《高等数学下册 第3版》 课件 D12-8 微分方程的解法

微分方程的解法机动目录上页下页返回结束习题课一、一阶微分方程求解

第十二章二、两类二阶微分方程的解法一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式(2)积分因子法——选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程机动目录上页下页返回结束例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解机动目录上页下页返回结束方程两边同除以x

即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为机动目录上页下页返回结束方法1

这是一个齐次方程.方法2

化为微分形式故这是一个全微分方程.机动目录上页下页返回结束例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为机动目录上页下页返回结束令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为机动目录上页下页返回结束变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:机动目录上页下页返回结束例3.机动目录上页下页返回结束设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:机动目录上页下页返回结束(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是二、两类二阶微分方程的解法

1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解机动目录上页下页返回结束2.二阶线性微分方程的解法

常系数情形齐次非齐次代数法

欧拉方程机动目录上页下页返回结束1.求以为通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为2.

求下列微分方程的通解提示:(1)令则方程变为机动目录上页下页返回结束特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思考若(2)中非齐次项改为提示:原方程通解为特解设法有何变化?机动目录上页下页返回结束3.

求解提示:

令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考若问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何确定?机动目录上页下页返回结束4.

设函数在

r>0内满足拉普拉斯方程二阶可导,且试将方程化为以r为自变量的常微分方程,并求f(r).提示:利用对称性,即(欧拉方程)原方程可化为机动目录上页下页返回结束解初值问题:则原方程化为通解:利用初始条件得特解:机动目录上页下页返回结束特征根:例1.求微分方程提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解:代入方程定A,B,得得机动目录上页下页返回结束处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:机动目录上页下页返回结束例2.且满足方程提示:

则问题化为解初值问题:最后求得机动目录上页下页返回结束思考:

设提示:

对积分换元,则有解初值问题:答案:机动目录上页下页返回结束的解.例3.设函数内具有连续二阶导机动目录上页下页返回结束(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对

x

求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03考研)机动目录上页下页返回结束代入原微分方程得①(2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:题目录上页下页返回结束由初始条件得故所求初值问题的解为练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度

y

与下沉速度v

之间的函数关系.

设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为

m,体积为B,海水比重为

,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0),试建立y与v

所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).(95考研)提示:建立坐标系如图.质量m体积B由牛顿第二定律重力浮力阻力注意:机动目录上页下页返回结束初始条件为用分离变量法解上述初值问题得质量m体积B得机动目录上页下页返回结束备用题

有特而对应齐次