3.4素理想与极大理想

三、极大理想

主理想的定义

定理3.3.3---主理想的表示

定理3.4.1---一个充要条件

定义3.4.2---极大理想

例3

例4§3.4

素理想与极大理想

一、素理想的定义

定义3.4.1

---素理想

例1

例2

推论1

二、素理想的判定

商环的定义

例5

定理3.3.4---商环的性质

例6

推论2

三、商环一、素理想的定义定义3.4.1

设为环,是的真理想.如果对任

意的,由,可推出或,则称为

的一个素理想(primeideal).例1

设为正整数,证明为的素理想的充分

必要条件是为素数

证

必要性如果不是素数,则或为合数.(1)如果,则,与为素理想矛盾.

(2)如果为合数.设,.则

,而,与为素理想矛盾.

充分性

设为素数.如果,则,从而有

,或,即或,所以为素理想.

由定义易知也是的素理想.所以的全部素

理想为(为素数)以及

例2

试求的所有素理想.

解

共有6个理想(1)显然,不是的素理想.又因为,而

,所以也不是的素理想.同理可证,都不是的素理想

(2)考察.设,.则(在中),

所以(在中),从而因,所以,从而

或.由此得或.所以为的素理想.

同理可证,也是的素理想.所以的素理想为

与

例3

在中,由于,而

所以不是的素理想. 二、素理想的判定理想.则是的素理想的充分必要条件是是整环.

定理3.4.1

设是有单位元的交换环,

是的

证

必要性

设为的素理想,则为的真理想,所以.因是有单位元的交换环,所以也是有单位元的交换环.又设使,则,从而有或.由此得或.这说明,商环无零因子,所以为整环.

充分性

如果为整环,则是的真理想.又设

且,则.所以必有或.由此得或.所以为的素理想

三、极大理想的定义定义3.4.2

设是环,是的真理想.如果对的

任一包含的理想,必有或,则称为的一

个极大理想(maximalideal).例4

的极大理想是与

例5

设是正整数.证明:则是的极大理想

的充分必要条件是是素数.

证

必要性

设是的极大理想,则.设

且.若不整除,则,从而.因是的极大理想,,从而存在,使于是.又因所以.所以是素数.

充分性

设是素数,是的任一理想,使

使.由此得,所以,从而为的则存在,使.从而不整除.因为素数,所

以.从而存在,使.于是,对任意

所以为的极

由此得

例6设为的理想.则为的极大理想,但不是素理想.

证

设为的任一理想且,则存在且.令,则2不整除,所以.从而存在极大理想.又因为,但,所以不是的素理想.

例7

设是全体实函数的集合,它按通常函数

的加法与乘法构成一个环.令

易知为的理想.

设为的任一真包含的理想,则存在,使

.令,,则.又因为所以.从而

由此得.所以为的极大理想.

例8

证明为的极大理想.证

设为的任一理想使.在中任取

一个不属于的多项式,令

则存在,使

从而因从而

,所以不全为零.

(1)在中,如果,则,且

则由此得.(2)如果,则,于是,从而就有

这就证明了为的极大理想.

注

一般环上的素理想与极大理想：所以.从而.于是存在,使四、极大理想的判定定理3.4.2

设是有单位元的交换环,为的

理想.则是的极大理想的充分必要条件是是域.证

必要性

设是的极大理想,则.因

是有单位元的交换环,所以也是有单位元的交换环.又对任意的,因,即,则

从而即可逆.所以为域.充分性

设为域,则,所以是的真理想.设为的任一真包含的理想,则有且,从

而.因为域,存在,使.于是从而.所以是的极大理想.

定理3.4.3

设是一个有单位元的交换环,则的

每个极大理想都是素理想.

证

如是的极大理想,由定理3.4.2,是域.从而是整环.又由定理3.4.1知,是素理想.

注

如果减弱定理3.4.3的条件,结论就可能不

成立.如例6中,是的极大理想,但却不是的素

理想.另一方面,一个素理想也不一定是极大理想.如在中,是的素理想,但却不是的极大理想.

例9

由上一节例6知,是一个二元域,所以

是的一个极大