正弦定理和余弦定理详解

正弦定理和余弦定理详解页高考风向1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识梳理1．正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).3．S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解[难点正本疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosA<sinB,cosA<sinC·2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．解析：∵三边中最大，∴其所对角最大，根据余弦定理：，∵，∴故中的最大角是.总结升华：1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】已知中,,,求角.【答案】根据余弦定理：，∵，∴【变式2】在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小．【答案】设，，，根据余弦定理得：，∵，∴；同理可得；∴【变式3】在中，若，求角.【答案】∵，∴∵，∴类型三：正、余弦定理的综合应用例4．在中，已知，，，求及.思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦定理求角.解析：⑴由余弦定理得：===∴⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理）∵，∴（法二：正弦定理）∵又∵，∴＜，即＜＜∴总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：【变式1】在中，已知,,.求和.【答案】由余弦定理得：，∴由正弦定理得：，因为为钝角，则为锐角，∴.∴.【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角和【答案】根据余弦定理可得：∵，∴；∴由正弦定理得：.其他应用题详解一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akm B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm解析利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)a.答案B2．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．2eq\r(2)km B．3eq\r(2)kmC．3eq\r(3)km D．2eq\r(3)km解析如图，由条件知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以BS＝eq\f(AB,sin45°)sin30°＝3eq\r(2).答案B3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是()A．35海里 B．35eq\r(2)海里C．35eq\r(3)海里 D．70海里解析设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝eq\r(CE2＋CF2－2CE·CFcos120°)＝eq\r(502＋302－2×50×30cos120°)＝70.答案D4．(2014·济南调研)为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是()A．20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))m B．20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),2)))mC．20(1＋eq\r(3))m D．30m解析如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB＝20m，所以BM＝20m．又在Rt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，∴AM＝DMtan30°＝eq\f(20,3)eq\r(3)(m)．∴AB＝AM＋MB＝eq\f(20,3)eq\r(3)＋20＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))(m)．答案A5．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(\r(5),5)解析由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝(eq\r(2))2＋32－2×eq\r(2)×3×eq\f(\r(2),2)＝5，所以AC＝eq\r(5)，再由正弦定理：sin∠BAC＝eq\f(sin∠ABC,AC)·BC＝eq\f(3×\f(\r(2),2),\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).答案C6．(2014·滁州调研)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小()A.eq\f(69,43) B．1C.eq\f(70,43) D．2解析如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.当t＝eq\f(70,43)时，DE最小．答案C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km.解析如右图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．答案10eq\r(7)8．如下图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是________nmile/h.解析设航速为vnmile/h在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)，∠BSA＝45°，由正弦定理得：eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，∴v＝32(nmile/h)．答案329．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2)(米)．在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6)(米)．答案10eq\r(6)三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(2014·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？解在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10eq\r(6)，由正弦定理，得BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝20eq\r(3).在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30(米)，所以升旗速度v＝eq\f(AB,t)＝eq\f(30,50)＝0.6(米/秒)．11.如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq\r(3)海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意，知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，于是DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝eq\f(5\r(3)\r(3)＋1,\f(\r(3)＋1,2))＝10eq\r(3)(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900.得CD＝30(海里)，故需要的时间t＝eq\f(30,30)＝1(小时)，即救援船到达D点需要1小时．12.(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在△ABC中，因为cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(