2024年中考数学核心素养-数与式的阅读理解【含答案】

2024年中考数学核心素养专题四数与式的阅读理解

一、选择题

L阅读材料：对于任何实数，我们规定符号”勺意义是［衿ad-bc.按照这个规定，若

以一彳则x的值是（）

乙X-1人乙

A.-4B.1C.—4或1D.不存在

2.阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数,

在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分

式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处

理分式或整除问题时颇为有效.将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行.如：北二空=

研7）+：2什3=-"）E=加1+々,这样，分式就拆分成一个分式当与一个整式a-1的

a—1a—1a—1a—1

和的形式，下列说法正确的有（）个.

①若X为整数，霜为负整数，则x=-3；②6〈笔誓〈9；③若分式我2婚-3拆分成一个整

式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m-ll+士（整式部分对应等于真分

n—6

式部分对应等于士），则m2+n2+nm的最小值为27.

A.0B.1C.2D.3

|i4x0+By0+C|

3.在平面直角坐标系xOy中，点P（xo,yo）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=\~,

14x0+3x0—31支

例如：点Po（0,0）到直线4x+3y-3=0的距离为d=一序春一=|，根据以上材料，求点

Pi（3,4）到直线y=-1x+1的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

4.阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y=ax2+bx（a/D,我们把点（-言，喑）称为该抛物

线的焦点，把丫=-0称为该抛物线的准线方程。例如：抛物线y=x2+2x的焦点为（-1,）,

准线方程是k-叔。根据材料，现已知抛物线y=ax2+bx（a#0）的焦点的纵坐标为3,准线方程y=5,

则关于二次函数丫=a*2+6*的最值情况，下列说法正确的是（）

A.最大值为4B.最小值为4C.最大值为3.5D.最小值为3.5

二、填空题

5.阅读材料：希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，

称为海伦一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a,b,c,记「=生等，那么三角形的面

积为S=Jp(p—a)(p—b)(p—c).如图，在△ABC中，a=7,b=5,c=6,则BC边上的高为

6.读一读：式子“1+2+3+4+...+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长,

书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为京雪打，这里“于是求和符号，通过对以上材料的阅读,

件笆中20161―

叮舁%=1n(n+l)--------------------・

7.阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知3a-b=2,求代数式6a-26-1的值

可以这样解：6a-2b-1=2(3a-b)-l=2x2-l=3.根据阅读材料，解决问题：若％=2是

关于x的一元一次方程ax+b=3的解,则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b-1的值是.

8.阅读材料：写出二元一次方程x-3y=6的几个解：［J2°2，发现这

些解的一般形式可表示为，匕I771?(m为有理数).把一般形式再变形为［=*，可得?

=y+2,整理得原方程x-3y=6.根据阅读材料解答下列问题：若二元一次方程ax+by=c的解，可以写

成Li，?】(n为有理数)，则a+b+c=.

9.自学下面材料后，解答问题.

分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如：事>0;咨<0等.那么如何求出它们的解集呢？

根据我们学过的有理数除法法则可知:两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为：

①若a>0,b>0,则I>0;若a<0,b<0,则f>0;

②若a>0,b<0,则f<0;若a<0,b>0,则f<0.

反之①若铝0,则｛式。或｛图

②若f<0,则或.

根据上述规律，求不等式会>0的解集.

10.阅读下面材料：小明想探究函数、=疡11的性质，他借助计算器求出了y与X的几组对应值,

并在平面直角坐标系中画出了函数图象:

X-3-2-1123

y2.831.73001.732.83

小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的."

请回答：

①小聪判断的理由是________________________________________________________________________

②当y=0时，x的值为.

③请写出函数y=痉11的一条性

质：•

11.阅读下面材料：在数学课上，老师给同学们布置了一道尺规作图题：

尺规作图：作RtZkABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.已知：如图1,正比例函数和反比

例函数的

图象分别交于M、N两点.

要求：在y轴上求作点P,使得NMPN为直角.

小丽的作法如下：如图2,以点0为圆心，以0M长为半径作。0,

。。与y轴交于Pi、P2两点，则点Pi、P2即为所求.

老师说：“小丽的作法正确.”

请回答：小丽这样作图的依据是________________________________________

三、实践探究题

12.认真阅读下面的材料，完成有关问题.

材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如|6-3|表示6、3在数轴上对应的两点

之间的距离；|6+3|=|6-（-3）|,所以|6+3|表示6、—3在数轴上对应的两点之间的距离；|6|=

|6-0|,所以⑸表示5在数轴上对应的点到原点的距离。

（1）一般地，点A,B,C在数轴上分别表示有理数X、-2、1,那么A到B的距离与A到C的

距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）；

（2）利用数轴探究：

①满足|久—3|+|%+1|=6的x的所有值是；

@|%-3|+|%+1|的最小值是,此时x的取值范围为.

13.请阅读下面的材料，并探索用材料中的方法解决问题.

【材料1】两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数

式互为有理化因式.

例如：（遮+V2）（V3-笆）=1,我们称旧+鱼的一个有理化因式是8-V2.

【材料2】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式,

使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.

2_2(V3-V2)_2(V3-V2)

例如:=2V3-2V2.

V3+V2-(V3+V2)(V3-V2)-1

问题探究:

（1）写出逐—V7的一个有理化因式：；

（2）计算：（2旧+3鱼）（2b一3近）—（火+鱼）2；

（3）将式子爰。分母有理化.

14.阅读下列材料，回答问题.

（1）形如久2+（p+q）久+pq型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个

数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和.

（2）若x2-4xy+5y2-2y+l=0,求x+y的值.

（3）若a,b,c表示三角形ABC的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca,试说明：三角形ABC是等边

三角形.

17.阅读下列材料：我们知道团表示的是在数轴上数久对应的点与原点的距离，即印=|%-0|,也就

是说，因表示在数轴上数X与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为|当-久21表示在数轴上数万1，

久2对应点之间的距离.

例如：解方程⑶=6.

解：|x|=|x-0|=6,

・•・在数轴上与原点距离为6的点对应的数为±6,即该方程的解为x=±6.

【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式.

我们定义：形如“|x|W加，|%|2m,|x|<|%|>ni”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等式,

能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集.

-3-2-101234-3-2-101234

图1

十㈡一.

-2-10123

图2

由图1可以得出：绝对值不等式因>1的解集是％<-1或久>1,

绝对值不等式因<3的解集是一3<%<3.

例如：解不等式氏―1|>2.

解:如图2,首先在数轴上找出|久—1|=2的解，即至U1的距离为2的点对应的数为—1,3,则|久—

1|>2的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为尤1或x>3.

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|尤-5|=3的解为.

（2）不等式㈤>4的解集是.

（3）不等式2|久+2|+1<9的解集是.

（4）不等式|久+l|+|x-3|>4的解集是.

（5）若|x-3|-|久+4|Wa对任意的x都成立，则a的取值范围是.

18.【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解

题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用.例如：

①用配方法因式分解：〃+6.+8②求/+60+8的最小值.

解：/+6。+8=/+6。+9-1解：4+6。+8=/+6。+9-1

=(6/+3)2-1=(a+3)2-1

v((7+3)2>0,

=(a+3+1)(Q+3—1)

2

=(a+4)(i+2).\(67+3)-1>-1,

即/+6々+8的最小值为-1.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：Q2+4a+

(2)利用上述方法①进行因式分解：a2-10a+21.

(3)参照方法②求4/+4%+5的最小值.

19.先阅读下面的材料，然后回答问题：

方程x+92+之的解为xi=2,x2-i;

方程x+$3+4的解为xi=3,X2—；

方程x+94+J的角星为xi=4,X2~

x44

(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+：5+看的解是________________.

X5

(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程x+二a+工的解是

xa-----------------

(3)猜想关于x的方程x[=l*的解并验证你的结论

(4)在解方程y喘|=学时，可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程.

20.阅读材料:

在数轴上,x=2表示一个点；在平面直角坐标系中，x—2表示一条直线；以二兀一次方程x+y—2

的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=-x+2的图象，它也是一条直线.

如图1,在平面直角坐标系中，不等式x42表示一个平面区域，即直线x=2及其左侧的部分；

图1

如图2,不等式y4-久+2也表示一个平面区域，即直线、=-％+2及其下方的部分.

请根据以上材料回答问题：

（1）图3阴影部分（含边界）表示的是（填写不等式）表示的平面区域;

（2）如图4,请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组;

图4

（3）如图5,点Z在%轴上，点B的坐标为（0,1）,且N4BO=60°,点P为△4B。内部一点（含边界）,

过点P分别作PC104PDLAB,PE1BO,垂足分别为C,D,E,若PC《PE&PD,则所有点P组成

21.阅读理解题:

阅读材料:

如图1,四边形力BCD是矩形，△力EF是等腰直角三角形，记ZB2E为%乙FAD为B，若tcma=5

证明：设BE=k,tana='.AB=2k,

易证△AEBEFC(44S)

：.EC=2k,CF=k,

：.FD=k,AD=3k

.*°_DF_k_1

..tan/?=^=^=y

若a+6=45。时,当tana=1则tan^=

同理：若a+/?=45。时，当tcma=g,则tan/?=}.

根据上述材料，完成下列问题：

如图2,直线y=3%-9与反比例函数y=?（%〉0）的图象交于点4与％轴交于点8.将直线4B

绕点4顺时针旋转45。后的直线与y轴交于点E,过点/作4M1久轴于点M,过点/作AN1y轴于点N,

已知。4=5.

（2）直接写出tanzBAM、tan/M4E的值；

（3）求直线4E的解析式.

22.阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式N+bx+c变形为（x+小y+〃的形式，然后由（x+m）

2>0就可求出多项式N+bx+c的最小值.

例题：求多项式/-4X+5的最小值.

解：x2-4x+5=x2-4x+4+l=（x-2）2+1,

因为（x-2）2>0,所以（x-2）2+1>1.

当x=2时，（x-2）2+1=1.因此（x-2）2+1有最小值，最小值为1,即N-4x+5的最小值为1.

已知代数式/=/+10升20,则/的最小值为；

（2）【类比应用】

张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地

的两边长分别是“米、（〃+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和的大小，并说明理由；

（3）【拓展升华】

如图，△48C中，ZC=90°,AC=5cm,BC=10cm,点、M、N分别是线段/C和3c上的动点,

点M从A点出发以icm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当

其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为f,则当。的值为多少时，△MCN的面积

最大，最大值为多少？

四、综合题

23.阅读下面的材料：

如果函数y=/Q)满足：对于自变量x取值范围内的任意,久2，

(1)若巧〈久2，都有/(%1)</(%2)，则称/(%)是增函数；

(2)若的<%2，都有/(%1)>/(%2)，则称/(%)是减函数.

例题：证明函数/(%)=x2(x>0)是增函数.

证明：任取<%2，且久1>0，%2>0

则/(久1)一/(%2)=-%2=01+K2)(%1-％2)

<到且％1>0，%2>0

，盯+%2>0，—%2<0

(%1+X2)(x1-%2)<0,即/(%1)-f(%2)<0,/(%1)<f(%2)

函数f(x)=x2(x>0)是增函数.

根据以上材料解答下列问题：

(1)函数/(久)=£(久>0),/(I)=1=1，f(2)=1，/⑶=，/(4)=

(2)猜想f(x)=i(%>0)是函数▲(填“增”或“减”)，并证明你的猜想.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】空

6.【答案】翳

7.【答案】14

8.【答案】-3或3

9.【答案】x>2；x<-l

10.【答案】因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象；(答案不唯一)；一1或1；当久工-1

时，y随x增大而减小，当%21时，y随x增大而增大.(答案不唯一)

11.【答案】半圆(或直径)所对的圆周角是直角

12.【答案】(1)解：•••4到B的距离为氏—(—2)|,A到C的距离为|久—1|,

到B的距离与A到C的距离之和可表示为，

故答案为|无+2|+|久—1|

(2)-2或4；4；-1<%<3

13.【答案】⑴V5+V7

(2)解：(2A/3+3V2)(2V3-3A/2)-(V3+V2)*2,

=(2圾2_©烟2_(5+2遍)，

=12-18-5-2临

=—11—2V6.

⑶解:熹

22(275-3)

-(2/5+3)(275-3),

22(253)

=11'

=2(275-3)

=4^5—6.

14.【答案】(1)(x+p)(x+q)

(2)m2+[9+(—2)]m+9x(—2)=(m—2)(m+9)；%2+[2+(-4)]x+2x(-4)=(x+

2)(久-4)；(xy)2+[(-2)+(-5)]xy+(-2)x(-5)=(xy-2)(xy-5)

15.【答案】(1)-4；10

(2)解：设经过t秒，点A和点B重合，

14+t=3t,

解得：t=7,

答：点A、B同时出发沿数轴向左移动，2个单位长度/秒，点A与点B重合;

(3)解：设时间为x秒，

•.•点M、N分别从点A,速度分别为1个单位长度/秒，点P为ON的中点，

/.AM=x><l=x,ON=10+7x,

/.OP=|ON=|,

「OP-AM的值为y,

，y=(5+x)-x=2,

即在移动过程中，y的值不发生变化.

16.【答案】(1)解：x2-10x+y2+2y+26=0

即x2-2-5x+25+y2+2y+1=0,

/.(x-5)2+(y+1)2=0,

...x=5,y=-l；

则=5T=1.

(2)解：x2-4xy+5y2-2y+1=0

即x2-4xy+4y2+y2-2y+1=0,

(x-2y)2+(y-1)2=0,

...x-2y=0,y=l，

x=2,

则x+y=2+l=3

(3)解：AABC为等边三角形.理由如下：

a2+b2+c2=ac+ab+bc,

BPa2+b2+c2-ac-ab-bc=0,

・•・2a2+2b2+2c2-2ac-2ab-2bc=0,

BPa2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

••a-b=O9b-c=O，c-a=O，

.•.a=b=c,

•,.△ABC为等边三角形.

17.【答案】(1)5=8或％2=2

(2)x>4或久<-4

(3)-6<%<2

(4)x<-1或久>3

(5)x<-1

18.【答案】(1)4

(2)解：a2-10a+21

=次—10ci+25-4

=(a-5)2-4

=(Q—5+2)(a—5—2)

=(a—3)(d—7)；

(3)解：4%2+4%+5

=4%2+4%+1+4

2

=(2x+1)+4，

V(2%+I)2>0,

A(2X+1)2+4>4,

.**4x2+4%+5的最小值为4.

19.【答案】(1)xi=5,X2=^

(2)xi=a,X2—

a

(3)解：猜想，关于x的方程x±=lj的解为：xi=2,X2=-l

KA乙

理由如下：将方程X$1孩形为久+(-当=2+

依据阅读材料提供的方法可得：X1=2,X2=-1；

(4)解：将方程y号挣学变形为y+需1=学，

11

"+1+再=3+守

、1

*'•y+1—3或y+1=了

解得：yi=2,y2=-1.

20.【答案】(1)y>x+2

(2)设直线TH的表达式为y=kX+b

•・•直线m经过点(0,3),(6,0)

.(b=3

"16/c+b=0

解得j(b=3

1

・•・y+3

同理可求；直线九的表达式为y=3%+3

由图可知，表示阴影部分平面区域的不等式组为卜+3

[y>3%+3

⑶

412

21.【答案】(1)将y=0代入y=3久一9得，久=3,

，B(3,0),

..•直线y=3久-9与反比例函数y=?(%>0)的图象交于点4,

・••设4(G,3a—9),