2024年中考数学真题提优训练 整式（含答案）

2024年中考数学真题专题提优训练.整式【含答案】

一、解答题

1.如图，边长为。的大正方形有一个边长为6的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如

图2所示）.

图1图2

（1）上述操作能验证的等式是：—（请选择正确的选项）：

A.a2—ab=a（a—b）B.a2-2ab+b2=（a—b）2

C.a2+ab=a（a+b~）D.a2—=（a+b）（a—b）

（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：

①根据以上等式简便计算：1022-982.

②已知克久2一y2=36,lx+y=16,计算工一4y的值；

③计算：（1—圭）X（1—今）X（1一表）义…X（1-20222）-

2.在求1+2+22+23+24+2§+26的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加

数的2倍，于是他设:S=1+2+22+23+24+25+26①;然后在①式的两边都乘以2,得：2S=2+

22+23+24+25+26+27②;②一①得2S—S=27-1,S=27-1.BP1+2+224-234-24+254-

26=27-1.

（1）1+3+32+33+34+35+36的值；

（2）求1+a+a?+&3+…+a2015（a。0且a。1）的值.

22

3.我们约定：若关于x的整式A-arx+brx+q与B=a2x+b2x+c2同时满足：-5+（h2+

2

bi）+|c2-㈤=0,（历—均）2°23丰0,则称整式/与整式B互为“美美与共”整式.根据该约定，解

答下列问题：

（1）若关于％的整式4=2/+k久+3与B=zn/+尤+几互为“美美与共”整式，求左，加，"的

值.

（2）若关于x的整式M=（尤+a）2,N=x2—2x+b（a,b为常数）,A/与N互为"美美与共”整

式，且x+a是%3-3%+c的一个因式，求a-6+c的值;

(3)若(久+1)0+2)0+3)(尤+4)+1=(%2+rx+s)2,且关于y的方程闫=昌一3的解

为正整数，求P=厂%2+[%+s的“美美与共”整式Q,并求出Q的最小值.

4.已知2n1-4与3m-l是一个正数的平方根，且一号22*%8与3a7b5+丫是同类项，求m+x+y的算术平方

根.

222

5.我们知道完全平方公式是(a+b)2=a?+2ab+b,(a—b*a-2ab+b,由此公式我们可以

得出以下结论：①(a-b)2=(a+b)2—4ab；(2)ab=[(a+£>)2—(a2+b2)]；利用公式①和②解

决下列问题：

(1)若m+n=10,mn=-3>求(m—九产的值.

(2)若m满足(2023-2m)2+(2加-2024>=7,求(2023-2鬼)(2小一2024)的值.

6.如图，将三个边长a,b,c(a>b>c)的正方形分别放入长方形2BC0和长方形EFGH中，记阴

影部分①、②、③、④的周长分别为C1，c2,c3,c4,面积分别为Si，S2,S3,S4.

4b..T)

C②

①

(1)若a=3,b=2,c=1,求长方形4BCD的面积；

(2)若长方形力BCD的周长为18,长方形EFGH的周长为15,能求出g,C2,C3,C4中的哪些

值？

(3)若(71+。2=徵，C2-C3=n,C3-C4=P,求Si+S2-$3-SM结果用含n,p的代数

式表示).

7.若x,y,z是整数,且满足熄尸.(的y.(||)z=2,求x,y,z的值.

8.小红房间窗户的装饰物是由两个半径相同的四分之一圆组成的(如图1所示)，小兰房间窗户的装饰

物是由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成的(如图2所示)，小明房间窗户的装饰物是由半径

相同的两个四分之一圆和两个半圆组成的(如图3所示).

a

bbb

图1图2图3

（1）根据装饰图案变化的规律，设计下一个装饰物图案.

（2）分别求出图1、图2、图3中装饰物所占的面积（结果要求化简）.

（3）你能发现装饰物面积变化的规律吗？请用代数式表示出第n个装饰物的面积.

9.附加题：（有兴趣的同学自愿完成）

a=t

已知2019+2019,b=20l9+2020,c=+2021,请计算代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值

10.已知整式A=3x2-m（x2+6）+4.

（1）若A的值与x的取值无关，则m=

（2）当m=l时，B=-x2-10.

①化简2A-B=

②当整式A取得最小值时，此时2A-B的值为

11.已知式子M=（。+4）炉+6/-2工+5是关于久的二次多项式，且二次项系数为b,数轴上4

B两点所对应的数分别是a和b.

A0B

（1）贝1Ja=,b=；A,B两点之间的距离为；

（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个

单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第

2023次时，求点P所对应的有理数；

（3）若点4以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒5个单位长度的速度向右运动，

动点。从原点开始以每秒巾（巾>0）个单位长度在4B之间运动（到达2或B即停止运动），运动

时间为t秒，在运动过程中，BD-24。的值始终保持不变，求。点运动的方向及m的值.

12.数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①所示，若点A,B

在数轴上分别对应的数为a,b（a<b）,则4B的长度可以表示为4B=b-a.

请你用以上知识解决问题：

如图②所示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达2点，再向右移动3个

单位长度到达B点，然后再向右移动5个单位长度到达C点.

A，.1।，1，：，，，1।1：，i-

ab-6-5-4-3-2-1012345678

①f；②

（1）请你在图②的数轴上表示出4B,C三点的位置.

（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左移动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和

3个单位长度的速度向右移动，设移动时间为秒.

①当t=2时，求48和4C的长度；

②试探究：在移动过程中，34C-4AB的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；

若不变，请求其值.

13.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来

水收费标准（按月结算）如表所示：

每月用水量单价

不超出6m3的部分2元/加3

超出6刃3不超出10加3的部分4元/加3

超出10加3的部分8元/加3

例如：若某户居民1月份用水8加3,则应收水费：2*6+4*（8-6）=20（元）.

（1）若该户居民2月份用水12.5加3,则应收水费元.

（2）若该户居民3月份用水（其中6加3＜。＜10加3）,则应收水费元.（用含a

的整式表示，并化简）

（3）若该户居民4月份用水；™3,4、5两个月共用水15加3,且5月份用水超过4月份，请用含x

的整式表示4、5两个月共交的水费并化简.

14.如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面

是由两个大小相等的长刈宽y的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃.（本题中兀取3,长度单位为

米）

（1）一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含久，y的式子表示）

(2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计(用含久，y的式子表示)

(3)某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报

价:

铝合金(元/米)玻璃(元/平方米)

不超过100平方米的部分，90元/平方米，超过100平方米的部分,

甲厂商180

70元/平方米

乙厂商20080元/平方米，每购一平方米玻璃送0.1米铝合金

当x=4,y=2时，该公司在哪家厂商购买窗户合算？

15.数轴上有三个点A,B,C,分别代表的整数是a,b,c,点C在数轴上的位置如图，a,b满足

|a+8|+(b-2)2=0.

C

I11II11I」I1IIj1»

-7-6-5-4-3-2-101234567

(1)a=,c=,点A与点B之间的距离是

(2)点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒4个单位长度的速度向左运动，点C

以每秒a个单位长度的速度向右运动，点A,B,C同时运动，设运动时间为t秒，回答下列问题：

①t秒时，点A对应的数为▲(用含t的式子表示)；

②当t>5时，点A与点B之间的距离是▲(用含t的式子表示)；

③若点A与点C之间的距离记为dl,点B与点C之间的距离记为d2,是否存在有理数a,使得

代数式3dl-2d2的值为定值？若存在，求出a的值及该定值，若不存在，请说明理由.

16.已知x,y满足x2+y2=^,xy=-i,求下列各式的值.

(1)(x+y)2

(2)x4+y4

(3)x2-y2

17.为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图①所

示的板材裁剪而成，其为一个长为2血，宽为2n的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形

状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图②所示的一个大正方

形.

(1)用两种不同方法表示图②中小正方形(阴影部分)面积:

方法一：S小正方形=------------;

方法二：S小正方形=；

(2)(m+n)2,(m-n)2,47rm这三个代数式之间的等量关系为；

(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a—b=5,ab=—6,求：(a+8)2的值；

②已知：求：(a+：)2的值.

18.如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四

块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2)

(1)观察图2请你写出(a+b)2、(a—b)2、ab之间的等量关系是

(2)根据(1)中的结论，若K+y=5,x-y=^,则久一y=；

(3)拓展应用：若(2019—小)2+(小一2020)2=15,求(2019-m)(ni-2020)的值.

二、作图题

19.如图，六边形ABCDEF是一个轴对称图形，请将该图形沿对称轴剪开，将得到的两个全等图形

拼成一个新的轴对称图形(两个全等图形不重叠).

(1)请画出新的轴对称图形;

(2)设六边形ABCDEF的面积为S1,新的轴对称图形面积为S2,

判断SI,S2的大小关系，并直接用含a,b的式子表示出来；

(3)计算：(1一击)(1一表)(1一壶)…(1一壶)(1一

20.请分别准备几张如图所示的长方形或正方形卡片.用它们拼一些新的长方形(要求画出新的长方

形)，并计算它们的面积.

三、综合题

21.小红准备完成题目：计算(x2*x+2)(x2-x).她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了.

(1)她把被遮住的一次项系数猜成3,请你完成计算：(x2+3x+2)(x2-x)；

(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的.”请通过计算说明原题中被遮住

的一次项系数是多少？

22.若?—2nm+2n2—8n+16=0,求m,n的值.

解：".'m2—2mn+2n2—8n+16=0,

(m2—2mn+n2)+()=0,

即()+()=0.

根据非负数的性质，得m=n=▲.

(1)阅读上述解答过程，并补充横线处的内容；

(2)设等腰三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且满足+房—4a—6b+13=0,^AABC

的周长.

23.两个边长分别为a、b(a>b)的正方形如图(1)放置，现在取BD的中点P,连接PA、PE,如

图(2),把图形分割成三部分，分别标记①、②、③，对应的图形面积分别记为S①、S②、S③.

图⑴图⑵

(1)用字母a、b分别表示S①、S②.

(2)若a-b=2,ab=15,求S①+S②.

(3)若S①+S②=3,ab=1,求S③.

24.先化简，再求值：

(1)3(2a2b-ab2)-(5a2b-4ab2),其中a=2,b=l；

(2)若a2+2b2=5,求多项式(3a2-2ab+b2)-(a2-2ab-3b2)的值.

25.已知A=—x—2y—LB=qX-y+1.

(1)求4—3B；

(2)当5久—2y=6时，求4—3B的值：

(3)若4+mB的值与y的取值无关，求m的值.

26.数学课上，老师设计了一个数学游戏：若两个多项式相减的结果等于第三个多项式，则称这三个

多项式互为“友好多项式“，甲、乙、丙、丁四位同学各有一张多项式卡片，下面是甲、乙、丙、丁四

位同学的对话：

请根据对话解答下列问题：

(1)判断甲、乙、丙三位同学的多项式是否互为“友好多项式“，并说明理由.

(2)若丁的多项式与甲、乙、丙中的某两个多项式互为“友好多项式"，则2=,b

27.已知A=mx-x,B=-mx-3x+5m.

(1)用含m,x的式子表示3A-2B；

(2)若3A-2B的值与字母m的取值无关，求x的值;

(3)利用(2)中的数学方法解决问题：

经销公司计划购进甲、乙两种型号的口罩共30箱，甲型口罩每箱进价为700元,销售利润率为40%；

乙型口罩每箱进价为500元，售价为每箱800元购进口罩后，该公司决定：每售出一箱乙型口罩，返

还顾客现金a元，甲型口罩售价不变如果购进甲型口罩x箱，那么购进乙型口罩箱，当购进的30

箱口罩全部售出后，所获利润为元(用含a,x的式子表示)；若无论购进甲

型口罩是多少箱，最终获利都相同，则a的值是.

28.

(1)化简：2a—(5b—a)+b

(2)化简并求值：2(或2—248)—3(出)2—次彷+(2曲2—2次力)，其中：a=2,b=1.

29.求代数式的值

(1)先化简，再求值：(a—2b)(a+2b)—(a—26)2+8/,其中。=一2,b另.

(2)已知x2+mx-n可以分解为一次因式(%+7)和(%—3),求(5m—n)2021的值.

30.如图，在一条不完整的数轴上，点A、B、C分别表示(m-n),(2n-m),(8n-5m+90)

CBOA

------•-----------•--------••--------->

8/7-5m+902n~m-----------m-n

(1)若A、B表示一对相反数，求的值；

(2)求4C的长(用含m、n的代数式表示)；

(3)若4B=60,求BC的长.

31.我们知道图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现代数中一些重要的数量关系.认

真观察下面两个拼图，列出等量关系式表示阴影部分的面积.

(1)图1表示的等量关系式可以是;图2表示的等量关系式可以

是

(2)已知a—b=2,a2+£>2=34,求ab的值.

32.

(1)已知36=8,3n=2,求32m-3n+l的值;

(2)已知/+%一1=0,求/+超值.

33.阅读理解:

已知a+b=-4,ab=3,求a2+b2的值。

解：Va+b=-4,

(a+b)2=(-4)2,

即a2+2ab+b2=16.

*.*ab=3,

a2+b2=10

参考上述过程解答问题.

(1)已知a-b=-3,ab=-2,求(a-b)(a2+b2)的值；

(2)若m-n-p=-10,(m-p)n=-12,求(m-p)2+1的值.

34.王老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有代数式的卡片，规则是：两位同

学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则实验成功.甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片有一部分

看不清楚了.

甲

(1)计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功；

(2)森森发现丙减甲可以使实验成功，请求出丙的代数式.

35.已知A=a2+ab+2b—2,B=2a2+2ab+a—4.

(1)求24—B.

(2)当a=1,b=2时，求24-B的值.

36.小马虎做一道数学题，“已知两个多项式A=x2-4x,B=2x2+3x-4,试求A+2B.”其中多项

式A的二次项系数印刷不清楚.

(1)小马虎看答案以后知道A+2B=x2+2x-8,请你帮小马虎求出系数"

(2)在(1)的基础上，小马虎已经将多项式A正确求出，老师又给出了一个多项式C,要求小

马虎求出A-C的结果.小马虎在求解时，误把“A-C”看成“A+C”，结果求出的答案为x2-6x-2.请你帮小

马虎求出“A-C”的正确答案.

37.完全平方公式：(a±=a2+2ab+/,适当的变形，可以解决很多的数学问题.例如:若a+b=3,

ab=1,求+的值.

解：因为a+b=3,

所以(a+6)2=0,即：a2+2ab+b2=9,又因为ab=1

所以a?+b2=7

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题:

(1)若％+y=8,%2+y2=40,求xy的值；

(2)若(4一式)(％—5)=—8,求(4—%)2+(%—5)2的值；

(3)如图，点C是线段上的一点，以2C、BC为边向两边作正方形，设2B=6,两正方形的

面积和Si+$2=18,求图中阴影部分面积.

38.下面是小斌同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题.

2x+lX2—4

2x+4X2+4X+4

2%+l(L—2)(%+2)

第一步

-2Q+2)(x+2)2

2x+l_x—2

第二步

—2(%+2)x+2

2久+1_2(%—2)

第三步

2(x+2)2(x+2)

_2%+l—2%—2

第四步

2(x+2)

-1

第五步

—2(x+2)

1第六步

2%+4

(1)填空:

a.以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是

b.第步开始出现错误，这一步错误的原因是

①，

②____________________________________________________________,

(2)请直接写出该分式化简后的正确结果.

(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学

提一条建议.

39.设4=2a2—a,B=—a2—a,求：

(1)71+B.

(2)A-B.

40.如图，某市有一块长（3a+b）m,宽（2a+b）m的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化,

在中间正方形空白处修建一个喷水池.

（1）求绿化的面积;

（2）当a=2,b=1时，绿化的面积是多少血2?

（1）化间:（a?-4b）—（2b+4）—（—3a之+称）

（2）若（1）中的a是最小的非负整数，|b|=l,且b<0,求（1）中代数式的值.

42.小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张.

（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）.根据这个图形的面

积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是;

（2）如果要拼成一个长为（a+2b）,宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片张，3号

卡片张；

（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以

把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；

（4）动手操作，请你依照小刚的方法，画出拼图并利用拼图分解因式a2+5ab+6b2=.

43.如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b,宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方

形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道.

（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）

（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）

（3）当a=200,6=100时，求这两个长方形喷泉池的总面积.

44.将一张如图①所示的长方形铁皮四个角都剪去边长为30cm的正方形，再四周折起，做成一个有

底无盖的铁盒，如图②.铁盒底面长方形的长是4acm,宽是3acm.

（1）请用含有a的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积；

（2）若要在铁盒的外表面涂上某种油漆，每1元钱可涂油漆的面积为击cn?,则在这个铁盒的外

表面涂上油漆需要多少钱（用含有a的代数式表示）？

45.已知二次函数y=x2+bx-3的图象经过点P（-2,5）

（1）求b的值并写出当1<XW3时y的取值范围；

(2)设Pi(m,yD，P2(m+1,y2),P(m+2,y3)在这个二次函数的图象上,

①当m=4时，yi,丫2，g能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；

②当m取不小于5的任意实数时，月，丫2，y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明

理由.

46.小王购买了一套房子，他准备将地面都铺上地砖，地面结构如图所示，请根据图中的数据（单位:

米），解答下列问题：

（1）用含x,y的代数式表示地面总面积为平方米;

（2）若x=5,y=l,铺地砖每平方米的平均费用为100元，则铺地砖的总费用为多少元?

（3）已知房屋的高度为3米，现需要在客厅和卧室的四周墙壁上贴壁纸，若所贴壁纸的价格是100

元/平方米，那么用含x的代数式表示购买该壁纸至少需要元.（计算时不扣除门,

窗所占的面积)

47.对于四个整式：A.2/；B.mx+5；C.-2%；D.n.无论x取何值，B+C+D的值

都为0.

(Dm=,n=；

(2)计算Z+B・C+D+1,并把计算结果分解因式；

(3)若生T的值是正数，辜谈写出X的取值范围.

48.已知a=2+旧力=2-8，求下列各式的值：

(1)a2+b2；

⑵.

ba

49.已知A=b2-a2+Sab,B=3ab+2b2—a2.

(1)化简：2A-B；

(2)当a=—Lb=2时，求24—8的值.

50.现用“☆”定义新运算：x☆y=x3-xy.

(1)计算(x2-1)；

(2)将x+16的结果因式解.

51.已知a-b=3,ab=4.求.

(1)a+b；

(2)a2+6ab+b2.

52.对于任意四个有理数a,b,c,d,都可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d),我们规定:

(a,by(c,d)=bc-ad.例如：(1,2)'(3,4)=2x3—1x4=2.

根据上述规定解决下列问题：

1

(1)(2,—3)'(3,-1)=;

(2)计算(2,—2)'(a,3-a);

(3)当x+y=2,xy=-3时，求Q+y,2x+(2x-y,4x—y+5)的值.

53.

(1)已知a+：=l+b，求(a-.)2的值；

(2)已知久=2+鱼，求代数式(久一1)2-2(久一1)+1的值.

54.芳芳计算一道整式乘法的题：(2x+机)(5x-4),由于芳芳抄错了第一个多项式中加前面的符号,

把“+”写成“-”，得到的结果为10/-33x+20.

(1)求加的值；

(2)计算这道整式乘法的正确结果.

55.已知A=2a2—3a+1,B=a2—5—3a.

(1)当a=—2时，求代数式34—2(4—2B)的值；

(2)试判断A、B的大小关系，并说明理由.

56.

(1)化简5(3a2b—ah2)—4(—ab2+3a26)；

(2)先化简,再求值：—^x+2(x—1-y2)—(—^x+^y2),其中％=2,y=1.

57.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图①)，然后将剩余部分拼成一个长方形

(如图②).

(1)上述操作能验证的等式是

(2)应用你从(1)得出的等式，完成下列各题：

①已知x2-4y2=l2,x+2y=4,求x-2y的值.

②计算：(1噎)(1嚏)(1住)(1^2)-

58.已知3a=4,3b=5,3c=8.

(1)求空+c的值；

(2)求32a-的值.

59.已知多项式M=(2x2+3xy+2y)—2(%2+%+yx+1).

(1)当x=l,y=2,求M的值；

(2)若多项式M与字母x的取值无关，求y的值.

60.若在一个3X3的方格中填写了9个不同的数字(正整数)，且使得每行、每列及每条对角线上的

三个数字之和均相等，则称这个3x3的方格为“三阶幻方”;

(1)如图1是一个三阶幻方，则a=；b=

(3)已知小、n为正整数，且小＞4n,在下面的方格中填写适当的代数式，使它能构成一个三

阶幻方

m+3n

m771+271

m-nm—3n

61.某冰箱销售商今年四月份销售冰箱(a-1)台，五月份销售冰箱比四月份的2倍少1台，六月份销

售冰箱比前两个月的总和还多5台.

(1)五月份和六月份分别销售冰箱多少台？

(2)六月份比五月份多销售冰箱多少台？

62.先化简或先因式分解，再求值：

(1)y2(y+1)—2y(y2-2y+3),其中y=-1

(2)(%—2y)(x+2y)—2x(2%—y),其中x=1,y=--j-

63.一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底

无盖的铁盒如图2,铁盒底面长方形的长是4a(cm),宽是3a(cm),这个无盖铁盒各个外表面的

面积之和称为铁盒的全面积.

4a

图2

(1)请用a的代数式表示图2中铁盒的全面积；

(2)若铁盒的底面积是全面积的1,求a的值；

(3)若铁盒的全面积是底面积的正整数倍，求出这个正整数a的值.

64.已知天平坐标托盘中的物体重量为A,右边托盘中的物体重量为Bo其中A=30(1+tz2)-3(a-

a?),B=34—[Q—2(Q2—CL)—3lci2]o

(1)化简A和B；

(2)请你想一想，天平会倾斜吗？如果出现倾斜，将向那边倾斜？为什么？

65.【阅读材料】

我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而

运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题.

若%满足。-3)(%—5)=16,求(％-3)2+(%-5)2的值.

解：设久一3=a,x—5=b,则ab=(x—3)(久-5)=16,a—b—(x—3)—(%—5)—2,

(x-3)2+(%—5)2=a2+fo2=(a—b)2+2ab=22+2x16=36.

(1)【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：

若%满足。-2)(%—5)=10,求(久-2)2+(%-5)2的值；

(2)【拓展】

已知正方形4BCD的边长为，E,F分别是4XDC上的点，且4E=1,CF=3,分别以MF、DF

为边长作正方形MFRN和正方形DFGH.

①MF=▲,DF=▲；(用含无的式子表示)

②若阴影部分的面积为16,求长方形EMFD的面积.

66.定义一种幕的新运算：M㊉/=尢劭+产+。，请利用这种运算规则解决下列问题：

(1)22©23的值为；

(2)若2P=3,2勺=5,39=7,求2P㊉2勺的值；

67.阅读材料：

若x满足(9-%)(%-4)=4,求(9一支产+(%-4)2的值.

解：设9—x=a,久一4=b,则(9—久)(久-4)=ab=4,

••CLb—(9-%)+(x—4)=5,

/.(9—%)2+(%—4)2=a2+b2=(a+b)2—2ab=52—2x4=17.

类比应用：

(1)若(3一久)(％-2)=-1,求(3—％)2+Q—2)2的值.

(2)若(n-2022)2+(2023-n)2=10,则(九-2022)(2023-几)的值为.

(3)已知正方形力BCD的边长为a,点P和点R分别是边力8和。。上的点，且4P=4,CR=2,

分别以BP和。R为边长作正方形PBEF和正方形OMNR.若图中阴影部分长方形的面积是4,则正

方形PBEF和正方形DMNR的面积和为.

68.如图，有理数a,b,c在数轴上的位置大致如下：

_____IIII.

ar0/i

(1)去绝对值符号：\a-c\=,|b~a\=；

(2)化简：\c-b\—\b-a\—\a-\-c\.

69.如图1,边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方

形(如图2所示)

(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是(写成平方差的形式)

(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是,长是

面积是.(写成多项式乘法形式)

(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公

式.

(4)请应用这个公式完成下列各题：

①已知4m2—n2=12,2m+n=4,则2m—n=

②计算：20202_2018x2022=

③计算：(1—击)Q-+)(1—今)…。—五$)(1-万条)-------------

70.先化简，再求值：

(1)5(3a2b—ab2)—4(—ab2+3a2b)+ab2,其中a=~^9b=-1.

(2)5x2—[2xy—3(^xy+2)+5%2],其中|2x-1|+(3y+2)2=0

四、实践探究题

71.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab-b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题.

例如：若a+b=4,ab=2,求a2+b2的值;

解：因为a+b=4,ab=2,

所以(a+b)2=16,2ab=4,

所以a2+b2+2ab=16,

所以a2+b2=12.

根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：

A

(1)若x+y=8,x2+y2=40,求xy的值；

(2)若(4-x)(5-x)=8,贝!J(4-x)2+(5-x)2=；

(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC,BC为边向两边作正方形，设AB=6,两正方形的

面积和Sl+S2=16,求图中阴影部分的面积.

72.我们来规定下面两种数：

①平方和数：若一个三位或者三位以上的正整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=(左边

数)2+(右边数)2,我们就称该整数是平方和数，例如：整数251,它的中间数是5,左边数是2,

右边数是1,：22+12=5,.・.251是平方和数；再例如：3254,：3?+4?=25,二3254是一个平

方和数；当然152,4253这两个数也肯定是平方和数；

②双倍积数：若一个三位或者三位以上的正整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=2x左边

数x右边数，我们称该整数是双倍积数；例如：整数142,它的中间数是4,左边数是1,右边数是2,

：2xlx2=4,.*.142是一个双倍积数；再例如：3305,X3X5=30,，3305是一个双倍积

数；当然，241,5303也是一个双倍积数；

注意：在下列问题中，我们统一用字母a表示一个正整数分出来的左边数，用字母b表示一个正整

数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：

(1)如果一个三位正整数为平方和数，且十位数字是4,则该三位整数是；如果一个

三位正整数为双倍积数，十位数字是8,则该三位整数是；

(2)若一个正整数既是平方和数，又是双倍积数，试探究a、b的数量关系，并说明理由；

(3)若正整数all25b为一个平方和数，a900b为一个双倍积数，求a?-信+2b-1的值.

73.阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化.

如：将士分母有理化,解：原式=(回就会9)=8+丘

运用以上方法解决问题：

11

已知：0=再万'6=序？

(1)化简a,b；

(2)求小—4ab+力2的值.

74.阅读材料：若加2—2nm+2^2一4n+4=0,求zn,n•的值.

解：m2-2mn+2n2—4n+4=0,(m2—2mn+n2)+(n2—4n+4)=0,

(m—ri)2+(n-2)2=0,/.(m—n)2=0,(n—2)2=0,'.n=2,m=2.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已矢口%2+2y2—2;cy+8y+16=0,贝!J%=,y=；

(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+反一4a-8b+18=0,求△ABC

的周长.

75.阅读材料：

我们知道，2x+3x—尤=(2+3—l)x=4x,类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则2(a+b)+

3(a+b)-(a+b)=(2+3-l)(a+b)=4(a+b).“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想

方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.

(1)尝试应用：

把。-y)2看成一个整体，求将2(久-y)2-4(%-y)2+(x-y)2合并的结果；

(2)已知2m—3九=3,求代数式47n-6n+5的值；

(3)拓广探索：

已知a—2b=4,b—c=-2,3c+d=6,求(a+3c)—(2b+c)+(b+d)的值.

76.阅读材料：我们知道，4%-2x+%=(4-2+l)x=3x,类似地，我们把(a+b)看成一个整

体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+4)(a+b)=3(a+6).“整体思想”是中学教学解题

中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.

尝试应用：

(1)把(a—b)看成一个整体，合并3(a—b)2—6(a-b)2+2(a-b)2的结果

是.

(2)已知%2-2y=4,求3/-6y—21的值；

(3)已知a—2b=6,2b-c=-8,c-d=9,求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值.

77.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂

分家万事休”.数形结合是解决数学问题的重要思想方法.

阅读理解：

①如图1,阴影部分的面积是a2»2；

②若将图2中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是(a+b)(a-b)；

③比较两图的阴影部分的面积，可以得到等式：a2-b2=(a+b)(a-b).

(1)问题解决：

①如图3所示，将一个长为2a,宽为2b的长方形沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形；

②若按图4的方式拼出一个大正方形，则这个大正方形的边长是,大正方形的面积

是.

③若用四个相同的小长方形的面积和阴影部分的面积之和表示大正方形的面积

是.

④比较大正方形的面积，可以得到等式：.

(2)拓展探究：如图5,整个图形是边长为a+b的正方形，请用图5中所给图形的边长与面积,

根据其中面积的等量关系，可以得到一个等式：.

78.将两数和(差)的完全平方公式(a土b)2=a2±2必+/通过适当的变形，可以解决很多数学问

题.

GH

CN

P\E乂

AB

例：若Q-b=4,ab=求小+旷的值.

解：因为a—b=4,ab=1,

所以a?+b2=(a—b)2+2ab=42+2x1=18.

根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：

(1)已知02+力2=56,(a+b)2=100贝【Jab=；

(2)若无满足(2023-%)2+(%-2020)2=2021,求(2023-%)(%-2020)的值；

(3)如图，在长方形力BCD中,4B=10,BC=6,J^、E,F分别是BC,CD上的点，且BE=DF=x,

分别以FC,CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN,若长方形CEPF的面积为35,求

图中阴影部分的面积之和.

79.【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+

2V2=（1+V2）2.善于思考的小明进行了以下探索：若设a+6位=（m+冗日）2=巾2+2n2+

2mnV2（其中a、b、n均为整数），则有a=+2层，b=2mrt.这样小明就找到了一种把类

似a+b/的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【问题解决】

（1）若a+=（m+n"西/，当a、b、m>n均为整数时，则a=,b=.（均

用含m、n的式子表示）

（2）若x+4旧=（m+n*Q）2,且％、n均为正整数，分别求出％、n的值.

（3）【拓展延伸】

化简正+2逐=.

80.【阅读理解】

若%满足(45-x)(x-15)=200,求(45-%)2+(%-15>的值.

解：设45-x=a,x—15=b,则(45-x)(x-15)=ab=200,

a+b=(45—%)+(%—15)=30,

(45-%)2+(%-15)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=302-2x200=500,

我们把这种方法叫做换元法.利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想.

【解决问题】

(1)若无满足(20-吗(久-5)=50,则(20-%)2+(尤-5)2=；

(2)若久满足(2022—%)2+(久-2000)2=244,求(2022一久)(％—2000)的值；

(3)如图，在长方形中，AB=12cm,点E,F是BC,CD上的点，EC=8cm,且BE=OF=%,

分别以FC,CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN,若长方形CBQF的面积为60cm2,

求图中阴影部分的面积和.

81.【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第49页B组的第12题和第13题.

12.已知a+b=3,ab=2,求(^+房的值.

13.已知a—b-1,a2+b2—25,求ab的值.

【例题讲解】老师讲解了第12题的两种方法:

方法一方法二

<a+b=3,(a+b)2=a2+b2+2ab

(a+b)2=9.a2+b2=(a+b)2—lab.

/.a2+岳+2ab

=9.ab=2,a+b=3,

ab=2,

.*.a2+62=9—4=5.

a2+b2=9—2ab=9—4=5.

（I）【方法运用】请你任选第12题的解法之一，解答教材第49页B组的第13题.

（2）【拓展】如图，在△4BC中，乙4cB=90。，分别以4C、BC为边向其外部作正方形4cOE和

正方形BCFG.若2C+BC=6,正方形ACDE和正方形BCFG的面积和为18,求△