《高等数学上册 第3版》 课件 D1-2 数列的极限

第二节第一章机动目录上页下页返回结束数列的极限一、数列的概念二、极限思想概述三、数列极限的定义四、收敛数列的性质刘徽目录上页下页返回结束一、数列的概念定义注1．数列的定义机动目录上页下页返回结束定义2．有界数列的定义机动目录上页下页返回结束定义3．单调数列的定义注机动目录上页下页返回结束定义4．子数列的定义注◎割圆术：播放——刘徽二、极限思想概述极限概念是由于求某些问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（三世纪）发明的“割圆术”

利用圆的内接正多边形的面积来推算圆面积的方法，就是极限思想在几何学上的应用．

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”机动目录上页下页返回结束正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积机动目录上页下页返回结束●极限思想:极限是变量的一种变化趋势，极限是由近似过渡到精确的桥梁．机动目录上页下页返回结束三、数列极限的定义考察下列四个数列：(1)(2)(3)(4)容易看出：当n无限增大时，数列（1）的一般项也无限增大；数列（2）的始终在1和－1两点上来回跳动；它们都不趋近于一个确定的常数．而数列（3）与（4）的情形就不一样，数列（3）无限趋近于常数0；数列（4）无限趋近于常数1．我们就称常数0为数列（3）的极限；常数1为数列（4）的极限．机动目录上页下页返回结束1．数列极限的描述性定义问题:“无限趋近”的实质是什么?如何用数学语言刻画它.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2．数列极限的分析定义（精确定义）注机动目录上页下页返回结束3．数列极限的几何解释机动目录上页下页返回结束例1已知证明数列的极限为1.

证

欲使即只要因此,取则当时,就有故机动目录上页下页返回结束证明证欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N

与

有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取机动目录上页下页返回结束例2已知证明等比数列证欲使只要即亦即因此,取,则当n>N

时,就有故的极限为0.机动目录上页下页返回结束例3设四、收敛数列的性质性质１（数列极限的唯一性）

［简言之，收敛数列的极限是唯一的．］机动目录上页下页返回结束性质２（收敛数列的有界性）

［简言之，收敛数列必有界．］注20有界是数列收敛的必要条件而非充分条件，即：有界数列不一定收敛，无界数列一定发散.例如数列：有界，但发散．机动目录上页下页返回结束证由数列极限的定义,对于当时，于是，机动目录上页下页返回结束证从而有性质３（收敛数列的保号性）

不妨设所以对推论如果数列从某项起有因为机动目录上页下页返回结束性质４（收敛数列的子列收敛性）

［简言之，收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．］注20发散的数列也可能有收敛的子数列．

机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束*********************证

设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证得

*********************机动目录上页下页返回结束返回刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“