人教版高中数学选修二5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （二） -B提高（解析版） 同步练习

5.3.2函数的极值与最大(小)值（2）-B提高练一、选择题1．（2021·全国高二课时练）函数的最小值是（）A． B． C． D．不存在【答案】C【详解】由题意得，.令，得.当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得极小值也是最小值，且最小值为.故选：C.2．（2021·山东泰安实验高中高二期末）已知函数在上的最大值为，则a的值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，当时，若，则单调递减，若，则单调递增，故当时，函数有最大值，解得，不符合题意.当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.当时，函数在上单调递减.此时最大值为，解得，符合题意.故a的值为.故选：A.3．（2021·广州华南师大附中高二期末）已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵，.当时，，在上单调递增，不合题意.当时，，在上单调递减，也不合题意.当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.综上，的取值范围是.4．（2021·安徽省阜阳第一中学高二期末）设函数，（，为实数），若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则，若，可得，函数为增函数，当时，，不满足对任意恒成立；若，由，得，则，∴当时，，当时，，∴.若对任意恒成立，则恒成立，若存在实数，使得成立，则，∴，令，则.∴当时，，当时，，则.∴.则实数的取值范围是.5．（多选题）（2021·全国高二专题练）设的最大值为，则（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】AB【详解】对于选项A，当时，在区间上递减，所以，故选项A正确.对于选项B，当时，，则，在区间上递增，即，故选项B正确.对于选项C，当时，当时，恒成立，所以，所以，故选项C错误.对于选项D，当时，，则，在区间上递增，，故选项D错误.故选：AB.6．（多选题）（2020·邵东创新实验学校高三月考）对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点C． D．若在上恒成立，则【答案】ACD【详解】由题意，函数，可得，令，即，解得，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；由当时，，因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，当时，可得，所以函数在上没有零点，综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；由函数在上单调递减，可得，由于，则，因为，所以，即，所以，所以C正确；由在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，即，解得，所以当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，所以D正确.故选：ACD.二、填空题7．（2021·湖北黄石高二期末）要设计一个容积为的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径_______时，造价最低．【答案】.【详解】设圆柱的高为，圆柱底面单位面积造价为，总造价为，因为储油罐容积为，所以，整理得：，所以，令，则，当得：，当得，所以当时，取最大值，即取得最大值.8．（2020·东莞市东华高级中学高二月考）若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是____.【答案】【详解】因为且切线垂直于，所以，所以，所以.因为，令，所以，当，所以在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值是，故答案为：.9．（2021·福建屏东中学高二期末）已知，，若存在实数，满足，则的最大值为______．【答案】【详解】解：，且在上单调递增，∴，．设，则，当时，；当时，．∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴．10．（2021·江苏苏州市高二期末）已知函数，若方程恰有两个不同的实数根m，n，则的最大值是_________.【答案】【详解】作出函数的图象，如图所示，由可得，所以，即，不妨设，则，令，则，所以，令，则，所以当时，；当时，，当时，取得最大值.故答案为：.三、解答题11．（2021·全国高二课时练）已知函数.（1）求函数在区间上的最大、最小值；.（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方.【详解】（1）由有，当时，,在区间上为增函数，，，（2）设，则，当时，，且故时，，得证.12．（2021·大连24中高二期末）已知函数其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于恒成立，求的最大值.【详解】（1）当时，函数，可得，则，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，函数，可得，令，则，所以函数在上单调递增，又由，则令，可得，所以函数在上单调递增，令，可得，所以函数在上单调递减.综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）由，得在上恒成立，设，则，由，解得，（其中），随着变化