2023-2024学年上海市虹口区九年级(上)期末数学试卷(一模)及答案解析

2023-2024学年上海市虹口区九年级（上）期末数学试卷（一模）

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一

个选项是正确的，请选择正确项的代号并填入答题纸的相应位置上.

1.（4分）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（）

B.=_L

A.y=2x-1VC.y=2x2-iD.y=2x3-1

y2

2.（4分）将抛物线y=-3x2向左平移4个单位长度，所得到抛物线的表达式是（）

A.y=-3(x+4)2B.y=-3(x-4)2

C.y=-3x2+4D.y=-3x2-4

3.（4分）如图，在Rt^ABC中，已知NC=90°,cosA=W，AC=3,那么BC的长为

4

()

A.41D.5

4.（4分）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点0到球心的长度

为50厘米，小球在左、右两个最高位置时,细绳相应所成的角NA0B为40°,那么小

球在最高位置和最低位置时的高度差为)

A.(50-50sin40)厘米B.(50-50cos40°)厘米

C.(50-50sin20)厘米D.(50-50cos20°)厘米

5.(4分)如图,GE〃AC交BC于点E.如果AC=12,那么GE的

长为（)

A.3B.4C.6D.8

6.(4分)如图,四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相

第1页（共5页）

似的是（)

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）已知x：y=3：2,那么（x-y）：x=.

8.（4分）如果向量a、b和x满足a~x=2（a-b,，那么x=•

9.（4分）已知抛物线y=（1-a）x2+3开口向下，那么a的取值范围是.

10.（4分）如果点A（2,1）在抛物线丫=（x-1）2+m上，那么m的值是.

11.（4分）如果将抛物线y=2x2平移，使顶点移到点p（-3,1）的位置，那么所得抛物

线的表达式是.

12.（4分）已知点A（-3,y））和B（1,y2）都在抛物线y=2（x-1）2_2上，那么y1

和丫2的大小关系为力y2（填或“〈”或“=

13.（4分）已知抛物线y=-x2+bx+c如图所示，那么点P（b,c）在第象限.

14.（4分）一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6

分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是

平方分米.

第2页（共5页）

15.（4分）如图，已知AD〃EF//BC,BC=2AD,BE=2AE,同兀，那么用之表示而

BN------------------------*c

16.（4分）如图，在DABCD中，点F在边AD上，AF=2FD,直线BF与对角线AC相交

于点E,交CD的延长线于点G,如果BE=2,那么EG的长是_______.

G

上

17.（4分）定义：如果以一条线段为对角线作正方形,那么称该正方形为这条线段的“对

角线正方形例如，如图①中正方形ABCD即为线段AC的“对角线正方形如图②，

在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,点P在边AB上，如果线段PC的“对角

线正方形”有两边同时落在4ABC的边上，那么AP的长是______________________.

3

A^——1C

18.（4分）如图，在4ABC中，AB=AC=5,tang=3.点M在边BC上，BM=3,点N

4

是射线BA上一动点，联结MN,将△BMN沿直线MN翻折，点B落在点B'处，联结

BC,如果B'C〃AB,那么BN的长是

A

XX

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

第3页（共5页）

19.（10分）计算:4si也30°tan45

cos300-cos600

20.（10分）画二次函数y=ax2+bx的图象时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不

完整）.请补全表格，并求该二次函数的解析式.

・・・・・

X-10245•

.・•・・・

y-54一5

21.（10分）如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图

③是图②的示意图.已知BC=8cm,CD=20cm,ZBCD=63".当AE与BC形成的

ZABC为116°时，求DE的长.（参考数据:sin6320.9。cos63°^0.45cot63%

22.

=2a,AB=3a,在射线ON上顺次截取0C=2b,CD=3b.联结AC、BC和BD,AC=4,

BC=6.

（1）求BD的长；

（2）小明继续作图，如图③，分别以点B、D为圆心，以大于当BD的长为半径作瓠，

两弧分别相交于点P、Q,联结PQ,分别交BD、0D于点E、F.如果BCJ_OD,求EF

的长.

23.（12分）如图，在AABC中，已知点D、E分别在边BC、AB上，EC和AD相交于点F,

ZEDB=ZADC,DE2=DFDDA.

第4页（共5页）

(1)求证：AABD-AECD；

FC—EG

(2)如果/ACB=90°,求证:

24.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中.已知抛物线y=x2+2x+m经过点A(-3,0),

与y轴交于点C,联结AC交该抛物线的对称轴于点E.

(1)求m的值和点E的坐标；

(2)点M是抛物线的对称轴上一点且在直线AC的上方.

①联结AM、CM,如果NAME=ZMCA,求点M的坐标；

②点N是抛物线上一点，联结MN,当直线AC垂直平分MN时，求点N的坐标.

Ox

25.(14分)如图①，在Rt^ABC中，ZACB=90°,tan/ABC='点D在边BC的延

3

长线上，联结AD,点E在线段AD上，ZEBD=ZDAC.

(1)求证：4DBAs/xDEC；

(2)点F在边CA的延长线上，DF与BE的延长线交于点M(如图②).

①如果AC=2AF,且aDEC是以DC为腰的等腰三角形，求tan/FDC的值；

②如果DE=^CD，EM=3,FM：DM=5：3,求AF的长.

i物m备用图

第5页(共5页)

2023-2024学年上海市虹口区九年级（上）期末数学试卷（一模）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一

个选项是正确的，请选择正确项的代号并填入答题纸的相应位置上.

1.（4分）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（）

A.y—2x-1B.y=—1“C.y=2x2-1D.y=2x?-1

x2

【分析】根据二次函数定义，即可判断.

【解答】解：A、y=2x-1,是y关于x的一次函数，故A不符合题意；

B、y=」_不是y关于x的二次函数，故B不符合题意；

2

x

C、y=2x2-i是y关于X的二次函数，故C符合题意；

D、y=2x3-i不是y关于X的二次函数，故D不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键.

2.（4分）将抛物线y=-3x2向左平移4个单位长度，所得到抛物线的表达式是（）

A.y=-3（x+4）2B.y=-3（x-4）2

C.y=-3x2+4D.y=-3x2-4

【分析】根据“左加右减”的法则解答即可.

【解答】解：将抛物线y=-3x2向左平移4个单位长度，得到的抛物线是y=-3（x+4）

2.

故选：A.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的

关键.

3.（4分）如图，在RtZ\ABC中，已知/C=90°,cosA=-l,AC=3,那么BC的长为

A.V?B.2^7D.5

第1页（共22页）

【分析】先根据余弦的定义计算出AB=9,然后利用勾股定理计算出BC的长.

【解答】解：.；NC=90°,

AB4

VAC=3,

AAB=4,

•'-BC=VAB2-AC2=V42-32^^7.

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是解决问

题的关键.

4.（4分）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点0到球心的长度

为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角NAOB为40。，那么小

球在最高位置和最低位置时的高度差为（）

A.(50-50sin40)厘米B.(50-50cos40°)厘米

C.(50-50sin20)厘米D.(50-50cos20°)厘米

【分析】当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三

角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可

求出小球在最高位置与最低位置时的高度差.

【解答】解：如图：过A作ACL0B于C,

RtAOAC中，0A=50厘米，ZA0C=40°+2=20°,

AOC=0A□os20°=50Xcos20°.

第2页（共22页）

/.CD=0A-OC=50-50Xcos200=50（l-cos20°）（厘米）.

故选：D.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运

算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算.

5.（4分）如图，点G是AABC的重心，GE〃AC交BC于点E.如果AC=12,那么GE的

长为（)

A.3B.4C.6D.8

【分析】连接BG并延长交AC于D,根据点G是4ABC的重心，得到CD=

yAC=|x12=6-B-G=—2»根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

BD3

【解答】解：连接BG并延长交AC于D,

:点G是AABC的重心，

'CDAC4"X建=6,

VEG//AC,

.,.△BEG^ABCD,

.BG_EG

"BD-CD'

,.,-2--G-E-,

36

AGE=4,

故选：B.

【点评】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重

心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题

的关键.

6.（4分）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相

似的是（）

第3页（共22页）

【分析】如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形

相似，据此求解即可.

【解答】解：设每个小正方形的边长为1,

则已知四边形的四条边分别为1,2,瓜

选项A中的四边形的四条边分别为衣，2,2,师,两个四边形的四条边对应不成比

例，不符合题意；

选项B中的四边形的四条边分别为2,而，V13,4,两个四边形的四条边不是对应成

比例，故选项B中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；

选项C中的四边形的四条边分别为2,而，4,两个四边形的四条边不是对应成

比例，故选项C中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；

选项D中的四边形的四条边分别为2,2近，4,2辰,两个四边形的四条边对应成比例.

将已知四边形表示为四边形ABCD,将选项D中的四边形表示为EFGH.

如图，连接AC、EG,则AC=遥，EG=2代.

在△ABC与△EFG中,

..AB=BC=AC=2

'EFFGEG~2

第4页（共22页）

」.△ABCs/\EFG,

ZBAC=/FEG,/B=/F,ZACB=NEGF.

在AADC与中，

•"AD=DC=AC=1

'EH-HG-EG--2，

二.△ADCs/\EHG,

?.ZDAC=ZHEG,ZD=ZH,ZACD=ZEGH,

AZBAD=ZFEH,ZB=ZF,ZDCB=ZHGF,ZD=ZH,

又..旭=毁=池=区=工

,而一而一而一而一亍

二四边形ABCDs四边形EFGH.

故选：D.

【点评】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相

关定理与性质是解题的关键.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.（4分）已知x：y=3：2,那么（x-y）：x=_1：3.

【分析】先用x表示出y,再代入比例式进行计算即可得解.

【解答】解：；x：y=3：2,

.2

3

9i

/.（x-y）：x=（x--x）：x=—x：x=l：3.

33

故答案为：1：3.

【点评】本题考查了比例的性质，表示出y是解题的关键.

8.（4分）如果向量a、b和x满足a-x=2（a-b），那么x=__=a+2b_-

【分析】根据等式的性质变形，得到答案.

【解答】解：a-x=2（a-b）—2a_2b，

-x=a-2b,

—•—•—•

x=-a+2b,

故答案为：-Z+2%.

【点评】本题考查的是算术平均数、平面向量，正确利用等式的性质是解题的关键.

第5页（共22页）

9.(4分)已知抛物线y=(1-a)x2+3开口向下，那么a的取值范围是a>1.

【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数1-aVO.

【解答】解：：抛物线y=(l-a)x2+3的开口向下，

.♦.1-aVO,解得,a>l.

故答案为：a>l.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向

和大小.当a>0时，抛物线开口向上；当aVO时，抛物线开口向下.

10.(4分)如果点A(2,1)在抛物线丫=(x-1)2+m上，那么m的值是0.

【分析】把点A(2,1)代入y=(x-1)2+m即可求出皿・

【解答】解：I.点A(2,1)在抛物线丫=(x-1)2+m上，

二1=(2-1)2+m，

解得m—0,

故答案为：0.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标满足

二次函数解析式是解题关键.

11.(4分)如果将抛物线y=2x2平移，使顶点移到点P(-3,1)的位置，那么所得抛物

线的表达式是丫=2表+3)2一1•

【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式.

【解答】解：抛物线y=2x2平移，使顶点移到点P(-3,1)的位置，所得新抛物线的

表达式为y=2(x+3)2+1.

故答案为：y=2(x+3)2+l.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不

变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点

平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出

解析式.

12.(4分)已知点A(-3,y,)和B(1,y2)都在抛物线y=2(x-1)2-2±,那么y1

和的的大小关系为外>7(填或或“=

【分析】将点A,B坐标代入解析式求解.

【解答】解：将A(-3,yP，B(1,y2)代入y=2(x-1)2-2得力=30，y2=-2,

-,-yi>y2-

第6页(共22页)

故答案为：>.

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标适合解析式是解

题的关键.

13.(4分)已知抛物线y=-x2+bx+c如图所示，那么点P(b,c)在第二象限.

【分析】根据抛物线的定点和方向确定b的符号，抛物线与y轴的交点确定c的符号，

即可确定点P(b,c)所在的象限.

【解答】解：由抛物线的图象得，-旦=且<0,c>0,

2a2

.\b<0,

：.P(b,c)在第二象限.

故答案为：二.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能根据抛物线的定点和方向确定b的符号是

解决问题的关键.

14.(4分)一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6

分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是24

平方分米.

【分析】由相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似求出三角形最大

的三边，根据勾股定理的逆定理判断新三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计

算即可.

【解答】解：当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的3分米一条边是对应

边时，做出的三角形的三边最大，面积最大，

设长是4分米，5分米的边的对应边的长分别是a分米，b分米，

A3：6=4：a=5：b,

..a—8,b=10,

.♦.其他两条边的长分别是8分米，10分米，

•.•62+82=102,

第7页(共22页)

...做出的三角形是直角三角形，直角边分别是6分米，8分米，

.•.做出的三角形的面积为［义6义8=24（平方分米）.

2

故答案为：24.

【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握当长是6分米的木条与

三角形框架模型的边长最短的一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，是解决问

题的关键.

15.（4分）如图，已知AD〃EF〃BC,BC=2AD,BE=2AE,AD="a>那么用W表示稀=

【分析】连接BD交AC于G,由平行线得出里上，变/•小，ABEG^ABAD,

BA3DCAB3

△DFG^ADCB,得出=^-‘，即EG=—AD,GF=—BC,由BC

ADAB3CBDC333

=2AD,汨,可得EG=ZW,GF=2;，即可得出答案；

33

【解答】解：连接BD交AC于G,

=■^=•1,ABEGs/XBAD,ADFG^ADCB,

BA3DCAB3

.EGEB2FGDF1

•・，as1"1=s1,

ADAB39CBDC3

AEG=2AD,GF=4C,

33

VBC=2AD,AD=a.

AEG=2；,GF=4,

33

第8页（共22页）

/.EF=EG+GF=­a.

3

故答案为：42.

3

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平面向量和平行线分线段成比例定理等

知识，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键.

16.（4分）如图，在DABCD中，点F在边AD上，AF=2FD,直线BF与对角线AC相交

于点E,交CD的延长线于点G,如果BE=2,那么EG的长是3.

【分析】由平行四边形的性质得AD//BC,AD=BC,再证4AEF^ACEB,求出EF的

长，然后证aGFD-AGBC,求出GF的长，即可解决问题.

【解答】解：..•四边形ABCD是平行四边形，

AAD〃BC,AD=BC,

VAF=2FD,

：.AF=2AD=2BC,DF=AAD=1BC,

3333

VAD〃BC,

/.△AEF^ACEB,

•度=处=2

"EBBC3'

.\EF=4®=2X2=2,

333

VAD//BC,

/.AGFD^AGBC,

•GF=DF=1

''GBCB~3'

即一^—二工，

GF将+23

解得：GF=$,

3

AEG=EF+GF=&+5=3,

33

第9页（共22页）

故答案为：3.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握平行四

边形的性质和相似三角形的性质，求出EF和GF的长是解题的关键.

17.（4分）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对

角线正方形例如，如图①中正方形ABCD即为线段AC的“对角线正方形如图②，

在RtZXABC中，/C=90°,AC=3,BC=4,点P在边AB上，如果线段PC的“对角

线正方形”有两边同时落在aABC的边上，那么AP的长是至.

一7一

【分析】根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：当线段PC的“对角线正方形”有两边同时落在4ABC的边上时，设正方

形的边长为X,

VPE〃AC,

,△BPE^ABAC,

•.■—PE=—BE,

ACBC

・

,"—x—4-x■>

34

解得x=卫，

7

1919Q

.・.PD=*,AD=3--=—,

777

•••AP=VAD2+PD2=y->

故答案为：

7

【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的

判定和性质定理是解题的关键.

18.（4分）如图，在4ABC中，AB=AC=5,tanB=2*.点M在边BC上，BM=3,点N

4

是射线BA上一动点，联结MN,将△BMN沿直线MN翻折，点B落在点B'处，联结

第10页（共22页）

BC,如果B'（:〃AB,那么BN的长是6

【分析】过M点作MG±BC,FM±AB,AH±BC,垂足分别为F、G、H,由AB=AC

=5,taiB=—,求出AH=3,BH=CH=4,FM=BMQin/B=—,MG=CMDin/BCB

45

=3,得出F、M、B'三点在同一直线上，进而可得FN=FBUanZFBN=验，再求出BF

5

=―%_=卫，由BN=BF+FN=6即可解答.

tanZB5

【解答】解：过M点作MG±BC,FM±AB,AH±BC,垂足分别为F、G、H,

VAB=AC=5,

ABH=CH,

..3

・tanBD=­•

4

・AH3

BH4

设AH=3x,BH=4x,

•MB=VAH2+BH2=5X=5>

.*.x=l,

BH=CH=4,AH=3,

.-3,

5

VBC/7AB,

AZB=ZBCB

VBM=3,

ACM=5,

AFM=BME3i叱B=3X3=2,MG=CMQinZBCB'=5x2=3,

555

VMB=MB=3,

AMG=MB即B与G重合，

：.F、M、B'三点在同一直线上，

第11页（共22页）

,g24

；.FB'=FM+MG=—+3=—

535

由折叠性质可知，ZFBN=ZB,

AFN=FBQanZFB

N=24X3=18

545

•；BF-F」=9.3_12

tanZB545

ABN=BF+FN=丝再=6,

55

故答案为：6.

【点评】本题涉及了解三角形、折叠性质、等腰三角形性质、勾股定理等，解题关键是

通过计算点M到BC的距离等于BM得出F、M、B'三点在同一直线上.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19.（10分）计算：4sifl300-_____期蛉_______

cos300-cos600

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而化简得出答案.

【解答】原式=4X（1）2——

2V31

2F

=4xA-2_

4V3-1

=1-（V3+1）

=1-V3-1

=-V3.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

20.（10分）画二次函数y=ax2+bx的图象时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不

完整）.请补全表格，并求该二次函数的解析式.

・・・・・

X.-10245

y•・・-5040一5・・・

【分析】由表格中的对应值得当x=-1时，y=-5,当x=2时，y=4,然后将其代入

二次函数y=ax2+bx之中求出a,b的值可得该二次函数的解析式，然后再分别求出当x

=0,x=4时对应的y的值即可.

【解答】解：由表格中的对应值可知：当x=-l时，y=-5,当x=2时，y=4,

.（a-b=-5

14a+2b=4'

第12页（共22页）

二该二次函数的解析式为：y=-x2+4x,

二当x=0时，y=0,当x=4时，y=0,

填表如下：

X.・・-10245・・•

y…一5040一5…

答案为：0；0.

【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的值，熟练掌握

待定系数法求二次函数的解析式是解决问题的关键.

22.（10分）如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图

③是图②的示意图.已知BC=8cm,CD=20cm,ZBCD=63°.当AE与BC形成的

ZABC为116°时，求DE的长.（参考数据：sin63«=0.9Qcos63°七0.45cot63%

【解答】解：过B作BH±CE于H,

在RtZ\BCH中，Vsin6S=超型.9Qcos63°=里0支45

BC8BC8

/.BHF.,CH=3.6bm,

A4\

在R17XBEH中，ZBEH=ZABC-ZBCE=53°,\

二

/.cotScf=亚=把二0.75

BH7.2

/.HE=5.4:m,CHED

ACE=CH+EH=3.6+5.49(cm),图③

ADE=CD-CE=20-9=11(cm),

答：DE的长为11cm.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

第13页（共22页）

22.(10分)如图①，已知线段a、b和NMON.如图②，小明在射线OM上顺次截取OA

=2a,AB=3a,在射线ON上顺次截取0C=2b,CD=3b.联结AC、BC和BD,AC=4,

BC=6.

(1)求BD的长；

(2)小明继续作图，如图③，分别以点B、D为圆心，以大于^BD的长为半径作弧，

2

两弧分别相交于点P、Q,联结PQ,分别交BD、OD于点E、F.如果BC，0D,求EF

ra®mL

【分析】（i）根据相似三角形的性质求解；

（2）根据相似三角形的性质及勾股定理求解.

【解答】解：（1）由作图得：OD=5b,OB=5a,

.PC二OA_2

"OD"OBV

zo=zo,

AOACS/XOBD,

•.•ACSOCS29

BDOD5

解得：BD=10；

（2）连接BF,由作图得：EF垂直平分BD,

.\FD=FB,EF±BD,

VBC10D,

ACD2+BC2=DB2,

.'.CD=8,

2

在RtZXCBF中，CF+BC2=EB2）即（8-DF）2+62=FD2,

解得：DF=6.25

VEF±BD,EF±BD,ZCDB=ZEDF,

第14页(共22页)

AAEDF<^ACDB,

・DFEF日口6.25EF

*.'一一二,邱—,

BDBC106

解得：EF.

im）阚

【点评】本题考查了基本作图，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

23.（12分）如图，在AABC中，已知点D、E分别在边BC、AB上，EC和AD相交于点F,

ZEDB=ZADC,DE2=DFOJA.

（1）求证：Z\ABD~AECD；

（2）如果NACB=90°,求证：FQ=yEC-

【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；

（2）根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】证明：（1）•.•DE』DF5A,

.DEDF

ADDE

VZFDE=ZEDA,

/.△DEF^ADAE,

AZDAE=ZDEF,

VZEDB=ZADC,

AZADB=ZCDE,

/.△ABD-AECD；

第15页（共22页）

（2）由（1）知，AABD-AECD,

AZB=ZECD,

ABE=CE,

ZACB=90°,

AZBAC+NB=NBCE+ZACE,

：.ZBAC=ZACE,

/.AE=BE=CE,

取AD的中点G,连接CG,

ZACD=90°,

/.DG=CG=L\D,

2

AZGDC=NGCD,

AZDGC=180°-2ZADC,

VZBDE=ZADC,

/.ZADE=180°-2ZADC,

ZADE=ZCGF,

由（1）知，ADEF^ADAE,

/.ZAED=ZDFE,

VZDFE=ZCFG,

AZAED=NCFG,

ACGFco△ADE,

•.•CG—CF—19

ADAE2

FC-yEC-

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角

形的判定和性质定理是解题的关键.

24.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中.已知抛物线y=x2+2x+m经过点A(-3,0),

与y轴交于点C,联结AC交该抛物线的对称轴于点E.

(1)求m的值和点E的坐标；

(2)点M是抛物线的对称轴上一点且在直线AC的上方.

①联结AM、CM,如果/AME=/MCA,求点M的坐标；

第16页(共22页)

②点N是抛物线上一点，联结MN,当直线AC垂直平分MN时，求点N的坐标.

y

Ox

【分析】(1)把A(-3,0)代入y=x2+2x+m,求出m,求出抛物线的对称轴，在用待

定系数法求出直线AC的解析式，可得点E的坐标.

(2)①设M(-1,n),证明△AME^AACM,得到AM2=AE[3C,利用勾股定理得出

AE,AC,AM的长，列方程求n,可求M的坐标.

②连接NE,求出NMEN=90°,N的纵坐标为-2,在代入二次函数解析式求横坐标.

【解答】解：(1)：抛物线y=x2+2x+m经过点A(-3,0),

..9-6+m=0,

解得m=-3,

/.C(0,-3),抛物线的解析式为y=x2+2x-3,

：y=x2+2x-3=(x+1)2-4,.•.抛物线的对称轴为直线x=-1,

设直线AC的解析式为y=kx+b,

.f_3k+b=0

"lb=-3

.fk=-l

"\b=-3

二直线AC的解析式为y=-x-3,

当x=-1时，y=-2,

二点E的坐标为(-1,-2)；

(2)①如图，设M(-1,n),

VA(-3,0),C(0,-3),E(

ZAME-ZMCA,ZMAE=NCAM,

第17页(共22页)

AAME^AACM,

.AEAM

AMAC

.\AM2=AEE3C,

，4+n2=2&X3&,

，n]=-2j5（不合题意舍去），

n2=2V2-

二点M的坐标为（-1,2近）;

②连接NE.

VOA=0C=3,ZAOC=90°,

AZOAC=ZOCA=45°,

AZAEM=45°,

;直线AC垂直平分MN,

AME=MN,ZAEM=NAEN=45°,

ZNEM=90°.

.•.点N的纵坐标为-2,

,\x2+2x-3=-2,

x2+2x-1=0,

xi=-i+J5,不合题意舍去•

X2=-l-&-

所以点N的坐标为（-1-&，-2）.

【点评】本题考查了二次函数的性质和应用，待定系数法求一次函式的解析式，相似三

角形的判定和性质，垂直平分线的性质，关键是二次函数和三角形知识的综合运用.

25.（14分）如图①，在Rt^ABC中，ZACB=90°,tan/ABC.，点D在边BC的延

3

长线上，联结AD,点E在线段AD上，ZEBD=/DAC.

（1）求证：/WBA^ADEC；

（2）点F在边CA的延长线上，DF与BE的延长线交于点M（如图②）.

①如果AC=2AF,且4DEC是以DC为腰的等腰三角形，求ta叱FDC的值；

②如果DE=^-CD，EM=3,FM：DM=5：3,求AF的长.

第18页（共22页）

图①图②备用图

【分析】（1）证明AACD^>ABED,从而得出地进而得出ADBA^ADEC；

BDDE

(2)①由两种情形：当DC=CD时，可推出AD=BD,可设CD=x,BC=3a,AC=4a,

2+

贝ijAD=BI)=3a+x,在RtZ\ACD中勾股定理得：x(4a)2=(3a+x)2,从而X=Z

6

进而得出Cl)=—a,CF=AF+AC=6a,从而求得tanZFDC=里学_；当CE=C1)时，

6CD7

根据ADBA^ADEC得出-幽9,从而AB=AD,进一步得出结果；

ADCD

②根据(1)可设BD=泥3AD=2t,设BC=3a,AC=4a,AB=5a,