高等数学下册第2版蒋国强习题答案

PAGEPAGE22习题解答习题7—11.设向量，，用表示。解：2.把的边四等分，分点依次是，再把各分点与点连接。如果，，试用表示向量、、。解：因为，所以，，，于是，同理，.3.用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。证明：设，，则，，于是，，所以三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。4.指出下列各点在直角坐标系中的哪个卦限；；；。解：Ⅱ；Ⅴ；Ⅷ；Ⅳ.5.指出下列各点在直角坐标系中的位置；；；。解：xOy面；yOz面；y轴；x轴.6.求点关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。解：（1）各坐标面:xOy面，；yOz面，；zOx面，.（2）各坐标轴：x轴，；y轴，；z轴，.（3）坐标原点：.7.已知立方体的一个顶点在原点，三条棱在正的半坐标轴上，若棱长为，求它的其它各顶点的坐标。解：如图立方体在xOy面内的四个点的坐标分别为，，，；与xOy面平行的平面内的四个点的坐标分别为，，，；8.已知两点、，试用坐标表达式表示向量及。解：，9.求点到各坐标轴的距离。解：点到x轴的距离为；点到y轴的距离为；点到z轴的距离为.10.在面上，求与三点、、等距离的点。解：设该点为，根据题意，，解上述方程组，有，故所求点为：．11.试证明以三点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形。证明：利用两点间的距离公式计算，可得由于，，故是等腰直角三角形．12.求平行于向量的单位向量。解：因为，所以，于是，即或.13.设、，计算向量的模、方向余弦及方向角。解：向量，，所以；．14.设向量的方向余弦分别满足（1）；（2）；（3），那么这些向量与坐标轴或坐标面有什么关系？解：（1）因为,所以，于是向量垂直于y轴，也就是向量平行于zOx面。（2）因为,所以.于是向量平行于z轴正向，垂直于xOy面。（3）因,所以.于是向量既垂直于y轴，又垂直于z轴，亦即垂直于yOz面，从而向量平行于x轴。15.设向量与轴的夹角为，且其模是6，求在轴上的投影。解：16.一向量的起点在点，它在轴，轴和轴上的投影依次为-2，4和6，求该向量的终点的坐标。解：设终点的坐标为，根据题意有，解得，故点为：.设，和，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量。解：因为所以在轴上的投影为，在轴上的分向量为.习题7—2设，，求（1）和；（2）和；（3）、夹角的余弦。解：（1），.（2），.（3），.2.设单位向量、、满足，求。解：因为、、为单位向量，所以，由有，所以.3.设向量，，求（1）在上的投影；（2）在上的投影。解：（1）（2）.4.把质量为100kg重的物体从沿直线移动到，求重力所作的功（长度单位为m，重力方向为轴负方向）。解：物体移动的位移为，重力，于是重力所作的功.5.设向量，，若与轴垂直，求和的关系。解：因为,轴单位向量为.若与轴垂直，则有，因此.6.已知、和，求与、同时垂直的单位向量。解：，,,于是与、同时垂直的单位向量.7.已知向量，，求的面积。解：根据向量积的定义，可知三角形的面积．又，于是.8.利用向量证明不等式其中、、、、、为任意实数，并说明在何种条件下等号成立。证明：设向量、.由于，因此即.习题7—31.一动点到点的距离是到点距离的两倍，求动点的轨迹方程。解：设动点的坐标为，由题意有，，即，化简得.2.建立以点为球心，且过点的球面方程。解：球心到球面上点的距离为所以所求球面方程.3.方程表示什么曲面？解：通过配方，原方程可化为，与球面方程比较可知，此方程表示球心在点、半径为的球面．4.将坐标面上的椭圆绕轴旋转一周，求所形成的旋转曲面的方程。解在方程中保持不变而将改写为，故所求旋转曲面的方程为.5.将坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，求所形成的旋转曲面的方程。解：在方程中保持不变而将改写为，故所求旋转曲面的方程为6.将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所形成的旋转曲面的方程。解：绕轴旋转所形成的旋转曲面方程为,绕轴旋转所形成的旋转曲面方程为.7.说明下列旋转曲面是如何形成的？（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）坐标面上的椭圆绕轴旋转一周；或者坐标面上的椭圆绕轴旋转一周.（2）坐标面上的双曲线绕轴旋转一周；或者坐标面上的双曲线绕轴旋转一周.（3）坐标面上的双曲线绕轴旋转一周；或者坐标面上的双曲线绕轴旋转一周.（4）坐标面上的直线绕轴旋转一周；或者坐标面上的直线绕轴旋转一周.8.画出下列方程所表示的曲面（1）；（2）（3）；（4）；解：略.9.画出下列方程所表示的二次曲面图形（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：略.习题7—41.画出下列曲线在第一卦限内的图形：（1）；（2）；（3）.解：略.2.指出下列方程所表示的曲线：（1）；（2）；（3）.解：（1）方程组中第一个方程表示球心在原点，半径为的球面，方程组中第二个方程表示平行于面的平面．方程组就表示上述平面与球面的交线。显然交线是一个圆。（2）方程组中第一个方程表示椭圆抛物面，其顶点在原点，开口向上半空间。方程组中第二个方程表示平行于面的平面．方程组就表示上述平面与椭圆抛物面的交线。显然交线是一个抛物线，开口向上。（3）方程组中第一个方程表示双叶双曲面，其中心在原点。方程组中第二个方程表示平行于面的平面．方程组就表示上述平面与双叶双曲面的交线。显然交线是一个双曲线，其实轴平行于轴，虚轴平行于轴。3.分别求母线平行于轴及轴且通过曲线的柱面方程。解消去方程组中的变量，得，这就是母线平行于轴且通过曲线的柱面方程。同样消去方程组中的变量，得，这就是母线平行于轴且通过曲线的柱面方程。4.求旋转抛物面与平面的交线在面上的投影曲线的方程。解：旋转抛物面和平面的交线为：.由上述方程组消去变量，得到。因此交线在面上的投影曲线为.5.求球面与平面的交线在面上的投影曲线的方程。解：球面和平面的交线为：.由上述方程组消去变量，得到。因此交线在面上的投影曲线为.6.已知曲线（），求它在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。解：面上的投影柱面方程为，即。因此曲线在上的投影曲线为.同理可求得曲线在面上的投影曲线为.曲线在面上投影柱面方程包含于平面内，因此在面上投影曲线方程是（）习题7—51.求过点且与平面平行于的平面方程。解：所求平面的法向量与平面一致为。根据平面的点法式方程，得，即.2.求过点且与连接坐标原点及点的线段垂直的平面方程。解：因为，于是可取，根据平面的点法式方程，得，即.3.求过、、三个点的平面方程。解：不妨假设分别为、、，因此所求平面的法向量可取=×，而，，所以根据平面的点法式方程，所求平面的方程为，即.4.指出下列各平面的特殊位置，并画出图形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）解：（1）表示面；（2）平行于面的平面；（3）平行于轴的平面；（4）通过轴的平面；（5）平行于轴的平面；（6）通过轴的平面；（7）通过原点的平面。图形（略）.5.求平面与三个坐标面夹角的余弦。解平面的法向量，而、、面的法向量分别为、、。因此与三个坐标面夹角的余弦分别为、、6.一平面平行于向量和且经过点，求这平面方程。解：所求平面的法向量可取=×，所以根据平面的点法式方程，所求平面的方程为，即.7.求三个平面，，的交点。解：三个平面的交点也就是下面方程组的解.解得，故交点为.8.求下列特殊位置的平面方程：（1）平行于面且经过点；（2）通过轴和点；（3）平行于轴且经过两点和；解：（1）平行于面的平面可设为，由于平面通过点，故，即，把上式代人所设方程，得.（2）因为所求平面通过轴，必然平行于轴，故；又因为平面通过原点，所以。于是可设平面方程为，由于平面通过点，故，即，把上式代人所设方程，得.（3）因为所求平面平行于轴，于是可设平面方程为，由于平面经过两点和，故，即，把上式代人所设方程，得.9.（1）求点到平面的距离。（2）求两平面与之间的距离。解：（1）利用点到平面的距离公式，得.（2）在平面上取一点，利用点到平面的距离公式，得.习题7—61.求过点且平行于直线的直线方程。解：所求直线的方向向量可取为，故由对称式方程得到所求直线为2.求过点和的直线方程。解：因为向量平行于所求直线，所以可取直线的方向向量为，故由对称式方程得到所求直线为.3.求直线的对称式方程和参数方程。解：先求出直线上的一点。不妨取，代入直线方程得解得、，即是所给直线上的一点。下面再求直线的方向向量。由于两平面的交线与这两平面的法向量、都垂直，所以可取直线的方向向量为。因此，所给直线的对称式方程为。令，得所给直线的参数方程为4.求过点且与两平面和平行的直线方程。解：因为所求直线与两平面平行，所以所求直线与两平面的法向量、都垂直，故直线的方向向量为因此，所给直线的对称式方程为.5.求直线：与：的夹角。解：直线的方向向量为，直线的方向向量为由两直线的夹角公式，得，.6.证明直线与直线平行。证明：直线的方向向量为；直线的方向向量为直线、的方向向量对应成比例，故两直线平行。7.求直线与平面的夹角。解：直线的方向向量为平面的法向量为。由直线与平面的夹角公式，得，故.8.求过点且与直线垂直的平面方程。解：直线的方向向量为可以看成平面的法向量，而因此所求平面的方程为，即.9.求过点且通过直线的平面方程。解：显然点为直线上的点，也为平面内的点，因此向量与向量均垂直于所求平面的法向量，而，因此所求平面的方程为，即.10.确定下列每一组直线与平面的关系：（1）和（2）和；（3）和；解：（1）直线方向向量为，平面法向量，且，又直线上的点不在平面内，所以直线与平面平行。（2）直线方向向量为，平面法向量，且所以直线与平面垂直。（3）直线方向向量为，平面法向量，且，又直线上的点在平面内，所以直线在平面内。11.求过点且与两直线 和平行的平面方程。解：第一条直线的方向向量为，第二条直线的方向向量为.而平面法向量既垂直与又垂直与，故因此所求平面的方程为，即.12.求点到直线的距离。解：设点与直线的垂直相交点为，则，解得.又直线的方向向量为，向量垂直于，即，解得。于是，故点到直线的距离为.13.设是直线 外一点，是直线上任意一点，且直线的方向向量为，证明：点到直线的距离是。证明：设点与直线垂直相交点为，则就为所求距离。注意到由向量、所构成的三角形，其面积有，故.总习题71.选择题（1）设向量满足，则（C）。A.0B.C.D.（2）设直线：及平面：，则直线（C）。A.平行于B.在上C.垂直于D.与斜交。（3）设有直线：与：，则与的夹角为（B）。A.B.C.D.（4）直线在面上的投影直线是（D）。A.B.c.D.（5）设向量与三个坐标平面的夹角分别为，则（A）。A.2B.1C.0D.32.填空题（1）设向量，，，且，则常数-3。(2)已知向量，，，则满足条件时，的最小值为1。(3)母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.(4)直线在面上的投影直线是。3.设向量⊥，⊥，求两向量和的夹角。解：由题意有，整理上述表达式，得，.进一步，注意到，可得，于是，两向量和的夹角.4.设向量，，，求以及为边的平行四边形的面积。解：根据向量积的定义，可知平行四边形的面积，而.所以平行四边形的面积为30.5.已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，求动点的轨迹方程。解：由两点间的距离公式，得整理上述表达式，得.6.指出下列旋转曲面是什么曲线绕哪个轴旋转而成的，并画出曲面的图形：（1）；（2）；（3）；解：（1）坐标面上的椭圆绕轴旋转一周；或者坐标面上的椭圆绕轴旋转一周.（2）坐标面上的双曲线绕轴旋转一周；或者坐标面上的双曲线绕轴旋转一周.（3）坐标面上的双曲线绕轴旋转一周；或者坐标面上的双曲线绕轴旋转一周.曲面的图形（略）.7.平面与球面的交线是圆，写出该圆的方程，并求出该圆的半径。解交线方程为.球心到平面的距离为，因此交线圆的半径为.8.求曲线在三个坐标面上的投影曲线的方程。解：由方程组消去变量，得到。因此交线在面上的投影曲线为；方程组消去变量，得到，因此交线在面上的投影曲线为；方程组消去变量，得到，因此交线在面上的投影曲线为；9.求锥面与柱面所围立体在三个坐标面上的投影。解：锥面与柱面的交线在面上投影为，即。故立体在面上的投影为.类似得，因此立体在面上的投影为；立体在面上的投影为.10.在直线上求一点，使它到点的距离最短。解：设点与直线的垂直相交点为，则，解得.又直线的方向向量为，向量垂直于，即，解得。于是、，故直线上所求点为。11.设一平面垂直于平面，并通过从点到直线的垂线，求此平面方程。解：直线的方向向量为，作过点且以为法向量的平面，即，联立方程组得垂足，又因为所求垂直于平面，故可设平面方程.平面过点和垂足，故，得，代人平面方程有.12.求过点，且平行于平面，又与直线相交的直线方程。解：直线的参数式方程为，，，设两直线的交点为，则交点与点的连线垂直于平面的法向量，于是，解上述方程，得。从而所求直线方向向量为，根据直线方程的对称式可知，所求直线方程为.习题解答习题8.1已知，试求，和．解，2．设，求．解设，则，，所以从而．3．求下列各函数的定义域：（1）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（2）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（3）（）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（4）．解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为4．求下列函数极限：（1）；解由连续性，原式＝＝．（2）；解由连续性，原式＝＝．（3）；解原式＝＝＝＝（4）．解原式＝．5．证明下列极限不存在：（1）；（2）．证（1）因为当沿直线趋于时，，它是随的值的不同而改变的，所以极限不存在．（2）因为当沿直线趋于时，，当沿直线趋于时，，由于，所以极限不存在．习题8.21．求下列函数的偏导数：（1）；解；。（2）；解，，；（3）；解，；（4）；解，；（5）；解，；（6）；解，，；（7）．解，，。2．计算下列各题：（1）设，求和；解＝＝，将点（1，2）代入上面结果，得，（2）设，求；解取对数得,上式两边对y求导得，所以，将点（1，1）代入上面结果，得。（3）设，求；解∵，∴＝（4）设，求及．解，，∴．3．设，证明：．证明：，，。4．设，其中可导，证明：．解即。5．曲线在点（，1，）处的切线对轴的倾角是多少？解设该切线与轴的倾角为，∴由偏导数的几何意义得，从而．6．求下列函数的二阶偏导数，，．（1）；解，，，，（2）；解，，，，．（3）；解，，，，。（4）．解，，，。7．设，求，，．解，，，从而，，．8．设，试证：．证明：，，，由对称性得，，∴。原式得证。习题8.31．求下列函数的全微分：（1）；解因为，，所以。（2）；解因为，，所以（3）；解因为，，所以。（4）；解因为，，所以。（5）；解因为，，，所以=．（6）．解因为，，，所以=．2．计算下列函数在给定点处的全微分：（1），；（2），．解（1），，=（2），，=+3．求函数当的全微分和全增量．解，，全增量。*4．计算下列近似值：（1）；（2）．解取，令，，，，于是，，．原式＝．（2）取，令，，，，于是，，．原式＝．*5．设有边长为m与m的矩形，当边增加5cm而边减少10cm，求此矩形对角线增量的近似值．解设矩形对角线长为z，则有．把，，代入，得．即此矩形对角线增量的近似值约为-5cm．习题8.41．设，而，求全导数．解．2．设，而，求全导数．解．3．设，而，求全导数．解．4．设，而，求和．解；．5．设，而，求和．解；．6．设，求和．解令则，；．7．求下列函数的一阶偏导数，其中具有一阶连续偏导数：（1）；解（1），．（2）；解，，．（3）；解，．（4）．解，，．9．设，其中可导，求．解令，，则可看成由，复合而成，所以，，从而10．设，其中为可导函数，证明：．解令，则，，所以．11．求下列函数的，，（其中具有二阶连续偏导数）：（1）；（2）．解（1）由得，所以，，注意：在上述恒等变形中，因为具有二阶连续偏导数，所以有。（2）由得，所以，，。注意：在上述恒等变形中，因为具有二阶连续偏导数，所以有。12．设，具有二阶连续偏导数，求．解由得，所以注意：在上述恒等变形中，因为具有二阶连续偏导数，所以有。习题8.5设，求．解令，则，所以，2．设，求．解令，即，，所以，3．求下列方程所确定的隐函数的偏导数和：（1）；（2）．解（1）令，则，，，所以，.（2）令，即，，，所以，.4．设，求．解令，则，，，所以，，所以。5．设，求全微分．解令，则，，，所以，，因此。6．设，证明：．解令，则，，，所以。7．设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足．解令，则，，，所以8．设函数由方程确定，求、．解令，则，，，所以，,注意到z是x、y的函数，将再对x求偏导，得.注意到z是x、y的函数，将再对y求偏导，得9．设函数由方程确定，求解令，则，，，所以，,将x=0,y=0代入得z=2，点（0，0，2）处，注意到z是x、y的函数，将再对y求偏导，得将x=0,y=0，z=2及代入得。习题8.61．求下列空间曲线在指定点处的切线方程和法平面方程（1）曲线，点；（2）曲线，对应于的点．解（1）因为点对应参数，而，，，故点处曲线切线的方向向量为，所求切线方程为；法平面方程为，即．（2）参数对应曲线上的切点为，而，，，故点处曲线切线的方向向量为，所求切线方程为；法平面方程为，即．2．求曲线上的点，使该点的切线平行于平面．解设所求的切点为P，该点对应的参数为，则，，，故点P处切线的方向向量为，平面的法向量为，由切线平行于平面得T；即，故所求的切点为。3．求下列曲面在指定点处的切平面方程和法线方程（1），点；（2），点．解（1）令，则，故曲面在点处的切平面的法向量为，切平面方程为，即；法线方程为．（2）令，得，故曲面在点处的切平面的法向量为，切平面方程为，即；法线方程为．4．在曲面上求一点，使该点的切平面平行于平面．解令，设切点为，则切点处切平面的法向量，由题意得，解上述方程组得，，，因此所求点为．5．求曲面上平行于平面的切平面方程．解令，设切点为，则切点处切平面的法向量为，由题意得，解上述方程组得，因此所求切平面为，即，亦即，所求切平面为。6．在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面．解令，设所求点为，则该点处切平面的法向量为，由题意得，解上述方程组得，，，因此所求点为．7．证明：曲面上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之积为常数．证由题意知令，则点处切平面的法向量为，所求切平面为，即，此平面在三条坐标轴上的截距分别为截距之积习题8-71．求函数的极值．解解方程组得驻点为，．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极大值．2．求函数的极值．解解方程组得驻点为，（）．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极大值．在点处，，，，因为，所以不是极值．3．求函数的极值．解解方程组得驻点为．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极小值．4．求函数（）的极值．解解方程组得驻点为，（）．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极大值在点处，，，，因为，所以不是极值．5．求函数在约束条件下的极大值．解作拉格朗日函数，令，解之得：∴极大值．6．在平面上求一点，使它到及三直线的距离平方之和为最小．解设所求点为,距离平方之和为，则，即，令得，由实际意义知，所求点为。7．要造一个容积为常数的长方体无盖水池，问如何安排水池的尺寸时，才能使它的表面积最小．解设箱子的长、宽分别为，容量为，则箱子的高为．箱子的表面积为这是x、y的二元函数．令解上述方程组，得根据题意可知，表面积A的最小值一定存在，现在只有唯一驻点，因此当长、宽均为，高为时，表面积A最小．8．求内接于半径为的半圆且有最大面积的矩形．解设矩形的长为、高为，则．问题归结为求面积在条件下的极值．作拉格朗日函数，，令，解之得：．由题意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一的驻点取得，因此当矩形两边分别为时，可得最大面积的矩形．总习题81.选择题（1）=（）．A．B．C．D．解原式=,∴选D.（2）函数在点（0，0）处（）．A．连续但不存在偏导数B．存在偏导数但不连续C．既不连续又不存在偏导数D．既连续又存在偏导数解因为当沿直线趋于时，，它是随的值的不同而改变的，所以极限不存在，从而在（0，0）处不连续。又=，=，∴选B.（3）函数满足，且，则（）．A．B．C．D．解，，又，∴,故有，所以，∴选B.（4），是函数在点处取得极值的（）．A．必要条件，但非充分条件B．充分条件，但非必要条件C．充分必要条件D．既非充分条件，又非必要条件解由多元函数极值的必要条件知，，只是函数在点处取得极值的必要条件，但非充分条件，∴选A。.2.填空题（1）设函数，则．解因为，，所以。（2）设函数，则．解，∴。（3）空间曲线上点处的切线方程为．解曲线即为，而，，，故点处曲线切线的方向向量为，所求切线方程为；（4）若函数在点处取得极值，则常数．解由题意得3.设求．解当（x,y）=(0,0)时，=，当（x,y）≠(0,0)时，,4.设，其中可微，求．解，．5.设，其中具有二阶连续偏导数，求．解，∴(∵)．6.设具有二阶连续偏导数，且，，求常数，使．解，,∴(∵),∴,,将,,的结果代入到得,即,,从而或．7.某厂要造一个无盖的长方体水箱，已知它的底部造价为每平方米18元，侧面造价均为每平方米6元，设计的总造价为216元，问如何选择它的尺寸，才能使水箱容积最大？解设长方体的长、宽、高分别为米，体积为米3，则。问题归结为求在条件下的极值．作拉格朗日函数，令，解之得：．由题意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一驻点取得，即当长、宽、高分别取2m、2m、3m时，长方体的体积最大．8.求内接于半径为的球且体积最大的圆柱体的高．解设圆柱体的半径和高分别为，体积为，则。问题归结为求在条件下的极值．作拉格朗日函数，令，解之得：．由题意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一驻点取得，即当圆柱体的高为时，体积最大．9.设具有连续偏导数，且，证明：．解令，则，，，所以＝＝＝＝。即。10.设具有连续偏导数,证明：曲面上任意点处的切平面与直线平行．证明令，则，，，∴该曲面上任意点处的切平面的法向量为n=，已知直线的方向向量为T=,∵n·T=,∴n⊥T，因此曲面的切平面与直线平行．习题解答习题9.11.．设一平面薄板占有面上的闭区域D，其上点处的面密度为，其中在D上连续，试用二重积分表达该薄板的质量M．解由二重积分的定义可知，质量．2.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1），其中；解区域的面积=，区域的面积=，所以：；（2），其中D是顶点分别为的三角形闭区域；解对区域D上的任意点，都有：，，所以：；（3），其中D是由直线围成的闭区域．解对区域D上的任意点，都有：，，所以：．3.利用二重积分的性质，估计下列积分的值：（1）其中；解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得；（2）其中；解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得；（3）其中D是两坐标轴与直线围成的闭区域．解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得．习题9.21.计算下列二重积分：（1）其中；解；（2），其中D是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；解；（3），其中D是顶点分别为的三角形闭区域；解；(4)，其中．解．2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；解图略；（2），其中D是由所围成的闭区域；解图略；（3），其中；解图略；（4），其中D是由直线所围成的闭区域．解图略．3.化二重积分为二次积分（分别给出两种不同的积分次序），其中积分区域D分别为：（1）由两坐标轴及直线所围成的闭区域；解图略或；（2）由及所围成的闭区域；解图略或（3）由及所围成的闭区域．解图略或4.略．5.交换下列二次积分的次序：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）；解图略；（5）．解图略．6.交换积分次序，证明：．证：交换积分次序，得．7.证明：．证：交换积分次序，立得．8.设平面薄片所占的闭区域D由直线和x轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量．解由习题9.1第1题知，所求薄片的质量．9.计算由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积．解记，则．10.求由平面及抛物面所围成的立体的体积．解记，则．11.画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）；解图略；（5）．解图略．12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）．解图略．13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略．（4）．解图略．14.利用极坐标计算下列二重积分：（1），其中D由圆周所围成的闭区域；解图略；（2），其中；解图略；（3），其中D由圆周及直线所围成的在第一象限内的闭区域；解图略；（4），其中解图略．15.选用适当的坐标计算下列各题：（1），其中D是由直线所围成的闭区域；解图略；（2），其中；解图略；（3）其中D是由直线及曲线所围成的闭区域；解图略；（4），其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解图略．16.求曲面与平面围成立体的体积．解记，则．17.求圆柱面被平面及抛物面截得的立体的体积．解记，则．习题9.31.求抛物面含在圆柱面内部的那部分面积．解记，由得：．2.求半球面被平面截得的上半部分的面积．解记，由得：．3.求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解记，由得：．4.求下列均匀薄板的质心，其中薄板所占的闭区域D如下：（1）D由围成；解闭区域关于x轴对称，所以质心必位于x轴上，于是．闭区域D的面积：；而，故薄板的质心为．（2）D由围成；闭区域D的面积：；而，故薄板的质心为．（3）D是介于两个圆之间的闭区域．解闭区域关于y轴对称，所以质心必位于y轴上，于是．闭区域D的面积（两个圆面积之差）：；而，故薄板的质心为．5.设平面薄板所占的闭区域D是由所围成，在处的密度，求此薄板的质心．解，，，故薄板的质心为．6.设均匀薄片（面密度为常数1）所占的闭区域D如下，求指定的转动惯量：（1）D由围成，求和；解，．（2），求、和；解；（3）边长为a和b的矩形薄片对两条边的转动惯量．解建立图示坐标系，，．习题9.41.化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：（1）；解图略；（2）由锥面及平面所围成的闭区域；解图略；（3）由双曲抛物面及平面所围成的闭区域．解图略．2.设有一物体，占有空间闭区域，在点处的密度，求该物体的质量．解物体的质量．3.利用直角坐标计算下列三重积分：（1），其中为平面所围成的闭区域；解．（2），其中是由平面与三个坐标面所围成的四面体；解；（3）其中为球面及三个坐标平面所围成的在第一卦限内的闭区域．解．4.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）其中是由曲面及所围成的闭区域；解；（2）其中是由圆锥面与平面所围成的闭区域．解.5.利用三重积分求由下列曲面所围成的立体的体积：（1）及；解；（2）及；解；（3）及．解．6.利用三重积分计算曲面与平面所围立体的质心（设密度）．解显然，质心在z轴上，故．由于，所以，从而质心为．7.均匀圆锥体（密度）由、围成，求其对圆锥中心轴的转动惯量．解．习题9.51.计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中L为圆周；解=；（2），其中L为直线段；解；（3），其中L为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界；解；（4），其中L为及y轴所围成的区域的整个边界；解；（5），其中L是以为顶点的三角形的周界．解2.设圆周L：上任一点处的线密度等于该点纵坐标的平方，求圆周L的质量．解线密度，圆周L的质量为．习题9.61.计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中L为抛物线上从点到的一段弧；解；（2），其中L为抛物线及所围成的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；解；；（3），其中L为自点至点，再到点的折线段；解；（4），其中L为圆周（按逆时针方向绕行）；解；(5),其中L为摆线上从到的一段弧．解．2.计算，其中L是：（1）曲线上从点到点的一段弧；（2）从点到点的直线段；（3）曲线上从点到点的一段弧．解（1）；（2）；（3）．3.一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成．试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功．解，．习题9.71.利用格林公式计算下列曲线积分：（1），其中L是沿圆周，逆时针方向；解；（2），其中L是以点为顶点的三角形区域的正向边界；解；（3），其中L是由不等式所确定的闭区域的正向边界；解；（4），其中L是由点到点再到点的折线段；解补曲线，则;而，所以．（5），其中L是在曲线上由点到点的一段弧．解补曲线，则，而，所以．2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的平面图形的面积：（1）圆；解面积；（2）椭圆．解将改写为参数式得：面积．3.证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值：（1）；证记，则P，Q在整个xOy面上有一阶连续偏导数，且，故曲线积分与路径无关．现选取有向折线计算．；（2）．证记，则P，Q在整个xOy面上有一阶连续偏导数，且，故曲线积分与路径无关．现选取有向折线计算．．4.计算曲线积分，其中L是在曲线上由点到点的一段弧．解证记，则P，Q在整个xOy面上有一阶连续偏导数，且，故曲线积分与路径无关．现选取直线段计算．．总习题91.选择题（1）若闭区域D由圆周围成，则（）．A.B.C.D.解；即选项C正确．（2）设平面闭区域，，则有（）．A.B.C.D.解由于积分区域关于x轴、y轴都对称，而是关于x、y的偶函数，故；即选项D正确．（3）设函数连续，则（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解由于积分区域是由围成的，故；即选项C正确．*（4）设函数有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的条件为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解记，则曲线积分与路径无关的条件为，即，得．即选项B正确．2.填空题（1）设，则根据重积分的几何意义可得：．解表示以为底，以半球面为顶的曲顶柱体体积，故．（2）设，函数在D上连续，则根据二重积分的中值定理可得：．解，其中，所以．（3）将化为极坐标下的二次积分，得．解记，则*（4）设L为椭圆，L的长度记为，则对弧长的曲线积分．解．3.交换下列二次积分的次序：（1）；解．（2）．解．4.计算．解．5.计算下列二重积分：（1），其中；解．（2），其中D是由圆周所围成闭区域；解．（3），其中D是由直线所围成闭区域．解．6.求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积．解由得，．7．求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数1）对于直线及的转动惯量．解对于直线的转动惯量为；对于直线的转动惯量为．*8.计算下列三重积分：（1），其中是由与所围成的区域；解．（2），其中是由曲线绕z轴旋转一周而成旋转面与平面所围成的闭区域．解绕z轴旋转一周而成旋转面的方程为，．*9.化三次积分为柱面坐标形式，并求I的值．解．*10.计算下列曲线积分：（1），其中L是取正向的圆周；解；（2），其中L为从点沿曲线到点．解添加一段从点O（0，0）到A（2，0）的有向线段，则L与一起构成一条封闭曲线，其围成的闭区域记为D，由格林公式得，而，所以．*11.一空间均匀物体（密度为常数）占有的闭区域是由曲面和平面，所围成，（1）求物体的体积；（2）求物体的质心；（3）求物体关于z轴的转动惯量．解（1）；（2）显然，质心在z轴上，故，因为，故，所以质心为．（3）．习题解答习题10.1写出下列级数的一般项：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）（2）（3）（4）2．已知级数的前项部分和为，求，并求级数的和．解由，得，故得，，又，所以级数的和．3．用定义判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）．解（1）因为，所以，从而，即级数发散．（2）因为，所以，从而，即级数收敛且和为．（3）因为，所以，从而，即级数发散．4．判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）此级数为等比（几何）级数，公比，且，故此级数收敛．（2）因为不满足级数收敛的必要条件，故此级数发散．（3）将此级数看成两个等比（几何）级数之和，他们的分别为公比，，且，；故这两个级数均收敛，从而原级数收敛．（4）将此级数看成两个级数之和：+，而级数发散，级数为等比（几何）级数，公比是收敛的，故原级数发散．（5）将此级数看成两个等比（几何）级数之和：+，他们的分别为公比，，且，；故这两个级数均收敛，从而原级数收敛．5．如果级数收敛，判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）由级数的性质:在级数前面去掉（或加上、或改变）有限项，级数的敛散性不变．可知级数收敛．（2）因为，不满足级数收敛的必要条件，故级数发散．（3））由级数的性质:设k为非零常数，则级数与级数有相同的敛散性，可知级数收敛．（4）因为，不满足级数收敛的必要条件，故级数发散．习题10.21．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因为，而级数收敛，由比较审敛法可知，级数收敛．（2）因为，而级数发散，由比较审敛法极限形式可知，级数发散．（3）因为，而级数发散，由比较审敛法极限形式可知，级数发散（4）因为，而级数收敛，由比较审敛法极限形式可知，级数收敛．（5）因为，而级数收敛，由比较审敛法可知，级数收敛．2．用比值审敛法判别下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因为由比值审敛法可知，级数收敛．（2）因为由比值审敛法可知，级数发散（3）因为由比值审敛法可知，级数收敛．（4）因为由比值审敛法可知，级数收敛．（5）因为由比值审敛法可知，级数发散．3．判别下列级数的收敛性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）因为由比值审敛法可知，级数收敛（2）因为，而级数发散，由比较审敛法极限形式可知，级数发散．（3）因为由比值审敛法可知，级数收敛．（4）因为，而级数发散，由比较审敛法极限形式可知，级数发散．（5）因为不满足级数收敛的必要条件，故此级数发散．（6）因为，而当时，级数收敛，当时，级数发散，所以级数，当时收敛，时发散．4．判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是条件收敛还是绝对收敛（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）对绝对值级数，有而p--级数收敛，所以绝对值级数收敛，从而原级数绝对收敛．（2）绝对值级数为等比（几何）级数，公比是收敛的，所以绝对值级数收敛，从而原级数绝对收敛．（3）对绝对值级数，有，而级数发散，由比较审敛法极限形式可知，绝对值级数发散．又是交错级数，由莱布尼兹判别法，得级数收敛，所以级数收敛且为条件收敛．（4）因为所以绝对值级数收敛，从而原级数绝对收敛．（5）因为不满足级数收敛的必要条件，故级数发散．（6）因为，对绝对值级数，有，而级数发散，由比较审敛法极限形式可知，绝对值级数发散．又是交错级数，由莱布尼兹判别法，得级数收敛，所以级数条件收敛习题10.31．求下列幂级数的收敛半径与收敛区间：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因为，所以收敛半径．收敛区间为．对于端点，级数成为，由级数收敛的必要条件知该级数发散；对于端点，级数成为，该级数也发散；因此，收敛域为．（2）令，则所给级数成为．因为，所以收敛半径，收敛区间为．（3）令，则所给级数成为．因为，所以收敛半径，收敛区间为．即．（4）因为幂级数中缺少奇数次幂项，所以不能直接求收敛半径．可对绝对值级数使用比值审敛法求收敛半径．因为，故当即时，幂级数绝对收敛；当即时，幂级数发散；所以收敛半径，收敛区间为．（5）因为幂级数中缺少偶数次幂项，所以不能直接求收敛半径．可对绝对值级数使用比值审敛法求收敛半径．因为，故当即时，幂级数绝对收敛；当即时，幂级数发散；所以收敛半径，收敛区间为．2．求下列幂级数的收敛域：（1）；（2）．解（1）因为，所以收敛半径．收敛区间为．对于端点，级数成为，由莱布尼兹判别法，得级数收敛；对于端点，级数成为，由级数得收敛性得级数收敛；因此，收敛域为．（2）因为，所以收敛半径．收敛区间为．对于端点，级数成为，由交错级数得收敛性得级数发散；对于端点，级数成为，由莱布尼兹判别法，得级数收敛；因此，收敛域为．3．利用公式，求下列幂级数在收敛区间内的和函数：（1）；（2）．解（1）因为，所以收敛半径．收敛区间为．设和函数为，即，，则=，对上式从到积分，得．由于，故．（2）设和函数为，即，上式两端从到积分，得，上式两端对求导数，得．习题10.41．将下列函数展开成的幂级数，并写出展开式成立的区间：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）因为，在上式中将换成，得=．（2）因为，所以．（3）因为，所以=．（4）因为，=，所以=．（5）因为，在上式中将换成，得，上式两边从到积分，得因为，在上式中将换成，得，所以=，故=．（6）因为，而，，，，因此，在内，有-．2．将下列函数展开成的幂级数：（1）；（2）．解（1）因为，，在上式中将换成，再两边从到积分，=,．（2）因为，，在上式中将分别换成及，得=，．3．将函数展开为幂级数．解因为，又，=，在上式中将换成后，得．习题10.51．计算的值，要求误差不超过．解在函数的幂级数展开式=中，令，得，这是交错级数，从而，故只需令，解得，即取前两项计算的近似值，就可保证计算精度小于．所以．2．计算的值，要求误差不超过．解因为，所以．3．计算的值，要求误差不超过．解在函数的幂级数展开式=中，以替代，得，上式两端同时积分，得=．总习题101．选择题（1）若级数收敛于，则级数（）．A．收敛于B．收敛于C．收敛于D．发散（2）设为常数，则级数（）．A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．敛散性与的取值有关（3）设级数与都发散，则下列级数中一定发散的是（）．A．B．C．D．（4）幂级数在收敛区间内的和函数为（）．A．B．C．D．解（1）设的部分和为，的部分和为，则=又故选A．（2）因为，故级数绝对收敛，而级数是发散的，所以级数发散，故选C．（3）举反例如下：设，，级数与都发散，但级数，为收敛的，故不选A．设，，级数与都发散，但级数，为收敛的，故不选B．设，，级数与都发散，但级数，为收敛的，故不选B．因此，本题选D．（4）因为，所以=故选B．2.填空题（1）级数的和．（2）级数收敛的充分必要条件是常数满足．（3）设有幂级数，且，则该幂级数的收敛区间是．（4）把展开为的幂级数，其收敛半径R=．解（1）因为，从而，即级数的和．（2）级数为交错级数，由莱布尼兹判别法可知，级数收敛的充分必要条件是常数满足：．（3）令，则所给级数成为．因为，所以收敛半径，收敛区间为．即，该幂级数的收敛区间是．（4）展开为的幂级数，应有，即故展开为的幂级数，其收敛半径R=．3．判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因为不满足级数收敛的必要条件，故此级数发散．（2）此级数为两个级数之和：+，而级数发散，级数为等比（几何）级数，公比是收敛的，故原级数发散．（3）因为，而级数收敛，由比较审敛法极限形式可知，级数收敛．（4）当时，原级数为，由比较审敛法可知其发散，由比值审敛法得，故当时，原级数收敛，当时，原级数发散，所以级数当时收敛，时发散．（5）因为而由比值审敛法可知，级数收敛，根据比较审敛法可知级数收敛．4．判别下列级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）；（2）；（3）；（4）；解（1）对绝对值级数，，从而，即级数收敛且和为，所以原级数绝对收敛．（2）对绝对值级数，有而级数为等比（几何）级数，公比是收敛的，从而原级数绝对收敛．（3）此级数是交错级数，且由莱布尼兹判别法，知级数发散．（4）因为而级数发散，故级数即发散，又是交错级数，且，，所以级数收敛且为条件收敛．5．求下列幂级数的收敛区间，并在收敛区间内求其和函数：（1）；（2）．（3）；（4）．解（1）因为，所以收敛半径．收敛区间为．设和函数为，即，则=，对上式从到积分，得．由于，故．（2）因为幂级数中缺少奇数次幂项，所以不能直接求收敛半径．可对绝对值级数使用比值审敛法求收敛半径．因为，故当即时，幂级数绝对收敛；当即时，幂级数发散；所以收敛半径，收敛区间为．设和函数为，即，上式两端从到积分，得，上式两端对求导数，得．（3）因为，所以收敛半径．收敛区间为．设和函数为，即，即，．（4）因为，所以收敛半径．收敛区间为．设和函数为，即，则，上式相加，得，所以，．6．将下列函数展开为的幂级数，并指出其收敛区间：（1）；（2）；（3）．解（1）因为，所以=，．（2）因为，=，所以=，．（3）因为，而，上式求导得=，．7．将函数展开成的幂级数.解因为，在上式中将换成，得，又，，在上式中将换成，再两边从到积分，得=,，综上所述，可得.习题解答习题11-11．指出下列方程是否为微分方程？若是请指出它的阶：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）是微分方程，且为一阶微分方程；（2）是微分方程，且为二阶微分方程；（3）不是微分方程；（4）是微分方程，且为一阶微分方程；（5）是微分方程，且为二阶微分方程．2．验证是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解．解由可得，将及代入方程中，得，所以函数是微分方程的解．又因为方程是一阶的，而函数含有一个任意常数，且任意常数的个数等于方程的阶数，所以函数是微分方程的通解．将代入中，得所求特解．3．验证由方程所确定的隐函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解．解由可得，将及代入方程中，得，所以函数是微分方程的解．又因为方程是一阶的，而函数含有一个任意常数，且任意常数的个数等于方程的阶数，所以函数是微分方程的通解．将代入中，得所求特解．4．设曲线在点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，写出该曲线所满足的微分方程．解设所求曲线的方程为，根据导数的几何意义，由题意得．习题11-21．求下列可分离变量的微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）分离变量有,两端积分,可得通解为．（2）分离变量有两端积分，可得通解为．（3）分离变量有两端积分，可得通解为．（4）分离变量有，两端积分，可得通解为．（5）分离变量有，两端积分，可得通解为．*2．求下列齐次方程的通解：（1）；（2）；（3）．解（1）令，则，，代入原方程，得，分离变量得，两边积分，得所求方程的通解为.（2）令，则，，代入原方程，得，分离变量得，两边积分，得所求方程的通解为.（3）令，则，，代入原方程，得，分离变量得，两边积分，得所求方程的通解为.*3．用适当的变量代换求下列微分方程的通解：（1）；（2）．解（1）令，代入原方程，得分离变量得两边积分，得所求方程的通解为.（2）令，代入原方程，得分离变量得两边积分，得所求方程的通解为.4．求下列微分方程满足初始条件的特解：（1）,；（2）．解（1）分离变量有，两端积分，可得通解为，由得，故所求特解为．（2）分离变量有，两端积分，可得通解为，由得，故所求特解为．5．求下列一阶线性微分方程的通解：（1）；（2）+；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）此方程为一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（2）此方程为一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（3）原方程变形为，这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（4）原方程变形为，这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（5）将看作自变量，看作的函数，则有，这是关于未知函数的一阶线性非齐次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解为即.（6）将看作自变量，看作的函数，则有，这是关于未知函数的一阶线性非齐次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解为即.6．求下列微分方程满足初始条件的特解：（1）；（2）；（3），；（4）．解（1）这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始条件，求得，故所求特解是.（2）这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始条件，求得，故所求特解是.（3）这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始条件，求得，故所求特解是.（4）这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始条件，求得，故所求特解是.7．求一曲线，使它通过原点，且在任意点处的切线斜率等于．解设曲线的方程为，由题意可得，这是一阶线性微分方程，其中，，代入通解公式得所求通解即.又曲线通过原点，即得，故曲线的方程为．*习题11-3求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）对原方程积分一次，得，再积分，得原微分方程的通解为．（2）对原方程积分一次，得，再积分，又得，第三次积分，得原微分方程的通解为．（3）设，则，代入原方程，得．这是可分离变量的微分方程，分离变量得．两边积分，得，即，两边积分，得．（4）设，则，代入原方程得，在时，约去并分离变量，得，两端积分，得，即，再分离变量，得方程的通解为．（5）设，则，代入原方程，得．这是可分离变量的微分方程，分离变量得．两边积分，得，即，两边积分，得方程的通解为．（6）设，则，代入原方程，得．这是可分离变量的微分方程，分离变量得．两边积分，得，化简解出，两边积分，得方程的通解为．2．求方程满足初始条件的特解．解设，原方程化为这是可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得将初始条件代入上式，得，故分离变量并两端积分，得再由条件可得，故所求特解为.3．求方程满足初始条件的特解．解设，原方程化为这是可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得将初始条件代入上式，得，故分离变量并两端积分，得再由条件可得，故所求特解为.4．求方程满足初始条件的特解．解设，代入原方程得，即，这是一阶线性非齐次微分方程，其中，，由通解公式，得所求通解，即，代入初始条件，求得，故，积分得方程的通解为，再由条件可得，故所求特解为.5．求方程满足初始条件的特解．解设，则，代入原方程得，这是可分离变量的微分方程，分离变量得两端积分，得将初始条件代入上式，得，故分离变量并两端积分，得再由条件可得，故所求特解为．6．求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线．解方程满足的初始条件为对方程积分一次，得，将初始条件代入上式，得，故再积分，得方程的通解为．再由条件可得，故所求特解为．所以的经过点且在此点与直线相切的积分曲线方程为．习题11-41．求下列二阶常系数线性齐次微分方程的通解：（1）；（2）；(3)；(4).．解（1）所给方程的特征方程是，特征根为两个不相等的实根：，．故所求通解为.（2）所给方程的特征方程是.特征根是一对共轭复根：．因此所求通解是（3）所给方程的特征方程是，特征根为两个不相等的实根：，．故所求通解为.（4）所给方程的特征方程是，特征根为两个相等的实根：．故方程的通解为.求下列微分方程满足初始条件的特解：(1)；(2)；（3）；（4）．解（1）所给方程的特征方程是，特征根为两个不相等的实根：，．故所求通解为代入初始条件，得，对求导，得．代入，得，解得，；故所求特解为.（2）所给方程的特征方程是，特征根是一对共轭复根：．因此所求通解是代入初始条件，得，对求导，得．代入，得；故所求特解为.（3）所给方程的特征方程是，特征根为两个相等的实根：．故方程的通解为.代入初始条件，得，对求导，得．代入，得；故所求特解为.（4）所给方程的特征方程是，特征根是一对共轭复根：．因此所求通解是代入初始条件，得，对求导，得代入，得；故所求特解为.3．确定下列各方程的特解的形式：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为.所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，属于=型，其中．因为不是特征方程的根，故所给方程的特解形式为.（2）所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为.所给方程是二阶常系数线性非齐次微分方程，属于=型，其中．因为是特征方程的重根，故所给方程的特解形式为.（3）所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为．方程是二阶常系数线性非齐次方程，属于型，其中,，．由于是特征方程的根，故所给方程的特解形式为.（4）所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为.方程是二阶常系数线性非齐次方程，属于型，其中．．由于是特征方程的根，故所给方程的特解形式为．4．求下列二阶常系数线性齐