值.

20.八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，他们将等腰Rt^ABC(NBAC=90。,

AB=AC)放在平面直角坐标系中进行探究，请你和他们一起活动吧。

(1)如图1所示：若A(1,0),B(0,3),探究得到C点坐标是(,)

(2)如图2所示：若A(0,2),B(—3,0),探究C点坐标

(3)如图3所示：若A(2,3),B(0,0),探究C点坐标

21.综合与实践.

图1图2图3

(1)积累经验

我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知

识转化角和边，进而解决问题.例如：我们在解决：“如图1,在AABC中，乙4cB=90。，AC=BC,

线段DE经过点C,且4)，DE于点。，BEIDE于点E.求证：AD=CE,只要证明△40C三△CEB,

即可得到解决；

(2)类比应用

如图2,在平面直角坐标系中，AABC中，ZACB=90°,AC=BC,点/的坐标为(0,2),点C的

坐标为(1,0),求点8的坐标.

(3)拓展提升

如图3,AZBC在平面直角坐标系中，乙4cB=90。，AC=BC,点/的坐标为(2,1),点C的坐标

为(4,2),则点3坐标为.

22.综合与实践：

(1)问题背景：

已知4(1,2),B(3,0),C(l,-1),。(一3,-3).在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别

找到线段和CD中点Pi、P2,然后写出它们的坐标，则Pi▲,P2A.

(2)探究发现：

结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为(5，月)，(%2,y2),则线段的中点

坐标为.

(3)拓展应用：

利用上述规律解决下列问题：已知三点以一1,2),F(3,1),G(l,4),第四个点HQ,y)与点E、

点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标.

23.如图，在平面直角坐标系中，A(a,0),5(0,b),且|a+4|+^—8b+16=0.

(1)求a,b的值；

(2)如图1,C为y轴负半轴上一点，连C4过点C作CD1C4使CD=CA,连BD求证：NCBD=45°；

(3)如图2,若有一等腰RtABMN,乙BMN=9Q°,连©V,取4V中点P,连PM、P0.试探究PM

和P。的关系.

24.阅读材料回答问题

在平面直角坐标系中，定义，点尸沿着水平和竖直方向运动到达点。的最短路径的长度为尸，Q

两点之间的“横纵距离”.如图所示，点/的坐标为(2,3),则HO两点的“横纵距离”为5.

木y

5-

4-

A

3-

2k

1

-i—i---1---1।a

-5-4-3-2-IQ12345x

-3

-4

-5

解决问题

(1)已知点3的坐标为(-3,-1),则8,0两点的“横纵距离”为;A,8两点的“横

纵距离”为;

(2)已知点C的坐标为(0,2),写出两个与点C的“横纵距离”为3的点的坐标.

(3)拓展延伸

已知D,O两点的“横纵距离”为5；D,C两点的“横纵距离”为3.请写出满足条件的点D的纵坐标的

取值范围.

25.对于点P和图形小，若点P关于图形加上任意的一点的对称点为点Q,所有点Q组成的图形为M,则

称图形”为点P关于图形小的“对称图形”.在平面直角坐标系％。y中，已知点4(-1,-2),6(2,-2),

C(2,1),D(-1,1).

(1)①在点E(—2,-4),F(0,-4),G(3,—3)中，是点0关于线段AB的“对称图形”上的点

有▲.

②画出点。关于四边形2BCD的“对称图形”；

(2)点7(30)是%轴上的一动点.

①若点7关于四边形ABCD的“对称图形”与。关于四边形ABCD的“对称图形”有公共点，求t的取值范

围；

②直线y=x-t与x轴交于点T,与y轴交于点“，线段TH上存在点K,使得点K是点T关于四边形

ABCD的“对称图形”上的点，直接写出t的取值范围.

26.在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点4B,C的“矩面积”给出如下定义：“水平底”a：任意两

点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，贝广矩面积"S=a/i.、例如：三点的

坐标分别为4(1,2),5(-2,一1),C(2,一3),则“水平底”。=4,“铅垂高”/1=5,“矩面积"5=岫=

20.

(1)若2(-1,2),B(3,-1),P(0,九)的“矩面积”为20,求点P的坐标.

(2)若4(-1,2),B(3,1),C(一3,-2),则“水平底"a=,“铅垂高”八=

“矩面积"s=；

27.【阅读理解】

在平面直角坐标系xOy中，已知点R,S为平面内不重合的两点.给出如下定义：将点R绕点S顺

时针旋转90度得到点R',点R'关于y轴的对称点为R〃，则称点R"为点R关于点S的“旋对点”.

【迁移应用】

如图，在平面直角坐标系久0y中，直线y=尢+4与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.平面内

(1)请在图中画出点M关于点O的“旋对点"M"，并直接写出点M的坐标;

(2)点Q为直线y=久+4上一动点.

①若点Q关于点M的“旋对点”为点Q〃，试探究直线QQ"经过某一定点，并求出该定点的坐标；

②在①的条件下，设直线QQ"所经过的定点为H,取QM的中点N,连接NH,求2NH+QH的最

小值.

28.定义：在平面直角坐标系尤。y中，已知点Mi，M2,M3,且MIM211y轴，M2M3II工轴，这三个点

中任意两个点之间的距离的最小值称为点Mi，M2,M3的“近距”.例如：点MI(L2),M2(l,-1),

M3(-3,一1)的“近距”是3.

(1)已知，4(3,1),5(3,7),C(x,7).

①若A,B,C的“近距”是4,则x的值为；

②点A,B,C的“近距”的最大值为；

(2)已知点。(8,0),E(0,一4),点P(m,n)为线段DE上一动点.当F(l,0),G(l,n)

的“近距”最大时，求此时点P的坐标.

29.阅读材料：在数轴上，点4B分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB,则

AB—\a-b\.若aNb,则|a—b|=a—b,若a<b,则|a-b|=b—a.

如图1,若点B在点Z的右侧，贝IMB=\a-b\=b-a,类似的，在平面直角坐标系xOy中，点4

的坐标为(右，点B的坐标为(久B，7B),

1

如图2,若||久轴，贝—\xA—xB\=xB-xA.

如图3,右AB||y轴，贝1k4=Xg,AB—\y^—yg|—y—yg-

如图4,例如4(1,2),B(3,5),ACIBC,则C(3,2).

请根据以上阅读材料，解决下面的问题：

(1)在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为(2,4),点B的坐标为(6,4),连接AB,请

直接写出线段AB的长度及直线AB与x轴的位置关系；

(2)如图5,ZXAOB中，若A,B两点的坐标分别为(2,4),(6,2),求AAOB的面积；

(3)如图6,在(2)的条件下，若直线MN经过点C(2,0)且垂直x轴，那么在直线MN上是

否存在点P(除A点外)，使得△OBP的面积等于AAOB的面积，若存在，请求出P点坐标、若不存

在，请说明理由。

四'实践探究题

30.五子棋的比赛规则是：只要同色5子连成一条直线为胜利.如图是两人玩的一盘棋，若白棋①的

(1)白棋③的位置是;

(2)如果现在轮到黑棋走，黑棋放在________________________位置就获得胜利了；

(3)如果现在轮到白棋走，白棋放在位置就获得胜利了.

(4)在(2)的条件下，黑棋获胜了.

①设此时黑色5子连成直线的表达式是y=ax+b,则方程ax+b=O的解

是.

②若黑色5子连成直线的表达式中y<0,则x的取值范围是.

31.将一些相同规格的长方形纸按图①所示方法粘合起来，粘合部分的宽相等.某学校数学综合与实

践小组从函数角度进行了如下探究:

图①

图②

(1)［探究发现］①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示长方形纸张数石纵轴表示粘合后的总

长度y,描出以表格中数据为坐标的各点

②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直

线所对应的函数表达式，如过不在同一条直线上，说明理由.

(2)［结论应用］应用上述发现的规律让算

①当x=20时，粘合后的纸条总长度y为________厘米.

②粘合后内纸条总长度y为505厘米时，需使用长方形纸张.

32.阅读理解

半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过

翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可

把握问题的本质.

BE

（1）【问题背景】

如图1,在四边形4BCD中，AB^AD,/.BAD=120°,ZB=ZADC=90。，E、P分别是BC、CD

上的点，LEAF=60°,试探究图1中线段BE、EF、ED之间的数量关系.

（2）【初步探索】

小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长FD到点G,使DG=BE,连接4G,先证明AABE=△

ADG,再证明AAEF三△AGF,则可得到线段BE、EF、ED之间的数量关系是.

（3）【探索延伸】

如图2,在四边形中，AB=AD,NB+4。=180。，E、F分别是BC、CD上的点，NE4F=

^BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由.

C4）【结论运用】

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（。处）北偏西30。的4处，舰艇乙在指挥中心南偏

东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/

小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测

至U甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角NEOF为70。，则此时两舰艇之间的距离为—

海里.

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】25或一11

6.【答案】(2023,-2)

7.【答案】0

8.【答案】(1,1)或(4,4)

9.【答案】(3,2)；(2013,2014)

10.【答案】(d+n+l,n2+2n+2)

n.【答案】(1)弓，2)

(2)解：(警，警)

(3)解：(|,|)

12.【答案】(1)解：•.•点A(2)-1)的“3级关联点”为B,

点B的横坐标为3X(-1)+2=-1,纵坐标为3x2-l=5,

.,.点B的坐标为(-1,5)；

(2)解：由题意可知,留;二;,

解得｛=2],

点P的坐标为(2,-1)；

(3)解：由题意可得点(2m,m-1)的.4级关联点坐标为(-4m+4+2m,-4x2m+m・l),

・・,点(2m,m-1)的-4级关联点在第三象限，

.(—4m+4+2m<0

••1—4x2m+m—1<0

解得：m>2.

13.【答案】(1)解：•・・点虱一8,0)在直线y=/c%+6上，

***0=-8k+6,

X

(2)角牛：•・•k=],

二直线的解析式为：y=*久+6,

P点在y=4久+6上，设PQ,4久+6),

••.A0PA以04为底的边上的高是|+6|，

当点P在第二象限时，|*%+6|=,久+6,

,•,点4的坐标为(一6,0),

OA-6.

••・P点在第二象限，

・•・一8<%<0

(3)解：设点P(m,n)时，其面积S=1，

则曾［=雪，

Zo

解得|九|=亮，

则72=卷或71=—卷.

则：m=—学或—学

139、.，199、

故「(一丁，耳)或(一丁，一g)；

所以，点P(-学，号)或(-学，4)时，三角形0PZ的面积为当

14.【答案】(1)13

(2)2遍；竽

15.【答案】(1)(1,1)；4

(2)解：四边形ABiAiB如下图所示，

矩形；

(3)解：存在这样的点P,使四边形ABOP的面积等于AABC面积的2倍，(-1,0).

16.【答案】(1)(2,2)

(2)解：点B是x轴上的“健康点”，点C是y轴上的“快乐点”，

则2x—0=2,点B的横坐标为1,点B的坐标为(1,0);

点C是y轴上的“快乐点”，则0+2y=6,点C的纵坐标为3,点C的坐标为(0,3)；

1115

=2x3—]Xlx3—x1x2—)xlx2=彳

SXPBC=2xBPx3,即2=2xBPx3,

解得，BP=|,

则点P的坐标为4，0)或(―|,0)

17.【答案】(1)(5,3)

(2)解：当点Q在于直线/上时，如图，

P2Q2-AP2-OB=3,

二点Q2的坐标是(3,5),

由⑴知点Qi的坐标是(5,3),

设点Q所在直线的解析式为y=kx+b,

则｛对？屋，解得｛£=-

13k+b=5Ib=8

・•・点Q所在直线的解析式为y=-％+8；

(3)解：如图，作PM10Z于M,QNLMP于N,

,・ZPQ=90°,

・•・四边形OBPM是矩形，

vPA=PQ,Z.APQ=90°,

•••ZJ1PM+NQPN=90。，乙QPN+乙PQN=9。。,

・•・匕APM=乙PQN,

在△。/“和aQPN中,

(LAMP=Z.PNQ

^APM=乙PQN,

AP=PQ

・•.△PAM=△QPN,

・•.QN=PM,AM=PN,

・・•点Q的坐标为(%,y),

：.MN=x,PN=x-3,PB=y-QN=y-PM=y-3,AM=2-OM=2-PB=2-(y-3),

9：AM=PN,

•*.2—(y—3)=x—3,

整理得y=-x+8.

18.【答案】(1)T,W；(3,3)

(2)解：设M(x,y),过点“作ME1%轴于点E,

则团=OE,|y|=ME,

・.・QC=|3|=3,。。=|一3|=3,

・•.0C=OD.

•••乙COD=90°,

・•・乙OCD=乙ODC=45°,

・•.ME=EC,

|x|+\y\=OE+ME=OE+EC—OC=3.

・•.点M的“等和点”满足横纵坐标的绝对值之和为3.

・,•一3<n<3.

19.【答案】（1）解：/与。：一1一272—（一1）,

B与D：4—1=2—（—1）,

C与D：一1一（一2）72—（一1）,

二点B与点。互为“等差点”.

⑵解：•­,

yi-x1=y2-x2,

„_fc2-l

―2—久1=-------%2，

x2

整理，得久2

22—2x2—k+1-0,

解得％2=1+k或冷=1一鼠

・・・F的坐标为(1+匕上一1)或(1一匕

(3)解：由题意知GM=GN,且GM1GN,

・・.△GMN为等腰直角三角形，

1

•••\yG\=^MN,

.4ac—b2._1J-2—4ac

…4a1=2\a\'

化简得扶—4ac=4,

b2=8a-h4①，

・・・P,Q互为“等差点”，

»_%1=丫2—12，

2b

・•・ax{+bx、+2—%i=尹2—3—%2，

即“W+(b-l)%i=(4-1)%2-5②，

又・・・P,Q两点的横坐标

是a/+竽+；=0的两根，

2—3b+47p3b—4

・•・ax{=————X1—29+%2=----2a~f

代入②得-39+4久]―1+(力_I)%]=(^―1)%2・5，

整理，得("—l)(%i+%2)=/

.(b1"3b—4\_3

,,(27(一­k)-2，

整理，得3b2-106+6a+8=0,

把①代入，得3(8a+4)-10b+6a+8=0,

即30a—10b=-20,

3CL—b=-2.

20.【答案】(1)4；1

(2)解：过点C作CD，x轴于点D

：■^LCAD+^ACD=90°

•・,乙BAC=90°

・•・Z.CAD+乙OAB=90°

・•・Z-ACD=Z-OAB

,・•％轴1y轴，CDly轴

:.Z.AOB=Z-CDA

(Z.ACD=Z.OAB

\^AOB=2LCDA

(AB=CA

・••△/OB=△CDA

・•・OA=CD=yA=2

AD=OB=\xA\=3

.'.OD=AD-AO=3-2=1

C(2,-1)

(3)解：过点4作AF,久轴于点F

过点C作CD1AF于点D

・••Z-CAD=Z.AFB

乙CAD+ACD=90°

・・・/-CAD+/.OAF=90°

・•・乙ACD=4OAF

在△AFB和△CDA中

NACD=Z.BAF

/.AFB=匕CDA

、AB=CA

.,.AAFB=△CDA

・•.AF=CD=y』=3

AD=BF=\xA\=2

・•.BF+CD=2+3=5

AF-AD=3-2=1

・・・C(5,1)

21.【答案】(1)证明：•・,乙4CB=90。,

•・・4。_1。£*于口，BE_LDE于点E,

工乙ADC=^CEB=90。，

・・・NBCE+4CBE=90。，

：.£.ACD=CCBE,

(Z-ADC=乙CEB

在△ADC和△CEB中，l/LACD=^CBE,

、AC=CB

:ADC任CEB(AAS),

；・AD=CE,DC=BE;

(2)解：过B作BD，x轴于D,如图2所示:

图2

vx(o,2),C(L0),

，OZ=2,OC=2,

:+4c4。=90。，ZXCO+ZBCD=90°,

，乙CAO=^BCD,

^AOC=Z.CDB=90°

在△ZOC和△CDB中，乙CAO=LBCD,

AC=CB

：-^AOC=LCDBCAAS),

・・・。3=。。=1,CD=AO=2,

：-OD=OC+CD=3,

・•.点B的坐标为(3,1);

(3)(3，4).

22.【答案】(1)解：如图所示，A、B、C、D为所求，点Pi的坐标为(2,1),点。2的坐标为(一1,-2),

（3）解：,/£,（-1,2）,F③1）,G（1,4）,

线段EF的中点坐标为（1,1）,线段EG的中点坐标为（0,3）,线段FG的中点坐标为（2,1）,

当线段HG的中点与线段EF的中点重合时，则一:,

.(x=1

,1ty=-r

.•.点H的坐标为(1,-1)；

同理当线段HF的中点与线段EG的中点重合时，点H的坐标为（-3,5）;

当线段HE的中点与线段FG的中点坐标重合时，点H的坐标为（5,3）,

综上所述，点H的坐标为（1,一1）或（―3,5）或（5,3）

23.【答案】(1)解：V|a+4|+b2-8b+16=0,

.\|a+4|+(b-4)2=0,

V|a+4|>0,(b-4)2>0,

/.a+4=0,b-4=0,

・・・a=-4,b=4.

(2)解：证明：如图1中，作。ELBC于E.

图1

•・•AC1CD,DE1OB,

・•・乙ACD=乙DEC=Z.AOC=90°,

・•・乙CAO+/.ACO=90°,LACU+乙ECD=90°,

:./-CAO—Z-ECD,

・・•CA=CD,

•••△40C三△CED(44S),

・•.DE=OC,EC=OA,

由(1)得4(—4,0),B(0,4),

・•.OA=OB=4,

・•.EC—OB,

BE=OC=DE,

・•.△BDE是等腰直角三角形，

・・・乙CBD=45°.

(3)解：PM和尸。的关系是MP=OP,MP1OP.

延长MP到Q,使得PQ=PM,连接ZQ,OQ,OM,延长MN交/。于C.

•・•PA=PN,^APQ=4NPM,PQ=PM,

・・・2MPN三^QPA(SAS),

・•・AQ=MN,乙MNP=/-QAP,

・•・MN||AQ,

・•・/.MCA=乙QAO,

•・•在四边形MCOB中，乙MCO+乙MBO=180°,

・・・乙MCO+^MCA=180°,

・・乙

•MBO=/-MCA=AOAQ9

・•・△MNB是等腰直角三角形,

:.MN=BM=AQ,

又•：0A=OB,4OBM=40AQ,

.^MBO^AQAO(SAS),

MO=QO,乙MOB=Z-QOA,

・・・乙MOQ=乙BOA=90°,

・・.△MOQ是等腰直角三角形，

MP=PQ,

MP=OP,MP1OP.

24.【答案】(1)4；9

(2)设与点C的“横纵距离”为3的点的坐标为Q,y),

则I久一0|+|y—2|=3,

当x=1时，|y-2|=2,解得y=0或y=4,

・•・与点C的“横纵距离”为3的点的坐标为(1,0),(1,4)；(答案不唯一)

(3)设0(%,y),

.D,O两点的“横纵距离”为5,D,C两点的“横纵距离”为3,

；・I无I+1训=5,|x-0|+|y-2|=3,

­,•kl=5-\y\,

|%|>0,

5-|y|>0,

5<y<5.

将田=5一|y|代入设一0|+|y—2|=3,得5一|y|+|y—2|=3,

整理得|y|-|y—2|=2,

当一5Wy<0时，-y-(2-y)=-2H2,无解，不合题意；

当0<y<2时，y-(2-y)=2y-2=2,解得y=2,不合题意；

当2Wy<5时，y—(y—2)=2,符合题意；

.••点D的纵坐标的取值范围2WyW5.

25.【答案】(1)①点E,点F

②点。关于四边形2BCD的“对称图形”为四边形/MW.

(2)①动点T关于四边形力BCD的“对称图形”为四边形SRUU,如图所示.利用中点坐标公式可得到点

S(4—t,2),U(—2—t,2),V(—2—t,—4),/?(4—3—4).四边形SRUU随t的变化左右移动，

当四边形/NM/与四边形SRUU有公共点时，应满足：

14—tN—2

t-2-t44'

:.—6<t<6

(2)2<t<4或-2<t<—1.

26.【答案】(1)解：由题意：a=3—(―1)=4,

①当n之2时，a=n—(—l)=n+l,

则4(九+1)=20,可得n=4,故点P的坐标为(0,4):

②当nW—1时，a=2—71,

则4(2—冗)=20,可得£=—3,故点P的坐标为(0,—3);

综上，点P的坐标为(0,4)或(0,-3)

(2)6；4；24

27.【答案】(1)解：如图，即为所求,

AM(-1,5);

(2)解：①如图，丁点Q为直线y=%+4上一动点.

设Q(m,m+4),过Q作式轴的平行线，过M作y轴的平行线，两直线交于点G,

则4G=90。，延长Q〃Q'与GM交于点从贝1kH=90。,

・"G=LH=乙QMQ'=90°,

・"GMQ+乙GQM=90°=/GMQ+^HMQ,

:.KGQM=乙HMQ',

9：MQ=MQ,

*••△MGQ=△QHM9而M(—5,1),

GQ=MH=m+5,GM=HQ=m+3,

•'•Q(m—2,—m—4),

结合新定义可得；Q〃(2—TH,—m—4),而Q(m,m+4),

・・・QQ〃的中点坐标为：(1,0),

・•・直线QQ〃经过定点(1,0);

②•二Q〃(2—m,—zn—4)，

.(x=2—m

**[y=—m—4?

Ay=%-6,即Q〃在直线y=%-6上运动，

如图，连接NQ〃，Q"H’，作H(l,0)关于直线y=x—6的对称点"，则Q"H'=Q"H,

y>k

由N,H分别为QM,QQ”的中点,则QH=Q"H,MQ"=2NH,

二当M,Q",H'三点共线时,2NH+QH=MQ"+Q"H'=MH'，此时最小；

记y=久—6与久轴的交点为K,则K(6,0),直线与y轴的交点坐标为(0,-6),连接H,K,

/.△HTK,△HTK,AHH,K都是等腰直角三角形，而=6-1=5,

(6,一5),

：.MH'=5-6尸+(1+5,=V157.

即2N4+QH的最小值为71^7.

28.【答案】(1)—1或7；6

(2)解：如图所示：

1

•・SADOE~20D9E—16

•.,点P(m,n)为线段DE上一个动点

■1

,•Swop=2-X8X(—n)=-4n