2023高考一模分类汇编 导数、解析几何、圆锥曲线汇编（解析版）

目录

专题一导数.......................................2

1.1导数大题.................................................................2

专题二直线与圆....................................9

2.1直线与圆的位置关系......................................................9

专题三圆锥曲线...................................11

3.1双曲线及其性质..........................................................11

3.2抛物线及其性质.........................................................13

3.3直线与圆锥曲线的位置关系...............................................17

专题一导致

1.1导致大题

1.（2022-2023海淀高三下4月一模20-15分）

已知函数/（幻=0心一》,

（I）当。=1时，求曲线y=/（x）在点（0,7（%））处的切线方程;

（II）求/（X）的单调区间;

（III）若存在天使得/（芯）/（々）29,求。的取值范围.

【解答】（1）当a=l时，f（x）=e*-x,则r（x）=e*-l,

得"0）=1,/（（0）=0,

所以曲线y=/（X）在点（0,7（0））处的切线方程为y=\.

X\na,+8)

'8,-啕a

f'M-0+

f(x)X极小值Z

(2)由/(x)=e"-x,则尸(x)=aew-l

当a40时，f'（x）<0恒成立，此时/（X）在R上单调递减

当a>0时，令/'（幻=0,解得x=-皿

a

此时fM与/,（X）的变化情况如下：

由上表可知，/（X）的减区间为1-8,-/）,增区间为（-叩,+<®

综上，当aWO时，/（x）的减区间为（—,《»）,无增区间

当a>0时，/5）的减区间为巴］,增区间为（-她,+81

(3)将f(X)在区间上的最大值记为/(X)max，最小值记为了(X)z"

因为存在再，We[T,l],使得〃再>/(w)N9,

所以玄«一叫,使得|/(力卜3成立,即/(初皿裂或〃初而4-3,

当时，/(x)=eat-x>-x>-l,

若2XG[-1,1],使得|/(到23成立,只需/⑶皿23,

由(2)可知Ax)在区间[-1,1]上单调或先减后增，

故为/(-I)与/(I)中的较大者，

所以只需当/(-I)>3或/(I)>3即可满足题意，

即只需/(T)=e"+123或/(l)=e"-123,

解得a4-ln2或«>ln4,

综上所述，”的取值范围是(e,-1112]31114,+8).

2.(2022-2023西城高三下4月一模19-15分)

已知函数/(x)=e'-cosx.

(I)求曲线y=/。)在点(0,/(0))处的切线方程；

(H)设g(x)=x/'(x)—/(x),证明：g(x)在(0,一)上单调递增；

(III)判断3/(3与4/(3的大小关系，并加以证明.

34

解：(I)f\x)=ev+sinx.......1分

所以/(0)=0,/'(0)=l.......3分

所以曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为y=x.......4分

(II)由题设，＜g(x)=x(ev+sinx)-(ex-cosx)

=(x-l)ev+xsinx+cosx.

所以g'(x)=x(e'+cosx).......6分

当x>0时，因为e*+cosx>e。+cosx=l+cosx》0,

所以g'(x)>0......8分

所以g(x)在(0,")上单调递增......9分

(III)3/(1)>4/(1)......10分

证明如下：

设仪x)=忠,XG(0,+O0)......11分

X

则以》)=立丝巫=驾.......12分

XX-

由(H)知g(x)在(0,+oo)上单调递增，

所以g(x)>g(0)=0......13分

所以〃(x)>0,即〃(x)在(0,+oo)上单调递增......14分

所以爪3>6(3,BP3/(-)>4/(1)......15分

3434

3.(2022-2023东城高三下4月一模19-15分)

已知函数/(x)=ax2-xlnx.

(I)当a=()时，求f(x)的单调递增区间；

(H)设直线/为曲线y=/(x)的切线，当时，记直线/的斜率的最小值为g(a),求

g(a)的最小值；

1Q11

(III)当。＞。时，设/={)打=/'(幻,％£(丁,7)},N={y\y=fXx\xe(—,—)],求

12a4a14a2a

证：M睡N.

解：(I)当4=()时，f(x)=—x\nx,定义域为(0,+oo).

fr(x)=-\nx-l,

令((%)=0,得％=L

当工£(0-)时，f\x)>0，

e

当xw(』,+8)时，/r(x)<0，

e

所以/(x)的单调递增区间为(0,1)..................5分

e

(II)令/z(x)=/'(x)=2or-lnx-1,

r.j.l..12,CIX—1

则h(x)=2a——=------.

XX

当422时，令/l'(%)=0,WX=—.

22a

当无£(0,'-)时，〃*)v0,//(x)单调递减；

2a

当X£(1-,+oO)时，//(X)>0,"(X)单调递增；

2a

所以当x-时，力。)最小值为g(a)=〃(1-)=ln(2a).

2a2a

e

当a2—时，ln(2a)的最小值为1,

2

所以g(a)的最小值为1.............11分

1113

(III)由(II)知尸(x)在［一，一］上单调递减，在［一,二］上单调递增,

4a2ala4a

313|11

又八—)=—In—,f'{—)=----In—,

4a24a4a24a

一1311

所以M=(ln(2a),---In——).N=(ln(2tz),-----In——).

24a24a

111331

(----In—)-(——In—)=ln——In——l=ln3-l>0,

24a24a4a4a

所以15分

4.(2022-2023朝阳高三下4月一模19-15分)

已知函数/(x)=e2'-or-l(aeR).

(I)求/(x)的单调区间；

(II)若，(x)>0对xe(0,+oo)恒成立，求a的取值范围；

(III)证明:若八力在区间(0,m)上存在唯一零点％,贝IJ玉,<。一2.

解：(I)因为，(x)=e2*-ar-l(xwR),所以/'(x)=Ze?*-a.

①若aW0,则r(x)>0,所以/(x)在区间(YO,M)上单调递增.

②若a>0,令f'(x)=O,^x=-ln-.

22

当xe(-a),glng时，/，(*)<0，

所以/(x)在区间(-co,g吟上单调递减；

当xe(gln*+a>)时，f\x)>0,

所以/(x)在区间(；咚+00)上单调递增.

综上，当时，/(x)的单调递增区间为(Y0,”)；

当a>0时，/(x)的单调递减区间为(e，(ln《)，单调递增区间为(口n：,y)….5分

2222

(II)①若aW2,当x>0时，2e">2,f'(x)=2e2x-a>0,

则f(x)在区间(0,-H»)上单调递增.所以/(%)>/(0)=0.

所以“W2符合题意.

②若a>2,则51n5>0.

由(I)可知/(x)在区间(O,；ln会上单调递减，

所以当xe(O,Ln@)时，/(%)</(0)=0,不符合题意.

22

综上，a的取值范围为(-00,2]...........11

(III)若/。)在区间(0,e)上存在唯一零点飞,

.ev—1

则a>2,%>0且e~"——1=0,即a=------.

%o

欲证：x()<a-2t

92%_i

只需证：x0<-------2,

%

2Ab2

只需证：e>(x0+1),

即证：e">Xo+l.

由(II)知，/-2犬-1>0在区间(。，”)上恒成立，

所以/一%—1>0在区间(0,+00)上恒成立.

所以e*+1.

所以须)<。一2.......15分

5.(2022-2023丰台高三下4月一模20-15分)

己知函数/(x)=x+=(a>0).

e

⑴求函数〃尤)的极值；

⑵若函数/(“有两个不相等的零点为，

(i)求。的取值范围；

(ii)证明：石十W>21na.

【详解】(1)因为/(X)=X+3,所以r(x)=l一==、£,因为a>0

eee

由r(x)>0有：x>lntz,由/'(x)<0有：x<lna

所以函数/(X)在(fo,Ino)单调递减，在(Ina,内)单调递增

所以函数“X)无极大值，有极小值/(Ina)=1+Ina

(2)(i)由(1)有：函数/(x)在(Y>,Ina)单调递减，在(Ina,物)单调递增

若函数/(x)有两个不相等的零点4，巧，则/(lnq)=l+lna<0,解得

所以因为当X-+8时，=TO,=+Xf+8,,所以F(x)f+O0

所以/。)=》+£在(1[14,+00)上有1个零点

当x-y时，£f+00,又''指数爆炸"，所以/5)一田

所以/(x)=x+5■在(-oo,lna)上有1个零点

综上，当0<。<：时，函数“X)有两个不相等的零点々

(ii)由(i)有：当0<“<：时，函数/(X)有两个不相等的零点巧，演

不妨设X〈Inas2，构造函数尸(x)=/(x)-/(21na-x)

因为/'(*)=1一《，所以尸’(力=1-券+1-^27=2-券+?]

cCC\CC*/

因为0<〃/，所以色+24土，2,

当前仅当x=ln。时取到等号

eeva\eAa

所以9(x)=2-1/+q■卜0,所以尸(x)=/(x)-/(21na-x)在R上单调递减

又电>加。,所以F)<F(ina)=/(ina)-/(21na-Ina)=0

即尸(&)=/(吃)-/(21114-/)<0,即/优)</(2111。-口),又/(%)=/(%)

所以/(xJc/Qlna-w),又为clnacx?,所以Zina-/<lna

由⑴有：函数/(x)在(ro,Ina)单调递减，所以XI>21na-Xz

即Xi+W>21na,结论得证

专题二直线与圆

2.1直线与SJ的枚置关东

1.(2023丰台一模03)已知圆(x-2y+(y—3)2=，(r>0)与)，轴相切，贝卜=

A.V2B.GC.2D.3

【答案】C

【分析】求出圆心和半径，即可求解.

【详解】圆(x—2)2+(y—3)2=/(厂>0)的圆心为(2,3),半径为，.

因为圆与轴相切，所以r=2.

故选：C

2.(2023海淀一模06)已知直线了=了+机与圆0:/+丁=4交于AB两点，且“。台为等

边三角形，则机的值为

A.土&B.±GC.±2D.±V6

【答案】D

【分析】根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的

距离d,结合点到直线的距离公式列出方程求出用的值即可.

【详解】圆。:/+丁=4的圆心为0(0,0),半径/^2,

若直线y=x+加与圆。交于48两点，且.AO8为等边三角形，

则圆心0到直线y=x+%的距离〃=G,

又由点到直线的距离公式可得招=百,

解得m=±\/6,

故选：D.

3.(2023朝阳一模04)已知点A(-l,0),8(1,0).若直线y=fcc-2上存在点P,使得

ZAPB=9Q°,则实数4的取值范围是

A.(-oo,-x/3JB.[G,+OO)

C.[-百,D.(-8,-75]U[百,2)

【答案】D

【分析】将问题化为直线)，=米-2与圆一+丁=1有交点，注意直线所过定点(0,-2)与圆

的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求左的范围.

【详解】由题设，问题等价于过定点(。，-2)的直线旷=依-2与圆f+y2=l有交点,

200

又(0,-2)在圆外，所以只需赤淳41,可得(-,-百］"6,+<»).

故选：D

4.(2023石景山一模09)已知直线/:丘-y-2Z+2=0被圆C:f+(y+l)2=25所截得的弦

长为整数，则满足条件的直线/有

A.6条B.7条C.8条D.9条

【答案】B

专题三圆碓曲线

3.1双曲线及其性质

X2V2

1.（2023石景山一模04）已知双曲线二-4=1（6>0）的离心率是2,贝肥=

4b-

A.12B.2百C.x/3D.—

2

【答案】B

2.（2023朝阳一模06）过双曲线二力>0）的右焦点尸作一条渐近线的垂线,

a"b~

垂足为A.若NAFO=2ZAOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为

A万口2G00口2后

A.——B.------C.2D.------或2

233

【答案】B

【分析】由题意易得所以ZA*30'从而岁再由

求解

【详解】解：在/?公"'。中，因为NAAO=2NAOF,

3.（2023西城一模07）已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴.则“C的离心率

为2”是“C的一条渐近线为y=A”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】充分性：因为e=£=2,所以b=当焦点在y轴上时，渐近线为

a

充分性不成立;

必要性：因为一条渐近线为y=±Gx,所以双曲线方程为（一/二几，

当焦点在y轴上时，e=£=殛，

a3

必要性不成立；

故D正确。

22

4.（2023海淀一模12）已知双曲线=l的渐近线方程为y=±Gx,则C的离心率

ab

为.

【答案】2

【详解】由题意，得£二：=Jl+（—）2=+3=2.

22

5.（2023东城一模13）已知双曲线:■-斗=1（“>0,〃>0）的一个焦点是（底0）,且与直线

a6

y=±2x没有公共点，则双曲线的方程可以为.

【答案】%2-4=1

4

【解析】由题c=。，c2=a2+b2,a2+h2=5,h2=5-a2

双曲线与？=±2乂无公共点

双曲线渐近线的斜率的取值范围为1-2,0）,（0,2]

.-.0<-<2,0<b2<4a2,0<5-a2<4a2,\<a2<5,0<b2<4

a

2

只要符合。e[l,石）,力€（0,2],。2+h=5即可。

6.（2023丰台一模15）三等分角是"古希腊三大几何问题”

之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题.古希腊数学家Pappus

（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：

如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A,8两点；取线段

AB的三等分点；以B为焦点，A,。为顶点作双曲线”.

双曲线，与弧A3的交点记为已连接CE,则NBCE=gNAC8.

①双曲线”的离心率为；

②若=|AC|=3五，CE交AB于点P,贝小。口=_______.

2

【答案】2；7-36

【分析】①根据图形关系确定c=2a即可求解；利用面积之比

cIAC|-|CP|sinZACP\Ap\

=-----------------=可求出忸H=3豆-3,再根据|O"=1031T8Pl求解.

、△耽P-\BC\\CP\sinZBCP产I

【详解】①由题可得|。4|=蜀（叫=c,所以c=2a.

所以双曲线，的离心率为£=2；

a

②，因为乙4cB=],且|AC|=|8C|=3及，

所以|43|=118+18=6,

又因为/BCE=1/ACB,所以NACP=¥,N8CP=¥,

336

所金二把”工£匕

BP

S^BCPl|BC|-|CP|sinZBCP~\

所以=两明，

因为|相=|叫+|研=（百+1）|网=6,解得忸耳=班—3,

所以|。"=|08|_忸丹=7_38，

故答案为：2;7-3百.

3.2抛物线及其性质

1.（2023东城一模03）抛物线f=4），的准线方程为

A.x=lB,x=-lC,y=1D,y=-1

【答案】D

【解析】由抛物线方程d=4y得p=2,开口向上且焦点在y轴正半轴，准线方程为

y=-g=-i,故选D。

2.（2023海淀一模04）已知抛物线y2=4x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标

为4,则|"|=

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】直接根据抛物线焦半径公式计算得到答案.

【详解】抛物线V=4x的准线方程为4-1,

因为点P在抛物线V=4x上，。的横坐标为4,抛物线y2=©的焦点为£

所以仍可等于点尸到直线m-1的距离，

所以归产|=4+1=5,

故选：D.

3.（2023丰台一模08）已知抛物线C:y2=2px3>0）的顶点是坐标原点O,焦点为F,A

是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为2应，过点A向抛物线C的准线作垂线，垂足为

B若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为

A.lB.x/2C.2D.2V2

【答案】C

【分析】过点/向x轴作垂线、垂足为£设准线交x轴于。利用几何法求出直角三角形

AEF的三边，利用勾股定理即可求解.

过点力（不妨设为第一象限点）向x轴作垂线、垂足为f.设准线交x轴于2

因为四边形力6。尸为等腰梯形，所以|08|=|AF|,ZFOB=ZOFA.

所以=

又ZBDO=ZAEF=90°,

所以BDO=AEF,所以|0£）|=|EE|=§

所以。E|=RO|+|OF|+|FE|=雷.

所以MM=|OE|=#.

由抛物线的定义可得：|AF|=|AB|=¥.

在直角三角形AE尸中，\AF\=^-,\EF\=^,\AE\=yA=2y[2.

由勾股定理可得：仁J+仅可=用=解得：p=2.

故选：C

4.（2023石景山一模12）抛物线C:f=4,，的焦点坐标为若抛物线C上一点M

的纵坐标为2,则点M到抛物线焦点的距离为.

【答案】（0,1）；3

5.（2023西城一模12）已知抛物线丫2=22.3>0）的顶点为0,且过点A,从若△048是

边长为4班的等边三角形，则〃=

【答案】I

【解析】|OA|=4«,408=60

力=4^xsin30=2x/3

xA=4\/3xcos30=6

A（6,2百），代入y2=2px

（2扬2

p=------=1

2x6

6.（2023朝阳一模13）经过抛物线/=4），的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点，

若|AB|=4,则△OAB（O为坐标原点）的面积为.

【答案】2

【分析】求出焦点坐标，设直线48方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直

线方程，可求得。点到直线A8距离，进一步求出三角形面积.

【详解】由题意知，抛物线f=4y的焦点/（0,1）,设B（孙力）,直线48：

y=kx+\,

联立方程,消去x可得V-（2+4公）y+1=0,

△=（2+4公产-4=16Z4+16/20,

2

韦达定理得y]+y2=2+4k,yty2=l,

因为|蜴=|AF|+|/^=y+%+2=2+4公+2=4,所以犷=0,即4=0,

所以直线28：y=l,所以点。到直线ZI8的距离为|OF|=1,

所以S皿=g|。尸HA8|=；X1X4=2.

故答案为：2

3.3直线与S]碓曲线的住董关系

1.(2022海淀一模19)已知椭圆E:，+[=l(a>6>0)的左、右顶点分别为A，4，上、

ab“

下顶点分别为耳，与，IB超21=2,四边形A44员的周长为4遍.

(I)求椭圆E的方程；

(II)设斜率为A的直线/与x轴交于点P,与椭圆E交于不同的两点M,N,点M关于y

轴的对称点为直线MN与)，轴交于点Q.若△OPQ的面积为2,求Z的值.

【答案】(l)y+/=l

⑵4

【分析】(1)由短轴长，即四边形4片&生的周长得乱5的值，得椭圆的方程；

(2)设直线/的方程为、="+帆，由题k*0,〃?#0,与椭圆联立方程，得

士+x,=-普空，为灰=加二，表示出△OP。的面积，解得〃的值.

5&~+11-5k2+1

【详解】⑴由忸闻=2,得%=2,即8=1,

由四边形AAA区的周长为4指,得4户了=45即〃=5,

所以椭圆的方程为立+V=L

5-

(2)设直线/的方程为y=+m(k*0,〃?WO),M(w，%),'(电5),

则尸(一：,0),

K

上2=1

联立方程组“5+',消去y得，(5二+1)工2+10加a+5加2一5=0,

y=kx-\-m

△=(105?)2-4(53+1)(5/-5)>0,得弘2>/_1,

10km5m2-5

%+々=-

5k2+1

直线MN的方程为丫-%=上且(工-々)，

X,+工2

令X=。，得尸分(。一*2)+%=^^,

%+x2X]+x2

一10攵

又因为玉片+工2%=%(监+tn)+x(kx+in)=lkxx+m(x+x)=

2}x2]25k2+\

所以。(0,L),△。尸。的面积!X-3!=2,得％=±1,经检验符合题意,

m2km4

所以々的值为士]

4

22

rV厂|

2.(2023石景山一模19)已知椭圆C:彳+4=1(4>/7>0)过点(0,G),且离心率为L

a2b~2

(I)求椭圆。的方程；

(II)过点尸(-1,1)且互相垂直的直线44分别交椭圆C于M,N两点及S,T两点.

_^\PM\\PN\

求---------的取值范围.

1Psi|PT|

【答案】

(I)因为椭圆过点(0，G),故〃=百，

e=—=—,a2=b2+c2,贝lja=2,

a2

22

故椭圆的标准方程为：「+「=1.

43

(II)当直线4斜率不存在

h：x=-l,/2：y=1

分别代入椭圆方程得：M(-l,务,N(-1，4，S(-芈,1),7'(芈,1)

2233

当直线4斜率不存在时‘同理可得‘周常整

当《A斜率均存在且不为o时，设直线4斜率为h则直线/,斜率为

K

设直线4的方程为:y-\=k（x+\）,M（和凶）小（々,%）

y-l=Jt(x+l)

由〈X2

43

得(3+4k2)x2+(8/+8k)x+4二+8左一8=0

A>0

8M+8A

x+x=------------

t23+4/

4&2+诙-8

x-x=-----------—

t■23+4廿

\PM\=J(X|+l)2+(y-1)2=TiTF|x,+l|,

22

\PN\=yl(x2+l)+(y2-\)=^/i7F|x2+l|,

同理可知：

设直线4的方程为：y-l=-：（x+l）,S（巧,外），7。4，为）

k

8—8%以一8

%+*=-=-

3/+43k2+4

4-8A-8炉

-^4=

3火2+4

|PS|=J&+l)2+(y3-l)2=+11.

22

IPT\=J(x4+l)+(y4-l)=

|X4+1|,

|PMIIPNI(1+M)k+1恒+1|1百々+X]+/2+1|

则k2

冈切(1+±)|^+1||.4+1||X3X4+%3+X4+1|

-5

二3二+4

=k2-3+4

二5心_4^+3二二;工居

3^+4

综上所述：微券的取值范围是

I"3\\r1\43

3.(2023西城一模20)已知椭圆C:Y+2y2=2,点AB在椭圆C上，且04,03(。为原

点).设45的中点为M,射线交椭圆C于点N.

(I)当直线他与x轴垂直时，求直线钻的方程；

(II)求明的取值范围・

|OM|

【答案】

(I)当直线他与X轴垂直时，设其方程为X=f(-0<f<3)...........1分

由点A,3关于X轴对称，且O4_LOB,不妨设AQ")...........2分

将点A的坐标代入椭圆C的方程，得/+2/=2,解得r=±逅.......3分

3

所以直线A3的方程为l=土业......4分

3

(1，)当直线AB的斜率不存在时,由(।)知匿地._5分

当直线钻的斜率存在时，设其方程为丫=日+，〃.

y=kx+m,

由，得（2公+i）x2+4km:+2帆2-2=0.6分

x2+2y2=2,

由4=8（2公一加2+1）>。，得机2<I+2〃.

2

、nn.i4km2m-2c八

xx2

［又4（N，y）,B（x2,y2）,贝」5+%=一而二J，\2=2^+］,...........8分

ULIUlll

因为O4J_O8,所以。403=0.

所以王巧+y为=为々+（"।+〃2）（%+6）=o.

整理得（公+1）%多+初7（3+々）+/=o...........10分

所以（k2+1）（2>—2）+km（-4km）+m2（2k2+1）=0.

今2

解得3疗=2攵2+2,从而〃/，一.

3

..........11分

UUUUUU

设ON=,其中；l>0.

ULHI2uurIO7-?hn2m2

则QN=t（ft4+O8）=ta+马,凶+为）=（7^，；^7）•..........12分

222k+12k+\

当&彳程得/乃=2公+］

2k2+12炉+1

所以加公=3/一1,即抬=3-义.

m

..........13分

因为加力2,所以3忘万<3,即迈这2<8...........14分

322

综上，鼠的取值范围是［4,百］.

..........15分

22

4.(2023丰台一模19)已知椭圆E:「+3=im>%>0)的一个顶点为A(O,1),焦距为2.

ab~

(I)求椭圆E的方程；

(II)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于8,C两点，过点&C分别作直线/:x=7的垂线(点

氏C在直线/的两侧)，垂足分别为KN,记的面积分别为5同同.

试问：是否存在常数/,使得S「gs2,邑总成等比数列？若存在，求出r的值；若不存在，请

说明

【答案】

\b=\

(I)由已知得：。「

[2c=2

因为/=〃+。2,所以/=2,

r2

所以，椭圆£的方程为：y+/=L......................5分

(II)由已知得：直线8C的斜率存在，且点6,。在x轴的同侧.

设直线8C的方程：y=A(x-2),点仇王,乂)，C(x2,y2),不妨设不<%.

贝Ijyi'z〉。，xf<t<x2.

y=k(x-2)

由，"=|得：(1+2公口2一8Gx+8k之―2=0,

2

c8女2SA?—2

所以，A=8(l口>0,演+々=不心…=g

因为2s1="7)国,2邑=(27)卜2fI，2s3=。-以必|

所以，2St-2S3=(x2-z)(r-x1)|yly2|=(x2-t)(t-xl)yly2

=(x2-t)(t-xt)yty2

=^(x2-r)(/-x,)(x,-2)(x2-2)

22

=k[r(x,+x2)-xt-x2-t]-[.r,-x2-2(x(+x2)+4]

a842f8公-22敞-216k2

―1+2公-1+21T'l+2%2-1+2公+

Ob2

=.....-[-2A：2a-2)2-2+2]

(1+2&2>

8?=((27)2(%—乂产=；k2(2一a2旧一为)2

222

=^(2-/)[(X2+X,)-4XJX2]

=%QT)2K高A-喏/

2k2

要使S1,^S2,S3总成等比数列，即4S5=S；,则应由—产+2="-2)2

解得：t=\

所以，存在常数41,使得5」；邑，S3总成等比数列................

15分

5.(2023朝阳一模20)已知椭圆£工+匕=1(0<〃<4)经过点(五,-1).

4n

(I)求椭圆E的方程及离心率；

(II)设椭圆E的左顶点为A,直线/:*=冲+1与E相交于两点，直线4W与直线

x=4相交于点Q.问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过

定点，说明理由.

【答案】

(I)因为椭圆E:一+乙=1(0<〃<4)过点(0,-1),

4n

所以彳2+上1=1,得〃=2.

4n

22

所以椭圆石的方程为1r+3v=1.

42

因为"=4,/?2=2,

所以c==41.

所以椭圆E的离心率0=£=*.………5分

a2

（II）直线NQ过定点（2,0）.理由如下：

,fx=/ny+1,-.

<

由v2+2,2_4得（犷+2）y~+2冲一3=。.

显然，△>().

2〃z3

设例(知必)，%(9,%),贝lJy+%=一一］不,耳必=1不

"+2m~+2

直线AM的方程为〉=』二(》+2).

X,4-2

令x=4,得旷=驾则0（4,驾）

X,+2玉+2

6%

土%]=6），/%（％+2）,且&废*0

所以直线NQ的斜率为=

4-X2（4—x2）（x,+2）