湖南省邵阳市新宁县2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

2024年上学期八年级数学第一次月考考试卷

考试时间：120钟满分:120分

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个

正确选）

I.不能使两个直角三角形全等的条件（）

A.一条直角边及其对角对应相等

B.斜边和一条直角边对应相等

C.斜边和一锐角对应相等

D.两个锐角对应相等

2.如图，在平行四边形/BCD中，下列结论中错误的是（）

A.Nl=/2B./BAD=/BCDC.AC=BCD.AB=CD

3.如图，AABC和△OCE都是边长为4的等边三角形，点3、C、E在同一条直线上,

连接8。，则BD的长为（）

A.V3B.273C.3月D.4月

4.如图，矩形A8CD的对角线NC=10,8c=8,则图中五个小矩形的周长之和为（）

5.在/48C中,若a=‘J-1,/）=2〃,c="2+1,则Z/8C是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

6.已知等边三角形的边长为3,点尸为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离

之和为（）

试卷第1页，共6页

A.—B.—C.-D.不能确定

222

7.如图所示，小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的

水底，竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则

河水的深度为（）

A.2mB.2.25mC.2.5mD.3m

8.如图，在用A45C中，ZC=90°乙B/C的平分线4D交2c于点。，AD=2,

48=30。，则A4AD的面积是（）

C.V3D.2A/3

9.如图所示，底边BC为2曲,顶角A为120。的等腰中，垂直平分22于。,

则A/CE的周长为（）.

A.2+2如B.2+73C.4D.3G

10.如图，圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径，高BC=6cm,点P是母线BC

上一点且PC=|BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是

（）

试卷第2页，共6页

B

P

，----〜、

A.（4+—）cmB.5cmC.2V13cmD.7cm

兀

二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

11.在△NBC中，NC=3,8c=4,若NC为钝角，则N8的长的取值范围是.

12.R32C中，4B=90°,48=10,BC=6,则NC=.

13.如图，在Rt/38C中，ZC=9O°,AC=BC,按以下步骤作图：①以点/为圆心,

以任意长为半径作弧，分别交/C,4B于点M,N；②分别以"，N为圆心，以大于g

"N的长为半径作弧，两弧在乙B/C内交于点。；③作射线NO,交BC于点D.若点D

到AB的距离为亚，则BC的长为—.

14.如图，在中，AD和/£分别是边2c上的中线和高，已知

AD=3,AC=2,ZBAC=90°,求高/£=.

15.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，

其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”

题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺,

试问折断处离地面多高？设折断处离地面x尺，则根据题意列方程为：.

16.如图，一架梯子N2长10米，底端离墙的距离3c为6米，当梯子下滑到时,

AD=3米，贝ijBE=米.

试卷第3页，共6页

，c\BE

777777777/7777777/77777777777

17.如图，在RtAyl2c中，44c2=90。，AC=BC=1,将RtA42c绕/点逆时针旋转30。

后得到RtA4Z）E,点8经过的路径为丽，则图中阴影部分的面积是—

18.如图，在锐角A42C中，ABAC=40°,乙B/C的平分线交3c于点。，M,N分别

是/。和上的动点，当8M+九W有最小值时，ZABM=°.

Mj\D

ANB

三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解

答过程）

19.如图，折叠矩形的一边N。，使点。落在2c边的点尸处，已知48=8cm,

3c=10cm,求EC的长.

--------------H

20.如图，在RtAABC中，乙4c2=90。，D、E分别是42、/C的中点，连接CD过K

作EFWC交BC的延长线于F.

试卷第4页，共6页

(1)证明：四边形CD斯是平行四边形；

(2)若四边形CDEF的周长是18c加，/C的长为6c加，求线段的长度.

21.如图，在RM/3C中，AB=AC,NBAC=90°,。为8c的中点.

(1)写出点。到A/8C三个顶点4B、C的距离的关系(不要求证明).

(2)如果点M、N分别在线段NC上移动，在移动中保持=，请判断ADAW

的形状，并证明你的结论.

22.如图，AABC,/ADE均是等边三角形，点3,D,E三点共线，连按CD,CE；且

⑵若线段。£=3,求线段8。的长.

23.如图所示，在A42c中，AB-.BC--CA=3-A-.5,且周长为36cm，点尸从点/开始沿边

试卷第5页，共6页

4B向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边2C向点C以每秒2cm的速度移

动.如果点尸、0同时出发，设运动时间为［秒.

⑴经过3秒时，4BPQ的面积为多少？

⑵当/为何值时，BP=；BQ?

⑶当f为何值时，点8在尸。的垂直平分线上？

24.如图，在四边形/BCD中，AD//CB,E为BD中点,延长CD到点八使

DF=CD.

⑴求证：AE=CE；

(2)求证：四边形N3D尸为平行四边形；

(3)若CO=1,AF=2,ZBEC=2ZF,求四边形/BD尸的面积.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】根据各选项提供的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法，对选项逐一验证,

选项D只有两个锐角对应相等是不符合直角三角形判定方法的，所以不能判定三角形全

等.

【详解】A、符合AAS,正确；

B、符合HL,正确；

C、符合ASA,正确；

D、因为判定三角形全等必须有边的参与，错误.

故选D.

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法的掌握情况.判断全等时必须要有边对应相等

的关系.

2.C

【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，理解平行四边形的所有性质是解题的关键.直

接利用平行四边形的对边平行，对边相等，对角相等等性质分别判断可得出答案.

【详解】解：•••四边形是平行四边形，

AB//DC,AB=CD,AD=BC,/BAD=/BCD,

/I=/2,

••C选项不符合题意；

故选：c.

3.D

【分析】由题意易得8。=。。=。£=。七=4,400七=4£=/8£=60。，然后可得

NBDE=90。,BE=8,进而根据勾股定理可求解.

【详解】解：•.・△刖C和都是边长为4的等边三角形，

BC=CD=DE=CE=4,ZDCE=ZE=ZCDE=60°,

:"BCD=12。°,

ZCBD=ZCDB=30°,

.-.ZBDE=90a,BE=S,

BD=NBE?-DE。=4A/3；

故选D.

答案第1页，共15页

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质及勾股定

理是解题的关键.

4.C

【分析】本题考查了勾股定理及平移的性质，根据平移的性质得出五个小矩形的周长之和为

大矩形的周长是解题的关键.根据题意可知五个小矩形的所有边正好能平移到大矩形的四条

边上，则五个小矩形的周长之和为大矩形的周长，即可得出答案.

【详解】解：根据题意可知：五个小矩形的周长之和为大矩形的周长，

■■■AC=10,BC=8,

AB=>JAC2-BC2=V102-82=6>

・••图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28.

故选：C.

5.D

【详解】•••(n2-l)2+(2n)2=(n2+D2,...三角形为直角三角形，故选D.

6.B

【分析】

本题考查了等边三角形的性质，勾股定理；

作出图形，根据等边三角形的性质和勾股定理求出高的长，再根据等面积法列式，可得

点P到三边的距离之和等于高线的长度.

【详解】解：如图，为等边的高线，

等边三角形的边长为3,

答案第2页，共15页

-x3-y4//=-x3-Pr>+-x3-P£,+-x3-PF,

2222J

:.PD+PE+PF=AH^—,

2

即点P到三边距离之和为空.

2

故选：B.

7.A

【分析】根据河水的深度、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾

股定理即可求解.

【详解】解：根据如图画简图

在直角93c中，/C=1.5米.N2-2C=0.5米.

设河水的深度3C=x米，则N8=0.5+x(米).

根据勾股定理得出：

-AC2+BC2=AB2

•••1.52+x2=(x+0.5)2

解得：x—2.

即河水的深度为2米，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，解一元一次方程，根据勾股定理可

以把求线段的长的问题转化为解方程得问题解决.

8.C

【分析】由角平分线的定义可求得的度数，再根据含30度角的直角三角形的性质可

得CD的长，再根据勾股定理求得NC的长，最后根据三角形面积公式求解即可.

【详解】解：VZC=90°,Z5=30°,AD平分/B4C,

：.ZCAD=|ABAC=1（90°-30°）=30°,

答案第3页，共15页

/.CD=—AD=1,

2

••AC-yjAD2—CD2-V3，

:・BC=^AC=3,

:・SNABD=3"BDX4c=；x2xg^=V3,

【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的定义，含30°角的直角三角形，三角形的面积

公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

9.A

【详解】・・•等腰”5C中,乙4二120。，

Z5=ZC=30°,

过A作4月13。于尸，

木艮据等腰/"三线合一''可得£尸=尸C=；8C=G,•••/尸=1,NC=2.

,•,DE垂直平分AB.AE=BE,

.•.△/CE的周长=/C+EC+/£=/C+2C=2e+2.

故选A.

10.B

【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC=6cm,PC=-BC,求出PC=§x6=4cm,

在RtAACP中，根据勾股定理求出AP的长.

【详解】侧面展开图如图所示，

答案第4页，共15页

B

•・,圆柱的底面周长为6cm,

••.AC=3cm,

VPC=1BC

2

.•.PC=yx6=4cm,

在RtZkACP中，

AP2=AC2+CP2,

•••AP=V32+42=5.

故选B.

【点睛】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面

展开图.

11.5<AB<7

【分析】根据勾股定理求出的长，再根据两边之和大于第三边，即可得答案.

【详解】解：在A42C中，若NC为直角，AC=3,BC=4,则T8=J3?+4?=5；

•.NC为钝角，两边之和大于第三边，

••・5</5<3+4,

故答案为：5<AB<7.

【点睛】本题考查了勾股定理，三角形两边之和大于第三边，解题的关键是掌握NC为钝角

这关键点.

12.2734

【分析】根据勾股定理计算即可；

【详解】Z5=9O°,/8=10,BC=6,

答案第5页，共15页

•••AC=V102+62=V136=2734;

故答案是2扃.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键.

13.2+&##&+2

【分析】由题目作图知，AD是NC48的平分线，过点D作则CD=O〃=1,进而

求解.

【详解】解：过点D作DHL4B,则DH=也，

由题目作图知，是NC42的平分线，

则CD=DH=C,

•••AABC为等腰直角三角形，故42=45。，

则△£>”8为等腰直角三角形，BH=DH=y/2,

故80=yiDH2+BH2=+（拒『=2,

则BC=CD+BD=41+2,

故答案为：2+及.

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一

定的综合性，难度适中.

14,迪

3

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得3C=6,勾股定理求得

AB,然后根据等面积法求得三角形的高即可求解.

【详解】•.•/£）是RtA4BC边3c上的中线

/.BC=2AD=6

RtAABC中，AB=dBC?-AC?=^62-22=472

答案第6页，共15页

\--BCxAE=-ABxAC

22

BC63

故答案为：逑

3

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握以上知识是

解题的关键.

15.x2+32=(10-x)2

【分析】

设折断处离地面x尺，根据勾股定理建立方程即可求解.

【详解】解：如图，设折断处离地面X尺,

根据题意可得：X2+32=(10-X)2,

故答案为：X2+32=(10-X)2

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

16.(573-6)##(-6+573)

【分析】勾股定理先求/C的长，继而得到CD的长，根据再次运用勾股定理计算

CE的长，根据计算即可.

【详解】•■-^5=10,BC=6,

••/C=yjAB2-BC2=V102-62=8，

■：AD=3,

■■.CD=AC-AD=5,

■■CE=y]DE2-DC2=V102-52=573，

:.BE=CE-CB=(5拒~6)米，

故答案为：卜

答案第7页，共15页

【点睛】本题考查了勾股定理，正确理解梯子长度的不变性，灵活运用勾股定理是解题的关

键.

..n

17,~6

【详解】-：^ACB=90°,AC=BC=\,

inn30.兀(6)2兀

“s扇形ABD=「^=N.

又•:RtA4BC绕A点逆时针旋转30。后得到Rt^ADE,

.■.RtAADE=RtAACB,

兀

•••S阴影部行S^ADE+S扇形ABD-S^ABC=S扇形ABD=-^.

o

故答案为三.

o

18.50

【分析】在4。上截取4£=4N,可证△4MEWA47W,当即/+MN有最小值时，则5E是点

B到直线AC的距离即BELAC,代入度数即可求乙48M的值；

【详解】如图，在4c上截取连接

“BAC的平分线交BC于点D,

:/EAM=£NAM,

'：AM=AM,

.-.AAME=AAMN,

:.ME=MN,

MM+TW有最小值.

当是点5到直线4。的距离时，BE工AC,

.­.Z^W=90°-Z^C=90o-40o=50°；

答案第8页，共15页

故答案为：50.

【点睛】本题考查的是轴对称一最短路线问题，通过最短路线求出角度解答此类问题时要

从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线,

代入即可求出度数.

19.3

【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识点；根据矩形的性质和折叠的性质,

得到/尸=/。=)？=10°加，再根据勾股定理，求出8尸的长度，进而求出C尸的长度，设

EF=DE=x,则CE=8-x,根据勾股定理建立方程即可得出答案.

【详解】解：根据题意，AF=AD=BC=10cm,

AB=8cm,

在用尸中，由勾股定理得，BF=\lAF2-AB2=V102-82=6cm

FC=4,

设EF=DE=x,贝!]CE=8-x,

在用AECF中，/C=90°,

CF2+CE2=EF2,

：.42+(8-x)2=x2,解得x=5

EF=5.

CE=8-5=3.

20.(1)见解析；(2)AB=1Qcm.

【分析】(1)由三角形中位线定理推知EDIIFC,然后结合已知条件“EFIIDC”，利用两组对

边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；

(2)根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC,即可得出四边形

DCFE的周长=AB+BC,故BC=18-AB,然后根据勾股定理即可求得.

【详解】(1)•■•D.E分别是AB、AC的中点，

•••ED是RtAABC的中位线，

.-.EDHFC,

又EFIIDC,

••・四边形CDEF是平行四边形；

(2)•••四边形CDEF是平行四边形；

答案第9页，共15页

.•.DC=EF,DE=CF

•.DC是RtAABC斜边AB上的中线，

；.AB=2DC,

•，D、E分别是AB、AC的中点，

•••BC=2DE,

.••四边形DCFE的周长=AB+BC,

•••四边形DCFE的周长为18cm,AC的长6cm,

.•.BC=18-AB,

•.•在RtaABC中,zACB=90°,

.-.AB2=BC2+AC2,BPAB2=(18-AB)2+62,

解得：AB=10cm,

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线

的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键.

21.(1)CD=BD=AD；(2)ADMN为等腰直角三角形，理由见解析.

【分析】(1)根据直角三角形的性质可知

(2)连接4D,可证明MACDV,则可证得ZADM=ZCDN,再利用

AD1BC,可证明ND1.〃。，据此解题.

【详解】解：(1)•・・△△48c中，N4BC=90。，。为3c的中点，

CD=BD=AD

即点D到三个顶点的距离相等；

(2)△。儿W为等腰直角三角形，理由如下，

证明：连接

答案第10页，共15页

c

D

vAB=AC,ZBAC=90°

AD1BC,/DAB=ACAD=45°

ZC=/DAM

AN=BM

...CN=AM

AADM与△CZW中,

AD=CD

ADAM=ZC

AM=CN

“ADM=^CDN(SAS)

DM=DN,ZADM=/CDN

ZADM+ZADN=ZADN+ZNDC=90°

.•△DMN为等腰直角三角形.

【点睛】本题考查等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于

斜边的一半等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

22.(1)见解析

(2)6

答案第11页，共15页

【分析】(1)由“SAS”可证A45OWA4CE,可得BD=CE；

(2)由全等三角形的性质可得乙4EC=乙408=120。，可求〃)£。=60。，由含30度角的直角三

角形的性质可求解.

【详解】(1)证明：・・・A48C、44。£是等边三角形，

・，.AB=AC,AD=AE,乙BAC=^DAE=6。。,

二乙BAC-乙DAC=LDAE-乙DAC,

•••乙BAD=^CAE,

在A48。和中，

AB=AC

</BAD=/CAE

AD=AE

••.△ABD三AACE(SAS),

：,BD=CE；

(2)解：・・,八4。£是等边三角形，

；2DE=UED=60。,

•・•点5,D,E三点共线

.••乙405=120。，

••,△ABD三AACE,

山£。=々。8=120。，

；/CED=UEC-UED=6。。,

•:CDIBE,

・ZCDE=9O0,

・・・ZDCE=3O。，

,-.BD=CE=2DE=6.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等

三角形的判定定理是本题的关键.

23.(l)18cm2

(2)4.5

(3)3

答案第12页，共15页

【分析】(1)根据三角形的周长公式求出三边长，根据勾股定理的逆定理得出必=90。，根

据三角形的面积公式求出△8P。的面积；

(2)根据题意列出方程，解方程得到答案；

(3)根据线段垂直平分线的性质得到BP=80,进而列出方程，解方程即可得出答案.

【详解】(1)解：设48、BC、C分别为3x、4x、5x,

由题意得：3x+4x+5x=36,

解得：x=3,

则A8=3x=9,8c=4x=12,NC=5x=15,

■■AB2+BC2=92+n2=225,AC2=152=225,

:.AB?+BC2=AC2,

.4=90。，

当t=3时，AP=3cm,BQ=6cm,