2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）数学试题(含答案)

2024届高三第二次学业质量评价(T8联考)数学试题

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.已知集合4=卜|台^<0卜3={乂2£<4},则AB=()

A.(-2,2)B.[-2,2)C.(-2,2]D.[-2,2]

2.复数z=a+历(〃。0,a,Z?eR)满足(l-i)z为纯虚数，贝!J()

A.〃+Z?=0B.a-Z?=0C.〃+2/?=0D.Q-2/?=0

3.样本数据5,7,4,6,12,10,11,9的第70百分位数次为()

A.7B.9C.9.5D.10

4.若x=a+lnb,y=a+glnZ?,z=a+21n/;(bwl)成等比数歹！J,贝！J公比为()

A.-2B.-3C.—D.2

15

5.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中

一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的

概率为()

A.AB.Ac.2D上

1825259

6.在△ABC中，sin(B-A)=-,2«2+c2=2Z?2,则sinC=()

7.已知正方体A3CD-A4c2R的棱长为2,尸为线段G2上的动点，则三棱锥

P-BCD外接球半径的取值范围为()

A"等』B"空，6c"半，百D.]¥，6

8.已知抛物线C的方程为y=尸为其焦点，点N坐标为(O,T),过点R作直线交

抛物线C于A,3两点，。是x轴上一点，且满足|。⑷=|。同=|。叫，则直线A3的斜率

为()

A.土巫B.土血C.±V2D.土君

22

二、多项选择题

9.已知函数力（x）=^=（“eN*）,则下列判断正确的是（）

A.若〃=1,且工（a）+工修）=0,则而=1

B.若刀=2,且力（〃）+力优）=0,则而=1

C.力（x）是偶函数

D.力（力在区间（L+8）上单调递增

10.已知。为坐标原点，点A（cosa,sina）,5（cos/?,sin/?）,aw0.若点、C满足|OC|=1,

OC,AB,则下列判断错误的是（）

从。（3空2,疝4±21B.ZiAOB面积的最大值为，

（22）2

C.-sin«+-sin/?<sinD.C4CB>0

222

11.已知正方体ABC。-ABC'。'的棱长为是AY中点，P是A3的中点，点N满

足DN=/lDC（/le[0,l]）,平面MPN截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体

积分别为匕，匕，则下列判断正确的是（）

A.彳=，时，截面面积为B.4=』时，K=V,

222

c.MF随着2的增大先减小后增大D.%-q的最大值为高

三、填空题

12.丁=依+/?是y=坐在（1,0）处的切线方程，贝1））=.

13.1675年，卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼

卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知点耳（-2,0）,6（2,0）,动点

P满足归耳卜归引=6,则APRF?面积的最大值为.

14.已知王，马是实数，满足片+8%-4%%2=8，当㈤取得最大值时，

lx,+x2|=.

四,解答题

15.设数列｛%｝为等差数列，前〃项和为S,，/+%=22,S10=120.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设〃=1-的前几项和为7；,求却

也+也+】

16.乒乓球（tabletennis）,被称为中国的“国球"，是一种世界流行的球类体育项目.已

知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得

11分者获胜.

（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为工，甲接球时获胜的概率为工，甲先发

32

球，求单局比赛中甲n：2获胜的概率；

（2）若比赛采用三局两胜制（当一队赢得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局

比赛甲获胜的概率为4,每局比赛结果相互独立，记X为比赛结束时的总局数，求X

3

的期望.（参考数据6。=46656）

17.已知三棱锥P-ABC中，侧面PAC是边长为2的正三角形，AC=2,

BC=4,AB=25PE=LPC,尸F=平面与底面ABC的交线为直线I.

2

（1）若5CLPC,证明：PC±AF；

（2）若三棱锥P—ABC的体积为苧，。为交线/上的动点，若直线PQ与平面AS/。

的夹角为a,求siiuz的取值范围.

18.已知双曲线P的方程为、-V=1,8（—q0）,。（。,0）淇中「>2,

。（%0，%）（/»。，%>0）是双曲线上一点，直线。§与双曲线尸的另一个交点为E，直

线。C与双曲线P的另一个交点为E双曲线尸在点E尸处的两条切线记为心《Ji与6

交于点P,线段OP的中点为G,设直线的斜率分别为K，匕.

(1)证明：4<-+—；

k]k?y/a2-4

(2)求四的值.

g

19.记人={/(%)，(%)="+m,左,加£玛，若/O(X)£A,满足：对任意/(X)EA,均有

max|/(x)-/(x)|>max|/(x)-/0(x)|,则称/0(x)为函数/(x)在x£[a,b]上“最接近”直

线.已知函数g(x)=21nx-x2+3,x£[r,s].

(1)若g(r)=g(s)=0,证明：对任意/(%)£A,max|g(%)_/(%)|之1；

(2)若尸=1,s=2,证明：g(%)在无£[1,2]上的“最接近”直线为:

/°(x)=(21n2-3)1-号]|+弋⑷，其中(1,2)且为二次方程

2d+(21n2—3)x—2=0的根.

参考答案

1.答案：B

解析：A={%|-2<x<3},B={x|x<2}.

.-.A3=[—2.2),故选B.

2.答案：A

解析：(l-i)(a+历)=a+Z?+(Z?-a)i.

:.a+b=O,awb.故选A.

3.答案：D

解析：18x70%=5.6,.•.数据4,5,6,7,9,10,11,12的第70百分位数为10.故

选D.

4.答案：B

解析：-x,y,z成等比数列.二xz=V,即(0+111/?)(4+21昉)=(4+，11"，

a2+3cAnb+2(lnZ?)2=a2+alnb+—(In/?)2.bwl,

1,

8a+—lnb

——a=InZ?)二公比为---2-------3,故选B.

7a+InZ?

5.答案：C

解析：先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3,1,1,第二类分法是2,2,1,再

分配到三项活动中，总安排数为乙、丙三位同学所报

活动各不相同排列数为A：C；C；=54,设过件A为甲、乙、丙三个同学所报活动各不相

同，.•.p(A)=54»=NQ.故选C.

')15025

6.答案：C

解析：a2+cr-b2=2accosB,b2+c2-a2=2bccosA,两式相减，得

2a2-2b2=laccosB-2bccosA--c~,，2«。》5-2灰：0劭=一。.由正弦定理，得

2sinAcosB-2sinBcosA=-2sin(B-A)=-sinC,sinC=-故选C.

2

7.答案：C

解析：如图，连接AC,交5。于点E,点E为△BCD的外心.

连接AG，片2交于点R易知所，平面BC。,.•.三棱锥P-BCD的外接球球心。在

EF上.

设APCD的外接圆内心为0',003平面PCD,且。O'=1.

AB

设△PCD的外接圆半径为兀三棱锥P-BCD的外接球半径为凡，芯=1+产.

设PG=x,XG[0,2],:.SAPCD=2=^PC,

2sinZCPD.sinZCPD

(必一4x+8)(V+4)

设/(%)=(3一4X+8)(%2+4)-(x)=4(x3-3x2+6]-4),设g(x)=/，(x).则

g[x)=12仅一2工+2)>0.

又广⑴=0,.•.易知〃X)G[25,32],.•./€||,2,R=Vl2+r2e浮，石.故选

C.

8.答案：B

解析：设A(X],yJ,B(x2,y2),Z)(a,0),直线AB方程为：y=kx+l,联立直线与抛

物线方程，可得引々=-1.

又|。4|=|。邳=|面|=77了不，故A(%2J,5(%，%)是方程/+/—2奴—16=0的

解.

将y=Ax+l代入方程，得(1+k2)V+(2左-2a)x-15=0.

——巨7=石％,=-4,k1=—,艮左=±边］.故选B.

1+421-42

9.答案：AD

解析：

10.答案：ACD

解析：|OC|=1,OC±AB,则点C在劣弧上，或者在优弧上.

《<：053（（/+/）-51113（（/+〃）[或者c]-cosg（tz+〃）--sin,故A错误;

IsinZAOB<-,故正确；取

S4Ar\\JD=-2x1x2B

a=--/3=—sincr+—sin/?=sin+,故C错误；

66222

点C在劣弧上时，CACB<0.点C在优弧上时.CACB>0,r.D错误.故选ACD.

11.答案：BCD

解析：如图i,当；i=工时，截面为正六边形.且棱长为正，故截面面积为38,A错

224

误；

由对称性可知.当4=工时.平面分两部分体积相等，B正确；

2

如图2.当2从0变化到1时.截面从四边形MD'CP变化至五边形MP/CQ（其中J为

靠近3点的三等分点）.被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0,再逐渐

增大，故C正确.

M-q取最大值时对应为4=。，或九=1时情形.计算可知几=0,当印—q=卷,丸=1

时，M-的最大值为卷，故D正确.故选BCD.

12.答案：-1

解析：

13.答案:3

解析：

14.答案：5

解析：x；+—4XJX2=8.

2

（XI-2X2）+4x1=8>&—2彳+2切2

取等条件：..『=4或.

玉=±4[x2=1[x2=-1

15.答案：（1）略

zo\百d2n+3

22

解析：（1）略

（2）b~1_—21+3-，2〃+1

―一，2〃+1+以+3-2

.■,7；=1（-73+75-75++j2〃+3）=--+"”+3.

222

16.答案：略

17.答案：（1）证明见解析

⑵H_

解析：（1）由题意：PE」PCPF=FB,「.£,尸分别为棱PC,尸5的中点,

2

:.EFHBC.

BC±PC,:.EF±PC,

△B4C为等边三角形，E为PC中点.

:.PC±AE.

」.PC，平面AE尸.

AFu平面AE产,二PC，AF.

(2)如图，在底面ABC内过点A作BC的平行线即面AER与底面ABC的交线/.

由题意可得AC2+3C?=Ag2,即ACBC.

故底面△ABC的面积为S=工AC.3C=4.

2

4.A/311i-

设底面△ABC上的高为"，则」！=—劭=—x4〃，于是/?=g;

333

注意到侧面PAC是边长为2的正三角形，取AC中点D.

连接尸£>,则尸。=6，从而PD,平面ABC.

取AB中点M,连接DM,则ZWLAC.

于是，以点。为坐标原点.1M,