八年级下册 第三章第02讲 图形的旋转(8类热点题型讲练)（解析版）

第02讲图形的旋转(8类热点题型讲练)1．掌握旋转的概念，了解旋转中心，旋转角，旋转方向，对应点的概念及其应用；2．掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题；(重点，难点)3．能够根据旋转的性质进行简单的旋转作图．知识点01旋转的概念（1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换.点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角；图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点.（2）旋转三要素：=1\*GB3①旋转方向；=2\*GB3②旋转中心；=3\*GB3③旋转角度注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上.知识点02旋转的性质旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.知识点03确定旋转中心确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.知识点04旋转作图旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.题型01判断生活中的旋转现象【例题】（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）下列运动形式属于旋转的是（

）A．足球在地上的滚动 B．电梯的运行 C．热气球点火升空 D．钟摆的摆动【答案】D【分析】本题考查了旋转的定义，根据“在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转”即可解答．【详解】解：A、足球在地上的滚动是旋转加上平移，不符合题意；B、电梯的运行是平移，不符合题意；C、热气球点火升空是平移，不符合题意；D、钟摆的摆动是旋转，符合题意；故选：D．【变式训练】1．（2023上·广西玉林·九年级统考期中）下列现象属于旋转的是（

）A．电梯的上下移动 B．飞机起飞后冲向空中的过程C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车【答案】C【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的定义是解题的关键；因此此题可根据旋转的定义“把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度”进行求解即可．【详解】解：A、B、D选项都不符合旋转的定义，而C选项符合旋转的定义，故C选项属于旋转现象；故选C．2．（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）下列生活中的实例是旋转的是（

）A．钟表的指针的转动 B．汽车在笔直的公路上行驶C．传送带上，瓶装饮料的移动 D．足球飞入球网中【答案】A【分析】根据旋转变换和平移变换的定义逐项判断即可得到答案．【详解】解：A、钟表的指针的转动，属于旋转变换，故此选项符合题意；B、汽车在笔直的公路上行驶，属于平移变换，故此选项不符合题意；C、传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移变换，故此选项不符合题意；D、足球飞入球网中，属于平移变换，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了旋转和平移的概念，把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换；熟练掌握此定义是解题的关键．题型02找旋转中心、旋转角、对应点【例题】（2023上·天津东丽·九年级校联考期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，(1)旋转中心是______．旋转角为______度．(2)求的长度．【答案】(1)C；90(2)【分析】（1）根据旋转中心和旋转角的概念求解即可；（2）根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求出．【详解】（1）解：∵将绕点C逆时针旋转得到，∴旋转中心是C，旋转角是和，∵在正方形中，∴旋转角为90度，故答案为：C，90；（2）解：由（1）知，旋转角是，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴．【点睛】本题考查了旋转图形的概念和性质，勾股定理，准确识别旋转角是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·辽宁大连·九年级统考期中）如图，四边形是正方形，E是上的一点，是的旋转图形．

(1)由顺时针旋转到，旋转中心是________，旋转角的度数是________；(2)连接，判断并说明的形状．【答案】(1)点；(2)是等腰直角三角形，理由见解析【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，正方形的性质，熟练利用旋转性质是解题关键．（1）利用旋转性质得出旋转中心，利用旋转位置得出旋转角即可；（2）利用旋转性质可得到，得到，，根据正方形性质求出，即可判定出是等腰直角三角形．【详解】（1）解：由图可知，顺时针旋转到，旋转中心是点，旋转角是，故答案为：点；；（2）如图：连接，

是等腰直角三角形，理由如下：旋转得到，，，，四边形是正方形，，，，即，是等腰直角三角形．2．（2023上·湖南永州·八年级校考开学考试）如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好成为的中点．

(1)旋转中心为点，并求出旋转角=度；(2)求出的度数和的长．【答案】(1)A；130(2)，【分析】（1）由“逆时针旋转一定角度后与重合”可得旋转中心点，求出即可得旋转角；（2）根据旋转的性质即可求解．【详解】（1）解：，即，逆时针旋转一定角度后与重合，∴旋转中心为点A，旋转的度数为130；故答案为：A；130（2）解：逆时针旋转一定角度后与重合，，，，，∵点C恰好成为AD的中点，，．【点睛】本题考查了旋转的相关知识点．熟记相关结论进行几何推理是解题关键．题型03根据旋转的性质求解【例题】（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到，则．【答案】【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握图形旋转不变性的性质是解题的关键．先根据直角三角形的性质求出的长，再由旋转的性质得出，，根据勾股定理即可得出结论.【详解】在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点A顺时针旋转得到，，，故答案为：【变式训练】1．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为．【答案】15【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，先由旋转的性质得到，进而得到，再由平行线的性质得到，即可得到答案．【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转，得到∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：15．2．（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，将绕点A旋转到的位置，点E在边上，与交于点G．若，，则．【答案】/65度【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质求得，根据三角形内角和定理求得，再根据对顶角相等求解即可．【详解】解：由旋转的性质得，，，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．题型04求绕原点旋转90°点的坐标【例题】（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）已知点，将点绕原点逆时针方向旋转得点，则点的坐标为．【答案】【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．作出图形，连接，过点A作轴于H，过点B作轴于，连接，然后根据点A的坐标求出，再根据旋转的性质求出，然后写出点的坐标即可．【详解】解：如图，连接，过点A作轴于H，过点B作轴于，连接，∵，，∵将点绕原点逆时针方向旋转得点，，∴点．故答案为：．【变式训练】1．（2023上·北京西城·九年级校考期中）如图，将含有角的直角三角板放置在平面直角坐标索中在x轴上，若，将三角板绕原点O旋转得到，则点A的对应点的坐标为．【答案】【分析】本题考查坐标与图形的变化—旋转，含角的直角三角形的性质和勾股定理．过点A作轴于点C，求出，的长度是解题关键．【详解】解：过点A作轴于点C，则，，∴，即，∴，∴，∴点的坐标为，故答案为：．2．（2023下·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，B点在第一象限，A点在x轴正半轴上，，点B到x轴的距离是8，将绕点O逆时针旋转，点B对应点的坐标是．

【答案】【分析】过B作于，过作轴于，构建，利用勾股定理得到，即可得出答案．【详解】过B作于，过作轴于，

∴，∴，由旋转可知，，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．题型05求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标【例题】（2023上·全国·九年级期末）平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为．【答案】【分析】分三种情况：当点在轴正半轴时；当点在原点时；当点在轴负半轴时，利用三角形全等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案．【详解】解：当点在轴正半轴时，如图，作轴于，设，则，，

，，，，将绕点顺时针旋转得到，，，，，，，，在和，，，，，，，，，，当点在原点时，如图所示，

，，，，将绕点顺时针旋转得到，，；当点在轴负半轴时，如图，作轴于，设，则，，

，，，，将绕点顺时针旋转得到，，，，，，，在和，，，，，，点在第四象限，，，，，综上所述：当时，取到最小值，为，此时，故答案为：．【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点间的距离等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想解题．【变式训练】1．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是．【答案】【分析】本题考查了旋转；根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求解．【详解】解：点P位置如图所示，则点P的坐标是，故答案为：．2．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，点A的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段若点的坐标为，则点的坐标为．

【答案】【分析】过作轴于点，通过证得，得出，，可得点的坐标，【详解】解：过作轴于点，如图：

，，，，，，，，，点A的坐标为，点的坐标为，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．题型06平面直角坐标系中旋转作图【例题】（2024上·吉林松原·九年级校联考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平而直角坐标系，的顶点都在格点上，已知点，．(1)将向右平移个单位长度得到，请画出；(2)将绕点顺时针旋转，画出所得的．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了平移作图，旋转作图；（1）根据题意将向右平移个单位长度得到；（2）根据旋转的性质画出．【详解】（1）如图，即为所求．（2）如图，即为所求．【变式训练】1．（2023上·四川自贡·九年级校考期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上，(1)画出将向下平移4个单位长度得到的；(2)画出绕点C逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析，点的坐标【分析】本题主要考查了作图平移变换，旋转变换等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．（1）根据平移的性质即可画出图形；（2）根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点的坐标；【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，即为所求；∴点的坐标．2．（2024上·陕西延安·九年级统考期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是单位1，是格点三角形．(1)画出将向右平移2个单位得到的；(2)画出将绕点O顺时针方向旋转得到的，并写出点的坐标．【答案】(1)详见解析(2)详见解析，【分析】（1）分别找到点向右平移2个单位得到的对应点，顺次连接即可；（2）分别找到点绕点O顺时针方向旋转得到的对应点，顺次连接即可得到所求的，再写出点的坐标即可；此题考查了平移和旋转的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．【详解】（1）解：如解图，即为所求；（2）如图，即为所求，点的坐标为．题型07坐标与旋转规律问题【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4）…，则三角形（2019）的直角顶点的坐标为．【答案】【分析】本题考查了坐标与图形变换—旋转规律型问题，解决本题的关键是找到循环节，确定循环的次数．先用勾股定理求出的长，从而得到的周长为12，根据旋转变换可得的旋转变换为每3次一个循环，由于，由此可判断三角形（2019）与三角形（3）的状态一样，然后计算即可得到三角形（2019）的直角顶点坐标．【详解】∵，，，，的周长，观察发现每连续3次旋转后与原来状态一样，，∴三角形（2019）与三角形（3）的状态一样，∴三角形（2019）的直角顶点的横坐标为，∴三角形（2019）的直角顶点的坐标为，故答案为：．【变式训练】1．（2023上·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…，若点、，则点的横坐标为．

【答案】【分析】可求，，，，可得当为偶数时，，当为奇数时，，即可求解．【详解】解：由题意得，，，，，，，，，，，当为偶数时，，当为奇数时，当时，，，故答案∶【点睛】本题考查了动点坐标规律，找出规律是解题的关键你．2．（2023下·广西·七年级广西大学附属中学校考期中）如图，已知点，将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转241次，点A依次落在点，，，…，的位置，则的坐标是．【答案】【分析】先求出，，，，，找到规律求解．【详解】解：由题意得：从A开始翻转，当旋转到时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为次一循环．，，，，，，，，，，，，，，，，，当时，即，解得，横坐标为，纵坐标为，则的坐标，故答案为：．【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．题型08旋转综合题——几何变换【例题】（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）如图，在中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到．

(1)若，写出旋转角及其度数；(2)当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转角为；（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，，即可求解；【详解】（1）当时，，∵旋转得到，其中旋转到.∴旋转角为；（2）∵，，∵旋转得到，，，即，，即，；【点睛】该题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解答该题的关键是掌握旋转的性质．【变式训练】1．（2023上·河南濮阳·八年级统考期中）已知：如图1，中，，D、E分别是、上的点，不难发现、的关系．(1)将绕A点旋转到图2位置时，写出、的数量关系；(2)当时，将绕A点旋转到图3位置．①猜想与有什么数量关系和位置关系?请就图3的情形进行证明；②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出的度数．【答案】(1)(2)①，，证明见解析，②或【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．（1）证明，即可作答；（2）①同理先证明，即有，，在和中，根据，，即有，则有，问题得解；②分两种情况：第一种：当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，第二种：当点C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，画出图形，结合在等腰中，，以及，即可作答．【详解】（1）∵，

即，在和中，，，，∴∴；（2）①，，证明：如图，交于点F，交于点M，∵，∴，

即，在和中，，，，∴∴，，在和中，∵，，∴，∵，∴，∴，因此，；②如图，当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，如图I所示，在等腰中，，∵，∴，∴；当点C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，如图II所示，在等腰中，，∵，∴，∴；故的度数为：或．2．（2023上·湖北黄冈·九年级统考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长．【答案】(1)，(2)（1）中的结论成立，理由见解析(3)或【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论；（2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论；（3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论；②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论．【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，∴，，，，∵，，故答案为：；（2）解：（1）中结论仍然成立，理由：由旋转知，，，，，，，，，，，；（3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，∵是等腰直角三角形，且，∴，，，在中，，，，在中，，，在中，；②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，∵是等腰直角三角形，且，∴，，，在中，，，，在中，，，在中，；综上，的长为或．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．一、单选题1．（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（

）A．可回收物

B．有害垃圾

C．厨余垃圾

D．其他垃圾

【答案】A【分析】本题考查了旋转对称图形，正确记忆相关概念是解题关键．如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，由此即可判断．【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以都是旋转对称图形；选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，所以不是旋转对称图形．故选：A．2．（2024上·河北唐山·七年级统考期末）如图，绕点O逆时针旋转，得到，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角以及旋转前后对应角相等是解题关键．【详解】解：由题意得：，，∴，故选：C3．（2024上·江西上饶·九年级统考期末）如图，将一块含有的直角三角板（假定，）绕顶点A逆时针旋转得到，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意得到，得到，即可得到答案．【详解】解：依题意得，，，，．故选B．4．（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，那么的对应点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，由线段绕点顺时针旋转得到线段可以得出，，作轴于，轴于，就可以得出，就可以得出，，由的坐标就可以求出结论．【详解】解：线段绕点顺时针旋转得到线段，

，．作轴于，轴于，．，，．在和△中，，，∴，．∵，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，点的坐标的运用，正确作出辅助线并证得是解决问题的关键．5．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】本题考查了旋转性质的应用，三角形内角和定理和等边对等角，根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，然后利用三角形内角和定理和等边对等角逐项求解判断即可．【详解】①绕点逆时针旋转得到，，故①正确；②绕点逆时针旋转，．，．，．∴，故②正确；③在中，，，．．与不垂直，故③不正确；④在中，，，．，故④正确．①②④这三个结论正确．故选：D．二、填空题6．（2023上·山西吕梁·九年级统考期末）如图，在中，以点A为旋转中心，将逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为．【答案】/39度【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质；掌握旋转的性质，是解题的关键．根据旋转的性质，得到，，利用等边对等角，进行计算即可．【详解】解：根据旋转的性质，可得：，，故答案为：．7．（2023上·安徽淮南·九年级统考期末）如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则A的坐标为．【答案】【分析】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点、关于点成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．设点的坐标是，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．【详解】解：根据题意，点、关于点对称，设点的坐标是，则，，解得，，点的坐标是．故答案为：．8．（2024上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为．【答案】3【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，，即可求解．【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，，，，，，故答案为：3．9．（2024上·天津宁河·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点旋转后的对应点为，．如图，当点落在边上时，旋转角的大小为，点的坐标为．【答案】/45度【分析】本题考查了坐标与图形、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，由点，点得出，从而得出是等腰直角三角形，由勾股定理可得，当点落在边上时，由旋转的性质可得：，，求出即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：点，点，，是等腰直角三角形，，，当点落在边上时，由旋转的性质可得：，，旋转角的大小为，，点的坐标为，故答案为：，．10．（2024上·辽宁盘锦·九年级校考期末）如图，，，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转度得到，当是直角三角形时，的长为．【答案】10或【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，旋转的性质．根据勾股定理可求出，先根据全等三角形的性质和旋转的性质，得到，从而得到．再分情况讨论：①当时；②当时，利用勾股定理分别求解，即可得到答案．利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．【详解】解：，，，由勾股定理得：，，，绕点D顺时针旋转得到，，点D为的中点，，①当时，

，，；②当时，

在中，，在中，，综上可知，的长为10或．故答案为：10或．三、解答题11．（2023上·重庆忠县·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．(1)将绕坐标原点O顺时针旋转为，写出点、、的坐标，并在图中作出；(2)求的面积．【答案】(1)图见解析，，，，(2)【分析】本题考查作图旋转变换，在网格图中求三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．（1）根据旋转的性质可得点、、的坐标，画图即可．（2）利用割补法求三角形的面积即可．【详解】（1）解：如图，即为所求．点、、．（2）解：的面积为．12．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）如图，点E是正方形内一点，连接，将绕点B顺时针旋转90°到的位置（），连接．(1)判断的形状为；(2)若，，，求的度数．【答案】(1)等腰直角三角形(2)【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理．（1）根据旋转的性质，得到，即可得出结论；（2）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理得到，即可得出结论．掌握旋转的性质，是解题的关键．【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转90°到的位置，∴，∴为等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（2）∵旋转，∴，∴，∵为等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴．13．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，延长交于点F．(1)直接写出的度数；(2)若，求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转前后对应边相等，对应角相等，正确画出辅助线，构造等腰三角形是解题的关键．（1）根据旋转的性质得出，结合得出，即可得出结论；（2）连接，根据旋转的性质得出，，则，进而得出，则，根据三线合一得出，即可求证．【详解】（1）解：∵绕点C顺时针旋转得到，∴，∵，∴，∴，∴；（2）证明：连接，∵绕点C顺时针旋转得到，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．14．（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，将一个钝角（其中）绕点顺时针旋转得，使得点落在的延长线上的点处，连接．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见详解(2)【分析】本题主要考查了旋转的性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由旋转的性质可得，，从而得出，为等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可推出；（2）由平行线的性质结合旋转的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，，∴，∴为等边三角形，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴．15．（2024上·甘肃武威·九年级校联考期末）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接、与交于点．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（）证明即可求证；（）由，得到，再根据得到，由三角形的外角性质即可求出的度数；本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，∴，∵将线段绕点旋转到的位置，∴，在与中，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．16．（2024上·浙江台州·九年级统考期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，旋转角为，，分别交于点F，G，连接．

(1)求证：；(2)若，，．①求的长；②连接，，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)①；②5【分析】（1）根据旋转