2024届广东汕头高三年级上册期末调研测试数学试题含答案

汕头市2023〜2024学年度普通高中毕业班期末调研测试

皿「、、九

数学

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

第I卷选择题

一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知2i是关于x的方程2炉+£=°的一个根，则实数"的值为()

A.8B.-8C.4D.-4

2.设“表示”向东走10km”,B表示"向南走5kln”,则B+a+B所表示的意义为()

A.向东南走10j5kmB.向西南走ioj5km

C.向东南走5限mD.向西南走5向m

3.已知全集=Ac(jB)={l,3,5},则集合3为()

A,{2,4,6,7}B.{0,2,4,6,8}C.{0,2,4,6,7,8}D.{0,1,2,3,4,5,6,7,8}

4.已知直线4：2x-ay+l=0和4：(a-1)%-y+a=0平行，则实数a=()

A.2或-1B.1C.-1D.2

5.已知6e[。，万],sin[d+z]cos['+z[=—%,贝Ijtan6=()

A."B.由C.V2D.V3

23

2222

6.关于椭圆+上一=1与双曲线乙-±=1的关系，下列结论正确的是()

25-k9-k97

A.焦点相同B.顶点相同C.焦距相等D.离心率相等

7.已知函数_/(1)=In巡刍,下列函数是奇函数的是()

X

A./（x+l）+lB./（%-l）+lC./（x-l）-lD./（x+l）-l

8.已知数列｛%｝的前〃项和、前2〃项和、前3〃项和分别为P、Q、R,贝『'｛4｝为等比数列”的一个必

要条件为（）

A.（P+Q）-R=Q2B.严+Q2=P（Q+R）

C.P+Q=RD.Q2=PR

二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（）

年龄454036322928

人数121321

A.中位数是34B.众数是32

C.第25百分位数是29D.平均数为34.3

10.已知定义在（0,+"）上的函数“X）满足：Vx,ye（0,+co）,〃x）+/（y）=/（孙），且当0＜x＜1

时，/（x）＜0,若/（2）=1,则（）

A./（1）=0B.“X）在（0,+动上单调递减

C.|/（x）|=/f^D./（2）+/（22）+-+/（220）=55

11.某食品的保鲜时间了（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y=eh+&

（e=2.71828…,k,b为常数）.若该食品在＞C的保鲜时间是120小时，在20。（3的保鲜时间是30小

时，则（）

A.左＜0且＞＞0

B.在1（FC的保鲜时间是60小时

C.要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30^

D.在零下2。（2的保鲜时间将超过150小时

6

12.在三棱锥尸—ABC中，平面ABC,PA=AB=BC=—AC=2,E是底面ABC上（含边

2

界）的一个动点，尸是三棱锥P-ABC的外接球。表面上的一个动点，则（）

A.当E在线段AB上时，PELBC

B.E户的最大值为4

C.当E4//平面PBC时，点厂的轨迹长度为2兀

D.存在点歹，使得平面PAC与平面PEB夹角的余弦值为逅

3

第n卷非选择题

三、填空题：本题共4小题.

13.二项式(x+l)”("€N*)的展开式中x2的系数为15,则〃等于.

14.若正四棱台的上、下底边长分别为2、4,侧面积为12百，则该棱台体积为.

15.已知函数/(x)=2sin/x+会卜。〉0)在区间［0,可上恰有三个零点，则。的取值范围是

16.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个

焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光

学装置由有公共焦点打，鸟的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点耳发出，依次经S与C反射，

又回到了点的，历时t秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点线发出，经C两次反射后又回到了

点月，历时,2秒.若c与S的离心率之比为2:3,则马=

0

图⑴图②

四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

B+c

17.DABC的内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,a=6,加in---=asinB.

2

(1)求角A的大小；

(2)M为口ABC的重心，AM的延长线交于点。，且AM=2jL求口ABC的面积.

18.记等差数列｛4｝的前〃项和为5“，首项为％,已知84=482，且%,=2a“+1,«eN*.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列［(一的前〃项和.

19.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E、/分别为边45、AC的中点，将△AER沿石尸翻折至

UA.EF,得四棱锥A—EFC3,设尸为A,。的中点.

(1)证明：尸尸//平面43E；

(2)若平面平面E/CB,求平面5PF与平面BCE夹角的余弦值.

20.《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要

依据.为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机

抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息：

①男生所占比例为60%；

②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%；

③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人.

(1)完成2x2列联表，依据小概率值a=0.001的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？

体育锻炼

性别合计

喜欢不喜欢

男

女

合计

(2)(i)从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.

记事件A=“至少有2名男生”、3=“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、C="至多有1名喜欢体育锻炼的

女生”.请计算P（5|A）和P（ABC）的值.

（ii）对于随机事件ABC,P（A）＞0,P（AB）＞0,试分析尸（ABC）与尸（A）-P（叫A）-P（C|A3）

的大小关系，并给予证明

n(ad-bc\

参考公式及数据：/2=-------————------------,n=a+b+c+d.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

a0.100.050.0100.001

力a2.7063.8416.63510.828

21.已知圆心在，轴上移动的圆经过点A（0,-4）,且与x轴、，轴分别交于3（x,0）、C（0»）两个动点，

过点B垂直于％轴的直线与过点c垂直于y轴的直线交于点M.

（1）求点M的轨迹T的方程；

（2）点尸、Q在曲线T上，以P。为直径的圆经过原点。，作OHLPQ,垂足为X.试探究是否存在定

点R,使得囚”|为定值，若存在，求出该定点R的坐标；若不存在，说明理由.

22.已知函数/（x）=xlnx-a（x-l）,aeR.

（1）若1（x）2。,求实数。的值;

（2）当〃EN*时，证明：sin—^―+sin---+sin---+--+sin—＜In2.

n+1〃+2"+32n

汕头市2023〜2024学年度普通高中毕业班期末调研测试

皿「、、九

数学

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在

试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

第I卷选择题

一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知2i是关于x的方程2炉+£=°的一个根，则实数"的值为（）

A.8B.-8C.4D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的四则运算即可得解.

【详解】因为2i是关于x的方程2尤2+q=0的一个根，

所以2x（2iy+q=0,则q=—2x（2i）2=—2x4i?=8.

故选：A.

2.设Q表示”向东走10km”,b表水"向南走5km”,则B+〃+B所表木的意义为（）

A.向东南走10j5kmB.向西南走loj^km

C.向东南走5限mD.向西南走5瓜m

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量加法的可交换性与意义即可得解.

【详解】因为£表示“向东走10km"，B表示“向南走5km”，

所以B+Z+B=Z+所表示的意义为“向东走10km"，再"向南走10km”,

等价于向东南走10J5km.

故选：A.

3.已知全集=Ac(jB)={l,3,5},则集合8为()

A,{2,4,6,7}B.{0,2,4,6,8}C.{0,2,4,6,7,8}D.{0,1,2,3,4,76,7,8}

【答案】C

【解析】

【分析】利用韦恩图即可得解.

【详解】因为=={0』,2,3,4,5,6,7,8},

4n

又Ac&B)={1,3,5}，所以3={024,6,7,8}.

故选：C.

4.已知直线人2x-ay+l=0和A：(a-1)%-y+a=0平行，则实数。=()

A.2或-1B.1C.-1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】由两直线的不相交可得。的值，进而分类讨论平行和重合的情形即可“

［详解］当4：2x—ay+1=0,Z2：(a_l)x_y+a=0平行

得2x(-1)=(-a).(a-1),解得a=_］或a=2,

当。=-1时，/1：2x+y+l=0,Z2：-2x-y-1=0,即2x+y+l=0,此时直线乙和直线6重合，故

不符合题意，

当。=2时，/1：2x-2y+l=0,Z2：x-y+2=0,此时直线乙和直线乙平行，符合题意；

故选：D

5.已知6e［0,5),sin［，+14os［，+1)=—5,贝Utan6=()

V2C.V2D.V3

V

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦倍角公式和诱导公式化解原式，再用降塞公式即可求出答案.

【详解】由L2sin[e+/]cos[，+"]=，sin（2，+/]=』cos2e=-L解得cos26=-L

2I4）I2I2）263

11

又由cos2,=2cos9"，—1=—，解得cos70=—，

33

因为6e0,-,所以cosd=火，

I2J3

又因为sin2，=l—COS2，=2,得sin6=—，

33

所以tanO=汨2=啦.

COS。

故选：C.

2222

6.关于椭圆^^+上一=1与双曲线乙-土=1的关系，下列结论正确的是（）

25-k9-k97

A.焦点相同B.顶点相同C.焦距相等D.离心率相等

【答案】C

【解析】

【分析】利用椭圆与双曲线的标准方程分别考虑其性质即可得解.

【详解】对于椭圆一一+工=1,显然25-4>9—4恒成立，

25-k9-k

设椭圆的长轴长为2a,短轴长为26,焦距为2c,

所以/=25-左=9一左，则。2=片-/=25-"（9-左）=16,则c=4,

所以椭圆的焦点为（±4,0）,焦距为2c=8,顶点和离心率是变化的;

22

对于双曲线1=1,显然其焦点在y轴上，只需考虑焦距即可，不妨设其焦距为2c2,

则c；=9+7=16,故。2=4,所以双曲线的焦距为2c2=8；

所以椭圆与双曲线的焦距相等，故c正确，其余选项都不正确.

故选：C.

7.已知函数/(x)=ln更士义，下列函数是奇函数的是()

X

A./(x+l)+lB.〃尤-1)+1C./(x-l)-lD./(x+l)-l

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案.

【详解】由于/(x)=In—2)=1+出二二,定义域为(—90)U(2,+8)

XX

故+1=+定义域为(—8,—1)3(1,+8),

/(-x+l)+l=ln-^-+2=ln^+2=-ln^-+2^-/(x+l)-l,

—X+1X—1X+1

即f(x+l)+l不是奇函数，A错误；

/(x-l)+l=ln^+2,定义域为(—8,1)U(3,+8),不关于原点对称，

即/(X—1)+1不是奇函数，B错误；

/(x-l)-l=ln^,定义域为(—8/)U(3,+8),不关于原点对称，

X-1

即/(x-1)-4不是奇函数，C错误；

/(x+1)—1=In曰，定义域为(7,-1)u(L+8)，

x+1

/(-x+l)-l=ln^4=ln^=-ln^4=-[/(x+l)-l],

—X+1x—1x+1

即/(x+1)—1=111言为奇函数，D正确，

故选：D

8.已知数列｛4｝的前〃项和、前2九项和、前3九项和分别为P、。、R,贝『'｛4｝为等比数列”的一个必

要条件为()

22

A.(P+Q)_R=Q2B.P+Q=P(Q+R)

C.P+Q=RD.Q-=PR

【答案】B

【解析】

【分析】先分析得所选条件由“｛凡｝为等比数列”推得成立，再举反例排除ACD,利用等比数列的通项公式

推得B选项的条件成立，从而得解.

【详解】依题意，要成为“｛4｝为等比数列”的必要条件，

则“｛%,｝为等比数列”推出该条件成立，

对于ACD,当｛4｝为等比数列时，不妨取数列L2,4,n=l,

则P=1,Q=3,R=7,

此时(P+Q)—R=(l+3)—7=-3W9=Q2,故A错误；

此时P+Q=4w7=R,故C错误；

此时。2=9H7=PR,故D错误；

对于B,当｛4｝为等比数列时，设等比数列｛4｝的公比为心

则尸=〃[+。2--------4，

Q-P=an+\+4+2+-,1+a2n=0'(%+O?+,,.+%)=矿P,

R-Q=a2n+\+。2”+2+…+&3n=["(%+%+…+4)=/'尸，

所以(Q—P)2=P(R—Q)，即尸2—2PQ+Q2=PR—PQ,

所以尸+Q2=PR—PQ+2PQ=P(Q+R),故B正确，

故选:B.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析出“｛4｝为等比数列”的必要条件是由其推出，再举反例轻松排

除错误选项，从而得解.

二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.某科技攻关青年团队共有10人，其年龄(单位：岁)分布如下表所示，则这10个人年龄的(

年龄454036322928

人数121321

A.中位数是34B.众数是32

C.第25百分位数是29D.平均数为34.3

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据给定数据，利用中位数、众数、百分位数、平均数的定义计算判断即可.

【详解】把10个人的年龄由小到大排列为28,29,29,32,32,32,36,40,40,45,

这组数据的中位数为32,众数为32,A错误，B正确;

由25%xl0=2.5,得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29,C正确;

28+2x29+3x32+36+2x40+45

这组数据的平均数是==34.3，D正确.

10

故选：BCD

10.已知定义在(0,+8)上的函数/(X)满足：e(0,+oo),f(x)+f(y)=f(xy),且当0<x<l

时，〃x)<0,若"2)=1,则()

A."1)=0B./(x)在(0,+“)上单调递减

D.〃2)+〃22)+…+〃2"=55

【答案】AC

【解析】

【分析】利用赋值法可判断AC；利用函数单调性的定义，结合题设条件可判断B,利用条件推得

f(Xn)=f(x)+f(x"T),从而利用累加法与等差数列的求和公式可判断D.

【详解】对于A,因为Vx,ye(0,+oo),/(x)+/(y)=/(xy),

令x=y=l,得/⑴+/⑴=〃1),则/⑴=0,故A正确;

对于c,令＞=：，得/(£)+/"1)=0,则=

所以1(x)1=，故c正确；

对于B,设芯,％2e(0,+°°)且石<%2，则0<：<1，

XX

则/(%)-/(%2)=/2~~f(2)=f—+f(x2)~f(x2)=f2,

\X2J\x2J\x2J

因为当0<x<l时，/(x)<0,所以/%<0,即

VX2J

所以“X)在(0,+。)上单调递增，故B错误；

对于D,令『尸，得"x〃)=/(x)+/(x"T),

则/(x2)=f(x)+/(x)，/(x3)=/(x)+/(x2),•••,/(x),)=/(x)+/(x^1),

上述各式相加，得=T)/(X)+/(x)=W(x),

又"2)=1,

所以〃2)+/(22)+…+/(22。)=(1+2-+20)/(2)=^^^=210,故D错误；

故选：AC.

11.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y=eh+"

(e=2.71828…,k,6为常数).若该食品在1C的保鲜时间是120小时，在20。(2的保鲜时间是30小

时，则()

A.左<0且>>0

B.在1(TC的保鲜时间是60小时

C.要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于3(rc

D.在零下2。(2的保鲜时间将超过150小时

【答案】AB

【解析】

【分析】本题首先可根据题意得出丁=6加6是减函数，且120=犬>1,可判断出A正确；根据120=/>1及

30-e2M+\可得则可求得8°用的值，判断出B正确；解不等式小+仁15得xW30,则C错误；

2

当x=-2时，可求得/"+"<150,则D错误.

【详解】因为该食品在0。（3的保鲜时间是120小时，在20。（2的保鲜时间是30小时，

易得y=eh+〃是减函数，结合复合函数的单调性可知左<0,

又120=/>1,可知b>0,所以A正确；

又30=e2°"J即30=e2°七J，故e?.=Le10"=-,

42

则$°匕"=e10"-eA=-xl20=60,故B正确；

2

若e1215,则小2工，结合即”=」，

82

不等式化为eh2e3°J即日2303又左<0,所以xW30,

故C错误；

」1

lw-J

当％=-2时,e-2k+b=（ei）-2.ei-=（e）5420=（2）5.120<150故D错误；

故选：AB.

B

12.在三棱锥尸―ABC中，PAJ_平面ABC,PA=AB=BC=—AC=2,E是底面ABC上（含边

2

界）的一个动点，厂是三棱锥尸-4BC的外接球。表面上的一个动点，则（）

A.当E在线段上时，PELBC

B.E尸的最大值为4

C.当E4//平面P6C时，点厂的轨迹长度为2兀

D.存在点歹，使得平面PAC与平面PFB夹角的余弦值为逅

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A：通过证明8cl面P43来判断；对于B：三棱锥P-ABC补成正方体，求其外接圆半径，

进而可得E户的最大值；对于C：点厂的轨迹为过点A且与面平行的平面与外接球的交线，产生的轨

迹是一个圆，求该圆的半径，进而可得轨迹长度；对于D：设平面PAC与平面尸色的交线为/,作出两个

平面的夹角，求出其夹角的三角函数值的范围，从而可以判断.

【详解】对于A：由已知A52+BC2=4。2,即从台工台。，

又尸A_L平面ABC,且BCu平面ABC,

所以PALBC,又PAABu面PAB,PA^AB=A,

所以8cl面P43,又PEu面P43,

所以PELBC,A正确;

对于B：设三棱锥尸-ABC的外接球。半径为R,将三棱锥尸-ABC补成正方体A3CD-PGH/,如

图:

三棱锥P-ABC的外接球0即为正方体ABCD-PGHI的外接球,

J4+4+4

、一22

则E户的最大值为外接球的直径，即2R=2k，B错误；

对于C：当E4//平面P6C时，点厂的轨迹为过点A且与面平行的平面与外接球的交线，产生的

轨迹是一个圆，设其半径为『

设点A到面P6C的距离为人，

因为Vp_4BC=VA-PBC,

所以！X2XLX2X2=!X/ZXLX2X2正，解得h=V2，

3232

所以厂=R2-h2=1»

所以点厂的轨迹长度为271r=2兀，C正确；

对于D：取线段AC的中点连接

在正方体A5CD—PG/〃中，明显有3Ml面PAC,即点3到面PAC距离为线段的长，且

BM=也，

设平面PAC与平面PEB的交线为/,平面PAC与平面PEB的夹角为6,过8做3N_L/交/与N,连接

MN,

明显有BN11,BMC\BN=B,BM,BNu面BMN,

所以/上面BMN,则NBNM为平面PAC与平面PEB夹角，

则NBNM="’=正，又由图象可得、历

BNBN

所以sin9=正所以乌<64四，

BN\_2J62

所以0<cos6<^^，又G0,^-,

23L2_

所以存在点歹，使得平面PAC与平面尸色夹角的余弦值为底.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：关于面面角的范围问题，关键是要确定哪些量在变，哪些量不变，变的量在哪个范

围变化，通过确定角的三角函数值的范围可确定角的范围.

第n卷非选择题

三、填空题：本题共4小题.

13.二项式(x+l)”(”eN*)的展开式中炉的系数为15,则"等于.

【答案】6

【解析】

【分析】根据题意，(%+1)”(〃€网展开式的通项为7；+[=禺2,令r=2即可求解〃可得答案.

【详解】根据题意，(%+1)”(〃6网展开式的通项为心=最/，令厂=2,则慧=15=>〃=6

故答案为6.

【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式，区分某一项的系数与二项式系数.

14.若正四棱台的上、下底边长分别为2、4,侧面积为126，则该棱台体积为.

［答案］辿1##型后

33

【解析】

【分析】作出正棱台的图象，结合其侧面积求得正四棱台的斜高，再利用棱台体积公式即可得解.

【详解】由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为2,4,

可得上、下底面面积为工=4,§2=16,

如图所示，取上、下底面正方形的中心分别为a，。，再取E,歹分别为4G，8c的中点，

分别连接OOi,OXE,OF,EF,过点E作EM1OF,

因为该正四棱台的侧面积为126，易得E尸为等腰梯形3CG4的高，

所以4xgx(2+4)x£b=12百，解得E/=卡，

在中，可得EM='E产产=3，

则该正四棱台的高为。G,

所以该棱台的体积为V=；(4+74x16+16)x亚=岑2.

故答案为：空Y1.

3

15.已知函数〃x)=2sin/x+会卜。〉0)在区间［0,可上恰有三个零点，则。的取值范围是

【答案】135叫3J

【解析】

【分析】先由题意求得。兀+2的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于。的不等式，从而得解.

3

27c271271

【详解】因为％£［。,兀］,69>0,则COXH---<G7lH----，

333

又因为函数"X)=2sin，x+，J在区间［0,汨上恰有三个零点，

则3兀<〃>兀+—<4兀,解得—,

333

所以0的取值范围为

33)

故答案为:135竺3］J

16.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个

焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光

学装置由有公共焦点月，片的椭圆c与双曲线s构成，现一光线从左焦点耳发出，依次经s与c反射,

又回到了点£,历时4秒；若将装置中的s去掉,如图②，此光线从点月发出，经c两次反射后又回到了

则?

点打，历时。秒.若c与s的离心率之比为2:3,

h

【答案】6

【解析】

【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得□A3片和口CD耳的周长，再根据光速相同,

时间比等于路程比，再结合C与S的离心率之比为2:3,即可求解.

【详解】在图①中，由椭圆的定义得：忸耳|+忸居|=2%,由双曲线的定义得|A居|—|A周=2。2,两式相

减得忸周+忸周一|4阊+|A耳|=2%-2a2,

所以口4班的周长为2%-2出，

在图②中，口。£%的周长为4%,

t2_4%_4

因为光速相同，§2%-2〃22—2%

q

c

因为C与S的离心率之比为2:3,即2=2=女=2,

%cq3

%

故答案为：6.

四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.DABC的内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,a=6,6sin'+0=asinB.

2

（1）求角A的大小；

（2）Af为048。的重心，AM的延长线交于点D,且AM=26，求口人8。的面积.

1?

【答案】（1）-

3

⑵9G

【解析】

【分析】（1）在口48。中，利用诱导公式，正弦定理及正弦二倍角公式化简可得结果；

（2）分别在DABC,△ABO和口4。£>中，利用余弦定理建立等量关系，利用三角形面积公式可得结果.

【小问1详解】

在□ABC中，因为"sin'+'=Z?sin|---|=bcos—=asinB,

2122J2

AA

由正弦定理可得sinBcos—=sinAsinB,</0<B<71,sinBW0,即cos—=sinA,

22

A.AAexCATCA.„

所以cos——2sin—cos—,<0<A<兀,/.0<—<一,cos—>0,

222222

故sind=L,即人=药.

223

【小问2详解】

因为M为口ABC的重心，AM的延长线交BC于点D,且AM=2g，

/2.2>s2i

所以点。为BC中点，且AD=3百，在048。中，a=6,cosA="=-,即

2bc2

be=b2+c~-36<

222

在AABD和口ACD中，cosZADB="必打-c?=_cosZADC=AD+CD-b化简得

2ADBD2ADCD

b2+c2^12,

所以ZJC="+C2-36=72-36=36，故^UABC=—besinA=—x36xsin—=9A/3,

223

所以DABC的面积为9G.

18.记等差数列｛4｝的前几项和为S“，首项为％,已知84=482，且〃2〃=2。〃+1,〃eN*.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）求数列［（一1）”-4｝的前〃项和.

【答案】（1）an=2n-l

⑵小（-1广〃

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于6，d的方程组，解之即可得解;

（2）利用错位相减法即可得解.

【小问1详解】

依题意，设等差数列｛2｝的公差为d,

因为=4邑,a2n=2an+1,

4x3d/.\(j

4aH------=4(+d)a-2na,a.=1

所以12V117，即解得

ad1d2

ax+(In-1)J=2ai+2(n-l)i/+1[i=-[=

所以a”=2n-l.

【小问2详解】

由(1)得(—l)"y=(—

设数列[(—1)”­«„｝的前〃项和为北，

则x1+(—1)x3+1)X5H---F(_l)—,

则=(-1)2X1+(-1)3X3+(-1)4X5+…+(T”"•(2〃—1)②,

两式相减，得2T"=-1+(-1)2x2+(-1)3x2+(-1)4x2+…+(―1)"X2-(-1)，!+1-(2n-1)

=—l+2x(TRi-"+(-1)"-(2n-l)=(-1)"-In'

故7；

19.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E、/分别为边AB、AC的中点，将沿E尸翻折至

UA.EF,得四棱锥4一瓦。3,设尸为4。的中点.

（1）证明：">//平面43E；

（2）若平面4后/，平面EFC8,求平面8PF与平面3CT夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）取43的中点Q,可得四边形EFPQ为平行四边形，则FP//EQ,再由直线与平面平行的

判定定理证明即可；

（2）利用面面垂直的性质定理可得4。，平面从而建立空间直角坐标系，求出面5PF与平面

5CR的法向量，再利用向量夹角公式求解即可.

【小问1详解】

取43的中点Q,连接尸Q,

则有PQ//3C,且PQ=g3C,

又E、歹分别为边A3、AC的中点，则ER//BC,且所=15。，

2

故尸Q//EP,且PQ=E7"

则四边形EFPQ为平行四边形，则FP//EQ,

又EP（Z平面ABE,EQu平面A3E,故中//平面43E.

【小问2详解】

取E尸中点。，中点G,连接AQOG,

在DABC中，易得AE=AF,所以。G，E£A。，,则其。，ER,

又平面4后/，平面E/CB,且交线为E尸，AOu平面4石产，

所以4。，平面EECB,则O4,OE,OG两两垂直，

故以。为原点，OE,OG,O4所在直线分别为x轴、〉轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

易得AO=OG=e，则A（0,0,百），F（-l,0,0）,B（2,V3,0）,C（-2,73,0）,

由p为4。中点，故P

7

则丽=0,—,而=(3,6,0),

I227

_,、n-FP=0

设平面5PF的一个法向量〃=(x,y,z),则〈_

n-FB=Q3%+百丁=0

取y=—G，则犬=1,z=G，故〃

易得平面BCF的一个法向量m=(0,0,1),

71

设平面BPb与平面5c/的夹角为夕，0<0<-9

2

\n-m\_|^|V21

则cos0=cos(m,n

In||mIV?xl7

所以直线AR与平面Bb所成的角的正弦值为巨.

7

20.《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要

依据.为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机

抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息：

①男生所占比例为60%；

②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为45%；

③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人.

(1)完成2x2列联表，依据小概率值a=0.001的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？

体育锻炼

性别合计

喜欢不喜欢

男

女

合计

(2)(i)从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.

记事件A=“至少有2名男生”、3=“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、C="至多有1名喜欢体育锻炼的

女生”.请计算尸(⑶力和P(ABC)的值.

（ii）对于随机事件AB,C,P（A）＞0,P（AB）＞0,试分析尸（ABC）与P（A）・P（MA）-P（C|A5）

的大小关系，并给予证明

参考公式及数据：/2=7-----（ad、/be）、/----------,"=a+"+c+d.

（a+♦）（€+♦）（〃+.）（♦+d）

a0.100.050.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）列联表见解析；有关联