2023-2024学年山东省德州市陵城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省德州市陵城区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

12

2-X

2.将抛物线y=|（x+l）-1平移后得到抛物线y2下列平移方法正确的是（)

A.先向右平移1个单位,再向上平移1个单位

B.先向左平移1个单位,再向下平移1个单位

C.先向左平移1个单位,再向上平移1个单位

D.先向右平移1个单位,再向下平移1个单位

3.在同一直角坐标系中，函数y=-依+k与y=三（卜70）的图象大致是（）

X

4.下列说法中，错误的有（）

①长度相等的弧是等弧；

②三点确定一个圆；

③平分弦的直径垂直于弦；

④三角形的内心到三角形三边的距离相等;

⑤各边相等的多边形为正多边形.

A.①②③④⑤B.②③④c.①②③⑤D.①②④⑤

5.如图。。是RMZBC的内切圆，D,E,9分别为切点，乙4cB=90。，则4EDF的度5

数为（）

A.25°

B.30°

C.45°

CF

D.60°

6.如图，某玩具品牌的标志由半径为lsn的三个等圆构成，且三个等圆。。「O

。2,。。3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（）

A12

A.-7rcmz

4

1

B.-7Tc9mz

Cc.1-Tic2m

D.Ttcm2

7.如图是小鹏自制作的正形飞镖盘，并在盘内画了两个正方形，则小鹏投掷飞时飞镖在区

影部分的概率（）

8.如图，四边形ABCD是O。的内接四边形，NB=58。，^ACD=40。若O。的半径

为5,则虎的长为（）

9.如图，△OAB与△OCD是以点。为位似中心的位似图形，相似比为1：2,ZOCD=90°,C。=C。.若

B（2,0）,则点C的坐标为（）

A.(2,2)B.(1,2)C.(A<2,2<2)D.(2,1)

10.如图，在A4BC中，AB=AC,ABAC=36。，以点C为圆心，以BC为半径作弧交

AC于点D,再分别以B,。为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P,

作射线CP交力B于点E,连接DE,以下结论不正确的是（）

A./.BCE=36°

B.BC=AE

-BE<5-1

c-丽=丁

DS*EC_门+1

.SABEC-2

11.如图，矩形力BCD的顶点力和对称中心在反比例函数y=*（k”x>0）±,若矩形4BCD的面积为8,

则k的值为（）

A.8B.3<3C.2/2D.4

12.小明利用学习函数获得的经验研究函数y=/+|的性质，得到如下结论:

①当工<一1时，％越小，函数值越小；

②当一lv%V0时，％越大，函数值越小；

③当0<%VI时，％越小，函数值越大；

④当%>1时，X越大，函数值越大.

其中正确的是(只填写序号)()

A.②③④B.①②③④C.①③④D.①②④

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

13.在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的圆周角是度

14.若二次函数y=ax2-bx-1的图象经过点(2,1),则2023-2a+b=

15.如图，已知点力(3,3),8(3,1),反比例函数y=g(kK0)图象的一支与线段

4B有交点，写出一个符合条件的k的整数值：.

16.为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所

示放置于桌面上，并量出4B=4CM,则这张光盘的半径是cm.(

精确到0.1cm.参考数据：^[3«1.73)

17.如图，D、E分别是AABC的边上ZB、BC上的点，DE//AC,若S^DE：S^CDE=

1：3,当SADOE—1时,则SAAOC的值为.

18.如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心坐标是(3,a)(a>3),半径为3,函

数y=久的图象被。P截得的弦力B的长为4/1,贝布的值是.

三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题8分)

如图，正比例函数为=gx和反比例函数%=5。〉。)的图象交于点40,2).

(1)求反比例函数的解析式；

(2)将直线04向上平移3个单位后，与y轴交于点B,与乃=g0＞。)的图象交于点C，连接AB,AC,求4

ABC的面积.

20.(本小题10分)

某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核.

学校抽取了部分学生的劳动积分(积分用x表示)进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图.

等级劳动积分人数

A%>904

B80<%<90m

C70<%<8020

D60<x<708

Ex<603

请根据图表信息，解答下列问题：

(1)统计表中a=,C等级对应扇形的圆心角的度数为；

(2)学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”.若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动

之星”大约有多少人；

(3)4等级中有两名男同学和两名女同学，学校从4等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状

图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率.

AE，D

16%

21.(本小题10分)

杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂

直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,雷峰塔的塔尖点B正好在同一

直线上，测得EC=3米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点尸，标杆的顶端点H,雷峰塔的塔

尖点8正好又在同一直线上(点/，点G,点E,点C与塔底处的点4在同一直线上)，这时测得FG=5米，

GC=60米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度2B.

B

22.(本小题12分)

如图，△4BC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为力(-1,2),B(-3,3),C(-3,l).

(1)画出△2BC关于y轴对称的44/16；

(2)以B为位似中心，在B的下方画出△々Be2,使△4BC2与△ABC位似且相似比为2：1；

(3)直接写出点4和点的坐标.

23.(本小题12分)

如图，AB是。。的直径，AC,CD是。。的弦，且CD14B,垂足为E,连接BD,过点B作。。的切线，交

AC的延长线于点F.

(1)求证：AABD=ZF；

(2)若点E是。B的中点，且。E=1,求线段BF的长；

24.(本小题12分)

如图，△力BC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，ABAC=AEDF=90°,△DEF的顶点E与△4BC的

斜边8c的中点重合，将ADEF绕点E旋转,旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线C4

相交于点Q.

(1)如图①，当点Q在线段4C上时，且力P=2Q,求证：&BPE乌&CQE；

(2)如图②，当点Q在线段C4的延长线上时，求证：ABPESACEQ；

(3)在(2)的条件下，若BP=a,CQ=^a时，求点P、Q两点间的距离.(用含a的代数式表示)

图①图②

25.(本小题14分)

如图，抛物线y=ax2+bx+言直线A8交于点4(-点。是直线2B上方抛物线上的一个动点(不

与点4、B重合)，经过点。且与y轴平行的直线交直线48于点C.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线2B上的动点.是否存在以点P,Q,C,D为

顶点的四边形是以CD为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：选项B的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；

选项A、C的图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；

选项。的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

故选：B.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折

叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.【答案】A

【解析】解：抛物线y=1(%+I)2-1的顶点坐标是(―1,一1),抛物线y=的顶点坐标是(0,0),

则平移的方法可以是：将抛物线y=+I/-1先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到抛物线

y=1x2.

故选：X.

原抛物线顶点坐标为(-1,-1),平移后抛物线顶点坐标为(0,0),由此确定平移规律.

本题考查了二次函数图象与几何变换.关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法.

3.【答案】A

【解析】【分析】

此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象

必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关.

根据k的取值范围，分别讨论k>0和k<0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选

择正确答案.

【解答】

解：①当左〉0时，

一次函数y=-依+k经过一、二、四象限，

反比例函数的y=((k力0)的图象经过一、三象限，

故A选项的图象符合要求,

②当々＜0时，

一次函数y=k%-k经过一、三、四象限，

反比例函数的y=5(kK0)的图象经过二、四象限，

没有符合条件的选项.

故选：A.

4.【答案】C

【解析】解：①长度相等而弧度不等的弧不是等弧，只有长度、弧度都相等，即能够重合的弧是等弧，因

此①不正确；

②不在同一直线的三点确定一个圆，因此②不正确；

③平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，因此③不正确；

④三角形的内心到三角形三边的距离相等，因此④正确；

⑤各边相等，各个内角也相等的多边形为正多边形，因此⑤不正确.

综上所述，不正确的有①②③⑤，

故选：C.

根据等弧的定义，确定圆的条件，垂径定理，三角形的内心的性质以及正多边形的定义逐项进行判断即

可.

本题考查等弧，确定圆的条件，垂径定理，三角形的内心，掌握等弧的定义，确定圆的条件，垂径定理，

三角形的内心的性质以及正多边形的定义是正确解答的关键

5.【答案】C

B

【解析】解:连接。E、OF,

是RtAABC的内切圆，D,E,5分别为切点，

OE1BC,OF1AC,

：./.OEC=/.OFC=90°,

CF

•••zC=90°,

.­./.EOF=90°,

1

乙EDF="EOF=45°,

故选C.

连接OE、OF,根据切线的性质求出NOEC=NOFC=90。，求出乙£。尸=90。，根据圆周角定理得出

4EDF=：/EOF,代入求出即可.

本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，多边形的内角和定理，圆周角定理的应用，关键是求出

NEOF的度数和求出NEDF=jz£OF.

6.【答案】C

【解析】解：如图，连接。通,02A,O'B,03B,02C,03C,。1。2，。1。3，。2。3,

则△。14。2，△。/。3，△O2CO3,△。1。2。3是边长为1的正三角形，

所以，S阴影部分=3S盛彩O\OzA

=^(cm2),

故选：C.

根据扇形面积的计算方法进行计算即可.

本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提.

7.【答案】A

【解析】解：•••阴部分的面积占总面的

••.飞镖落在影分的概率为

故A.

先求出影部分的面积整个大正形积的;，再根概率公式即可得答案.

8.【答案】C

【解析】解:连接04、0D、0C,

•••乙B=58°,ZXCD=40°,

•••Z40C=2LB=116°,AA0D=2AACD=80°,

ZDOC=36°,

...比的长=鬻=7r.

故选：C.

根据圆周角的性质，计算出弧DC所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可.

本题考查了弧长的计算和圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半.

9.【答案】A

【解析】解：NCMB=NOCD=90。，CO=CD,Rt△。48与Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为

(2,0),

ABO=2,贝Ija。=AB=yTz,

4(1,1),

•••等腰与等腰RtAOCD是位似图形，。为位似中心，相似比为1：2,

.••点C的坐标为：(2,2).

故选：A.

首先利用等腰直角三角形的性质得出4点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△48。和44B'C'以

原点为位似中心，相似比是k,AABC±-点的坐标是(x,y),则在AAB'C'中，它的对应点的坐标是

(kx,ky)或(—kx,-ky),进而求出即可.

此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标

之间的关系是解题的关键.

10.【答案】C

【解析】解:AB=AC,ABAC=36°,

由题意得：CP平分N4CB,

•••乙BCE=AACE=\^ACB=36°,

ZX=^ACE=36°,

•••AE=CE,

•・•乙CEB=+/.ACE=72°,

.•・乙B=(CEB=72°,

CB=CE,

•••AE=CE=CB,

(BCE=Z-BAC,乙ABC=乙EBC

:ABCs匕CBE

BE_BC

'~BC=AB

•••BC=AE

BE_AE

''AE=AB

BE/5-1

・'AE=2，

BE

...S^BCE==〃­1

S&AECAE2'

...S^AEC_2_V3+1

SABCE2'

故A、B、D不符合题意，C符合题意；

故选：c.

根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得乙4BC=乙4cB=72。，再根据题意可得：CP平分

匕ACB,从而可得=RACE=36。，然后利用等量代换可得乙4=乙/CE=36。，从而可得AE=CE,

再利用三角形的外角性质可得=NCEB=72。，从而可得CB=CE,进而可得==最后根据

△力BCSACBE可得寥=苧，从而可得第=亨，再利用三角形的面积可得沁=器=力，从而

BC2AE2^LAEC4七2

进行计算即可解答.

本题考查了黄金分割，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作图-基本作图，熟练掌握等腰三角

形的判定与性质是解题的关键.

11.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键.设4

点的坐标为⑺㈤则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为会根据中心在反比例函数y=5上，求出中

心的横坐标为生，进而可得出BC的长度，根据矩形4BCD的面积即可求得.

n

【解答】

设力点的坐标为（私n）,

则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为?

•・•矩形/BCD的中心在反比例函数y=5上,

kn

^y=x=2

2k

•••x=一,

n

•••矩形ABC。中心的坐标为年片)，

BC=2(--m)=--2m,

vn'n

•'S矩形ABCD=8,

•••(~—2m)•ri=8,

4fc-2mn=8,

•・•点/(7n,7i)在y=g上,

・•・mn=k,

4k—2k=8,

解得：k=4.

故选D

12.【答案】A

【解析】解：函数y=/+白的大致图象如下:

JX

①当》<-1时，％越小，函数值越大，错误；

②当一1<%<0时，％越大，函数值越小，正确；

③当OV%<1时，％越小，函数值越大，正确；

④当%>1时，％越大，函数值越大.正确.

故选：A.

画出函数y=/+|的图象，根据大致图象判断①②③④即可.

本题考查了函数图象及性质，数形结合是解答本题的关键.

13.【答案】45。或135。

【解析】解：如图，作。D148,垂足为。.

由垂径定理知，点。是4B的中点，

"""AD=—AB=

sin乙4。。=——^，

・•・^AOD=45°,AAOB=90°,

1

・•・乙ACB=^AOB=45°,

•・•力、C、B、E四点共圆，

•••^ACB+AAEB=180。（圆内接四边形对角互补），

•••^AEB=135°,

故答案为：45度或135度.

AB=^2,。/1=OB=L贝必B2=。炉+0^2,根据勾股定理的逆定理得到△2。8为直角三角形，且

乙AOB=90°.

本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两

组量也对应相等.也考查了勾股定理的逆定理.

14.【答案】2022

【解析】解：：y-ax2-bx-1的图象经过点(2,1),

■■.4a-2b-1=1,

2a—b=1,

2023-2a+b=2023-(2a—b)=2023-1=2022,

故答案为：2022.

把点(2,1)代入函数解析式求出2a—b=l,然后即可得解.

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关

键.

15.【答案】k=4(答案不唯一)

【解析】解:由图可知：k>0,

・•,反比例函数y=g(k〉0)的图象与线段AB有交点，且点2(3,3),5(3,1),

•••把B(3,1)代入y=：得，k=3,

把4(3,3)代入y=§得,k=3x3=9,

.•・满足条件的k值的范围是3<k<9,

故k=4(答案不唯一)，

故答案为：k=4(答案不唯一).

把点力(3,3),8(3,1)代入)/=5即可得到人的值，从而得结论.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意是解题的关键.

16.【答案】6.9

【解析】解：设光盘的圆心为。，由题意可知：AB,4C切O。于B、C,

连接。C,OB,OA,

如图所示：

•••AC,4B分别为圆。的切线，

.­.4。为“48的平分线，OC1AC,OB1AB,又4CAD=60°,

1

・•・^OAC=Z.OAB="CAB=60°,

在RtZkAOB中，Z-OAB=60°,AB=4cm,

•••tanZ-OAB=空，

AB

.・.OB=tanZ-OABxAB=V_3x4=4V-3«6.9(cm),

•••这张光盘的半径为6.9cm.

故答案为：6.9.

设光盘的圆心为。，连接。C,OA,0B,经过圆外一点人的两条直线/C与48都与圆。相切，根据切线长定

理得到4。平分两切线的夹角，由NC4)的度数求出的度数为60。，同时由切线的性质得到。8与Z8垂

直，在直角三角形中，由汝九60。等于对边。8与邻边之比，将及汝几60。的值代入，求出。3的长，

即为圆的半径.

此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定

理是解本题的关键.

17.【答案】16

【解析】解：1S"OE：S^CDE=1：3,

BE：CE=1：3,

BE1

•・•丽=4，

•・•DE//AC,

BDEs^BAC,

.些_竺_工

"IBC~AC~4"

•・•DE//AC,

・•.△DEOs^CAO,

.S^DEO_(DE\2_J_

••SkCAO~-16'

••・S^DOE=1，

S—oc=16,

故答案为：16.

由题意可得BE：CE=1：3,通过证明△BDESABAC,可得=段="通过证明△DEOs4^4。，可

DCAC4

彳哈DE_(吗2余即可求解・

S^CAO。W

本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

18.【答案】3+迎

【解析】解：作PC1久轴于C,交4B于。，作PE14B于E,连结PB,如

图，

•••OP的圆心坐标是(3,a),

0C=3,PC—a,

把％=3代入y=%得丫=3,

・・・。点坐标为(3,3),

CD=3,

・•.△OCD为等腰直角三角形，

・•.△PED也为等腰直角三角形，

•・,PE1AB,

AE=BE=gAB=gX4V_2=2V-2,

在RMPBE中，PB=3,

PE=J32一(271)2=1>

PD=41PE=y[2,

a—3+y/~2■

故答案为：3+/L

PClx轴于C,交AB于D,作PEIAB于E,连结PB,由于。C=3,PC=a,易得D点坐标为（3,3）,贝必

OCD为等腰直角三角形，APED也为等腰直角三角形.由PE1AB,根据垂径定理得4E=BE=，4B=

2<2,在RtAPBE中，利用勾股定理可计算出PE=1,贝l|PD==Y2所以a=3+/2.

本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知

识点.作出P到久轴的距离、求得。点的坐标是解题的关键，本题所考查知识较基础，难度不大.

19.【答案】解：（1）把力⑺,2）代入为=卜得:

=2,

解得TH=4,

・•・4(4,2),

把4(4,2)代入%=^(x>0)得：

)=2,

4

解得k=8,

二反比例函数的解析式为丫2=*

(2)过点C作CMlx轴于M,交AB于点N,如图:

^6\x

将直线。力向上平移3个单位后，其函数解析式为y=1%+3,

当久=0时，y=3,

・••点B的坐标为(0,3),

设直线48的函数解析式为y=mx+n,

将4(4,2),8(0,3)代入可得：

(4m+ri=2

1几=3

解得：[租=_/

In=3

・・・直线AB的函数解析式为y=—卜+3,

(1

y=-%+3

联立解析式得：I

解得:：4"

.,.(7点坐标为(2,4),

在y=-]%+3中，当久=2时，y=-,

.・.CN=4一三

S-BC=5、5、4=3；

・・.△ABC的面积为3.

【解析】(1)用待定系数法求函数解析式；

(2)根据平移的性质求得平移后直线的函数解析式，确定B点坐标，再用待定系数法求直线4B的解析式，

利用三角形面积公式列式计算.

本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关

键.

20.【答案】解：(1)15,144°;

4+1耳,

(2)2000x胃=760(人)，

答：估计该学校“劳动之星”大约有760人；

(3)画树状图如下：

开始

男男女'女

ZT\ZN/l\/K

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，

・•・恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为盘=|.

【解析】解：(1)抽取的学生人数为：8+16%=50(人)，

m=50-4-20-8-3=15,

C等级对应扇形的圆心角的度数为：360°x^=144°,

故答案为：15,144°；

(2)见答案；

(3)见答案.

(1)由。等级的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；

(2)由该学校共有学生人数乘以该学校“劳动之星”所占的比例即可；

(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，再由概率公

式求解即可.

本题考查了树状图法以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点

为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.【答案】解：根据题意得CD=GH=2米，EC=3米，FG=5米，GC=60米，

•・•CD//AB,

•••△EDCs工EBA,

tDC__EC_gn_2__3⑴

ABEA"AB3+以①’

•・•HG//AB,

•••△FHGs△FBA,

.HG=FG即2=5④

*'ABFA9即485+60+G4⑷，

由①②得急=焉旬，解得S=90（米），

把以=90代入①得嘉=承%，解得4B=62（米），

答：雷峰塔的高度4B为62米.

【解析】先证明△EDCSAEBA,利用相似比得到心①，再证明△FHGSAFBA,利用相似比得到

AbOT-C/1

磊=5+6；+u②，由①②得a=5+6；+4解得8=90（米），然后把C4=90代入①可求出AB的长•

本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时

刻物高与影长的比相等”的原理解决.

22.【答案】解：（1）如图1所示，△4当。1即为所求；

图I

（2）如图所示，△々BQ即为所求;

(3)依据图2可知,々QI)，C2(-3,-l).

【解析】(1)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；

(2)根据位似变换的性质找出对应点即可求解；

(3)根据作图直接写出坐标即可.

本题考查了轴对称变换的性质，位似变换的性质，熟练掌握轴对称变换以及位似变换的性质是解题的关

键.

23.【答案】⑴证明：・・・斯与。。相切于点8,

・•・/-ABF=90°,

乙4+乙尸=90°,

CD1AB,

・•・(DEB=90,

・•・乙D+Z.ABD=90°,

•・•匕A=,

••・乙ABD=Z.F；

(2)解:连接。C,BC,

■■AB1CD,点E是。8的中点,

...OB=WE=2,CD是。8的垂直平分线，

OC=BC,

•・•OC=OB,

OC=BC=OB,

・•.△OBC是等边三角形，

・•.Z.COB=60°,

1

・•・(A=三(COB=30°,

在RtAAB尸中，AB=2OB=4,

Dr_AB_4_4/3

••,BF=

.••线段BF的长为殍.

【解析】(1)根据切线的性质可得N4BF=90°,从而利用直角三角形的两个锐角互余可得NA+NF=90°,

再根据垂直定义可得ADEB=90,从而利用直角三角形的两个锐角互余可得4。+4ABD=90°,然后利用

同弧所对的圆周角定理可得乙4=N。，从而利用等角的余角相等可得N4BD=NF,即可解答；

(2)连接。C,BC,根据已知易得：OB=2,CD是。B的垂直平分线，从而可得。C=BC,进而可得。C=

BC=OB,然后利用等边三角形的判定可得△OBC是等边三角形，从而可得NCOB=60°,再利用圆周角定

理可得乙4=30。，最后在RtAABF中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答.

本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

图1

•■•AABC^ADEF是两个全等的等腰直角三角形,

•••NB=NC=乙DEF=45°,

•••Z-BEQ=Z-BEP+Z-DEF=Z-EQC+Z.C,

・•・乙BEP+45°=乙EQC+45°,

•••乙BEP=Z-EQC,

vAP=AQ,AB=AC,

・•.BP=CQ,

•・•Z-B=Z-C,

.MBPE会工CEQ(AAS)；

(2)如图2,

•・•乙BEQ=乙EQC+乙C,即4BEP+乙DEF=(EQC+zT,

•••Z-BEP+45°=Z,EQC+45°,

•••Z-BEP=Z-EQC,

又・・•AB=ZC,

•••△BPEs^CEQ；

(3)解：•.△BPEs^CEQ,

••瓦一市'

••・BE=CE,

o__CE_

瓦=歌

解得：BE=CE=

BC=3V_2a,

：.AB=AC=^BC=号乂32a=3a，

Q3

AQ=CQ-AC=-a-3a=-a,AP=AB—BP=3a—a=2a,

在RM4PQ中，PQ=