2024届河北省邢台市高三下学期教学质量检测数学试题（解析版）（一）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河北省邢台市2024届高三下学期教学质量检测（一）数学试题一、选择题1.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，所以在复平面内，对应的点位于第三象限.故选：C.2.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故选：B3.在研究变量与之间的关系时,进行实验后得到了一组样本数据，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗设未剔除这两对数据前的的平均数分别为，剔除这两对数据前的的平均数分别为，因为所以，则，又这两对数据为，所以，所以，所以，故选：C.4.已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（）A.为定值 B.为定值C.为定值 D.为定值〖答案〗D〖解析〗依题意，设，则，因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以的方程为，即，即，所以，故D正确，显然ABC错误.故选：D.5.函数零点的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗令，可得，则函数零点的个数为与的交点个数，显然与均关于对称，又当时，，当时，，再结合两个函数的图象，可得与有5个交点，故函数零点的个数为5，故C正确.故选：C.6.如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由给定定义得，对左右两侧同时求导，可得，将点代入，得，解得，故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为，故B正确.故选：B.7.如图，正四棱台容器高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱台容器的高为12cm，，，正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为，其体积为；放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图，其中是底面边长10cm，是容器的高为12cm，是水的高为9cm，由截面图中比例线段的性质，可得,此时水面边长为4cm，此时水的体积为，放入的57个球的体积为，设小铁球的半径为，则，解得.故选：A.8.倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，如图，对于一个抛物线，倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．作准线的垂线，过作，则，解得，同理可得，如图，不妨设在第一象限，由焦半径公式得，，则，而，可得，故，故A正确，故选：A.二、选择题9.设集合，则（）A.B.的元素个数为16C.D.的子集个数为64〖答案〗BCD〖解析〗对于ABC，因为，所以，即，所以有个元素，故A错误，BC正确；对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确.故选：BCD.10.已知内角对边分别为为的重心,，则（）A. B.C.的面积的最大值为 D.的最小值为〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延长交于点，则是中点，，A错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；，当且仅当时等号成立，，，C正确；由得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错．故选：BC．11.已知函数和函数定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列说法正确的是（）A.为偶函数B.C.若在区间上的〖解析〗式为，则在区间上的〖解析〗式为D.〖答案〗AD〖解析〗由的图象关于直线对称,可知即所以图象关于轴对称,故A正确.由可得又,所以可知的图象关于对称，所以，所以是周期为4的周期函数，则故B错误.当时,又因为所以即在区间上的〖解析〗式为故C错误.因为，，所以，所以，所以.故D正确.故选：AD.三、填空题12.已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则________，该直线的方程为________．〖答案〗1〖解析〗若过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则一定在圆上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为，又直线斜率为，设该直线的斜率为，显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为，化简得直线方程为，故〖答案〗为：1；13.4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为________．〖答案〗144〖解析〗4名男生先排，共有种，2名女生再排，共有种，再将2名女生插空到男生中，要求最左边，中间，最右边，共有3种，所以一共有种，故〖答案〗为：144.14.在直三棱柱中，，底面ABC是边长为6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为________．〖答案〗〖解析〗若底面ABC是边长为6的正三角形，则外接圆的半径为，内切圆半径为，设三棱柱外接球的半径为，且已知，可得，解得，设三棱柱外接球的球心与内切圆上一点的距离为，故，则的最大值为，故〖答案〗为：四、解答题15.如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，．（1）证明：平面．（2）求二面角的余弦值．（1）证明：分别为的中点,平面，面，平面（2）解：以为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面AEF的法向量为可得，故，令则解得，，得到平面的一个法向量为易得平面的一个法向量为由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.16.已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．（1）求数列的公差；（2）若，求数列的前n项和．解：（1）设数列的公差为，则因为是等差数列，所以为常数，所以解得，即公差为.（2）因为所以可得，故17.小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．（1）求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；（2）已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2，，10）的概率为，则当k为何值时，最大？解：（1）设小张回答A类题正确的概率为，小张回答B类题正确的概率为，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为，由题意可得，所以，所以小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6.（2）由（1）可得，设，即，所以，即，解得，又，所以时，最大.18.双曲线上一点到左､右焦点的距离之差为6，（1）求双曲线的方程；（2）已知，过点的直线与交于（异于）两点，直线与交于点，试问点到直线的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解：（1）依题意可得，解得，故双曲线的方程为.（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立，消去，得，则，，设，则，又，直线，直线，联立，两式相除，得，即，解得，所以点在定直线上，因为直线与直线之间的距离为，所以点到直线距离为定值，且定值为.19.定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.（1）解：不是，理由如下：由已知，由解得，，又，，不妨设切点为，，在点处的切线的方程为，即，在点的切线方程为，即与直线不重合，所以直线不是曲线的“双重切线”．（2）解：由题意，函数和都是单调函数，则可设切点为，且，所以在点处的切线的方程为，在点的切线方程为，所以，消去得，设（），则，所以是减函数，又，所以在时只有一解，所以方程的解是，从而，在点处切线方程为，即，在点处的切线方程为，即，所以“双重切线”方程为；（3）证明：设对应的切点为，，对应的切点为，，由于，所以，，由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形,则，，其中，所以，又，，即，，时，，，令（），则，，在上单调递减，又，所以，所以，此时，则，所以．河北省邢台市2024届高三下学期教学质量检测（一）数学试题一、选择题1.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，所以在复平面内，对应的点位于第三象限.故选：C.2.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故选：B3.在研究变量与之间的关系时,进行实验后得到了一组样本数据，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（）A.8 B.12 C.16 D.20〖答案〗C〖解析〗设未剔除这两对数据前的的平均数分别为，剔除这两对数据前的的平均数分别为，因为所以，则，又这两对数据为，所以，所以，所以，故选：C.4.已知椭圆的离心率为是上任意一点，为坐标原点，到轴的距离为，则（）A.为定值 B.为定值C.为定值 D.为定值〖答案〗D〖解析〗依题意，设，则，因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以的方程为，即，即，所以，故D正确，显然ABC错误.故选：D.5.函数零点的个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗令，可得，则函数零点的个数为与的交点个数，显然与均关于对称，又当时，，当时，，再结合两个函数的图象，可得与有5个交点，故函数零点的个数为5，故C正确.故选：C.6.如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由给定定义得，对左右两侧同时求导，可得，将点代入，得，解得，故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为，故B正确.故选：B.7.如图，正四棱台容器高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱台容器的高为12cm，，，正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为，其体积为；放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图，其中是底面边长10cm，是容器的高为12cm，是水的高为9cm，由截面图中比例线段的性质，可得,此时水面边长为4cm，此时水的体积为，放入的57个球的体积为，设小铁球的半径为，则，解得.故选：A.8.倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．若，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，如图，对于一个抛物线，倾斜角为的直线l经过抛物线C：的焦点F，且与C相交于两点．作准线的垂线，过作，则，解得，同理可得，如图，不妨设在第一象限，由焦半径公式得，，则，而，可得，故，故A正确，故选：A.二、选择题9.设集合，则（）A.B.的元素个数为16C.D.的子集个数为64〖答案〗BCD〖解析〗对于ABC，因为，所以，即，所以有个元素，故A错误，BC正确；对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确.故选：BCD.10.已知内角对边分别为为的重心,，则（）A. B.C.的面积的最大值为 D.的最小值为〖答案〗BC〖解析〗是的重心，延长交于点，则是中点，，A错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；，当且仅当时等号成立，，，C正确；由得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错．故选：BC．11.已知函数和函数定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列说法正确的是（）A.为偶函数B.C.若在区间上的〖解析〗式为，则在区间上的〖解析〗式为D.〖答案〗AD〖解析〗由的图象关于直线对称,可知即所以图象关于轴对称,故A正确.由可得又,所以可知的图象关于对称，所以，所以是周期为4的周期函数，则故B错误.当时,又因为所以即在区间上的〖解析〗式为故C错误.因为，，所以，所以，所以.故D正确.故选：AD.三、填空题12.已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则________，该直线的方程为________．〖答案〗1〖解析〗若过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则一定在圆上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为，又直线斜率为，设该直线的斜率为，显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为，化简得直线方程为，故〖答案〗为：1；13.4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为________．〖答案〗144〖解析〗4名男生先排，共有种，2名女生再排，共有种，再将2名女生插空到男生中，要求最左边，中间，最右边，共有3种，所以一共有种，故〖答案〗为：144.14.在直三棱柱中，，底面ABC是边长为6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为________．〖答案〗〖解析〗若底面ABC是边长为6的正三角形，则外接圆的半径为，内切圆半径为，设三棱柱外接球的半径为，且已知，可得，解得，设三棱柱外接球的球心与内切圆上一点的距离为，故，则的最大值为，故〖答案〗为：四、解答题15.如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，．（1）证明：平面．（2）求二面角的余弦值．（1）证明：分别为的中点,平面，面，平面（2）解：以为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则设平面AEF的法向量为可得，故，令则解得，，得到平面的一个法向量为易得平面的一个法向量为由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.16.已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．（1）求数列的公差；（2）若，求数列的前n项和．解：（1）设数列的公差为，则因为是等差数列，所以为常数，所以解得，即公差为.（2）因为所以可得，故17.小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．（1）求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；（2）已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2，，10）的概率为，则当k为何值时，最大？解：（1）设小张回答A类题正确的概率为，小张回答B类题正确的概率为，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为，由题意可得，所以，所以小张在题库中任选一题