高等代数(下)期终考精彩试题及问题详解(C卷)

高等代数(下)期末考试试卷(C卷)

一.选择题(每空2分，共12分)

1.(D)下列集合哪一个是Rn的子空间

(A){(a,0,....,0,a)1a,aGR,aa}

1nIn1n

(B){(a,aa)\aeZ,i=1,...,n]

12ni

(C){(a,aa)|X〃=1,QGH}

12ii

i=l

(D){(a,aa)|Xa=0,〃GR}

12〃ii

z=l

2.(B)令&=(z,x2,x3)是H3的任意向量.下列哪一个映射o是R3的线性变换

(A))=1+a,其中aw0是4的固定向量

(B)c(2,)=(2x-x+x,x+x,-x)

123233

(C)0(1)=(x,X2,)

123

(D))=(x+1,x,0)

12

3.(C)如果V,V是线性空间V的两个子空间，且dim(V)=3,dim(7)=2,

1212

dim(V?V)1,那么dim(V+V)为

1212

(A)2(B)3(C)4(D)5

4.(C)若4阶方阵A的初等因子为(/+3＞，+3,2.则A的不变因子是

(A)1,(+3),(+2),(/+3〉；

(B)1,1,(+3)(+2),(/+2)(/+3》；

(C)1,1,(+3),(/+2)(/+3＞；

(D)1,1,(+2),(/+2)(/+3＞；

5.(B)设矩阵A的全部不同特征值为入，入，…，入，则下列哪一说法与A可对角化不等

12s

价

(A)A有n个线性无关的特征向量；

(B)R@E-A)=n(z=l,2,...s)(其中〃为九的重数)；

iiii

(C)儿的特征子空间V的维数dim(V)=A.的重数(i=l,2,...,s)；

iA,.A..i

(D)A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积；

6.(D)在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W的维数为

(A)10;(B)4；(C)9；(D)6；.

二.填空题(每空2分，共18分)

1、已知“是数域P上的一个固定的数，而皿={(。,十)|xGP,i=2,,n}

n'i

是尸"+i的一个子空间,则〃dim(W)=

2.设是22的两个线性变换，定义如下

b(x,y)=(—2x+y,0),t(x,y)=(-3y,x+y)(Vx,yeP)

则)=

q00

3.已知九E—A的标准形为0X0,则A的特征多项式

,00九(九一2)7

|XE-A|=X2(X-2),A的最小多项式为

(\3、

4.设4=则向量是A的属于特征值的特征向量.

2，

2V7

00、(200、

5.若A=001与B=0yo相似，则X

o-ij

,01x)0

6.设三阶实对称矩阵A的特征值九=九=1,九=3,则R(3E-A)=

123

三.判断题(对的打"V“，错的打"X"，每小题2分，共10分)

1.对于矩阵的加法和数瓶匕={8出,=8,BeR，*"}是"的子空间()

2.任一实对称矩阵A都与对角阵A既相似又合同)

3.设。是数域P上线性空间V的线性变换,W是一维o-子空间，那么W中任何

一个非零向量都是。属于特征值九的特征向量.)

4.在欧几里得空间V中，保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换b必为

正交变换.()

5.A(X)与B(X)等价当且仅当它们有相同的行列式因子.()

四.计算题(共3小题，33分)

1设，,和1勺是线性空间上的两组基，。是上的线性变换，已知

s(e,e)=(e-2e,2e+e)(h,h)=(e+e,2e+3e)

121212121212

(1)求o在基e,e下的矩阵A；(2)求基e,e到基力，h的过渡矩阵X；

121212

(3)求b在/2],々下的矩阵。.(7分)

2.设a,a,a是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为

123

T-12、

-12-1

J-16，

(1)令Y+a,求||；

(2)若P=a+a+ka与丫正交，求上的值.(10分)

123

3.设二次型/(x,x,x)=2x2+2x2+2x2-2xx-2xx-2xx,

123123121323

(1)写出二次型所确定的矩阵；

(2)用正交线性替换将二次型化为标准形；

(3)求二次型的秩；

(4)判断二次型的正定性.(16分)

五.证明题(每题9分，共27分)

1.设V与V分别是齐次方程组工+%+...+X=0,x=x=...=%=x的解空间，

1212n12n-1n

证明：Pn=V㊉V

12.

2.证明：若A是实对称矩阵，则R"中分别属于A的不同特征值九,口的特征向量a,B必

正交

3.设V是一个n维欧氏空间，b是V的一个对称变换，证明：值域。(V)是核GT(0)的

正交补.

答案

幻灯片1

高等代数（下）期末考试C卷解答

二、选择题（2X6=12分）

1、（D）下列集合哪一个是Rn的子空间

，0,...)1手

(A){(a]0,aa,aeR,aa

(B){(a,a,a)1tzeZ,z=1n

12ni

)|X〃=1,G£R}

(C){(a,a,a

12nii

i=l

(D){(a,a,a=0,aeR}

12nii

i=l

幻灯片2

一、选择题(2X6=12分)

2、(B)令。=(x,x,x)是R3的任意向量，

123

下列哪一个映射是R3的线性变换。

(A)o(&)=1+a,其中aw0是上的固定向量

(B))=(2x-x+x,x+x,-x)

123233

(C)0化)=(X,%2,X3)

123

(D)o化)=(x+l,x,0)

12

3、(C)如果VjV是线性空间V的两个子空间，且

dim(v)=3,dim(V)=2,dim(V?V)1,

1.、212

则dim(V+V)为

12

(A)2(B)3(C)4(D)5

幻灯片3

一、选择题(2X6=12分)

4、(C)若4阶方阵A的初等因子为(/+3)2,/+3,/+2

则4的不变因子是

(A)1,1+2,1+3,(/+3)2

(8)1,1,(/+2)(/+3),(/+2)(/+3)2

(O1,1,(；+3),(/+2)(/+3>

(。)1,1,(/+2),(/+2)(/+3>

幻灯片4

一、选择题(2X6=12分)

5、(B)设矩阵A的全部不同特征值为九A九

12s

则下列哪一说法与A可对角化不等价：

(A)A有n个线性无关的特征向量；

(B)7?(XE-A)=w,(i=l,2,…s)，镇中w为九的重数)

(C)九M特征子空间V的维数dim(V九俗重数

(D)A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积

6、(D)在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成

的线性空间W的维数为

(A)10;(B)4；(C)9；(D)6；

3+2+1

幻灯片5

二、填空题(每空2分，共18分)

1、已知0是数域P上的一个固定的数，而

W-{(a,x,,x)\x&P,i=l,,n}

1ni

是的一个子空间，则|♦二°,dimW二

2(。,x,,x)=(2a,2x,,2x)GW

1n1n

=2a=q=a=0

…■…

£=(0,0,1,0,0)(i=2,3,...,〃+l)

是W的一个基。

幻灯片6

二、填空题(每空2分，共18分)

2、设是22的两个线性变换，定义如下：

b(x,y)=(-2x+y,0),t(x,y)=(-3y,x+y)(Vx,yeP)

则Tcr(x,y)=(0,—2x+y)

TCT(X,y)=T(-2X+y,0)=(0,-2x+y)

或o(x,y)=(x,y)[：t(x,y)=(x,y)[：)

"田=小"；oI-33

=(x,y)：)=(0,-2x+y)

幻灯片7

二、填空题（每空2分，共18分）

’100、

3、已知大E-A的标准形为0X0

,00A,(A,-2)?

则A的特征多项式是九2（九-2）

X(l-2)

A的最小多项式是

|A,E-A|=DCO=dQ）dQ）…dQ）

n阶复数方阵A的最小多项式m口）正是A的

A

第n个不变因子（P35J

幻灯片8

二、填空题（每空2分，共18分）

设&=［；

4

的特征向量。

[200、1200、

5、若4=001与B=0y0相似，则

[olx,

也o-b

x=o,y=1

|A=—2=怛|=—2y=>y=1

Zr（A）=2+x=?r（B）=l+y=>x=0

幻灯片9

二、填空题(每空2分，共18分)

6、设三阶实对称矩阵A的特征值入=入=1,X=3

123

贝!JR(3E-A)=2

实对称矩阵必可对角化，所以

V也即(E-A)X=O解空间的维数为2,

1

故R(E-4)=1

匕也即(3E-A)X=0解空间的维数为1,

,故R(3E-A)=2

幻灯片10

三、判别题(对的打错的打"X”，2X5=10分)

1、对于矩阵的加法和数乘，Vo={B\B'=B,BeR.*.}

是R"*"的子空间(V)

2、任一实对称矩阵A都与一对角阵既相似又合同(V)

3、设◎是数域P上线性空间V的线性变换，W是一维

。一子空间，那么W中任何一个非零向量都是°的

属于特征值k的特征向量(")

W=L(a),aGX)GWnoG)=、a

V&=kaEW,自wO

o(己)=o(to)=feyG)=左Ga)=九(ja)=九自

幻灯片11

4、在欧几里得空间V中，保持任两个非零向量的夹角

不变的线性变换必为正交变换（X）

保持任意两个非零向量的夹角不变的线性变换未必

是正交变换。如：令Aa=2a,VaeV

（Aa,AP）（2a,20）（a,P）

显然A是线性变换,且峭雨=囱函=丽

但（4a,AP）=（2a,2P）=4（x,P）

所以A不是正交变换。

但有——

实数域R上欧氏空间V的线性变换A是正交变换

oVa^V,有|Aa|二|a|

幻灯片12

三、判别题(对的打”错的打"X”，2X5=10分)

5、4(入)与3(九)等价当且仅当它们有相同的行列式因子(J)

四、计算题(7+10+16=33分)

1、设l，气和、内2是线性空间R轴两组基，o是尺2的

线性变换，已知：

s(e,e)=(e-2e,2e+e),(h,h)=(e+e,2e+3e)

121212I2122

(1)求O在基：气下的矩阵A；

(2)求由基U到基［口的过渡矩阵n；

(3)求O在基"」］下的矩阵8。

122_

解:(1)s(e,e)=(e-2e,2e+e)=(e,e)：?

121212121

12

0在基1叱下的矩阵A=

-21

幻灯片13

幻灯片14

四、计算题（7+10+16=33分）

2、设气,%,%是3维欧氏空间V的一组基,这组基的

（1-12、

度量矩阵为：-12-1

I2-16,

(1)令丫=%+%,求|y|

(2)若P=$+ka与Y正交,求上的值。

23

'?1-12Y0

解：(1)G,Y)=(110)-12-11=1=11=1

6人。,

,2-1

（1）之解法二：（Y，Y）=(a+a,a+a)

二(a,a)+(a,a)+(a,a)+(a,a)=1-1-1+2=1

11.i.2122

（Y，丫）=1

幻灯片15

四、计算题(7+10+16=33分)

2、设a,a,a是3维欧氏空间V的一组基，这组基的

123

‘1-12、

度量矩阵为：-12-1

12-16,

(1)^y=a+a2,求|y|

(2)若B=&+夜，+g3与Y正交，求k的值。

解：⑵(1-12

(p,y)=(l1女)一12—11=1+无=0=%=—1

、2-1

幻灯片16

四、计算题(7+10+16=33分)

3、设二次型/(x,x)=2x2+2x2+2x2-2x尤-2xx—lxx

123123121323

(1)写出二次型所确定的矩阵；

(2)用正交线性替换将二次型化为标准形；

(3)求二次型的秩；

(4)判断二次型的正定性。

(

'2-1T)X、

1

解：(1)二次型/(X,x,x)=(x,x,x)-12-1X

1231232

1-1-12,(x

、37

'2-1-P

所以二次型的矩阵是：A=-12-1

-12,

幻灯片17

四、计算题(7+10+16=33分)

3、设二次型/(x,x)=2x2+2x2+2x2-2x尤-2xx—lxx

123123121323

(1)写出二次型所确定的矩阵；

(2)用正交线性替换将二次型化为标准形；

(3)求二次型的秩；

(4)判断二次型的正定性。

A,-211

解：(2)|九E-A|=1Z-21=九(九-3)2

11大-2

A的特征值为：,=0,九2=入=3.

对、=0,解方程向(0E-A1X=0

得一基础解系：(1,1,1)，

幻灯片18

四、计算题(7+10+16=33分)

3、设二次型/(x,x)=2x2+2x2+2x2-2x尤-2xx—lxx

123123121323

(1)写出二次型所确定的矩阵；

(2)用正交线性替换将二次型化为标准形；

(3)求二次型的秩；

(4)判断二次型的正定性。

解：(2).....

对入=X=3,解方程组(3E-A)X=0

23

得一®础解系：a=(-1,1,0),a=(-l,0,J

23

把a单位化，把a,a正交规范化，得

123

P]=三=金(--1，2)

幻灯片19

四、计算题(7+10+16=33分)

3、设二次型f(.x,x,x)=2X2+2A-Z+2X2-2XX-2XX-2XX

12312312I323

(1)写出二次型所确定的矩阵；

(2)用正交线性替换将二次型化为标准形；

(3)求二次型的秩；

(4)判断二次型的正定性。

解：(2)..........令T=(0，P,B)

123

作正交变换：X=TY

则二次型化为标准形：/无2，/)=3,+3J2

(3)由(2)知二次型的秩为2；

(4)由(2)知二次型是半正定的。

幻灯片20

五、证明题(每题9分，共27分)

1、设V］与V分别是齐次方程组5+%+…+X,=0,

和x,=x,=...=x=x的解空间，证明p„=y㊉丫

12n-1n12.

证明：方程%+%+...+%=0,

12n

的一个基础解系也即V］的一个基是