2024届上海市杨浦区八年级数学第二学期期末经典试题含解析

2024届上海市杨浦区八年级数学第二学期期末经典试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的分布如条形图所示.请找出这些车辆速度的众数、中位数分别是（）

A.52,53B.52,52C.53,52D.52,51

2.质量检查员随机抽取甲、乙、丙、丁四台机器生产的20个乒乓球的直径（规格是直径4cm）,整理后的平均数和方

差如下表，那么这四台机器生产的乒乓球既标准又稳定的是（）

机器甲乙丙T

平均数（单位：cm）4.013.983.994.02

方差0.032.41.10.3

A.甲B.乙C.丙D.丁

3.已知锐角三角形AABC中，NA=65°,点。是A3、AC垂直平分线的交点，则NBCO的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

4.下列说法不正确的是（）

A.四边都相等的四边形是平行四边形

B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形

5.在菱形ABC。中AB=5,AC=6,边上的高为（）

A.4B.8C.4.8D.9.6

6.如图，h反映了某公司销售一种医疗器械的销售收入（万元）与销售量（台）之间的关系，L反映了该公司销售该

种医疗器械的销售成本（万元）与销售量（台）之间的关系.当销售收入大于销售成本时，该医疗器械才开始赢利.根

据图象，则下列判断中错误的是（）

8

0123456789X'台

A.当销售量为4台时，该公司赢利4万元B.当销售量多于4台时，该公司才开始赢利

C.当销售量为2台时，该公司亏本1万元D.当销售量为6台时，该公司赢利1万元

7.如图，点A，的坐标为（—1,0）,4在y轴的正半轴，且幺4。=30。写过为作垂足为&，交X轴

于点4,过人作垂足为4,交了轴于点44,过4作垂足为人广交》轴于点上,

按如此规律进行下去，则点4020的纵坐标为（）

A2

_\A3

0/x

8.如果把分式一L中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（

x-y

A.不变B.缩小2倍C.扩大2倍D.扩大4倍

10.若菱形的周长为16,高为2,则菱形两个邻角的比为（)

A.6:1B.5:1D.3:1

11.如图，在平行四边形ABC。中，OE平分NAOC交3C于E,AF±DE,垂足为凡已知NZM歹=50°,则N3=

C.80°D.100°

12.如图，正方形ABC。的边长为3,点E,E在正方形A5CO.内若四边形AEC下恰是菱形，连结EB,DE,且

AF2—FB?=3,则菱形AECF的边长为（）.

A.0B.6C.2D.75

二、填空题（每题4分，共24分）

13.八年级（1）班安排了甲、乙、丙、丁四名同学参加4x100米接力赛，打算抽签决定四人的比赛顺序，则甲跑第一

棒的概率为.

14.如图，点A,B分别在x轴、y轴上，点O关于AB的对称点C在第一象限，将AABC沿x轴正方向平移k个单

位得到4DEF（点B与E是对应点），点F落在双曲线yh上，连结BE交该双曲线于点G.ZBAO=60°,OA=2GE,

X

则k的值为.

15.若《75在实数范围内有意义，则x的取值范围是

10xy

16.化简:

25%y

17.若代数式5X+5的值等于0,则*=.

2x-6

18.二次函数y=—6（尤一5）2+8的图象的顶点是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）阅读理解：

我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30。、45。特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学

问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解

决数学问题.

阅读下列材料，完成习题：

如图1,在R3A5C中，NC=90。，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦（sine）,记作sinA,即

NA的对边a

sinA=-----------二—

斜边C

....3

例如：a=3,c=7,则sinA=一

7

问题：在RtAABC中，NC=90。

(1)如图2,BC=5,AB=8,求sinA的值.

(2)如图3,当N4=45。时,求sinB的值.

(3)AC=2y[3,sinB=昱,求3C的长度.

20.（8分）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过10吨，按每吨3元收费.如果超过10吨，未

超过的部分每吨仍按3元收费，超过的部分按每吨5元收费.设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元.

（1）分别写出每月用水量未超过10吨和超过10吨，y与x之间的函数关系式；

（2）若该城市某户5月份水费70元，该户5月份用水多少吨？

21.（8分）某中学计划购进甲、乙两种学具，已知一件甲种学具的进价与一件乙种学具的进价的和为40元，用90元

购进甲种学具的件数与用150元购进乙种学具的件数相同.

(1)求每件甲种、乙种学具的进价分别是多少元？

(2)该学校计划购进甲、乙两种学县共100件，此次进货的总资金不超过2000元，求最少购进甲种玩具多少？

22.(10分)仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.

解：设另一个因式为(x+n),得

x2-4x+m=(x+3)(x+n)

贝!|x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n

(n+3=-4

{m=3n.

解得：n=—7,m=—21

••・另一个因式为(x—7),m的值为—21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及k的值.

k1

23.(10分)如图，反比例函数y=—的图像与一次函数y=-X的图像交于点AB,点3的横坐标是4,点尸是第一

x4

象限内反比例函数图像上的动点，且在直线的上方.

(1)若点P的坐标是(1,4),贝！］左=,SAMB=；

(2)设直线K4、与x轴分别交于四、N点,求证：APMN是等腰三角形；

(3)设点。是反比例函数图像位于5之间的动点(与点P、8不重合)，连接AQ、BQ,比较NPAQ与NP8Q

的大小，并说明理由.

24.(10分)如图，在直角坐标系中，已知点A(-3,0),B(0,4),对△Q43连续作旋转变换，依次得到△］、△?、

△、、则△ztno的直角顶点的坐标为.

25.(12分)如图，每个小正方形的边长都为1,四边形A3C。的顶点都在小正方形的顶点上.

(1)求四边形ABC。的面积；

(2)N5CZ)是直角吗？说明理由.

26.如图，在△A3C中，。，46于点。，E是AC的中点，若AD=3,DO=4,求。石的长.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、B

【解题分析】

根据众数、中位数的意义，分别求出众数、中位数，再做出选择即可.

【题目详解】

车速出现次数最多的是52千米/时，因此车速的众数是52,

一共调查27辆车，将车速从小到大排列后，处在中间的一个数是52,因此中位数是52,

故选：B.

【题目点拨】

本题考查中位数、众数的意义和计算方法，掌握中位数、众数的计算方法是得出答案的前提.

2、A

【解题分析】

先比较出平均数，再根据方差的意义即可得出答案.

【题目详解】

解：由根据方差越小越稳定可知，甲的质量误差小，

故选：A.

【题目点拨】

此题考查方差的意义.解题关键在于掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均

数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波

动越小，数据越稳定.

3、A

【解题分析】

连接OA、OB,由NA=65。，根据三角形内角和定理求出NABC+NACB=115。，根据线段的垂直平分线的性质得到

OA=OB,OA=OC,根据等腰三角形的性质计算即可.

【题目详解】

解：如图，连接OA、OB,

VZBAC=65°,

.,.ZABC+ZACB=115°,

是AB,AC垂直平分线的交点，

/.OA=OB,OA=OC,

.,.ZOAB=ZOBA,ZOCA=ZOAC,OB=OC,

.,.ZOBA+ZOCA=65°,

二ZOBC+ZOCB=115°-65o=50°,

VOB=OC,

.,.ZBCO=ZOBC=25°,

故选：A.

【题目点拨】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：线段的垂直平分线上的点到

线段的两个端点的距离相等.

4、C

【解题分析】

由平行四边形的判定可求解.

【题目详解】

解：A、四边都相等是四边形是菱形，也是平行四边形；故该选项不合题意；

B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故该选项不合题意；

C、对角线互相垂直的四边形不是平行四边形，故该选项符合题意；

D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故该选项不合题意；

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是本题的关键.

5、C

【解题分析】

先求出对角线BD长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高求解BC边上的高.

【题目详解】

解：设AC与BD交于点O,

A

•.•四边形ABCD是菱形，

/.AO±BO,且AC=2AO,BD=2BO.

在RtAAOB中利用勾股定理可得BO=752-32=1.

.,.BD=2BO=2.

/.菱形的面积为-BDxAC=-x6x2=21.

22

设BC变上的高为h,则BCxh=21,即5h=2Lh=1.2.

故选C.

【题目点拨】

本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形面积的两种计算方法.

6、A

【解题分析】

利用图象交点得出公司盈利以及公司亏损情况.

【题目详解】

解：A、当销售量为4台时，该公司赢利0万元，错误；

B、当销售量多于4台时，该公司才开始赢利，正确；

C、当销售量为2台时，该公司亏本1万元，正确；

D、当销售量为6台时，该公司赢利1万元，正确；

故选A.

【题目点拨】

此题主要考查了一次函数的应用，熟练利用数形结合得出是解题关键.

7、B

【解题分析】

3

根据已知利用30。角的直角三角形中边角关系，可依次求出4(0,6),4((也)2,0),A4(0)-(A/3)).4(—(6)4,

0),…，再由2020+4=505,可知点4020在y轴的负半轴上，即可求解.

【题目详解】

解：A的坐标为(T,0),幺40=30。,

过4作4AJ_A&,

ZAA,O=30°,

.•・A((G)2,0),

过人作

ZA.A4O=30°,

.•・4(。，-(后)，

过作

NA4Ao=30°,

.・.&(-(后，o),

2020+4=505,

•••点Ao2。在y轴的负半轴上，

二点&)20的纵坐标为-(百严巴

故选：B.

【题目点拨】

本题考查探索点的规律；利用30。角的特殊直角三角形的边角关系，分别求出各点坐标找到规律是解题的关键.

8、C

【解题分析】

直接利用分式的性质化简得出答案.

【题目详解】

解：把分式为中的x和y都扩大为原来的2倍，

彳一〉

2-2x-2y4xy

则原式可变为:

2x+2yx+y

故分式的值扩大2倍.

故选：c.

【题目点拨】

此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键.

9、B

【解题分析】

V3＞0,

,图像经过一、三象限.

故选B.

点睛：本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于尸质，当上＞0时，片区的图象经过一、三象限；当左＜0时,

产质的图象经过二、四象限.

10、B

【解题分析】

由锐角函数可求NB的度数，可求NDAB的度数，即可求解.

【题目详解】

•••四边形ABCD是菱形，菱形的周长为16,

；.AB=BC=CD=DA=4,

,.•AE=2,AE±BC,

BE1

•\sinZB=-----

AB2

:.NB=30°

•.•四边形ABCD是菱形,

；.AD〃BC,

.•.ZDAB+ZB=180°,

.•.ZDAB=150°,

二菱形两邻角的度数比为150。：30°=5；1,

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，能求出NB的度数是解决问题的关键.

11、C

【解题分析】

由平行四边形的性质及角平分线的性质可得NADC的大小，进而可求解NB的度数.

【题目详解】

解：在RtZ\A。尸中，VZDAF=50°,

AZAZ>E=40°,

又•.*OE平分NAOC,

/.ZAZ>C=80°,

：.ZB=ZADC=8Q°.

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握，并能做一些简单的计算问题.

12、D

【解题分析】

过点F作FM_LAB,则FM=BM,BF2=2FM2,由AF?-FB2=3可得AM-BM=L可求出AM=2,BM=1,则

AF的长可求出.

【题目详解】

如图，过点F作FMLAB,

DC

；.FM=BM,

/.BF2=2FM2,

AAF2-BF2=AF2-FM2-BM2=3

.,.AM2-BM2=3,

；AM+BM=3,

，AM=2,BM=1,

•••AF=y/AM2+FM2=V22+l2=逐•

故选：D.

【题目点拨】

此题考查菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，注意构造直角三角形是解决问题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

1

13、一

4

【解题分析】

【分析】抽签有4种可能的结果，其中抽到甲的只有一种结果，根据概率公式进行计算即可得.

【题目详解】甲、乙、丙、丁四人都有机会跑第一棒，而且机会是均等的，

抽签抽到甲跑第一棒有一种可能，

所以甲跑第一棒的概率为工,

4

故答案为：一.

4

【题目点拨】本题考查了简单的概率计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

14、25平

【解题分析】

设OA等于2m,由对称图形的特点，和勾股定理等把C点和B点坐标用含m的代数式来表示，F、E、G是由4ABC

平移K个单位得到，坐标可以用含m和k的代数式表示，因为G、F在双曲线上，所以其横纵坐标的乘积都为k,据

此列两个关系式，先求出m的值，从而可求k的值.

【题目详解】

如图：作CH垂直于x轴，CK垂直于y轴，

由对称图形的特点知，CA=OA,设OA=2m,

VZBAO=60°,

.,.OB=2^m,AC=2m,ZCAH=180°-60°-60°=60°,

.,.AH=m,CH=J3m,

...C点坐标为（3m,G?n）,

则F点坐标为（3m+k,pn）,

F点在双曲线上，则（3m+k）xpn=k,

B点坐标为（0,2Gm）,

则E点坐标为（k,2ypm）,

G点坐标为（k-m,2^m）,

贝（k-m）X2J3m=k,

（3m+k）Xiy3m=（k-m）Xl^m,

整理得k=5m,代入（k-m）2Azsm=k中，

得4mx2^/3m=5m,

即m=0（舍去），m=5如,

T4

贝酎<郃,

k=5m=音2

故答案为：25G.

~TA~

【题目点拨】

本题考查了平面直角坐标系中反比例函数与三角形的综合，灵活运用反比例函数的解析式与点的坐标间的关系是解题

的关键.

15、x2-2

【解题分析】

分析：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可.

详解：Tx+ZK）

x>-2.

故答案为x2-2.

点睛：此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键.

【解题分析】

分子分母同时约去公因式5xy即可.

【题目详解】

IQxy_2

解：25尤3y2一5炉十

2

故答案为一.

5xy

【题目点拨】

此题主要考查了分式的约分，关键是找出分子分母的公因式.

17、2

【解题分析】

由分式的值为零的条件得X2-5X+6=0,2x-6/0,

由X2-5X+6=0,得x=2或x=3,

由2x-6#,得x#3,

x=2.

18、（5,8）

【解题分析】

根据二次函数的解析式，直接即可写出二次函数的的顶点坐标.

【题目详解】

根据二次函数的解析式可得二次函数的顶点为：（5,8）.

故答案为（5,8）

【题目点拨】

本题主要考查二次函数的顶点坐标的计算，关键在于利用配方法构造完全平方式,注意括号内是减号.

三、解答题（共78分）

19、（1）-;（2）—;（3）2.

82

【解题分析】

分析：（1）根据sinA="合边直接写结论即可;

斜边

（2）设AC=x,则BC=x,根据勾股定理得43=夜》，然后根据sinA="坐?边计算;

斜边

（3）先根据sin展正求出A5的值，再利用勾股定理求5C的值即可.

2

详洋解初：（1小）s.in八4=-B-C-=—5；

AB8

（2）在RtAABC中，NA=45°,

设AC=x,则BC=x,AB="c，

前•a_A。_%_夜

贝4sinB-------——尸——----；

ABy[2x2

(3)sinB=—=—=,则AB=4,

2ABAB

由勾股定理得：BC2=AB2-AC2=16-12=4,

二BC=2.

点睛:本题考查了信息迁移，勾股定理，正确理解在RtAABC中，ZC=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做NA

的正弦是解答本题的关键.

20、(1)当OWxWlO时，y=3x,当x>10时，y=5x-20；(2)18

【解题分析】

(1)根据题意分别列出0W烂10和x>10时的y与X的函数关系式；

(2)通过讨论得到用户用水量的大致范围，代入相应函数关系式即可.

【题目详解】

解：(1)由已知，当08勺0时，y=3x

当x>10时,y=3xl0+(x-10)x5=5x-20

(2)当每月用水10吨时，水费为30元

某户5月份水费70元时，用水量超过10吨

A5x-20=70

解得x=18

答：该户5月份用水18吨.

故答案为：(1)当OWxWlO时，y=3x,当x>10时，y=5x-20；(2)18.

【题目点拨】

本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数性质，运用了分类讨论的数学思想.

21、(1)甲，乙两种学具分别是15元/件，25元/件；(2)甲种学具最少购进50个.

【解题分析】

.(1)设甲种学具进价x元/件，则乙种学具进价为(40-x)元/件，根据一件甲种学具的进价与一件乙种学具的进价的和为

40元，用90元购进甲种学具的件数与用150元购进乙种学具的件数相同可列方程求解.⑵设购进甲种学具y件，则

购进乙种学具(100-y)件，根据学校决定此次进货的总资金不超过2000元，可列出不等式求解；

【题目详解】

(1)设甲种学具进价X元/件，则乙种学具进价为(40-X)元/件,

「•市90150

可得：一=——

x40-x

解得：x=15,

经检验x=15是原方程的解.

故40—x=25.

答：甲，乙两种学具分别是15元/件，25元/件;

(2)设购进甲种学具y件，则购进乙种学具(100-y)件,

15y+25（100-y）＜2000

解得：50<y.

答：甲种学具最少购进50个；

【题目点拨】

本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，列不等式解方案设计问题的运用，正确不等关系

是解题关键.

22、(x+4),20.

【解题分析】

根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式x2-4x+m的二次项系数是1，因式是(x+3)的一次项系数也是1,

利用待定系数法求出另一个因式•所求的式子2x2+3x-k的二次项系数是2,因式是(2x-5)的一次项系数是2,则

另一个因式的一次项系数一定是1,利用待定系数法，就可以求出另一个因式.

【题目详解】

解：设另一个因式为(x+a),得

2x2+3x-k=(2x-5)(x+a)

贝！12x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a

(2a-5=3

二.(—5a——k

解得：a=4,k=20

故另一个因式为(x+4),k的值为20

【题目点拨】

正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键.

23、(1)k=4,S“AB=15.(2)详见解析；(3)NPAQ=NPBQ,理由详见解析.

【解题分析】

(1)由P点坐标可直接求得k的值，过P、B两点，构造矩形，利用面积的和差可求得APBO的面积，利用对称，则

可求得APAB的面积；

(2)可设出P点坐标，表示出直线PA、PB的解析式，则可表示出M、N的坐标，作PG±x轴于点G,可求得MG=NG,

即G为MN的中点，则可证得结论；

(3)连接QA交x轴于点连接QB并延长交x轴于点N，，利用(2)的结论可求得NMMA=NQN，O,结合(2)

可得到NPMN=NPNM,利用外角的性质及对顶角进一步可求得NPAQ=NPBQ.

【题目详解】

(1)•••点P(1,4)在反比例函数图象上，

k=4xl=4,

•・・B点横坐标为4,

AB(4,1),

连接OP,过P作x轴的平行线，交y轴于点P。过B作y轴的平行线，交x轴于点B。两线交于点D,如图1,

・・・PPT,PrO=4,OBr=4,BBr=L

.\BD=4-1=3,PD=4-1=3,

•••SAPOB=S矩形OB'DP'-SAPP'O-SABB'O-SABDP=16-2-2-4・5=7・5,

TA、B关于原点对称，

/.OA=OB,

••SAPAO=SAPBO,

•SAPAB=2SAPBO=15；

(2)•.•点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方,

4

，可设点P坐标为(m,—),且可知A(-4,-1),

x

设直线PA解析式为y=k，x+b,

-4k'+b=-l

m

把A、P坐标代入可得，，，4解得

mk+b=一

、mb=--l

m

_14

直线PA解析式为y=—xH------1,令y=0可求得x=m-4,

mm

：.M(m-4,0),

14

同理可求得直线PB解析式为y=-—X+-+1,令y=0可求得x=m+4,

mm

AN(m+4,0),

MG=m-(m-4)=4,NG=m+4-m=4,

MG=NG,即G为MN中点，

.•.PG垂直平分MN,

；.PM=PN,即APMN是等腰三角形；

(3)NPAQ=NPBQ,理由如下：

连接QA交x轴于连接QB并延长交x轴于点N，，如图3,

，NMM，A=NQN，O,

由(2)知NPMN=NPNM,

:.ZPMN-ZMMfA=ZPNM-ZQNrO,

二ZPAQ=ZNBNf,

又NNBN，=NPBQ,

，NPAQ=NPBQ.

【题目点拨】

本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、垂直平分线的判定和性质、等于腰三角形的判定