浙江省湖州市某中学2024届高三年级下册新高考数学模拟试题（解析版）

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试模拟训练

（湖州一中测试卷）

数学试题

注意事项：

].答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

I若集合Af={x|<2},N={x|3x上2},则McN为（）

222

A.{x[04无<,}B,{x|0<x<4}C.{x\—<x<1]D,{x|j<x<4}

【答案】D

【解析】

【分析】利用无理不等式及一元一次不等式的解法，结合交集的定义即可求解.

【详解】M={X\4X<2}={X\0<X<4}9

N={x\3x>2}={x\x>^]

22

所以"cN={x|0Kx<4}c{x|%N]}二{x|§<x<4}.

故选：D.

2.己知非零向量a，b，c满足卜|=W，c=若c为6在a上的投影向量，则向量a，6夹角的余弦

值为（）

111

A-—2B.-C.一D.-

345

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即

可得到结果.

【详解】由。=3。，c为6在a上的投影向量，

所以=cos（a,/?）a,故cos（a,/7）=3

故选：B

2

3.已知点尸是双曲线9-5=1的左焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，点Q是双曲线渐近线上

的动点，贝IJ归耳+|PQ|的最小值为（）

A.8B.5C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】设右焦点为G,根据双曲线的定义可得归典+|PQ|=|PG|+|尸。|+2,再根据三角形性质结合点

到线的距离求解即可.

【详解】设右焦点为G（M,O）,又由对称性，不妨设。在渐近线3x-y=o上.

根据双曲线的定义可得|?目+1=IPG|+1+2»|GQ|+2,当且仅当P,G,Q三点共线时取等号.

3对iiii

又当GQ与渐近线垂直时取最小值，为|G9=匚」=3,故|PE|+|PQ|最小值为5.

A/32+12

4.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取

出一球放入乙箱中，分别以4、4、4表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随

机取出一球，以3表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）

25

A.-B.P（B|A）=H

c.事件5与事件A不相互独立D.4、4、4两两互斥

【答案】A

【解析】

【分析】利用全概率公式可判断A选项；直接写出P(叫A)的值，可判断B选项；利用独立事件的定义可

判断C选项；利用互斥事件的定义可判断D选项.

51913

详解】依题意，P(A)=历=5,*4)=5=丁尸(4)=历，

尸(冏4)=5,B对，

P(B\A,)=P(B\A3)=^,

p(B)=yp(A)-^(5|A)=-x-^+-x-4-+—-A错；

7V17211511101122

P(BA)=P(4)PHA)=|X^=^,P(A)P(6)=；x：=1,

乙J_乙乙乙乙乙II

所以，P(刚)WP(3)-P(A),所以，事件B与事件A不相互独立，C对,

由题意可知，事件4、4、4中的任意两个事件都不可能同时发生，

因此，事件4、4、4两两互斥，D对.

故选：A.

5.若数列｛4｝满足(〃-1)4=5+1)%T(〃22),4=2,则满足不等式/<930的最大正整数“为(

A.28B.29C.30D.31

【答案】B

【解析】

【分析】利用累乘法求得％,，由此解不等式与<930,求得正确答案.

【详解】依题意，数列｛4｝满足(力―+22),q=2,

n+1nn+1

*22),所以4=%.丝.-^=2x-x-x-xx----x----

an-in-axa2an_1123n—2n-1

=n(n+l),4也符合，所以4=〃("+l),｛%｝是单调递增数列,

由4=w(ra+l)<930,(ra+31)(w-30)<0,解得一31<〃<30,

所以”的最大值为29.

故选：B

驷,x>0

x若y=/(%)-：恰有5个不同零点，则正实数。的范围为

6.设函数，(%)=<

sina)x+—,-7l<X<0

I6

()

10彳10彳

A.丁B.T,4

4D.吟

【答案】D

【解析】

【分析】画出/(x)的图象，将y=/(x)-g恰有5个不同零点转化为y=/(x)与y有5个交点即可.

【详解】由题知，

y=/(x)—；零点个数可转化为y=/(x)与y=1■交点的个数,

当x>0时，/(%)二网=r(x)=2。：nx)

XX

所以xe(O,e)时,f\x)>0,/(%)单调递增,

xe(e,+oo)时，f'(x)<0,/(%)单调递减,

如图所示:

91

所以％=0时八%)有最大值：/(x)max=/(e)=->-

e/

所以x>。时，由图可知必有两个交点；

当xWO时，因为口〉0,-兀WxWO,

兀兀兀

所以一。兀+一<①九+一<一,

666

人兀L1兀兀

令％=s+一,贝一口兀+一,一

666

则有/（九）=sin/且Ze-①兀,如图所示:

因为x>0时，已有两个父点，

所以只需保证/（%）=sinf与y=；有三个交点即可，

”一=小19兀兀,11兀,10

所以只需-----<一口兀+—«-----，解得2V0<—.

6663

故选：D

【点睛】思路点睛：函数零点问题往往可以转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合方便分析求解.

3.33一

7.若a=ln4,b=—，c=sin—I-tan—,则b,c的大小关系为（）

244

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】由对数函数的性质可得b>。，构造函数/z（x）=sinx+tanx-2x,（X£[o,：J），利用导数可得c〉b,

则答案可求.

(3\2a

33且

【详解】因为（4）2<,所以4<e，，所以o=ln4<6=5=lne2,

I7

/、

令//(%)=sinx+tan%-2x,xe|0,-^所以，则

cos3x-cos2%)-(cos2x-1)

“(%)=cosxd---\---2=cos3x-2cos2x+1

22

COSXcosXCOSX

cos2x(cosx-l)-(cosX+l)(cosx-1)(cosx-1)(cos?x-cosx-1)

2―2

COSXCOSX

l2)4l2

所以/⑴=cosl)>0,

COSX

、

即/z（x）=sinx+tanx—2x,XG^O,—j恒为递增函数，

则以；）〉/7（0）=0,即sin：+tan；—1>0,所以c>0,

综上：a<b<c,

故选：A.

8.设集合乂={q,a2MSM/CN*,定义：集合V={6+%卜,%ecN*,iH/},集合

S=[x-y\x,y^Y,XJ^y],集合T=<m|x,yeRXHy>,分别用|S|,|T|表示集合S,T中元素的个

、y-

数，则下列结论可能成立的是（）

A.|S|=6B,|5|=16C.|T|=9D.|T|=16

【答案】D

【解析】

【分析】对A、B:不妨设1Wq<。2<%<4，可得+。2<+。3<%+。4<。2+。4<。3+。4，根

据集合F的定义可得y中至少有以上5个元素，不妨设

X]=%+a2，%2=%+a3,x3=。1+a4,x4=a2+a4,x5=a3+4,则集合S中至少有7个元素，排除选

项A,若+%+”3，则集合丫中至多有6个元素，所以|S|max=C；=15<16,排除选项B;对

C：对Viwj,七。勺，则三与土一定成对出现，根据集合T的定义可判断选项C；对D：取

XJ\

X={1,3,5,7},则丫={4,6,8,10,12},根据集合T的定义可判断选项D.

【详解】解：不妨设1<%</<%<。4，则％+aj的值为

显然，。]+。2<。1+。3<。1+。4<。2+4<%+%，所以集合丫中至少有以上5个元素，

=ax=a+ax

不妨设％=ax+a2,x2=q+%,%i+a4，4i^^5=«3+a4,

则显然七/<X]%<<毛/<x2x5<<x/5,则集合S中至少有7个元素，

所以|S|=6不可能，故排除A选项;

其次，若为+&#/+%，则集合y中至多有6个元素，则|S|max=C；=15<16,故排除B项;

对于集合T,取乂={1,3,5,7},则丫={4,6,8,10,12},此时

31,25,21,23,53,43,45,43,0，56,45,53,25,65,23,3。b|7|=16)故。项正…确;

X；X.

对于C选项而言，Mi±j,x产则一与」一定成对出现,工-1<0,所以|T|一定是

Xj玉人七)

偶数，故C项错误.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知Z]/2是两个虚数，则下列结论中正确的是()

A.若4=2，则Z1+Z2与2理2均为实数B.若Z]+Z2与2展2均为实数，则

Z.Z,

C.若4*2均为纯虚数，则,为实数D.若」为实数，则Z]"2均为纯虚数

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据复数的四则运算，结合共辗复数的定义即可求解ABC,举反例即可求解D.

【详解】设4=。+历，z2=c+di(^a,b,c,deR,Z?^0,<7^0).z1+z2=tz+c+(Z?+(7)i,

z1z2=ac-bd+(ad+Z?c)i.

22

若4=Z2，则。=。，b+d^Q,所以4+Z2=2aeR,ZjZ2=a+b&R,所以A正确；

若4+z?与Z]Zz均为实数，则Z?+d=0,且々7+茨?=0,又Z?w0,dwO,所以a=c,所以B正确;

z,c

若句，z2均为纯虚数，则a=c=0,所以一=：enR,所以C正确；

z”d

取4=2+2i,z2=1+1,则且为实数，但z-Z2不是纯虚数，所以D错误.

Z2

故选：ABC.

10.如图所示，棱长为3的正方体ABC。-A4GR中，P为线段43上的动点(不含端点)，则下列结论

正确的是()

JT

B.。尸与AC所成的角可能是2

A.DXPLAB.

6

C.AP・Z）C］是定值D.当4尸=2PB时,点C1到平面RAP的距离为1

【答案】ACD

【解析】

【分析】以。为原点，ZM为x轴正方向，。。为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系,

设P（3,a,3—a）,（0<a<3）,计算QP,被可判断A；假设2P与AC所成的角是△,则

cos（RP,AO=cosg,求解可判断B；计算AP，。。可判断C；当4P=2P3时，P（3,2,l）,求出平

面D.AP的法向量，利用点到平面的距离公式可判断D.

【详解】以。为原点，ZM为x轴正方向，。。为》轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标

系，则A（0,0,3）,4（333）,G（0,3,3）,A（3,0,0）,C（0,3,0）,D（0,0,0）,

ZA

设P（3,a,3—a）,（0<a<3）,则。产=（3,心—a）,做=（0,3,3）,

所以RPAB]=3x0+ax3+（-a）x3=0,则2P_14与，故A正确;

因为AC=（-3,3,0）,DxP=（3,a-a）,

所以cos（2RACDp•AC3a—9

2,

|D1P||Ac|-A/9+2ax3V2

IT

若2P与AC所成的角是:，

6

/\TT9—3a7t

贝Ijcos（D^,AC）=cos—,BP/=C0S

\i/6V9+2tz2x3V2F67^

3

整理得（2a+3y?=0,得。=一,，与0<a<3矛盾，故B错误；

UUUlUUUU

AP=（O,a,3-a）,DC,=（0,3,3）,所以AP£）G=0x0+ax3+（3-a）x3=9为定值，故C正确;

当AP=2PB时，P（3,2,l）,

RA=（3,0,—3）,AP=（0,2,1）,CQ=（0,-3,0）,

设平面D.AP的法向量为m=(%,y,z),

D.A-m=3x-3z=0/、

由〈令z=2,则％=2,y=—1fm=（2,—1,2）,

APm=2y+z=0

CR•m3

点q到平面2Ap的距离d=|湛=3=1，故D正确.

故选：ACD.

11.已知函数〃九)为定义在R上的偶函数，/(0)=1,且/(x—l)+/(x+l)=/(x),贝|()

1<31

A./（1）=-B,“X）的图象关于点亍0对称

2\Z）

20231

C."%)以6为周期的函数D.(左)=一彳

k=i2

【答案】ABC

【解析】

【分析】令九=0,求出/(1)可判断A；利用/(X—l)+/(x+l)=/(x)和〃T)=〃x)得出

1—x]=-+可判断B正确；利用周期函数的定义和/(x—l)+/(x+l)=/(x)求出周期可

判断C；赋值法求出了⑼，/⑴，42),/(3),“4),/(5),结合周期可判断D.

【详解】因为函数/(%)为定义在R上的偶函数，

所以〃T)=/(X),/(-x+l)=/(x-l),

对于A,令x=0,可得/(O_l)+/(O+l)=/(O)=l,

因为/(—1)=/。)，可得/(l)=g，故A正确；

对于B,因为/(x—l)+/(x+l)=/(x),

所以/(-x-l)+/(-x+l)=/(-X)=/(%),

可得/(—x+l)+/(3—x)=/(x—2),

从而/(3r)=/(x_2)—/(f+l)=〃x_2)_〃x—l),

又因为/(x_l)+/(x+l)=/(x),可得=

所以/(3—x)=〃x—2)—"x—1)=一/⑴，可得/g—1=—小+|],

(3、

所以了(%)的图象关于点8,0对称，故B正确；

对于C,因为/(x—l)+/(x+l)=/(x),

所以/(x)+/(x+2)=/(x+l)，所以―/(x+2)=/(x_l),

可得一/(x+3)=/(x),所以有/(x+6)=-/(%+3)=/(%),

所以/(%)以6为周期的函数，故C正确；

对于D,/(0)=1,/(1)=1,令x=i可得/(0)+/(2)=/(1),可得f(2)=/(i)_y(o)=-g,

令x=2可得〃1)+〃3)=〃2),可得〃3)=〃2)—/⑴=_1,

令1=3可得〃2)+/(4)=〃3),可得〃4)=〃3)—〃2)=—j

令彳=4可得/(3)+/(5)=〃4),可得〃5)=〃4)_/(3)=g,所以

/(0)+〃1)+/(2)+〃3)+/(4)+〃5)=0,

20231

所以⑹=337X0+〃1)=7,故D错误.

*=i2

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：适当的赋值和变量代换，是探求抽象函数周期的关键，求解抽象函数问题，要有扎

实的基础知识和较强的抽象思维和逻辑推理能力.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标

记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为g,被标

记为垃圾邮件的有工的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有工的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该

1010

系统成功过滤(即垃圾邮件被标记为垃圾邮件)的概率为.

【答案】-

7

【解析】

-2-1-1

【分析】记4=“正常邮件”，3=“标记为正常邮件”，根据题设有P(B)=g,P(A|B)=元，1(A|B)=正,

再应用对立事件、条件概率、全概率及贝叶斯公式求垃圾邮件被该系统成功过滤的概率.

-2-1-1

【详解】记4="正常邮件”，5=”标记为正常邮件”,则P(5)=g,P(A|B)=—,P(A\B)=—,

—3-------9

所以P(3)=l-P(B)=M，P(A\B)=1-P(A\B)=—,

——........-31821

故P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)=—+—=—,

________18

所以川)二担需反|《

50

故答案为：一

7

202320222023

13.已知(1+2龙广3+(2-x)=a0+a,x+生/+…+«2022x+«2023X,若存在

e

k{0,1,2,…,2023}使得ak<0,则k的最大值为.

【答案】1011

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项可得以=《023[2*+22023*.(-!)«],讨论上的奇偶性，结合4<0分析求

解即可.

[详解】二项式(1+2x)2023的通项为=C；023(2切=C；023•27,r=0,1,2,…,2023,

3，2322°23fm，23•23f

二项式(2—X广的通项为Tm+i=(-x)=22°•(-1)叫八相=0,1,2,L,2023,

所以W=C黑3-2、c黑3•22°23d.(-1)"=C&[2上+22023^.(―1月,左e{0,1,2,L,2023},

若如<0，则有：

O20232023

当k为奇数时，此时ak=C：23(2J2^),即于—2^<0，

则左＜2023—左，可得左＜-----=1011.5,

2

又因为人为奇数，所以上的最大值为1011；

当左为偶数时，此时+22°23-/）＞0,不合题意；

综上所述：上的最大值为1011.

故答案为：1011.

14.已知产为抛物线C:y=—/的焦点，过点方的直线/与抛物线。交于不同的两点A,B,抛物线在

4

,25

点A3处的切线分别为乙和若4和4交于点P，贝/尸用+画的最小值为.

【答案】10

【解析】

【分析】设直线A3方程为y=Ax+l,A（玉,%）,5（%,%），联立抛物线方程得出韦达定理，再利用导数

25

的几何意义求解AR3P方程，联立AP,3P可得P（2Z,—1）,再代入I2歹『+画根据基本不等式求解最

小值即可.

【详解】。：产=今的焦点为（0,1）,设直线方程为y=Ax+l,A（^,^）,5（%2,y2）.

联立直线与抛物线方程有f―4依—4=0,则|45|=%+%+2=左（石+七）+4=4左2+4.

又y=；/求导可得/=1x,故直线AP方程为y—x=gx（x—xj.

p12119

又％=，故AP:y=5再九一w再同理BP:y=—

2

可得;（X「X2）X=；（X：—XJ,解得彳=土产，代入可得P［生产，苧

代入韦达定理可得P（2k,-1）,故|PE|=14k2+4.

故|依『+昌=4/2+4+25222595

+4)x京*=1°'当且仅当叱+4=际'即

\AB\4左2+4

左=±g时取等号.

故答案为：10

【点睛】方法点睛：如图，假设抛物线方程为炉=2处（"〉0）,过抛物线准线>=上一点「（公,九）向

抛物线引两条切线，切点分别记为A,3,其坐标为（七,%）,（%,%）•则以点P和两切点A3围成的三角形

R43中，有如下的常见结论：

结论1.直线AB过抛物线的焦点F.

结论2.直线AB的方程为天工=2.2*2=p（%+y）.

结论3.过尸的直线与抛物线交于A3两点，以A3分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点尸（为,%）

的轨迹即为抛物线的准线.

结论4.PF±AB.

结论5.AP1PB.

结论6.直线AB的中点为M,则平行于抛物线的对称轴.

结论7.忸可2=|AF|-|JBF|.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知椭圆C:£+，=l（a〉b〉0）的左右顶点距离为2痣，离心率为白.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过点（0,1）,斜率存在且不为0的直线/与椭圆。交于A,8两点，求弦A3垂直平分线的纵截距

的取值范围.

V22

【答案】（1）'+匕V=1

(2)(—1,0)

【解析】

【分析】（1）根据长轴长与椭圆离心率求得"c,进而得到椭圆标准方程；

（2）设/:y-1=近与椭圆方程联立后，得到韦达定理的形式，利用中点坐标公式表示出。点坐标，从而

得到/'方程；令x=0可求得/'在V轴的截距，利用函数值域的求解方法可求得结果.

【小问1详解】

由题意，2〃=2。6，即a=，6，

又e=S=,所以C=A/^,

a2

22

故人2—a_c=6-3=3，

22

故所求椭圆的标准方程为土+匕=1.

63

【小问2详解】

如图，

由题意知：直线/的斜率上存在且不为零，

设/:y—l=Ax,k丰0,4（%,%）,5（%2，%），AB中点。(％,%),

y-l=kx

联立y2_，消去y并整理得：（1+2左2）x2+4丘—4=0,

163

△>0恒成立，

5।4k%,+x92k,一2k21

［，犷也U=11+211+2/'

122k2+1°22V+]

则/,方程为：-0即，一一一一2k

X+-----y

1+2左2

化简得：户一%一次二

设直线/'在y轴上截距为m,令x=0得m=—-二

2k~+1

由0<-7-<1可知一1cm<0，

2左2+1

所以直线/'在y轴上的截距的取值范围为（-1,0）.

16.在锐角「ABC中，设边。，仇c所对的角分别为A,B,C,且/=反.

（1）证明：A=2B

（2）若a=l,求2/?+c的取值范围.

【答案】（1）证明见详解

’3母

(2)

【解析】

【分析】（1）余弦定理结合已知消元，然后利用正弦定理边化角，利用内角和定理消去角C,用和差公式化

简后，利用正弦函数单调性可得;

（2）利用正弦定理将目标式转化为关于角B的三角函数，根据锐角三角形定义求角B范围，然后使用换元

法，借助对勾函数性质即可求解.

【小问1详解】

因为=be，

m2+c?—//—bec—bsinC—sinB

所以cosA=----------=------=----=-----------，

2bc2bc2b2sinB

整理得2sinjBcosA=sinC-sin3,

又C=7i-(A+5),所以sinC=sin[兀一(A+B)]=sin(A+B),

所以2sin5cosA=sin(A+B)-sinB=sinAcosB+cosAsinB-sinB,

整理得sinB=sinAcosB-cosAsinB,所以sin5=sin(A—5),

jrjr

因为A5C为锐角三角形，所以。<5<—,0<A<一,

22

TTTTTT

所以—上<—3<0,所以—上<A—5<上，

222

因为函数丁=sin尤在上单调递增,

所以6=4—6，即A=25.

【小问2详解】

由（1）可知，A=2B,C=TI-3B,

11b

因为〃=1,所以由正弦定理可得,—,即

sin2BsinB2sinBcosBsinB

1

因为5£（0,7i）,sin5>0,所以b二■,

2cos5

又a1—b?=bc,所以尸+/7。=1，即/?+。二丁’

b

所以2Z?+c=b+c+Z?=工+b=2cos5^------——,

b2cosB

0<仁

兀

因为二A5C为锐角三角形，所以〈0<2B<-解得表5吟

2

7T

0<TI-3B<-

2

则<cosB<-

22

记1二2cos5,则2b+c=%+；,百）

由对勾函数可知，y=/+；在（应,6）上单调递增，

所以即2b+c的取值范围为［芈，挛

2-3I23J

17.如图，在四棱锥尸―ABCD中，已知AB//CD,A£>，CD,5C=30,00=243=4,△ADP是等

边三角形，且E为。。的中点.

（1）证明：AE//平面PBC；

（2）当B4=6时，试判断在棱BC上是否存在点使得二面角〃—Q4—E的大小为60.若存在，请

求出网■的值；否则，请说明理由.

BC

【答案】（1）证明见解析

BM2

（2）存在,

^BC7

【解析】

【分析】（1）根据线线平行即可结合线面平行的判定求证，

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角求解二面角，即可求解.

【小问1详解】

证明：在四棱锥P—A3CD中，已知A3//■BC=JBP,CD=2AB=4,如图，取PC的

中点/，连接所,5£

ADP是等边三角形，且E为OP的中点.

:.AE±PD,

E是棱的中点，/为PC的中点，

：.EF//CD,且所=」CD.

2

AB//CD,AB=~CD,

：.EFIIAB,且EF=AB.

•••四边形ABEE是平行四边形，

:.AE//BF

BFu平面PBC,AE<Z平面PBC,

.:AE//平面尸5C.

【小问2详解】

E为DP的中点,

BC=BP,且歹为PC的中点，PC,

AE//BF,:.AE±PC,

.-.AE，平面PCD,CDu平面PCD,

:.AE±CD,又AD，CD,ADcAE=A,且A。,AEu平面的）p,

\CD人平面ADP,

.•.£F，平面ADP，

以E为坐标原点，EP,EA,EF的方向分别为苍％z轴的正方向，

如图，建立空间直角坐标系石-孙z,

则P（3,0,0）,A（0,3A0）,5（0,373,2）^（-3,0,4）,

假设存在满足题设的点M,不妨设M（a,b,c）,且器=4,则

BC

BM=（a,b-3/c-2）,且5C=13,-362）,

:.BM=ABC>即(a,人一3月,c—2)=(—32,—3后4,2/1),

a=—32,a——32,

所以3拓=-3段,则,=3+1-；I),即贝-32,3同1-4),2(1+町,

c=2(1+2),C—2—22,

不妨设平面？AM的一个法向量为〃=（x,y,z）,

易知出=卜3,36,0),PM="(1+4),3君(1-4),2(1+4)),

PA-n=-3x+3j3y=0,

由〈r-

PM-H=-3(l+2)x+3V3(l-2)y+2(l+2)z=0,

令x=A/3，则y=1,z=n_Ai,

1+2

显然平面Q4E的一个法向量为加=（0,0』），

3A/32

।।m-no1

1+2=cos60=一

।"27%2'

lx14+--------

(1+4

3A/32

1+212

又解得彳=亍

27公4G

1x(4+

(1+4

RM2

•・・存在满足题设的点此时一=—

BC7

18.已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的

规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中

的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相

同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.

（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机

变量X,求X的分布列和数学期望;

（2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第〃轮不成功，也停止试验），记乙在第

左伏轮使得试验成功的概率为则乙能试验成功的概率为尸（〃）=f号，证明:

k=\

49

【答案】（1）分布列见解析，—

18

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由条件确定的X取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望;

（2）由（1）中的结论及结合题意写出每一轮的概率，结合概率乘法公式从而求解.

【小问1详解】

由题意得，X的可能取值为1,2,3,

在第一轮中，试验者每次抽到白球的概率为工,

3

依题意，在第二轮中，盒中有一个白球，两个红球和一个黄球，每次摸到白球的概率为（

21

p(X=2)=

-18

易知P（X=3）=1—[P（X=1）+P（X=2）]=|,

，X的分布列为：

X123

1_15

P

9186

11549

.•.乂的数学期望石(乂)=1*—+2><—+3><—=—

918618

【小问2详解】

1C1)11

证明：当左时，不难知道片=1-y1-

八（女+1尸（左+2）2，

、

1、11-J1

22

3八7(k+2)

2x43x5kx(k+2)121

22-X

-f于，(^+1)'(k+2)3(k+l)(k+2)'

21211

娱=—x-----------