《高等数学上册 第2版》习题及答案 蒋国强 第1章习题答案

PAGEPAGE29习题解答习题1.11．求下列函数的定义域：(1)；(2)(3)；(4)；(5)．解（１）要使函数有定义，必须，即，故函数的定义域为．（２）要使函数有定义，必须，解之得，故函数的定义域为．（３）要使函数有定义，必须，解之得或，故函数的定义域为．（４）要使函数有定义，必须，即且，故函数的定义域为．（５）要使函数有定义，必须，解之得，故函数的定义域为．2．判断下列各组中的两个函数是否相同，并说明理由：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．解（１）这两个函数不同．因为它们的定义域不同，前者的定义域为，而后者的定义域为．（２）这两个函数相同．因为，所以它们的定义域与对应法则均相同．（３）这两个函数不同．因为，所以它们的对应法则不同．（４）这两个函数相同．因为它们的定义域与对应法则均相同．3．下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)所给函数是偶函数．(2)所给函数是奇函数．(3)所给函数是非奇非偶函数．(4)所给函数是偶函数．(5)所给函数是奇函数．(6)所给函数是奇函数．4．求下列函数的反函数：(1)；(2)；(3)．解(1)由得，．故所给函数的反函数为．(２)由得，．故所给函数的反函数为．(３)由得，．故所给函数的反函数为．5．设，求．解因为，故．于是，．6．设，求，及．解．7．设，求及．解8．已知的定义域为，求下列复合函数的定义域：(1)；(2)；(3)．解(1)函数的定义域为．(2)函数的定义域为．(3)函数的定义域为．9．在下列各题中，求由所给函数复合而成的复合函数，并求对应于所给自变量值的函数值：(1)；(2)；(3)．解(1)，；(2)，；(3)，，．10．某厂生产某种产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价销售，超过700吨时超过的部分打九折出售．试将销售总收益与销售量的函数关系用数学表达式表出．解设用表示销售量，用表示销售总收益，根据题意可得销售总收益R与销售量x的函数关系如下：11．假设某种商品的需求量是价格（单位：元）的函数：；商品的总成本是需求量的函数：；每单位商品需要纳税2元．试将销售利润表示为单价的函数．解根据题意，销售利润与单价的函数关系为：．习题1.21．观察下列数列的变化趋势，指出是收敛还是发散．如果收敛，写出其极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)收敛于．(2)收敛于0．(3)收敛于1．(4)发散．(5)收敛于．(6)发散．2．根据数列极限的定义证明：(1)；(2)．证(1)对于任意给定的正数，要使，只要，即．于是，取正整数，则当时，总有．据数列极限的定义，得．（2）对于任意给定的正数，由于，故要使，只要，即．于是，取正整数，则当时，总有．据数列极限的定义，得．3．证明：若，则．证由于，，所以因为，所以据数列极限的定义，对于任意给定的正数，存在正整数，当时，有，从而．再据数列极限的定义，有．习题1.31．根据函数极限的定义证明：(1)；(2)．证（1）对于任意给定的正数，由于，故要使，只要，即．于是，取正数，则当时，就有．据函数极限的定义，得．（２）对于任意给定的正数（不妨设），由于，故要使，只要，即．于是，取正数，则当时，就有．据函数极限的定义，得．2．根据函数极限的定义证明：(1)；(2)．证(1)对于任意给定的正数，由于，故要使，只要．于是，取正数，则当时，就有．据函数极限的定义，得．(2)对于任意给定的正数，由于，故要使，只要．于是，取正数，则当时，就有．据函数极限的定义，得．3．证明：函数当时极限为零．证，，因为，所以．4．求下列函数当时的左、右极限，并说明他们当时的极限是否存在：（1）（2）．解(1)，．因为，所以存在．(２)，．因为，所以不存在．习题1.41．下列函数在其自变量的指定变化过程中哪些是无穷小？哪些是无穷大？哪些既不是无穷小也不是无穷大？(1)，当时；(2)，当时；(3)，当时；(4)，当时；解(1)当时，函数为无穷大．(2)当时，函数为无穷小．(3)当时，函数为无穷小．(4)当时，函数既不是无穷小也不是无穷大．2．下列函数在自变量的哪些变化过程中为无穷小？在自变量的哪些变化过程中为无穷大？(1)；(2)．解(1)当或时为无穷小，当时为无穷大．(2)当时为无穷小，当或当时为无穷大．3．利用无穷小的性质求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)因为，且，所以．(2)因为是有界函数，且，所以．(3)因为是有界函数，且，所以．(4)因为，所以．

习题1.51．求下列极限：(1)(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；(14)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．(9)．(10)．(11)．(12)．(13)．(14)．2．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)．(2)．(3)．(4)．3．设，若已知：(1)；(2)；(3)，试分别求这三种情形下常数与的值．解．(1)由得，故．(2)由得，故，．(3)由得，故，为任意实数．4．已知存在且等于，求常数与的值．解因为，故．另一方面，，故．于是．习题1.61．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．2．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．3．利用极限夹逼准则证明：(1)；(2)．证(1)因为，而且，，故由夹逼准则得．(2)因为，而且，，故由夹逼准则得．习题1.71．当时，与相比，哪一个是高阶无穷小？解因为,所以当时，是比高阶的无穷小.2．当时，无穷小与下列无穷小是否同阶？是否等价？(1)；(2)；(3)．解(1)因为,所以当时，无穷小与同阶但不等价．(2)因为,所以当时，无穷小与同阶且等价．(3)因为,所以当时，无穷小与同阶但不等价．3．设当时，与是等价无穷小，求常数及正整数．解因为当时，与是等价无穷小，所以,由此得:，.4．利用等价无穷小代换法求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)习题1.81．研究下列函数在指定点处的连续性：(1)；(2)；(3)，．解(1)因为，，且，所以，从而在点处连续．(2)因为，所以在点处连续．(3)因为在点处无定义，所以在点处不连续．因为，，所以，从而在点处不连续．2．讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型：(1)；(2)；(3)；(4)解（1）为初等函数，其定义域为．由初等函数的连续性知，函数在其定义区间内连续，而点及为间断点．因为，所以是的第一类间断点，且是可去间断点．因为，所以是的第二类间断点，且是无穷间断点．（2）为初等函数，其定义域为．由初等函数的连续性知，函数在其定义区间内连续，而点及为间断点．因为，所以是的第二类间断点，且是无穷间断点．因为，，所以是的第一类间断点，且是跳跃间断点．（3）为初等函数，其定义域为．由初等函数的连续性知，函数在其定义区间内连续，而点为间断点．因为不存在（也不存在），所以是的第二类间断点．（4）为分段函数．显然在区间内连续．因为，，所以是的第一类间断点，且是跳跃间断点．因为，，所以是的第一类间断点，且是跳跃间断点．3．求函数的连续区间，并求．解为初等函数，其定义域为．由初等函数的连续性知，函数的连续区间为．．．．4．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．5．求常数a的值，使函数在点处连续．解，，要使在点处连续，只要，所以．6．设函数在内连续，求常数k．解，．由于在内显然连续，故要使在点内连续，只要使在点处连续，即使得，所以．习题1.91．证明方程至少有一个介于与之间的实根．证令，则在上连续，且，故据零点定理，函数在开区间内至少有一个零点，即方程至少有一个介于与之间的实根．2．证明方程至少有一个小于的正根．证令，则在上连续，且，据零点定理，函数在开区间内至少有一个零点，即方程至少有一个小于的正根．3．证明方程()至少有一个不超过的正根．证令，则在上连续，且，，据零点定理，函数在区间内至少有一个零点，即方程()至少有一个不超过的正根．4．设函数在闭区间上连续，且，证明：至少存在一点，使得．证因为函数在闭区间上连续，且，所以在闭区间上连续．于是，据最值定理得，在上取得最大值与最小值，从而．再据介值定理得，至少存在一点，使得．

总习题11．选择题(1)下列命题中错误的是（）．(A)两个偶函数的复合函数仍是偶函数(B)两个奇函数的复合函数仍是奇函数(C)两个单调增加函数的复合函数仍是单调增加函数(D)两个单调减少函数的复合函数仍是单调减少函数(2)若存在，不存在，则下列命题正确的是（）．(A)与都存在(B)与都不存在(C)必不存在，而可能存在(D)可能存在，而必不存在(3)当时，下列四个无穷小中，比其它三个更高阶的无穷小是（）．(A)(B)(C)(D)(4)设函数在上连续，且，函数在上有定义且有间断点，则必有间断点的函数是（）．(A)(B)(C)(D)(5)函数的连续区间是（）．(A)(B)(C)(D)解(1)应选Ｄ．例如：与均为单调减少函数，但它们的复合函数是单调增加函数．(2)应选C．必不存在．因为如果存在，则由及存在，得存在．这与题设矛盾．当，时，存在，不存在，而是未定式，可能存在．(3)应选A．因为当时，，，，，所以当时，与其它三个无穷小相比，无穷小的阶最高．(4)应选D．因为函数在上连续，如果函数在上连续，则函数也在上连续，与题设矛盾．(5)应选B．因为为初等函数，其定义域为．由初等函数的连续性知，函数的连续区间为．2．填空题(1)设都是常数，若，则，．(2)设函数是当时的无穷小，则常数，．(3)设当时，与是等价无穷小，则常数，．解(1)应填．因为，所以＝0，从而．于是，．(2)应填．因为由题设得，所以，，即，．(3)应填．因为由题设得，所以，，．3．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．4．设，当常数为何值时，(1)是函数的连续点？(2)是函数