安徽省霍邱县二中2023-2024学年高三六校第一次联考数学试卷含解析

安徽省霍邱县二中2023-2024学年高三六校第一次联考数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，正三棱柱ABC-4与£各条棱的长度均相等，。为A4的中点，分别是线段8片和线段CG的动点

（含端点），且满足6M=GN,当运动时，下列结论中不正确的是

A.在ADMN内总存在与平面ABC平行的线段

B.平面DAW平面5CC4

C.三棱锥A-的体积为定值

D.ADACV可能为直角三角形

2.设S“为等差数列｛%｝的前几项和,若2(q++%)+3a+%2)=66,则S]4=

A.56B.66

C.77D.78

3.若等差数列｛4｝的前〃项和为S”,且S13=O,。3+。4=21,则$7的值为()

A.21B.63C.13D.84

4•甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概

率是（）

1111

A.-B.—C.—D.一

3456

5.将函数y=sin（3x+0的图象沿x轴向左平移三个单位长度后，得到函数/（九）的图象，则“°=白是"/（%）是

96

偶函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知正方体A3CD—AgGR的棱长为2,E,F,G分别是棱AQ,CQ,的中点，给出下列四个命题:

②直线FG与直线4。所成角为60。；

③过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；

④三棱锥3-跳’G的体积为g.

其中，正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.一物体作变速直线运动，其V-f曲线如图所示，则该物体在工S~6s间的运动路程为（）m.

8.复数z满足=贝！JZ=()

A.1-iB.1+zC.---zD.—+—z

2222

9.已知全集。=R,函数y=ln(l—X)的定义域为"，集合N={Rx2—%<()),则下列结论正确的是

A.MN=NB.M[(沏N)=0

C.MN=UD.

10.在AABC中，角A,8,C所对的边分别为a,4c,已知46cos3sinC=，则3=()

/ABAC、

11.。是平面上的一定点，A民C是平面上不共线的三点，动点尸满足OP=OA+X（小----+

AB-cosBAC?cosC

＞16（0,00）,则动点尸的轨迹一定经过AABC的（）

A.重心B.垂心C.外心D.内心

12.已知函数/'（%）=叱，8（"=%-,.若存在%«0,+8）,%2eR使得/（石）=8（/）=左（左＜°）成立，则

X

/、2

三屋的最大值为（）

2

A.eB.e

41

C.—rD.

ee

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知sina-cosa=0,则cos（2a+g=.

14.（5分）国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年

全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高

二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是17,20,16,18,19,则这五位同学答对题数的方差

是.

15.已知函数/（%）=（——依）（力—Inx）,若在定义域内恒有，a）＜o,则实数。的取值范围是.

Inx-at

16.某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，

那么高二年级被抽取的人数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据

所测量的零件尺寸（单位：mm）,得到如下的频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；

（2）若从这80个零件中尺寸位于［62.5,64.5）之外的零件中随机抽取4个，设X表示尺寸在［64.5,65］上的零件个数,

求X的分布列及数学期望EX；

（3）已知尺寸在［63.0,64.5）上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率.现对生产

线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已

知每个零件的检验费用为99元.若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，

企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检了H个，结果有1个二等品，以整箱检验

费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.

18.（12分）已知函数/'（x）=靖-ox+g/,其中a>-l.

（I）当时，求函数/（尤）的单调区间；

（II）设/z（x）=/（X）+办一；》2一［nx,求证：h（x）>2；

（ID）若匕对于工6区恒成立，求人―q的最大值.

19.（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进

行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

平均每天锻炼

[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)

的时间/分钟

总人数203644504010

将学生日均体育锻炼时间在［40,60）的学生评价为“锻炼达标”.

(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2x2列联表:

锻炼不达标锻炼达标合计

男

女20110

合计

并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?

(2)在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流.

(i)求这10人中，男生、女生各有多少人?

(ii)从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，记这2人中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望.

殳小八402n(ad-bc)2

参考公式：K=-------------------------，其中〃=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

网片2k0)0.100.050.0250.010

0k。2.7063.8415.0246.635

20.(12分)在平面直角坐标系xQy中，直线丁=区+1优/0)与抛物线C：9=407(。＞0)交于a,B两点,且

当左=1时，|AB|=8.

(1)求。的值；

(2)设线段A5的中点为抛物线C在点A处的切线与C的准线交于点N,证明：MN//y螭.

21.(12分)如图，在四棱锥尸-A3CD中，侧面R4D为等边三角形，且垂直于底面ABC。，

AB=3C=1,NBAD=ZABC=90,ZADC=45，分别是AD,PD的中点.

(1)证明：平面CAW//平面R43；

2

(2)已知点E在棱PC上且CE=§CP,求直线NE与平面R43所成角的余弦值.

22.(10分)已知函数/(x)=x/nx—犷―x,ae&”2.71828…是自然对数的底数.

⑴若q=-e,讨论/(%)的单调性；

(2)若/(九)有两个极值点占,3，求。的取值范围，并证明:看々>/+%.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；

B项利用线面垂直的判定定理；

C项三棱锥A的体积与三棱锥N-4。/体积相等，三棱锥N-ADM的底面积是定值，高也是定值，则

体积是定值；

D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.

【详解】

A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确；

B项，如图：

当M、N分别在BBi、CCi上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCCiBi的中心O,由DO垂直于平面BCCiBi

可得平面DMN±平面BCC&],故正确；

C项，当M、N分别在BBi、CCi上运动时,△AiDM的面积不变,N到平面AjDM的距离不变，所以棱锥N-AiDM的体积

不变，即三棱锥Ai-DMN的体积为定值，故正确；

D项，若△DMN为直角三角形，则必是以NMDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BCi,而此时DM,DN的长大于

BBi,所以△DMN不可能为直角三角形，故错误.

故选D

【点睛】

本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性

质的应用，是中档题.

2、C

【解析】

根据等差数列的性质可得2(4+%+%)+3(a+4:)=6%+6。|0=66,即生+=11,

所以'=I,©；%)=八%+/)=77,故选C.

3、B

【解析】

由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d,%,然后结合等差数列的求和公式即可求解.

【详解】

解：因为S]3=0,。3+。4=21,

13a+13x6d=0

所以C一力，解可得，d=—3,q=18,

2al+5d=21

贝!IS=7xl8+1x7x6x(-3)=63.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题.

4、D

【解析】

先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事

件的种数，利用古典概型的概率公式求解.

【详解】

甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，

其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种，

所以甲第一个到、丙第三个到的概率是。=5.

故选：D

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

5、A

【解析】

求出函数y=/(x)的解析式，由函数y=/(x)为偶函数得出9的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断

即可.

【详解】

将函数y=sin(3x+。)的图象沿x轴向左平移彳个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为

/(x)=sin+°=sin(3x+g+0),

若函数y=/(x)为偶函数，则£+夕=左乃+£(左eZ),解得夕=而+£/eZ),

326

7T

当上=0时，(p=一・

6

因此，“°=巴”是“y=f(x)是偶函数”的充分不必要条件.

6

故选：A.

【点睛】

本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，

考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.

6、C

【解析】

画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可.

【详解】

如图；

连接相关点的线段，。为的中点，连接ER9,因为尸是中点，可知耳C，O尸，E。，耳C，可知5。，平面ER9,

即可证明耳C_L砂，所以①正确;

直线FG与直线4。所成角就是直线与直线A.D所成角为60°；正确;

过E,尸，G三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图:

是五边形EHFGI.所以③不正确;

如图:

AB

三棱锥3-跳’G的体积为:

由条件易知尸是GM中点,

所以吃-EFG=VB-EFM

-cc_2+3Xc1XcliX勺i_5

而SBEM~S梯^AABE^2--2X1-—3X1--,

|x《.所以三棱锥5*G的体积为I，④正瑜

故选：C.

【点睛】

本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中

档题.

7、C

【解析】

由图像用分段函数表示v«),该物体在一s~6s间的运动路程可用定积分S=J1丫«)由表示，计算即得解

22

【详解】

由题中图像可得，

2?,0<7<1

v(0=<2,l<t<3

—1+1…,3<«6,

由变速直线运动的路程公式，可得

广6i•1:3

=J1v(/)df=J12tdt+J]2df+

-r+z

149

所以物体在一s~6s间的运动路程是一m.

24

故选:C

【点睛】

本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

8、C

【解析】

利用复数模与除法运算即可得到结果.

【详解】

1一二(J)71n反

'l+i1+i(l+z)(l-z)222

故选：C

【点睛】

本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题.

【解析】

求函数定义域得集合M,N后，再判断.

【详解】

由题意M={x|x<l},?/={x|O<x<l},：.MN=N.

故选A.

【点睛】

本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素.确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域,

还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定.

【解析】

根据正弦定理得到4sinBcos3sinC=bsinC，化简得到答案.

【详解】

由4Z?cosBsinC=得4sin3cos3sinC=^3sinC，

.•.sin23=#,.，鼻三或三，.Mq或

故选：D

【点睛】

本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.

11、B

【解析】

解出AP，计算APBC并化简可得出结论.

【详解】

AP=OP-OA=^(

AB\-cosBAC\'cosC

AB.BCAC.BC

:.AP.BC=22(-|BC|+|BC|)=

AB\'cosBAC\'CosC

*e•APLBC^即点P在5C边的高上，即点P的轨迹经过△A5C的垂心.

故选5.

【点睛】

本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP,是关键.

12、C

【解析】

由题意可知，g(x)=/(e*),由/(%)=g(x2)=左(左<0)可得出0<%<1,%2<0,利用导数可得出函数y=/(x)

在区间(0,1)上单调递增，函数y=g(x)在区间(-8,0)上单调递增，进而可得出西=*,由此可得出

卫=^=g(%)=3可得出上ek=k2ek,构造函数万优)=421，利用导数求出函数y=〃(。在左«口,0)

/e‘

上的最大值即可得解.

【详解】

小)=竽ga)=>¥"㈤，

由于/(石)==左贝!JlnXi<0=>0<%<1,同理可知，x2<0,

X1

函数y=/(x)的定义域为(0,+8)，_f(x)=E^>0对Vxe(O,l)恒成立，所以，函数y=/(x)在区间(0,1)上

X

单调递增，同理可知，函数y=g(x)在区间(-<应0)上单调递增，

(%)=g(x2)=/(e*),则%=涉，.,.三=W=g(%)=左，则上ek=k-ek,

西e(X"

构造函数/曲)=/1,其中k<0,则〃(左)=(左2+2左)/=左(左+2)/.

当左<—2时，〃(左)>0,此时函数y=〃(Z)单调递增；当—2〈左<0时，〃(左)<0,此时函数y=〃(Z)单调递减.

4

所以，/®L=M-2)=/.

故选：C.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-1

【解析】

首先利用sina-cosa=0,将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到1-sin2a=0,从而求

7T

得sin2<z=l,利用诱导公式求得cos(2a+])=—sin2a=—1,得到结果.

【详解】

因为sina-cosa=0,所以l-sin2a=0,即sin2c=l,

所以cos(2tz+—)=-sin2tz=-l,

故答案是-1.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单

题目.

14、2

【解析】

由这五位同学答对的题数分别是17,20,16,18,19,得该组数据的平均数篷*+20+g+18+19=]8,贝！)方差

52=-x[(17-18)2+(20-18)2+(16-18)2+(18-18)2+(19-18)2]=—=2.

55

15、-

【解析】

根据指数函数y=ev与对数函数y=lnx图象可将原题转化为-ax)(inx-ax)<0恒成立问题，凑而可知V=改

的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零

的条件可最终确定。的取值范围.

【详解】

由指数函数y=/与对数函数y=Inx图象可知：/>inx,

.../(x)<0恒成立可转化为…<0恒成立,即—ia)(lnx—ax)<0恒成立，二d>公>In无，即丁=办是

Inx-ax

夹在函数y=e'与y=Inx的图象之间，

■-y=ax的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.

设过原点且与y=InX相切的直线与函数相切于点(777,Inm),

[m=e

IIn相

则切线斜率左=—=——，解得：,1;

mmk[=一

设过原点且与y=e'相切的直线与函数相切于点(n,e"),

,fn=1

则切线斜率左2=e〃=解得：7；

TIk?=e

当］二—时，In九—%《0,又Inx—依wO,...〃=—满足题意；

eee

综上所述：实数a的取值范围为

【点睛】

本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数

函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得

的讨论.

16、20

【解析】

由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有600人，根据抽样比可求得结果.

【详解】

设高一、高二、高三人数分别为”,仇c,则2〃=a+c且a+b+c=1800,

解得：6=600,

用分层抽样的方法抽取60人,那么高二年级被抽取的人数为60x黑=20人.

1800

故答案为：20.

【点睛】

本题考查分层抽样问题的求解，涉及到等差数列的相关知识，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)63.47；(2)分布列见详解，期望为3；(3)余下所有零件不用检验，理由见详解.

7

【解析】

⑴计算［62Q63.0),［63.0,63.5)的频率，并且与0.5进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法,

可得结果.

(2)计算位于［62.5,64.5)之外的零件中随机抽取4个的总数，写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分

布列，计算期望，可得结果.

(3)计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿

费用之和的期望值，进行比较，可得结果.

【详解】

(1)尺寸在［62.0,63.0)的频率:

0.5x(0.075+0.225)=0.15

尺寸在［63.0,63.5）的频率：0.5x0.750=0.375

且0.15<0.5<0.15+0.375

所以可知尺寸的中位数落在［63.0,63.5）

假设尺寸中位数为x

所以0.15+（X-63.0）x0.750=0.5=>xu63.47

所以这80个零件尺寸的中位数63.47

（2）尺寸在［62.0,62.5）的个数为80x0.075x0.5=3

尺寸在［64.5,65.0］的个数为80x0.100x0.5=4

X的所有可能取值为1,2,3,4

则P（X=1）=等P（X=2）=詈=||

4

P（X=3）=当上io，P（X=4）=VC」1

1/C；3517C435

所以X的分布列为

X1234

418121

P

35353535

“，4c18c12,116

EX=1x----i-2x----i-3x---i-4x——=——

353535357

（3）二等品的概率为0.5x（0.075+0.225+0.100）=0.2

如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为

”100x99=9900（元）

余下二等品的个数期望值为89x0.2=17.8

如果不对余下的零件进行检验，

整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为

=11x99+500x17.8=9989(元)

所以《〉2,所以可以不对余下的零件进行检验.

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边

的频率各为0.5,考验分析能力以及数据处理，属中档题.

18、(I)函数/Xx)的单调增区间为(0,+8),单调减区间为(-8,0);(II)证明见解析；(III)1+-.

e

【解析】

(I)利用二次求导可得('(尤)="+1>0,所以/Xx)在R上为增函数，进而可得函数/(x)的单调增区间为(0,+8),

单调减区间为(-8,0)；(11)利用导数可得(p(x)=〃(尤)=L在区间(0,+8)上存在唯一零点,所以函数h(x)在(O,xo)

X

递减，在(%,+8)递增，贝!]〃(0.方(％)=*-血龙0=1一/”无0,进而可证；(HI)条件等价于依-X..A对于xeR恒

%0

成立，构造函数g(x)="-ox-x,利用导数可得g(x)的单调性，即可得到g(x)的最小值为

g(ln(a+I))=a+l-(a+l)Zn(a+1),再次构造函数9(a)=1-(a+W(a+1),a>-l,利用导数得其单调区间，进而

求得最大值.

【详解】

1

(I)当a=l时，f(%)=—X+—9)

贝！If，(尤)=/-l+x,所以尸(0)=0,

又因为广(x)=e、+1>0,所以/'(X)在R上为增函数，

因为/'(。)=0,所以当天>0时，/'。)>0,〃尤)为增函数，

当为<0时,m<o,力力为减函数，

即函数f(x)的单调增区间为(0,+8),单调减区间为(-8,0)；

1,1,

(II)h(x)=ex—ax+—x1尤—lnx=e*—lnx,

贝!|令9(x)=〃(无)=贝!|9(1)=e-l>0,<p(—)-2<0,

x2

所以9(x)在区间(0,+8)上存在唯一零点，

1.1

设零点为％,则/6(不1),且6。=一，

当XW(O,Xo)时，h'(x)<0,当xwQo，+oo),h'(x)>0,

所以函数%(X)在(0,%)递减，在(%,+8)递增，

h(x)..M%o)=e"—/叫-/叫,

，/

自11

由e、°=一，得lnXo=-Xo，所以〃(尤0)=%+—..2,

xox»

由于/eg」)，〃(％)>2,从而皿»>2；

(III)因为/(x)..gx?+x+6对于xeR恒成立，即/-依-元..6对于xeR恒成立，

不妨令g(x)=ex-ax-x,

因为g'(x)="-m+l)，a>-l,

所以g'(x)=0的解为x=ln{a+1),

则当x>/”(a+l)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,

当无(山m+1)时，g'(x)<0,g(x)为减函数，

所以g(x)的最小值为g(Ma+1))=。+1-(a+l)ln(a+1),

贝！)b-④1-(a+I)ln(a+1),

不妨令。(a)=l-(a+l)ln(a+1),a>—l,

贝!I0，(a)=-ln(a-\-l)-l=0,解得〃=—]+l,

e

所以当。<-1+工时，(P'(a)>0,(P(a)为增函数，

e

当。>一1+工时，(P'(a)<0,(P(a)为减函数，

e

所以9(a)的最大值为0(-1+2)=1+L

ee

则人—a的最大值为1+』.

e

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生等价转化思想和数学

运算能力，属于较难题.

4

19、(1)能；(2)⑴男生有6人，女生有4人；(ii)E(X)=1，分布列见解析.

【解析】

(1)根据所给数据可完成列联表.由总人数及女生人数得男生人数，由表格得达标人数，从而得男生中达标人数，这

样不达标人数随之而得，然后计算K?可得结论;

(2)由达标人数中男女生人数比为3：2可得抽取的人数，总共选2人，女生有4人，X的可能值为0,1,2,分别

计算概率得分布列，再由期望公式可计算出期望.

【详解】

(1)列出列联表，

锻炼不达标锻炼达标合计

男603090

女9020110

合计15050200

个_200x(60x20-30x90)2

6.061〉5.024,

'-150x50x90x11033

所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关.

(2)(i)在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3:2,

用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人.

(ii)从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，2人中女生的人数为X,

则X的可能值为0,1,2,

「2101只「27

则P(X=0)=-1~=—,P(X=1)=^^=—,P(X=2)=m=—,

/3/15Gj15

可得X的分布列为:

X012

P182

31515

1o24

可得数学期望E(X)=0x—+lx—+2x—=—.

315155

【点睛】

本题考查列联表与独立性检验，考查分层抽样，随机变量的概率分布列和期望.主要考查学生的数据处理能力，运算

求解能力，属于中档题.

20、(1)1；(2)见解析

【解析】

(1)设4(%,弘)，B(x2,y2),联立直线和抛物线方程，得/-4内-4p=0,写出韦达定理，根据弦长公式，即可求

出P=l；

(2)由得根据导数的几何意义’求出抛物线在点入点处切线方程’进而求出即可证

出脑V//y轴.

【详解】

解：（1）设，（X,4）,B（x2,y2）,

将直线/代入。中整理得：x2-4px-4p=0,

：.占+%=4p,x,x2=-4p,

*'•|AB|=^2-J（X]+%）~-4八%=0',16P。+16p=8,

解得：P=L

（2）同⑴假设4（%,yj,B（x2,y2）,

由y=”x：得y'=!x，

42

从而抛物线在点A点处的切线方程为y-；X；=；苞（x-石），

Hn112

即y=~xix~~xi

.13%；—4

令y=-1,得％N=~；—，

2国

2

由（1）知—4=X]/，从而x=--=-——=x,

N2石2M

这表明MN//y轴.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程，考查转化思想

和计算能力.

21、（1）证明见解析；（2）

2

【解析】

（1）由平面几何知识可得出四边形A3CM是平行四边形，可得。///43n。0〃面243,再由面面平行的判定

可证得面面平行；

（2）由（1）可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面”