正向思维与逆向思维

正向思维与逆向思维数学思维能力培养系列谈③正向思维与逆向思维厦门第一中学郑辉龙姚丽萍一、正向思维与逆向思维正向思维是指按常规习惯去分析问题，按常规进程进行思考、推测，是一种从已知进到未知的逻辑顺序来揭示问题本质的思维方法。正向思维与逆向思维只是相对而言的，逆向思维是指背逆人们的习惯路线行进的思维。听过“1美元”的故事吗？一天，犹太富翁哈德走进纽约花旗银行的贷款部。看到这位气度非凡的绅士，贷款部的经理不敢怠慢，赶紧招呼：“先生，您有什么事情需要我帮忙的吗？”“哦，我想借些钱。”“好啊，你要借多少？”“1美元。”“只需要1美元？”“不错，只借1美元，可以吗？”“当然可以，像您这样的绅士，只要有担保多借点也可以。”“那这些担保可以吗？”犹太人说着，从豪华的皮包里取出一大堆珠宝堆在写字台上。“喏，这是价值50万美元的珠宝，够吗？”“当然，当然！不过，你只要借1美元？”“是的。”犹太人接过了1美元和抵押凭证，就准备离开银行。在旁观看的分行行长十分纳闷，他急忙追上前去，对犹太人说：”先生，请等一下，假如您想借30万、40万美元的话，我们也会考虑的。”读者朋友，您知道哈德先生如何回答的吗？答案见本文结尾。正逆向思维起源于事物的方向性，客观世界存在着互为逆向的事物，由于事物的正反向，才产生思维的正反向，两者是密切相关的。数学知识本身就充满着正反两方面的转换。例如加减、乘除、乘方开方等运算与逆运算；最大值与最小值、函数与反函数、性质定理与判定定理等。两种思维的培养同样重要。事实上，一方面由于正向思维符合人们的常规习惯，显得亲切自然，大众化，因此只要开动逆命题（1）：如图1，△ABC中，如果点D是AB中点，DE交AC于E，DE∥BC，那么点E是AC中点，且DE=BC。逆命题（2）：△ABC中，如果点D是AB中点，DE交AC于E，DE=BC，那么点E是AC中点，且DE∥BC。点评：这是开放题，没有明确结论，需要学生自己判断；这是初中几何核心定理的逆命题；这是类型相同而结论不同的“题组题”，题（1）为真，可以证明，题（2）为假，可以举反例。同时，举反例训练也是培养逆向思维的重要手段。2.习题讲评课中的培养方式。习题讲评，应该给学生展示思维的过程。在此，重点向学生讲清楚分析与综合的两种思维过程。所谓综合，是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即由因导果，是正向思维；所谓分析，是从“未知”看“须知”，逐步靠近“已知”，即执果索因，是逆向思维。图2案例5：如图2，△ABC中，∠B=2∠A，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，求证：b2=a2+ac。图2点评：已知中只有角的关系，没有任何边的关系，如何由“角”推向“边”？感觉很困难，正向的综合思维路难行。不妨用逆向的分析思维：要证：b2=a2+ac，只需：b2=a（a+c），只需：b∶a=（a+c）∶b，易知，线段比问题找相似，联想含b为公共边的“基本图形”（详见系列谈②），故延长CB至D，使BD=BA，连DA，因此，只需：△ABC∽△DAC，因∠C已是公共角，所以，只需：∠CAB=∠D,贴近已知的“角”了。由于BD=BA，故∠DAB=∠D,所以，只需：∠CAB=∠CBA，其实，这就是已知条件---思路接通了。如果不细细展示分析思维，最关键的辅助项的添法学生会觉得莫名其妙。不过书写建议还是以综合法表达妥当。对于解题思维中分析与综合的程序，牛顿说得好：“在自然科学里，应该像在数学里一样，在研究困难的事物时，都是应当先用分析的方法，然后才用综合的方法”。前文指出，仅数学运算就有许多正反两向的互逆运算，现以“通分”为例，请看几道逆向思维训练示例。案例6：计算：。点评：这个过程是通分，逆过来这过程不妨称之为“裂项”，于是原式=，这就是“逆通分”的裂项相消法。类似的例子还有，化简：（原式==）。案例7：将分数按从小到大的顺序排列好。点评：分子的最小公倍数为较小的数60，故本题另辟蹊径“不通分母通分子”，轻松地比出大小。类似的例子还有，比大小：与，采用的策略是与“分母有理化”相反的“分子有理化”，=，=，两数大小一目了然。案例8：化简：。点评：不用通常的整体通分，而是分三次“逐步通分”简便多了。类似的例子还有，化简：。采用的策略则是“分组通分”。3.复习课中的培养方式。利用复习课，综合各种知识，介绍采用逆向思维的多种解题方法和策略。图3案例9：求证：是无理数。图3点评：采用反证法，证明不是有理数。案例10：如图3，已知E是正方形ABCD内部一点，∠ECD=∠EDC=15°，求证：△ABE是等边三角形。点评：采用同一法：如图，在正方形ABCD内部取一点E＇，使△ABE＇是等边三角形，连DE＇、CE＇，证点E＇与点E重合。类似例子还有勾股定理逆定理的证明等。案例11：求使得关于x的方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数解的正整数a的值。点评：本题的主元无疑是x，正向思维则很容易走向求根公式或韦达定理，由于不确定有两个整数解，所以，尽管绞尽脑汁也是徒劳的。逆向思维，聚焦于所求的是a值！应用“不求主元求辅元”的策略：易得a=，由正整数a≥1得-3≤x≤1，依题意取整数x=-3,-1,0,1，所以正整数a=1或5。案例12：设为互不相等的非零实数，且，求证：。点评：看到已知条件中等量关系不少，大多数学生从正向思维出发，将连等式列成含三个方程的方程组，认为肯定可以直接求出的值，结果总是以失败告终。事实上，连等式是一个轮换对称式，只能列成含两个方程的不定方程组，在此，永远无法直接求出的值。采用华罗庚教授教给青少年学生的一种解题策略：“退，退到不能退为止”。先退为二元问题：设为互不相等的非零实数，且，求证：。减元后容易多了：移项，得，去分母，得，由得，于是。原命题与此结构完全相同，用类似的方法“移项、去分母”就可得证。培养逆向思维的解题策略还有“直接不行改间接”。比如适合选择、判断、填空题型的特值排除法、极端值验证法以及割补法、换元法等。4.综合与实践课中的培养。逆向思维是反其道而行之的思考方式。反映了思维过程的间断性、突发性、反联结性,是摆脱思维定势,突破旧思想框架,产生新思想,发现新问题的重要思维方式。司马光砸缸---不能“让人离水”就“让水离人”，是典型的逆向思维案例，曹冲称象也有异曲同工之妙。案例13：第二次世界大战后期，在攻打柏林的战役中，一天晚上，苏军必须向德军发起进攻。可那天夜里天上偏偏有星星，大部队出击很难做到保持高度隐蔽而不被敌人察觉。苏军元帅朱可夫思索了许久，猛然想到并做出决定：把全军所有的大型探照灯都集中起来。在向德军发起进攻的时刻，苏军的140台大探照灯同时射向德军阵地，极强的亮光把隐蔽在防御工事里的德军照得睁不开眼，什么也看不见，只有挨打而无法还击，苏军很快突破了德军的防线获得胜利。点评：既然无法让天色变暗，朱可夫元帅反过来在“亮”上做文章，同样达到让敌军“看不见”的目的。类似的案例有：问：让你从一把椅子下通过，你打算怎样过去？答：将椅子举过头顶后昂首挺胸而过。逆向思维，出奇制胜。案例14：聪明的猪。从前，有个叫二愣的养殖大户，一天，二愣要杀猪了。哪知那头猪刚被掀翻在地，就狠狠地咬了二愣一口，急急地跑进猪圈了。这还了得！二愣气呼呼地追进猪圈里，可是圈里有1000头猪，怎么认得出那头猪呢！“杀！”随着二愣一声吼，1000头猪全部被强行赶进屠宰场。“都杀了吗？”伙计们怯生生地问。“不。”二愣忽然想出个怪主意，“把这1000头猪排成一行，先杀第一头，然后隔一头杀一头；杀完第一遍后，还是原来的队形，再用同样的方法杀第二遍；这样一遍一遍地杀下去…”二愣停了停说，“最后只留下一头猪。”二愣心想，1000头猪最后只留下一头，看你还能活！哪里知道，这是一头聪明的猪，趁着混乱，它很快找到了避难的位置，居然躲过了这一刀。请问，这头猪到底排在什么位置上呢？点评：若正向思维，则写1000个数字，一笔一笔一次一次地划去奇数，够繁够乱的。倒过来想，这只聪明的猪最后一轮必在2号位，倒数第二轮必在4号位，倒数第三轮必在8号位，…，规律出来了，倒数n轮必在2n号位，由512=29<1000<210=1024,得，这只聪明的猪排在512号位。类似的例子还有“睡莲满池问题”：池塘里的睡莲面积每天长大一倍。100天长满整个池塘，那么第98天长到（）个池塘？案例15：95名乒乓球运动员进行单淘汰赛,最后决出冠军,共需打多少场球?点评：常规解答要列许多行算式，还要考虑有人轮空。逆向思维，每场比赛淘汰1人，决出冠军，要淘汰94人，