广东省茂名市五校联盟2023-2024学年高二年级下册3月联考试题数学

2023—2024学年度茂名市五校联盟高二联考

数学试题

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置.

2,选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试

题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡

上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知直线/的方程为Gx+y-l=0,则直线/的倾斜角为（）

2.已知等比数列应｝中，。29=4%，等差数列也｝中，"+d=%，则数列也｝的前9项和Sg=（）

A.9B.18C.36D.72

3.若函数/（x）=ln（x-4）+b在（0,/（0））处的切线方程为尸X,则不等式Qj（x-l）,,1的解集为（）

A.-,eB.-,1C.[l,e]D,[2,e+1]

4.已知圆C:（x—3）2+3-4/=9,直线/：（加+3.—（加+2）夕+加=0.则直线/被圆。截得的弦长的最小

值为（）

A.V10B.2V2C.^6D.2V7

3兀

5.如图，二面角。一/一月等于一,48是棱/上两点，8D,ZC分别在半平面a,P内，ACLl,BDLl,且

4

AB=AC=2,BD=^,则（）

A.V14B.2V2C.2V3D.4

6.双曲线与一匕=1（4>0]>0）的左、右焦点分别为大、鸟，点又是双曲线左支上一点，/片儿/=90’，

ab~

直线九小'2交双曲线的另一支于点N,|〃N|=2|NK|,则双曲线的离心率为（）

A.2B.逐C.3D.9

7.已知e22.71828是自然对数的底数，设a=6——,b=五一一,c=e无T—ln2,则（）

ee

K.a<b<cB.h<a<c

C.b<c<aD.c<a<h

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为36兀，且3”/“4五，则该正四棱

锥体积的最大值是（）

8164

A.18B.—C.—D.27

43

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.正方体48c的棱长为2,E,£G分别为8C,CC”64的中点，则（）

A.直线DD]与直线AF垂直

B.直线4G与平面/所平行

9

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为一

2

D.点&和点D到平面AEF的距离不相等

10.已知_/（x）=ox-e",xeR,则（）

Aj（x）的值域为R

8.4#0时，/（》）恒有极值点

C.g（x）=/（x）-"（左70）恒有零点

口.对于彳6&/（。，（1-6）以恒成立

11.如图，已知直线/与抛物线V=2px（p>0）交于48两点，且。4_1。8,。。，48交48于点。，则

（）

A.若点。的坐标为（2/），则

B.直线/恒过定点（p,0）

C.点D的轨迹方程为炉+/-2px=0（x^0）

D.AAOB的面积的最小值为422

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知函数f（x）=££?），若方程/（X）—左=。有2个不同的实根，则实数左的取值范围是.

13.下图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开始，把

每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到

一条“雪花”状的曲线.

若第1个图中的三角形的周长为1,则第〃个图形的周长为

若第1个图中的三角形的面积为1,则第〃个图形的面积为.

14.已知用（事,必）,乂（》2，%）是圆。：。一3）2+3—4）2=4上的两个不同的点，若|朋乂|=2后，则

\X1+凹|+L+必|的取值范围为.

四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

某市为了了解人们对“中国梦''的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一

路''知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有机人，按年龄分成5组，其中

第一组：［20,25）,第二组：［25,30）,第三组：［30,35）,第四组：［35,40）,第五组［40,45］,得到如图所

示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

S

O.S

。

s

S

O.

年龄/岁

的值并估计这m人年龄的第80百分位数;

（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.

①若有甲（年龄38）,乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，

再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；

②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和*,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43

2

和1,据此估计这机人中35〜45岁所有人的年龄的方差.

16.（本小题满分15分）

己知数列｛勺｝满足：q=2,all+l-an=2".

（1）求数列｛可｝的通项公式；

（2）若数列抄“｝的首项为1,其前〃项和S“满足“S用一（〃+l）S"="（；"，证明：若

j2bl2b,2b

V〃eN,—L+—+…+—n

%a2an

17.（本小题满分15分）

如图所示，在四棱锥P—中，侧面0底面/8C0,0/=尸。=JI,4，/3。，底面Z8C。为直

角梯形，其中8C〃ZO,Z8_L4D,Z8=8C=1,。为的中点.

（1）求直线P8与平面P。。所成角的余弦值；

（2）求8点到平面尸C0的距离；

（3）线段PQ上是否存在一点0,使得二面角。-ZC-。的余弦值为巫？若存在，求出笔的值；若不

3QD

存在，请说明理由.

18.（本小题满分17分）

已知椭圆。：三+=l（a>b>0）的左、右焦点分别为片，工，该椭圆的离心率为g,且椭圆上动点河与点

2

CTb

耳的最大距离为3.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，若直线/与x轴、椭圆。顺次交于尸,0,R（点尸在椭圆左顶点的左侧），且NPFQ+NPF\R=无，

求AR。片面积的最大值.

19.（本小题满分17分）

已知函数/（x）=alnx-2ax+—（a>0）.

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）若/（x）有两个极值点不》2（%尸当），且不等式/（玉）+/（%）</1（丑产）恒成立，求实数几的取值

范围.

2023—2024学年度茂名市五校联盟高二联考

数学参考答案及解析

一、选择题

i.c【考点】直线的倾斜角与斜率(容易题)

【解析】由直线I：y/3x+y—1=0得丁=—yfix4-1,

.•/=—百，得倾斜角为g.故选C.

2.B【考点】等差、等比数列的基本定义、公式与性质

(容易题)

【解析】由等比数列的性质得出9=代=4。5，，%=4,由等差数列的性质得

(a}+4)x9-、山

2=…=%=4,二5=­--=18.叹选B.

3.C【考点】导数的几何意义，解对数函数不等式(容易题)

【解析】由/(x)=ln(x-a)+b,得/"(x)=」一，

x-a

/(o)=g)+b=o1

由题意得“/、1，得，C，

r(o)=—=1w=o

/(x)=ln(x+l),.\0„1o0.,Inx,1，解得L,x,e.故选C.

4.D【考点】直线恒过定点，直线与圆相交的弦长(取材于课本P103改编，中档题)

【解析】直线/：(机+3卜—(〃?+2»+加=0.恒过定点产(2,3),当。尸中时，圆心C到直线/的距离最大

为d=|C尸|=啦，此时，直线/被圆C截得的弦长最小，最小值为2户7=2近・故选D.

5.A【考点】二面角的平面角定义，向量法求距离(课本P41习题改编，中档题)

37r

【解析】由二面角的平面角的定义知(6D,ZC)=i，

.­.55-ZC=V2x2xsin—=-2,由

4

I,得衣国=0,苑瓦i=。,又

DC^DB+BA+AC,:\DC^(DB+BA+AC)2=DB2+BA+AC2+2DBBA+2DBAC+2BAAC^\4

•••|比卜池.故选A.

6.B【考点】双曲线的定义、离心率

【解析】设|NK|=X,则|脑V|=2X,|朋段=3X,由双曲线的定义得|班|一|加用=2%故|M|=3x-2a；

由|N用一加用=2。，故|NK|=x+2a,在RMA/巴中，|明「+|心叶=山见2,即

9x2+(3x-2a)2=4c2,@,在RMMN中，|叫『+|可『=|明|2,即4/+(3x-2a)2=(x+2a>,②,

由②得x=3。，代入①得20a2=4/,故e=±=J?.故选B.

3a

7.A【考点】构造函数，利用函数的单调性比较大小(较难题)

【解析】设/(X)=6-±,/'(X)=T^=-L

e2yxe

2

e21(ep2

当XE0,—J'(x)>0J(x)单调递增；当XE丁，+。J'(x)<0J(x)单调递减一<2<3，

\47\474

Y11

--•/(2)>/(3),即b>a,又•.,e*>X+1,XH1,；.e应t>后，令g(x)=—lnx,g'(x)=----,当

eex

22

xe(0,e),g'(x)<0J(x)单调递减；故g(2)>g(e)=0,即一>ln2,r.一一<-ln2,故c>b,故c>b>a.

ee

故选A.

8.C【考点】空间几何体的基本计算公式，导数法求函数的最值(较难题)

【解析】•••球的表面积为36兀，所以球的半径&=3,设正四棱锥的底面边长为2a,高为/?,则/2=2/+外,

32=2/+(3—。)2,所以6力=/2,2/=/2—02,二正四棱锥的体积

11,2I213(24_/2]

y=—Sh=—x4a2x/?=­xI2--x­=9ZE,当

33336J6

3*,/,,2瓶时，r>0,当2、笈</,,4五时.，/'<0,二当/=2卡时，正四棱锥的体积/取最大值，最大值

64

为一.故选C.

3

二、多选题

9.BC【考点】几何法、向量法与坐标法在解决立体几何的位置关系、求距离中的应用(课本P48习题改编，

中档题)

【解析】-：DyD//CXC,而G。与//显然不垂直，，。乙与力/不垂直，A错；取用6中点〃，连接

A\H,GH,BC],由G,E1分别是8A，8C,CG中点，吗HG//BC、〃EF，又

HE//BB、//AAVHE=BB,=AA],A.HEA是平行四边形，.♦.4H//AE，

AEr\EF=E,:.4H〃平面AEF,HG〃平面/EF,

而4〃^^〃6=〃,，平面4〃6〃平面力打，又46<=平面4〃6,二46〃平面4所.8正确；由正方

体性质，连接ED1,ZA，则截面Z"即为四边形/E五2,它是等腰梯形，

4R=2亚,EF=6,。尸=4E=有，等腰梯形的高为八=](有了—2五;近=半，截面面积为

5=|x(V2+2V2)x^=|,C正确；设4。门/。|=。，易知。是《。的中点，；•4，。两点到平面

AEFD,的距离相等.D不正确.故选BC.

10.BCD【考点】导数法在研究函数中的应用(最值、极点、函数的零点、恒成立等问题)(中档偏难题)

【解析】对于A：令f=ax,则8。)=/-6'应'(1)=1-3,/€区，当fe(-8,0),g'(/)>0,g(f)单调递增；

当t€(O,+e),g'(f)<0且。)单调递减.；.g(。,,g(O)=-1,.-./(x)的值域不为R,故工不正确；对于B：

由A选项可知，当4*0时，x=0是/(x)的极值点，故8正确；对于C：•••g(x)=/(x)-&伏#0)有零

X

点，即6-e"=!有根，当a=0时，/(x)=l与函数y=&图象恒有交点，当。工0时，由选项/知

XX

/Wmax=/(0)=-l；且/(X)在(一双。)上单增,在(0,+8)上单减，当左>0时;函数歹=幺图象在第四

X

象限与/(X)有交点，当％<0时，函数丁=幺图象在第三象限与/(X)有交点，，/(x)与函数丁=与图象恒

XX

有交点，故C正确；对于。：若/(x)<(l-e)办

,则ox-e<tr<(1-e)办oe"...ear,,(•.•e'...ex

当x=l时，等号成立)，当彳=一,贝!lea=e=eax，

a

故D正确.故选BCD.

H.ACD【考点】直线与抛物线的位置关系综合，直线过定点，动点的轨迹，最值问题(课本尸146习题改编，

中档偏难题)

【解析】对于A:vO(2,l),.,.％Q0=g,由OOLZ8,

=-

^AB2,.\lAB'y=-2x+5,联立j/=2px,消去x,

4

有/+勿一5p=0,记Z（X|,y）,8（%2,%）,则%丁2=-5p,由。Z_L06,得％•自B=---=T，

凹y2

p=|,故/正确；对于BCD：可设如：x=〃U+/，联立_/=2px,消去x,有y2_2pmy_2Pt=0,

4n2

2

则乂+%=2Pm,丫必=-2pt,由kOA-kOB=----=1W4p-2pt=Q,：.t=2p,：.lAB:x=my+2p,过

凹外

定点M（2p,0）,故8不正确；由0。，48,二。在以。河为直径的圆：（x—p）2+V=p2上运动（原点除

外），故C正确；此时：lAB:x=my+2p,过定点

朋■（22,0）,乂+%=2夕加,PM=,Su.=；-2p•|乂一%|=2/（乂+歹2）2-4凹%=2PLJ〃+4..4加

,故。正确.故选ACD.

三、填空题

12.0〈加＜1或加〉4el【考点】导数法研究函数的单调性、极值、方程的根的个数（P104习题改编，中档题）

【解析】由题意/'卜）=：（2；［3）,,//）=6（2万；1）在（__0）上单调递增,在（0#上单调

递减，在上单调递减，在上单调递增，且当X——8时，歹—0；当X=0时，

/（X）极大值=/（0）=1；当X从1的左侧无限趋近于1时，V-；当X从1的右侧无限趋近于1时，V-+8;

当Xf+e时，丁-＞+8；/（幻极小值=/15=4/，函数/•（x）=e'（2x；l）的大致图象如图所示,

.•・满足题意的左的取值范围是0（根＜1或加〉41•故答案为0＜加＜1或加〉4£.

【考点】等比数列的应用，递推公式（尸55习题改编，中档题）

⑴55⑺

【解析】记第〃个图形为匕，三角形的边长为4,边数为“，周长为4,面积为s”,片有4条边，边长为

]/1\1

有&=44条边，边长为%=—q;4有&=424条边，边长为/=卜6；.•.%=上%»即

33

a=f-1ar,h=4b/即"=*4"，当第1个图中的三角形的周长为1时，即

n1311'〃〃-1"1

%=1，4=3,二.乙=见"=（；）X3X4"T=（：）,由图形可知匕是在匕_1每条边上生成一个小三角形，即

S"=S“_]+bn_｝乂与a：「即S「S『i=*a；.b…S,f—Sn_2=曰（rnA-bn_2,--->S2-S]-b]>利

用累加法可得s“—s、=&a>如+《3•bn_2+…+其・印），数列｛q｝是以;为公比的等比数列，数列也｝

z24

故皴

是

列

lb以

<Q"-

是以4为公比的等比数列,kl〃9为公比的等比数列，当第1个图中的三角形面积为1时,

5=1,即日d=1，此时q2=华,加=挈,弓有4=3条边，则

W-1、

4年第

也_|+a,"也一2+起•仇

5

9

〃一1、

3083.4丫一n-\

：.S-S,=-x1-，谆=二-不旧.故答案为

"15

K)7

14.[10,18]【考点】动点的轨迹、活用点到直线距离公式、圆上的点到直线距离的最值问题（较难题）

【解析】•.•|削|=2直,.•.弦A/N的中点P的轨迹为以。为圆心，半径尸=｛4—（后>=及的圆,

卜2+8|)|百+乂||%+%|

■.•\x+y\+\x+y\=y/2

li22V2J572V2表示M、N到直线x+y=O的距离之和,

即：等于"N的中点尸到直线x+y=O的距离|P*的2倍，-：\CH\-^.\PH\,,\CH\+r,即

乎,,M，,逑..•.IQ,>+必|+昆+%]”18.故答案为[10,18].

三、解答题

15.【考点】由频率分布直方图估计数据的数字特征、

古典概型、从分层随机抽样的平均数与方差估计总

体平均数与方差（容易题）

解：（1）由题意，竺=5x0.01,所以加=200.

m

设第80百分位数为

因为0.01x5+0.07x5+0.06x5=0.7<0.8,0.01

x5+0.07x5+0.06x5+0.04x5=0.9>0.8,

故第80百分位数位于第四组：［35,40）内，

由0.05+0.35+0.3+(。-35)x0.04=0.8,解得:

a=37.5,

所以第80百分位数为37.5.

（2）①由题意得，第四组应抽取4人，记为

甲，第五组抽取2人，记为。，乙，

样本空间为：。={3,B）,（A,C）,（A,甲），（4,乙），（4D）,（B,C）,（B,甲）,（B,

乙），（B,D）,（C,甲），（C,乙），（C,D）,（甲，乙），（甲，D）,（乙，D）},共15个样

本点.）

设事件河="甲、乙两人至少一人被选上“，

则用■={（A,甲），（4乙），（8,甲），（B,乙），（C,甲），

（C,乙），（甲，乙），（甲，D）,（乙，D）},共有9个样本点.

所"（,"）、=品n（M二}十3

②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分

别为亍4,亍5，方差分别为

则"=37,浜=43,s；=g,s；=1,

设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为彳，方差为一.

则，

22

5s：+（%一可之+2x55+（%5-7）^=10=

因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10,

据此，可估计这机人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.

16.【考点】等差、等比数列的基本概念；累加法、法求数列的通项公式；错位相减法求和、数列的单调性（中档

题）

n

解：(1)va„+1-an=2,a}=2,

•1•%=%+3-％)+(%-％)+…+(4-2-«„-!)+(«„-%)

=2+2'+22+---+2"-2+2"-'

⑵证明：由…+内=用得普T]+…

二数列｛｝｝是以首项为1,公差为g的等差数列，

,r,S,.1I八〃+1„〃(〃+1)

则」=1+-(〃_]=——，D即s=-^——L.

n2'"2"2

〃(〃+1)3=〃,

当〃…2时,

22

4=1也符合该式，

23n

4----pH-----H-------1--------

12

222”T

-1T123n'

122122232"

1十,1111n

作差得一北=1H--1--+—H---F--j----

2222232""2"

2=2-9，则I=4-〃+2

2"2"2'i

n+2〃+3«+1八

•••&T---=>0,

2"2"

•••数列亿｝在〃eN*上单调递增，（7；L=4=1，

2b.2b,

即1+___=_+...+组

a2

17.【考点】向量法求线面角、二面角、点面距、探究性

问题（中档题）

解：（1）在△尸力。中，。4=尸。,。为4。的中点，

POLAD.

又•••侧面尸4），底面Z8CD,平面尸4）c平面

ABCD=AD,POu平面PAD，

P01平面488.

在△&7）中，PA1PD,PA=PD=V2,.-.AD=2.

在直角梯形/BCD中，。为力。的中点，.,.OZ=BC=1,，OC_LZ£>.

以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则尸(0,0,1),/(0,-1,0),8(1,0,0),

OA±OP,OA±OC,OPcOC=O,:.04J_平面POC.

：.OA=（0-1,0）为平面POC的法向量，设PB与平面POC所成角为e,

_P_B_O_A73

贝ijsin。=cos(PB,OA

而忤-3，

PB与平面POC所成角的余弦值为逅

3

(2)vPS=(l,-l,-l),

设平面PCD的法向量为日=（x,y,z）

uCP=-x+z=0

，则<—.取衩=(1,1,1).

u♦PD=y-z=0

|丽臼一百

则3点到平面PCD的距离d=

（3）假设存在，且设闻=4而（Q,A.1）.

PD=(0,1,-1),:.而-而=PQ=(0,4-4),

.•.诙=(0,几,1_4.0(0,4,1_4).

设平面C40的法向量为比=(x“y,zj,

m-AC=x.+y,=0

则一一/、/、，

tn•AQ=(4+1)必+(1—%)Z]=0

取Z[=1+2,得加=(1—2,丸―1,2+1),

而平面％。的一个法向量为元=（0,0,1）,

•.•二面角。一工。一。的余弦值为如，

3

.加S伍昨辐

|4+1|任

J（l-4）2+（"1）2+（4+］）23,

整理化简，得3/12—i（M+3=0.解得4=^或4=3（舍去），

二线段尸。上存在满足题意的点。，且需

18.【考点】椭圆的基本概念与性质，直线与椭圆的位置关系综合问题，基本不等式求最值（中档偏难题）

11

解：（1）•椭圆的离心率为一,，e=c-=—,即a=2c.

2a2

椭圆上动点M与点片的最大距离为3,/.a+c=3.

a=2,c=1,/.b=-\/3>

椭圆。的标准方程为：《+匕=1.

43

（2）设。（再,必）,及〉2，%）,由⑴知，片（一1,0）,

•;NPF、Q+/PF、R=式，：./CQR+卜防=0

六j+六J=0,整理得芯为+/必+X+%=0.

设直线P0的方程为X=my+〃（加*0），

联立《2I2，得(3加之+4)y2+6加〃y+3〃2—12=0,

A=36〃/〃2_4(3加2+4)(3〃2一⑵>0,

rr<3m2+4，

6mn3n2-12

%+%=一病百。必=*"*=+"'%=加乃+〃'

玉必+弘+Y+%=2叩曲+(〃+1)(弘+%)=o，

...2〃?.”卫+(〃+1)］一6mn

=0,

3/+4''\3m2+4

,/mw0,/.〃二一4.

・•・直线尸。的方程为x=〃U—4.