专题05 数列含数列新定义-【考前3刷】（1刷真题2刷模考3刷预测）备战2024年高考数学考前3刷定天下（解析版）

第第页专题05数列（含数列新定义）一、单选题1．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C2．（2023·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．故选：C．【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．3．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D二、解答题4．（2023·全国·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.【详解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）为等差数列，，即，，即，解得或，，，又，由等差数列性质知，，即，，即，解得或（舍去）当时，，解得，与矛盾，无解；当时，，解得.综上，.5．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.（2）方法1：由（1）知，，，当为偶数时，，，当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.方法2：由（1）知，，，当为偶数时，，当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.6．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；（2）∴7．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出．【详解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．8．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列的前20项和为：．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.9．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.一、单选题1．（2024·山东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（

）A．156 B．252 C．192 D．200【答案】B【分析】根据给定条件，求出等差数列公差，再利用性质求出.【详解】等差数列中，，得，则，设数列公差为，而，因此，解得，则，所以.故选：B2．（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】由与的关系且为等差数列，求出，由，得，构造函数，由在时恒成立，求实数x的取值范围.【详解】因为，时，，时，，所以，，，因为为等差数列，所以，，从而，，所以，即，则当时，恒成立，，解得或，只有选项A符合题意，故选：A3．（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由已知和式求出通项的通项，从而得出，再由已知条件，从而求出，类似的往前推，求出即可.【详解】时，时，，故选：D.4．（2024·浙江宁波·二模）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得数列在上是递减数列，数列在上是递增数列，再根据二次函数的单调性即可得解.【详解】因为对任意都有，所以数列在上是递减数列，因为对任意都有，所以数列在上是递增数列，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.5．（2024·浙江·二模）已知函数满足对任意的且都有，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据将，再用裂项相消法求的值.【详解】∵函数满足对任意的且都有∴令，则，∴∴.故选：D【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分析为：二、多选题6．（2024·河北石家庄·二模）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（

）A．数列有最小项，且有最大项 B．使的项共有项C．满足的的值共有个 D．使取得最小值的为4【答案】ABD【分析】首先利用作差法判断单调性，列出数列的前几项，再结合各选项一一判断即可.【详解】因为，所以，令，即，解得，又，所以当时，则当或时，令，解得，所以，，所以数列有最小项，且有最大项，故A正确；由，则又，所以或或或或，所以使的项共有项，故B正确；要使，又，所以、、中有个负数或个负数，所以或或，故满足的的值共有个，故C错误；因为时，时，所以当为时取得最小值，故D正确.故选：ABD7．（2024·辽宁·一模）已知数列的首项为，且，则（

）A．存在使数列为常数列B．存在使数列为递增数列C．存在使数列为递减数列D．存在使得恒成立【答案】ABD【分析】首先分析可得且，设，，利用导数说明函数的单调性，再分、、三种情况讨论的单调性，即可判断.【详解】因为，所以，又，则，设，，所以，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，，，故当使数列为常数列，故A正确；当时，由在上单调递增，又，所以，故B正确；当时，由在上单调递减，又，所以，又在上单调递增且，所以，所以存在使得恒成立，即D正确；由上述分析可知，不存在使数列为递减数列，故C错误.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题关键是将递推公式变形为，从而构造函数，利用函数的单调性判断的单调性.8．（2024·山东烟台·一模）给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．对任意，总存在，使得D．对任意，总存在，使得【答案】BC【分析】由已知求出及范围判断AB；利用累加法结合错位相减法求和求出及范围判断C；求出及的范围判断D.【详解】对于A，由，得，显然有最小值4，无最大值，因此不存在，使得恒成立，A错误；对于B，由选项A知，，则，显然当时，恒成立，B正确；对于C，由，得，当时，即，于是，两式相减得，因此，显然满足上式，则，由，得数列是递增数列，有最小值1，无最大值，从而对任意，总存在，使得，C正确；对于D，，由选项C得，显然数列是递减数列，，因此对任意，不存在，使得成立，D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.9．（2024·辽宁沈阳·二模）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的有（

）A．若，则数列单调递减B．若对任意，都有，则C．若，则对任意，都有D．若的最大项与最小项之和为正数，则【答案】ACD【分析】对于选项A，求出，再作差判断两式分母的大小关系判断即可；对于选项B，求解，再分为奇数与偶数的情况讨论即可；对于选项C，分为奇数与偶数的情况讨论，进而求和分析是否为0即可；对于选项D，先将条件转化为：到距离最小的正奇数到的距离大于到距离最小的正偶数到的距离，再分情况讨论即可.【详解】对于选项A，由条件知，，而，结合，知，所以，所以，即数列单调递减，故A正确；对于选项B，首先有.若，则当n为偶数时，，从而必成立；而当n为奇数且时，由，知，，从而，即，这意味着.所以只要，就一定有恒成立，所以由恒成立不可能得到，故B错误；对于选项C，显然当同为奇数或同为偶数时，必有同号，故；而当的奇偶性不同时，为奇数，此时不妨设分别是奇数和偶数，则因为，故为偶数，而为奇数，所以，所以，故C正确；对于选项D，首先显然的是，最大项必定是某个第偶数项，最小项必定是某个第奇数项.当为偶数时，要让最大，即要让最小；而当为奇数时，要让最小，即要让最小.设和分别是到距离最小的正偶数和正奇数，则条件相当于.而，故条件等价于，即.这表明，条件等价于，到距离最小的正奇数到的距离，大于到距离最小的正偶数到的距离.若，则到距离最小的正奇数和正偶数分别是1和2，而由可知，不符合条件；若，是正奇数，则到距离最小的正奇数到的距离为0，不可能大于到距离最小的正偶数到的距离，不符合条件；若，且不是正奇数，设到的距离最近的正偶数为，则.此时到距离最小的正偶数到的距离为，从而到距离最小的正奇数到的距离大于，进一步知任意正奇数到的距离都大于.从而，，这意味着，，所以.综上，，，故D正确．故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的数列通项中含有，这往往意味着我们需要对的奇偶性作分类讨论，分两种情况对数列进行讨论才可全面地解决问题.10．（2024·吉林延边·一模）与大家熟悉的黄金分割相类似的还有一个白银分割，比如A4纸中就包含着白银分割率．若一个数列从0和1开始，以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的数：0，1，2，5，12，29，70，169，408，985，2378，…，则随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越接近白银分割率．记该数列为，其前n项和为，则下列结论正确的是（

）A．（） B．C． D．【答案】ABC【分析】根据定义即可判定正确，根据，即可求出，利用，求出，从而得到，令，则，利用不动点法求出数列的通项公式，从而判定D.【详解】由于一个数列从0和1开始，以后每一个数都是前面的数的两倍加上再前面的数，则，故A正确；，对于B，由于，可得，所以，由于，所以，故B正确；对于C，由于，可得，所以，由于，则，所以，则，故C正确；对于D，由于，则，即，令，则，，求不动点，设，令，解得：，，所以，化简得：①，化简得：②，则，且，则数列是第二项为，公比为的等比数列，则，所以，由于，所以，故D不正确；故选：ABC三、填空题11．（2024·辽宁抚顺·三模）已知数列的前项和为，若，则，．【答案】299【分析】利用给定的通项公式及已知项求出；再利用前项和公式计算即得.【详解】依题意，由，得；，因此数列是等差数列，所以．故答案为：2；9912．（2024·广东广州·一模）已知数列的前项和，当取最小值时，.【答案】3【分析】根据求得，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为，则当时，，又当时，，满足，故；则，又在单调递减，在单调递增；故当时，取得最小值，也即时，取得最小值.故答案为：.13．（2024·湖北·二模）方程有三个互不相等的实根，这三个实根适当排列后可构成一个等比数列，也可构成一个等差数列，则，该方程的解集为【答案】．【分析】设方程这三个实根为，根据多项式恒等可得根与系数的关系式，结合等比数列以及等差数列的性质即可求得答案.【详解】设方程这三个实根为，则，得，，，当它们成等比数列时，不妨设，，，所以有，，．又这三个数可构成一个等差数列，有以下三种情形：（1），或，又互不相等，所以；（2），与互不相等矛盾；（3）或，又互不相等．所以，综上可知或，所以分别为，，6或6，，，即该方程的解集为．所以，故答案为：；14．（2024·浙江嘉兴·二模）设数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，则.【答案】【分析】根据题意，先求出等比数列的通项公式和前n项和，进而求得，再利用项与和的关系求得通项.【详解】设等比数列的公比为，由，则，解得，又，所以，，代入，解得，当时，，当，时，，满足上式，所以，.故答案为：.15．（2024·广东梅州·二模）已知数列的通项公式（），则的最小值为．【答案】/【分析】根据的奇偶性可得的最小值，只需要考虑为偶数时即可，根据作商法得，结合可得时，，即可判断时取最小值.【详解】由于当为奇数时，，当为偶数时，，要求的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可，又，且当时，，因此时，，当，，当，，综上，最小值为.故答案为：【点睛】方法点睛：在处理涉及的数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．四、解答题16．（2024·辽宁·一模）已知为数列的前n项和，满足，且成等比数列，当时，．(1)求证：当时，成等差数列；(2)求的前n项和．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】(1)利用得到和的关系即可证明；(2)结合(1)中结论得，求出和公比，得到通项公式，从而根据等差和等比数列前n项和公式即可求解．【详解】（1）∵，∴，，两式相减，得，即．当时，，∴，∴当时，成等差数列．（2）由，解得或，又成等比数列，∴由(1)得，进而，而，∴，从而，∴，∴．17．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，可证明数列为首项为，公差为的等差数列，得到，利用得到的通项公式；（2）由（1）知，，化简可得，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和.【详解】（1）当时，由，即，解得：，所以，则数列为首项为，公差为的等差数列；所以，则，当时，，当时，满足条件，所以的通项公式为（2）由（1）知，，所以，故，即18．（2024·吉林白山·二模）已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.【答案】(1)或(2)(3)不能，理由见解析【分析】（1）根据和讨论，利用等比数列前n项和结合数列新定义求解即可；（2）结合数列定义，利用等差数列的前n项和及通项公式求解即可；（3）根据数列为“阶可控摇摆数列”求得，再利用数列的前项和得，然后推得与不能同时成立，即可判断.【详解】（1）若，则，解得，则，与题设矛盾，舍去；若，则，得，而，解得或，故或.（2）设等差数列的公差为，因为，则，则，由，得，而，故，两式相减得，即，又，得，所以.（3）记中所有非负项之和为，负项之和为，因为数列为“阶可控摇摆数列”，则得，故，所以.若存在，使得，即，则，且.假设数列也为“阶可控摇摆数列”，记数列的前项和为，则因为，所以.所以；又，则.所以；即与不能同时成立.故数列不为“阶可控摇摆数列”.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义问题，应根据定义得到数列满足的递推关系，再利用常见的数列通项公式求法（如公式法、累加法、待定系数法等）求得数列通项公式和前n项和，最后再通项和前n项和的基础上讨论数列的性质.19．（2024·辽宁大连·一模）对于数列，定义“T变换”：T将数列A变换成数列，其中，且．这种“T变换”记作，继续对数列B进行“T变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列：(2)若不全相等，判断数列不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．【答案】(1)0，1，1(2)不会，理由见解析(3)507【分析】（1）根据数列的新定义写出经过5次“T变换”后得到的数列即可；（2）先假设数列经过不断的“T变换”结束，不妨设最后的数列，由数列往前推，则非零数量可能通过“T变换”结束，或者数列为常数列，进而得到可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“T变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字接近1时，再继续推，往后会发现k次“T变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.【详解】（1）由题知，5次变换得到的数列依次为3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以数列：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列为0，1，1.（2）数列经过不断的“变换”不会结束，设数列，且，由题可知：，，即非零常数列才能经过“变换”结束；设（为非零常数列），则为变换得到数列的前两项，数列只有四种可能：，而以上四种情况，数列的第三项只能是0或，即不存在数列，使得其经过“变换”变成非零常数列，故数列经过不断的“变换”不会结束；（3）数列经过一次“变换”后得到数列，其结构为（远大于4）数列经过6次“变换”后得到的数列依次为：；所以，经过6次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减小24，则数列经过次“变换”后得到的数列为：2，6，4，接下来经过“变换”后得到的数列依次为：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数列各项之和不会变得更小，所以最快经过次“变换”得到的数列各项之和最小，即的最小值为507．【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：根据定义写出几项；找出规律；写成通项；证明结论.20．（2024·广东梅州·二模）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．(1)若，求其生成数列的前项和；(2)设数列的“生成数列”为，求证：；(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用指数函数的性质判断数列的单调性，从而得出{pn}的通项，由分组求和法及等比数列的前n项和公式进行求解即可；（2）根据数列的单调性，结合生成数列的定义进行证明即可；（3）根据等差数列的定义分类讨论进行证明即可．【详解】（1）因为关于单调递增，所以，，于是，的前项和．（2）由题意可知，，所以，因此，即是单调递增数列，且，由“生成数列”的定义可得．（3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，是等差数列．当是一个常数列，则其公差必等于0，，则，因此是常数列，也即为等差数列；当是一个非常数的等差数列，则其公差必大于0，，所以要么，要么，又因为是由正整数组成的数列，所以不可能一直递减，记，则当时，有，于是当时，，故当时，，…，因此存在正整数，当时，，…是等差数列．综上，命题得证．【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列满足，则有（

）A．最小值 B．最大值18 C．最小值27 D．最大值【答案】C【分析】由数列是等比数列，可得，即，方法一：,则利用基本不等式计算即可，方法二：利用基本不等式计算即可.【详解】方法一：因为数列是等比数列，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号．方法二

因为数列是等比数列，所以，所以，所以，当且仅当时取等号．故选：C．2．（2024·江苏扬州·模拟预测）设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】借助充要条件的定义，分别验证充分性与必要性，结合等比数列、递增数列的定义，借助反证法证明即可得.【详解】若为递增数列，当，且时，有，此时为递增数列，当对任意,，故“为递增数列”不是“存在正整数，当时，”的充分条件；若存在正整数，当时，，此时，，故，，假设存在，使得，则有，则，又且，故，则当时，，与条件矛盾，故不存在，使，即在上恒成立，即，又，，故，即对任意的，，即为递增数列，故“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要条件；综上所述，“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要不充分条件.故选：B.3．（2024·重庆·模拟预测）若等差数列的前n项和为S，且满足，对任意正整数，都有则的值为（

）A．21 B．22 C．23 D．24【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前n项和公式计算推理得解.【详解】依题意，，则，又，则，，等差数列的公差，因此数列单调递减，，且，即任意正整数，恒成立，所以对任意正整数，都有成立的.故选：C二、多选题4．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列的前项和为，若，且对，都有，则（

）A．是等比数列 B．C． D．【答案】BD【分析】由可判断A选项；推导出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，可判断B选项；由与的关系求出数列的通项公式，可判断D选项.【详解】因为，所以不是等比数列，所以A选项错误；由，得，，，以及，可得，，，以此类推可知，，则，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以B选项正确；当时，，当时，，不满足，故，所以C选项错误，D选项正确，故选：BD.5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（

）A．当时， B．C．数列是等差数列 D．【答案】BCD【分析】计算数列首项及第二项可判定A，利用等差数列的定义及的关系可判定C，从而求出的通项公式结合基本不等式、函数的单调性可判定B、D.【详解】对A，由题意可知，所以，则，所以，故A错误；对C，由，故C正确；对C，所以，则，故B正确；对D，易知，令，则，则单调递增，所以，即，故D正确.故选：BCD6．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．若数列为常数列，则C．若数列为递增数列，则 D．当时，【答案】AD【分析】令可得，据此判断A，令，由递推关系求出即可判断B，根据B及条件数列为递增数列，分类讨论求出或时判断C，通过对取对数，构造等比数列求解即可判断D.【详解】对于A，当时，，令，则，，故，即，A正确；对于B，若数列为常数列，令，则，解得或或，B不正确；对于C，令，则，若数列为递增数列，则数列为递增数列，则，解得或.当时，，且，，此时数列为递增数列，即数列为递增数列；当时，，且，，此时数列不为递增数列，即数列不为递增数列；当时，，，此时数列为递增数列，即数列为递增数列.综上，当或，即或时，数列为递增数列，C不正确；对于D，令，则，，两边同时取以2为底的对数，得，，数列是首项为1，公比为2的等比数列，，即，D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题所给数列的递推关系并不常见，对学生的理性思维要求比较高，求解时将已知条件变为是非常关键的一步，再根据每个选项所附加的条件逐一进行判断，既有求解数列的项的取值范围的问题，又考查了数列的单调性、数列通项的求解，要求学生具备扎实的逻辑推理能力.本题难度比较大，起到压轴的作用.三、填空题7．（2024·湖北武汉·模拟预测）等比数列的公比为，其通项为，如果，则；数列的前5项和为．【答案】或或【分析】利用给定条件，结合等比数列通项列出方程，求解方程得；分类求出的通项，再求出前5项和.【详解】等比数列的公比为，由，得，整理得，所以或；当时，，数列的前5项和为，当时，，数列的前5项和为，所以数列的前5项和为或.