押浙江卷第15-16题（反比例函数、相似三角形、四边形）-备战2024年中考数学临考题号押题（浙江专用）（全解全析）

第第页押浙江卷第15-16题（反比例函数、相似三角形、四边形）押题方向一：反比例函数2023年浙江真题考点命题趋势2023年温州卷第15题反比例函数的应用从近几年浙江各地中考来看，反比例函数在填空题中主要考查反比例函数的应用与反比例函数系数k的几何意义，属于稍难题，有时候作为填空题的压轴题考查；预计2024年浙江卷还将继续重视反比例函数系数k的几何意义。2023年衢州卷、绍兴卷第15题、宁波卷第16题反比例函数系数k的几何意义1．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了20mL．【思路点拨】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．【解析】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，∵V＝100ml时，p＝60kpa，∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，∴V＝，当p＝75kPa时，V＝＝80，当p＝100kPa时，V＝＝60，∴80﹣60＝20（mL），∴气体体积压缩了20mL，故答案为：20．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．2．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是2．【思路点拨】证明出点A、B为矩形边的中点，根据三角形OAB的面积求出矩形面积，再求出三角形ABC面积即可．【解析】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，∴四边形OECF为矩形，∵x2＝2x1，∴点A为CE的中点，由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，∴点B为CF的中点，∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，∴S矩形OECF＝16，∴S△ABC＝×16＝2．故答案为：2．2【点睛】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用及矩形特性是解题关键．3．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为24．【思路点拨】设OA＝4a，因为OA＝2AB，所以AB＝2a，则A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，则C（4a，4a），因为CD⊥y轴，P在CD上，所以P点纵坐标为4a，则P点横坐标为：x＝k4a，由于Q为BE中点，切BE⊥x轴，所以BQ＝AB＝a，则Q（6a，a），由于Q在反比例函数y＝（k＞0）上，所以k＝6a2，根据已知阴影为矩形，长为，宽为：a，面积为6，所以可得12×k4a×a＝6，即可解决．【解析】解：设OA＝4a，∵AO＝2AB，∴AB＝2a，∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，∵Q为BE中点，∴BQ＝AB＝a，∴Q（6a，a），∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，∴k＝6a×a＝6a2，∵四边形OACD是正方形，∴C（4a，4a），∵P在CD上，∴P点纵坐标为4a，∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，∴P点横坐标为：x＝，∴P（，4a），∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，∴四边形OMNH是矩形，∴NH＝，MH＝a，∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，则k＝24，故答案为：24．【点睛】本题考查反比例函数图象的性质以及正方形的性质和长方形的面积公式，读懂题意，灵活运用说学知识是解决问题的关键．4．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为12，a的值为9．【思路点拨】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．【解析】解：设A（m，），∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，∴E（，）．∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，∴B（﹣2m，﹣）．∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，∴D（﹣2m，﹣）．∵△ABE的面积为9，∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m••＝＝9．∴a﹣b＝12．∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，∴S△BDE＝DB•（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）••（）•m＝3（）＝5．∴a＝﹣3b．又a﹣b＝12．∴a＝9．故答案为：12，9．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并能灵活运用方程思想是关键．1.2.1．如图，在△OAB中，边OA在y轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点B，与边AB交于点C．若BC＝3AC，S△OAB＝10．则k的值为4．【思路点拨】根据BC＝3AC，S△OAB＝10可得S△COB＝，再根据反比例函数k值的几何意义列出方程求出k即可．【解析】解：∵BC＝3AC，S△OAB＝10．∴S△COB＝＝，设点C（m，），则B（4m，），∵S△COB＝S梯形BCDE＝，∴，解得：k＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．2．如图，直角坐标系中，▱AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，A，C在第一象限．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，与BC交于点D，AE⊥x轴于点E，连结DE并延长交AO的延长线于点F，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点F，连结BF，则△BDF的面积为．【思路点拨】过点F作FK⊥x轴于K，过点D作DH⊥x轴于H，设点E（m，0），则m＞0，OE＝m，点A，AE＝，由此得直线OA的表达式为，解方程组，得点F，则FK＝，再求出直线EF的表达式为，解方程组，得点D，则OH＝3m，DH＝25/3m，证△AOE∽△DBH可得BH＝，则BE＝，然后分别求出S△FBE＝，S△BED＝，据此可得△BDF的面积．【解析】解：过点F作FK⊥x轴于K，过点D作DH⊥x轴于H，如下图所示：设点E（m，0），则m＞0，OE＝m，∵AE⊥x轴，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，∴点A，AE＝，设直线OA的表达式为：y＝k1x，∴，解得：，∴直线OA的表达式为：，解方程组，得，，∵点F在第三象限，∴点F的坐标为，则FK＝，设直线EF的表达式为y＝kx+b，将点E（m，0），F代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线EF的表达式为：，解方程组组，得，，∵点D在第一象限，∴点D的坐标为，∴OH＝3m，DH＝，∵AE⊥x轴，DH⊥x轴，∴∠AEO＝∠DHB＝90°，∵四边形AOBC为平行四边形，∴AO∥BC，∴∠AOE＝∠DBH，∴△AOE∽△DBH，∴AE：DH＝OE：BH，即，∴BH＝，∴BE＝OH﹣OE﹣BH＝3m﹣m﹣＝，∴S△FBE＝BE•FK＝＝，S△BED＝BE•DH＝＝，∴S△BDF＝S△FBE+S△BED＝＝．故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点，反比例函数与一次函数的交点，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，平行四边形的性质，熟练掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标的方法，及相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．3．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是2，则k的值为﹣4．【思路点拨】先设D（a，b），得出CO＝﹣a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE＝12，最后根据AB∥OE，得出＝，即BC•EO＝AB•CO，求得ab的值即可．【解析】解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，∴k＝ab，∵△BCE的面积是2，∴×BC×OE＝2，即BC×OE＝4，∵AB∥OE，∴＝，即BC•EO＝AB•CO，∴4＝b×（﹣a），即ab＝﹣4，∴k＝﹣4，故答案为：﹣4．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．4．如图，Rt△ABC顶点A落在y轴上，斜边上的中线CD⊥x轴于点D，O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点C，若△BCD的面积为5，则k的值为10．【思路点拨】连接OC，依题意得S△ACD＝S△BCD＝5，再根据△OCD和△ACD的公共边CD上的高相等得S△OCD＝S△ACD＝5，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得S△OCD＝1/2|k|，据此可得k的值．【解析】解：连接OC，如下图所示：∵在Rt△ABC中，斜边上的中线CD⊥x轴于点D，△BCD的面积为5，∴S△ACD＝S△BCD＝5，CD∥y轴，∴△OCD和△ACD的公共边CD上的高相等，∴S△OCD＝S△ACD＝5，∵反比例函数经过直角顶点C，∴根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△OCD＝|k|，∴|k|＝2S△OCD＝10，∵反比例函数的图象在第一象限，∴k＝10．故答案为：10．【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形的性质是解决问题的关键．5．如图，AB平行于x轴，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＜0）的图象上，BC∥AO，若四边形AOBC的面积为，则实数k的值为﹣3．【思路点拨】设点B坐标为（，m），然后根据已知条件求出点A坐标，用待定那个系数法求直线OA的解析式，再根据BC∥OA设出直线BC解析式，求出点OC，然后由四边形AOBC的面积为，求出k的值．【解析】解：设点B坐标为（，m）（m＞0），∵AB平行于x轴，∴点A坐标为（，m），∴AB＝﹣＝，∴OA所在直线的解析式为y＝x，∵BC∥AO，∴设直线BC的解析式为y＝x+c，把点B坐标代入y＝x+c得，m＝×+c，解得，c＝，∴OC＝，∴四边形AOBC的面积＝OC•AB＝××＝，解得k＝7或k＝﹣3，∵k＜0，∴k＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式．6．如图，点A为反比例函数y＝（x＞0）上一点，连结AO并延长交反比例函数y＝（x＜0）于点B，且k2＝9k1.点C在y轴正半轴上，连结CA并延长交x轴于点E，连结BC交x轴于点F，若＝4，S△COB＝10，则△COF的面积为．【思路点拨】过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M，根据反比例函数比例系数的几何意义得，再由k2＝9k1，得＝，证△AON和△BOM相似得＝，则＝，可设AN＝a，BM＝3a，再证△ANE和△COE相似得AN：OC＝AE：CE＝1：5，则OC＝5AN＝5a，证△BMF和△COF相似得BM：CO＝BF：CF＝3：5，则S△BOF：S△COF＝BF：CF＝3：5，由此可得△COF的面积．【解析】解：过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M，如图所示：∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AON＝|k1|，S△BOM＝|k2|，∴，∵k2＝9k1，∴，∴＝，∵AN⊥x轴，BM⊥x轴，∴AN∥BM，∴△AON∽△BOM，∴＝，∴＝，∴＝，设AN＝a，则BM＝3a，∵＝4，∴AC＝4AE，∴CE＝AC+AE＝5AE，即：CE：AE＝1：5，∵AN⊥x轴，∴AN∥OC，∴△ANE∽△COE，∴AN：OC＝AE：CE＝1：5，∴OC＝5AN＝5a，∵BN⊥x轴，∴BM∥OC，∴△BMF∽△COF，∴BM：CO＝BF：CF，即3a：5a＝BF：CF，∴BF：CF＝3：5，∴S△BOF：S△COF＝BF：CF＝3：5，∴可设S△BOF＝3m，S△COF＝5m，∵S△COB＝S△BOF+S△COF＝10，∴3m+5m＝10，解得：m＝，∴S△COF＝5m＝．故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．7．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，连接AC，BC，且AC∥x轴，BC∥y轴，AC＝BC．若点A的横坐标为2，则k的值为36．【思路点拨】先确定A（2，6），则可设C（，6），再表示出B（，），利用CA＝CB得到﹣2＝6﹣，然后解方程得到k的值．【解析】解：当x＝2时，y＝＝6，则A（2，6），∵AC∥x轴，∴C点的纵坐标为6，设C（，6），∵BC∥y轴，∴B点的横坐标为，∴B（，），∵CA＝CB，∴﹣2＝6﹣，整理得k2﹣48k+432＝0，解得k1＝36，k2＝12，经检验k1＝36，k2＝12都为原方程的解，∴k＝36．故答案为36．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．8．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，AB＝2．（1）若点A的坐标为（，2），则a+b的值是﹣2．（2）若点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，CD∥AB，CD＝3，AB与CD之间的距离为1，则a﹣b的值是6．【思路点拨】（1）根据题意求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得a、b的值，进而求得a+b的值；（2）设A点的纵坐标为n，由题意可知C点的纵坐标为n﹣1，根据AB∥x轴，AB＝2得出﹣＝2，得到a﹣b＝2n，根据CD∥AB，CD＝3，得出﹣＝3，得到a﹣b＝3n﹣3，即可得出2n＝3n﹣3，解得n＝3，即可求得a﹣b＝6．【解析】解：（1）∵点A的坐标为（，2），AB∥x轴，AB＝2，∴B（﹣，2），∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，∴a＝＝1，b＝﹣＝﹣3，∴a+b＝﹣2．故答案为：﹣2；（2）设A点的纵坐标为n，则C点的纵坐标为n﹣1，∵AB∥x轴，AB＝2，∴A（，n），B（，n），∴﹣＝2，∴a﹣b＝2n，∵CD∥AB，CD＝3，∴C（，n﹣1），D（，n﹣1），∴﹣＝3，∴a﹣b＝3n﹣3，∴2n＝3n﹣3，∴n＝3，∴a﹣b＝2n＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示点的坐标是解题的关键．9．如图，直线AB与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结CD和AD，AD交y轴于点E，且AC＝AE，若，△CDE的面积为6，则k的值为．【思路点拨】过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，过点A作AH⊥y轴于H，设AB交x轴于P，则OC∥AF∥BG，由此得＝，设OF＝3a，FG＝a，则OG＝OF+FG＝7a，从而得点A，点B，证△PBG和△PAF相似从而得PG＝3a，证∠CPD＝∠ADP得AD＝AP，则DF＝FP，从而得OD＝4a，再证△AHC和△PGB全等得CH＝BG＝，则CE＝2CH＝，然后根据△CDE的面积为6可求出k的值．【解析】解：过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，过点A作AH⊥y轴于H，设AB交x轴于P，如图所示：∴OC∥AF∥BG，∴＝，∴可设OF＝3a，FG＝a，则OG＝OF+FG＝7a，∵点A，B在反比例函数的图象上，∴点A，点B，∵BG∥AF，∴△PBG∽△PAF，∴PG：PF＝BG：AF，即：PG：（PG+4a）＝：，∴PG＝3a，∵AH⊥y轴，∴∠CAH＝∠CPD，∠HAE＝∠ADP，∵AC＝AG，AH⊥y轴，∴∠CAH＝∠HAE，CE＝2CH，∴∠CPD＝∠ADP，∴AD＝AP，∴DF＝FP，即OD+OF＝FG+PG，∴OD+3a＝4a+3a，∴OD＝4a，∵AH⊥y轴，AF⊥x轴，∠HOF＝90°，∴四边形HOFA为矩形，∴AH＝OF＝3a＝PG，在△AHC和△PGB中，，∴△AHC≌△PGB（AAS），∴CH＝BG＝，∴CE＝2CH＝，∵△CDE的面积为6，∴CE•OD＝6，即，解得：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键．押题方向二：相似三角形2023年浙江真题考点命题趋势2023年湖州卷第15题相似三角形的应用从近几年浙江各地中考来看，对相似三角形的应用及相似三角形的综合考查经常会出现在填空题的压轴题，整体稍有难度；预计2024年浙江卷在填空题中还将继续重视相似三角形的综合的考查。2023年衢州卷、杭州卷第16题相似三角形的判定与性质1．（2023•湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是4.1米．【思路点拨】过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再根据对应边成比例解答即可．【解析】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，∴△CHE∽△AGE，∴，即，解得：AG＝3.6米，∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．故答案为：4.1．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．2．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝（结果用含k的代数式表示）．【答案】．【思路点拨】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2•AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题．【解析】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DFA，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，∴∠FDE＝∠DFA，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵点B和点F关于直线DE对称，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴＝，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝＝，∴EC＝BC，∵＝k，∴BC＝k•AB，∴EC＝k•AB，∴＝，∴CF＝k2•AB，∴＝＝＝＝．方法二：如图，连接BF，∵点B和点F关于直线DE对称，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB＝DF，∴BF⊥AC，设AB＝AC＝1，则BC＝k，设CF＝x，则AF＝1﹣x，由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，∴x＝，∴AF＝1﹣x＝，∴＝．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF．3．（2023•衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形ACDE，△ABC拼成图2．（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为9．（2）若，则＝．【思路点拨】（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，由cos∠ABC＝，可得CT＝BC，CM＝AC，故CT•CM＝BC•AC＝BC•AC，而△ABC的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为CT•BT＝CT•CM＝9；（2）标识字母如图，设NT＝19t，证明△BFN≌△CBW（ASA），可得BN＝CW＝34t，由△BCT∽△WBT，有CT•WT＝BT2，即CT•（34t﹣CT）＝（15t）2，可得CT＝9t或CT＝25t，而BK＝CT，AK＝WT，即可得到答案．【解析】解：（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，如图：∵CT∥AB，∴∠ABC＝∠BCT，∵cos∠ABC＝，∴cos∠BCT＝，即＝，∴CT＝BC，∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝，即＝，∴CM＝AC，∴CT•CM＝BC•AC＝BC•AC，∵△ABC的面积为16，∴BC•AC＝16，∴BC•AC＝32，∴CT•CM＝18，∴纸片Ⅲ的面积为CT•BT＝CT•CM＝9；故答案为：9；（2）如图：∵＝，∴＝，设NT＝19t，则BT＝15t，BN＝34t，∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，∴△BFN≌△CBW（ASA），∴BN＝CW＝34t，∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，∴△BCT∽△WBT，∴＝，∴CT•WT＝BT2，∴CT•（34t﹣CT）＝（15t）2，解得CT＝9t或CT＝25t，当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去；当CT＝25t时，WT＝9t，而BK＝CT，AK＝WT，∴＝．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．1、相似图形的性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。2、相似图形的应用：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例求出高度、宽度、长度等。1．如图，在△ABC中，AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，若DE＝3，CE＝4，则AB的值．【思路点拨】由角平分线的性质得出∠BAD＝∠EAD，由平行线的性质得出∠EDA＝∠BAD，进而得出∠EAD＝∠EDA，得出EA＝ED＝3，由DE∥AB，证明△CED∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出AB的长度．【解析】解：∵AD为∠CAB的平分线，∴∠BAD＝∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∵DE＝3，∴EA＝3，∵DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA，∴△CED∽△CAB，∴，∵DE＝3，CE＝4，EA＝3，∴CA＝CE+EA＝4+3＝7，∴，∴AB＝，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2．（1）若DE是△ABC的中位线，则S1：S2＝1：2；（2）若S1＝S2，CE＝4，则线段AE的长为．【思路点拨】（1）根据中位线定理得出DE＝BC，DE∥BC，于是证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可得出△ADE与△ABC面积之间的关系，再根据三角形中线的性质得出△BCE与△ABC面积之间的关系，从而得出△ADE与△BCE面积之间的关系；（2）过点A作AG⊥BC于点G，交DE于点F，过点E作EH⊥BC于点H，由DE∥BC证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出，设，由S1＝S2可以求出m的值，再由相似三角形的性质得出，从而求出AE的长．【解析】解：（1）∵DE是△ABC的中位线，∵DE＝BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∵点E是AC的中点，∴，∴S1：S2＝1：2，故答案为：1：2；（2）过点A作AG⊥BC于点G，交DE于点F，过点E作EH⊥BC于点H，∵DE∥BC，∴AF⊥DE，∴FG＝EH，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，设，即DE＝mBC，∴，∴，即AF＝，∵S1＝S2，∴，∴mBC•＝BC•EH，∴，整理得m2+m﹣1＝0，解得，（舍去），∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，∵CE＝4，∴AE＝，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE⊥CD于F，交BC于E，连接BF，若∠BFE＝45°，则的值为．【思路点拨】根据直角三角形斜边中线的性质和相似三角形的性质和判定解答即可．【解析】解：过点B作BG⊥AE交AE的延长线于点G，∵AE⊥CD，∠BFE＝45°，∴△BFG为等腰直角三角形，设BG＝FG＝a，∵AG⊥DF，AG⊥BG，D为AB边上的中点，∴DF为△AGB的中位线，∴DF＝a，AG＝2a，∴AB＝a，在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴CD＝a，∴CF＝a，∵CF∥GB，∴△CFE∽△BGE，∴＝＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的性质和判定，根据已知条件作出辅助线是解决本题的关键．4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点E，F分别在边AC和边BC上，沿直线EF将△CEF翻折，使点C落于△ABC所在平面内，记为点D．直线CD交AB于点G．（1）若CF落在边AB上，则＝；（2）若，则tan∠CEF＝（用含的代数式表示）．【思路点拨】（1）根据折叠的性质得BG＝BC，CE＝GE，设BC＝a，则BG＝a，由勾股定理得，，从而可求值；（2）过点G作GH⊥AC于点H，由，设GB＝x，则AG＝λx，AB＝λx+x，，，进一步可求出答案．【解析】解：（1）如图1，由折叠得，CE＝GE，点B与点F重合，则BG＝BC，设BC＝a，则BG＝a，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则AB＝a，∴AG＝AB﹣BG＝（﹣1）a，∴＝＝﹣1；（2）过点G作GH⊥AC于点H，∴∠CEF+∠CGH＝90°，∵∠CEF+∠ECG＝90°，∴∠CEF＝∠CGH，由＝λ，设GB＝x，则AG＝λx，∴AB＝AG+BG＝λx+x，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则AC＝AB，AH＝AG，∴CH＝AC﹣AH＝（AB﹣AG），又由作图得△GHB为等腰直角三角形，∴GH＝AG，∴tan∠CGH＝＝＝，∴tan∠CEF＝＝＝，故答案为：﹣1，．【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理以及角的正切值．5．如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，将△ABE沿AE折叠得到△AGE，点G在BC的延长线上，AG与CD相交于点F．若，则tanB的值为．【思路点拨】设FG＝k，AF＝3k，则AG＝4k＝AD＝BC，依据△ADF∽△GCF，即可得到CG＝AD＝k；由折叠可得，BE＝BG＝k．在Rt△ABE中，依据勾股定理即可得到AE＝＝k，进而得出tanB的值．【解析】解：设FG＝k，AF＝3k，则AG＝4k＝AD＝BC，∵AD∥CG，∴△ADF∽△GCF，∴＝＝3，∴CG＝AD＝k，∴BG＝4k+k＝k，由折叠可得，BE＝BG＝k，∠AEB＝∠AEG＝90°，∴Rt△ABE中，AE＝＝k，∴tanB＝＝＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及折叠变换，解决问题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，点E在边AB上，将△BCE沿CE折叠至△FCE．若EF的延长线经过点D，CF平分∠ACB，BE＝1，则的值为，AB的长为．【思路点拨】取AB中点H，连接DH，版DH是△ABC的中位线，DH＝BC，折叠的性质可得BC＝FC，BE＝EF＝1，依据S△ADE＝S△CDE，得到AE•DH＝DE•CF，进而求得的值；倍长ED至点T，连结AT，设DF＝x，则DT＝DF＝x，AT＝CF＝y，∠DAT＝∠DCF；推导出△TAD∽△TEA，得到＝，得到y2＝2x2+x，在Rt△ATE中，由勾股定理得y2+（x+x+1）2＝（2x+2）2，解得＝\frac{9+\sqrt{33}}{2}$．【解析】解：如图1，取AB中点H，连接DH，∵D为斜边AC的中点，∴DH是△ABC的中位线，∴DH＝BC，DH∥BC，∵AB⊥BC，∴DH⊥AB，由折叠的性质可得BC＝FC，BE＝EF＝1，∠DFC＝∠B＝90°，∵D为斜边AC的中点，∴S△ADE＝S△CDE，∴AE•DH＝DE•CF，即AE•BC＝DE•BC，∴＝；设DF＝x，BC＝CF＝y，则DE＝DF+EF＝x+1，∴AE＝2DE＝2x+2，∴AB＝AE+BE＝2x+3，如图2所示，过点A作AT⊥ED交ED延长线于T，∴∠T＝∠CFD＝90°，又∵AD＝CD，∠ADT＝∠CDF，∴△ADT≌△CDF（AAS），∴DT＝DF＝x，AT＝CF＝y，∠DAT＝∠DCF；∵CF平分∠BCA，∴∠BCA＝2∠DCF，∵∠CAB+∠ACB＝90°∴∠BCA+2∠DCF＝90°，∵∠CAB+∠TAD+∠AET＝90°，∴∠CAB+∠DCF+∠AET＝90°，∴∠AET＝∠TAD，又∵∠T＝∠T，∴△TAD∽△TEA，∴＝，即＝，∴y2＝2x2+x，在Rt△ATE中，由勾股定理得AT2+ET2＝AE2，∴y2+（x+x+1）2＝（2x+2）2，∴2x2+x+4x2+4x+1＝4x2+8x+4，∴2x2﹣3x﹣3＝0，解得（舍去），∴AB＝2x+3＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）以及直角三角形斜边上的中线，作出辅助线得到中位线是解答本题的关键．7．如图，将矩形ABCD的边AD翻折到AE，使点D的对应点E在边BC上，再将边AD翻折到DF，且点A的对应点F为△ABE的内心，则＝4．【思路点拨】作AG⊥DE于点G，作FH⊥AG于点H，则FH∥ED，由翻折得AE＝AD＝DF，所以EG＝DG，∠GAE＝∠GAD＝∠DAE，由点F为△ABE的内心，得∠FEA＝∠FEB＝∠AEB，∠FAE＝∠FAB＝∠BAE，推导出∠DAE＝∠AEB，∠FAH＝∠GAE+∠FAE＝45°，于是得∠GAE＝∠FEA＝∠FEB，∠FAH＝∠AFH＝45°，由AG∥FE，得∠DEF＝∠AGD＝90°，再证明△AGE≌△DEF，得GE＝EF＝ED，设DF交AE于点L，可证明DF⊥AE，所以＝tan∠FEA＝tan∠EDF＝＝＝，则DL＝4FL，求得＝4，于是得到问题的答案．【解析】解：作AG⊥DE于点G，作FH⊥AG于点H，则∠AHF＝∠AGE＝90°，∴FH∥ED，由翻折得AE＝AD＝DF，∴EG＝DG，∠GAE＝∠GAD＝∠DAE，∵点F为△ABE的内心，∴∠FEA＝∠FEB＝∠AEB，∠FAE＝∠FAB＝∠BAE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠C＝90°，∴∠DAE＝∠AEB，∠FAH＝∠GAE+∠FAE＝（∠DAE+∠BAE）＝∠BAD＝45°，∴∠GAE＝∠FEA＝∠FEB，∠FAH＝∠AFH＝45°，∴AG∥FE，∴∠DEF＝∠AGD＝90°，∵∠DAF＝∠DFA，∴∠DAF﹣∠FAH＝∠DFA﹣∠AFH，∴∠GAE＝∠GAD＝∠DFH＝∠EDF，∵∠AGE＝∠DEF＝90°，AE＝DF，∴△AGE≌△DEF（AAS），∴GE＝EF＝ED，设DF交AE于点L，∵∠GAE＝∠FEA＝∠EDF，∴∠ELF＝∠AED+∠EDF＝∠AED+∠FEA＝∠DEF＝90°，∴DF⊥AE，∴∠DLE＝90°，∴＝tan∠FEA＝tan∠EDF＝＝＝，∴DL＝2EL，EL＝2FL，∴DL＝2×2FL＝4FL，∴＝＝＝4，故答案为：4．【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与性质、锐角三角形函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．8．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是．【思路点拨】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题．【解析】解：如图，作FH⊥PE于H．∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°，∵∠FHC＝90°，CF＝2，∴CH＝HF＝，∵CE＝4AE，∴EC＝4，AE＝，∴EH＝5，在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52，∵∠GEF＝∠GCF＝90°，∴E，G，F，C四点共圆，∴∠EFG＝∠ECG＝45°，∴∠ECF＝∠EFP＝135°，∵∠CEF＝∠FEP，∴△CEF∽△FEP，∴＝，∴EF2＝EC•EP，∴EP＝＝．故答案为．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．押题方向三：特殊四边形综合问题2023年浙江真题考点命题趋势2023年台州卷、绍兴卷第14题、湖州卷第16题特殊四边形的性质从近几年浙江各地中考来看，尺规作图与几何性质综合主要以作图为背景（作已知角、角平分线、中垂线等）结合特殊三角形（四边形）的性质与运算工具（相似、勾股定理等）一起考查，试题以填空题形式呈现，难度中上；预计2024年成都卷必考尺规作图与几何性质综合运用（求角度、长度、比值等）。1．（2023•台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为．【思路点拨】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝4，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC，∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠A，在△ABE和△FCB中，，∴△ABE≌△FCB（AAS），∴FC＝AB＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，在Rt△FCB中，由勾股定理得，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．2．（2023•绍兴）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是10°或80°．【思路点拨】根据菱形的性质可得∠DAC＝20°，再根据等腰三角形的性质可得∠AEC的度数．【解析】解：以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′，如图所示，在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，∵∠DAB＝40°，∴∠DAC＝20°，∵AC＝AE，∴∠AEC＝（180°﹣20°）÷2＝80°，∵AE′＝AC，∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°，综上所述，∠AEC的度数是10°或80°，故答案为：10°或80°．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．3．（2023•湖州）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是4cm．（2）若，则tan∠DAH的值是3．【思路点拨】（1）将AE和FC用BE表示出来，再代入AE+FC＝11cm，即可求出BE的长；（2）由已知条件可以证明∠DAH＝∠CDG，从而得到tan∠DAH＝tan∠CDG，设AH＝x，DG＝5k，GH＝4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH＝tan∠CDG列方程，解出x，从而求出tan∠DAH的值．【解析】解：（1）∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∵AE+FC＝11cm，∴BE+BF＝11cm，即BE+BE+EF＝11cm，即2BE+EF＝11cm，∵EF＝3cm，∴2BE+3cm＝11cm，∴BE＝4cm，故答案为：4；（2）设AH＝x，∵，∴可设DG＝5k，GH＝4k，∵四边形EFGH是正方形，∴HE＝EF＝FG＝GH＝4k，∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∠ABE＝∠CBF＝45°，∴CG＝CF+GF＝BF+4k＝BE+8k＝AH+12k＝x+12k，∠ABC＝∠ABE+∠CBF＝45°+45°＝90°，∵四边形ABCD对角互补，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠CDG＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠AHD＝∠CGD＝90°，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠CDG，∴tan∠DAH＝tan∠CDG，∴，即，整理得：x2+12kx﹣45k2＝0，解得x1＝3k，x2＝﹣15k（舍去），∴tan∠DAH＝＝＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．1.平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。2.矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。（5）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。3.菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。4.正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等；（4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；（5）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。1．如图，四边形ABCD为矩形，AB＞AD．将矩形沿着过点C的直线l翻折，点B的对应点为点F．已知AB＝5，AD＝3，若直线l与射线BA交于点E，且△CFD是直角三角形时，则BE的长为1或9．【思路点拨】分两种情况讨论：①直线l与边BA交于点E，点F落在矩形ABCD内部，△CFD是直角三角形时，如图1，②直线l与射线BA交于点E，点F落在矩形ABCD外部，△CFD是直角三角形时，如图2，然后利用折叠的性质和勾股定理即可解决问题．【解析】解：分两种情况：①直线l与边BA交于点E，点F落在矩形ABCD内部，△CFD是直角三角形时，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，BC＝AD＝3，∠A＝∠B＝90°，设BE＝x，由折叠可知：EF＝EB＝x，CF＝CB＝3，∠CFE＝∠B＝90°，∴∠CFD＝90°，DF＝＝＝4，∴DE＝DF+EF＝4+x，AE＝AB﹣BE＝5﹣x，在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，∴32+（5﹣x）2＝（4+x）2，∴x＝1，∴BE＝1；②直线l与射线BA交于点E，点F落在矩形ABCD外部，△CFD是直角三角形时，如图2，由折叠可知：∠FEC＝∠BEC，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠DCE＝∠BEC，∴∠DCE＝∠FEC，∴DE＝DC＝5，∴AE＝＝＝4，∴BE＝AE+AB＝4+5＝9，综上所述：BE的长为1或9，故答案为：1或9．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，矩形的性质，解题关键是利用分类讨论思想．2．如图，点E为矩形ABCD的边BC上一点（点E与点B不重合），AB＝6，AD＝8，将△ABE沿AE对折得到△AFE，其中点F落在矩形内部．若点F到边AD和BC的距离相等，则sin∠BAE＝．【思路点拨】过F作GH⊥AD，则GH⊥BC，连接BF，判定△ABF是等边三角形，即可得到∠BAE＝30°，进而得出sin∠BAE＝．【解析】解：如图所示，过F作GH⊥AD，则GH⊥BC，连接BF，∵点F到边AD和BC的距离相等，∴GF＝HF，又∵AG＝BH，∠AGF＝∠BHF，∴△AGF≌△BHF（SAS），∴AF＝BF，由折叠可得，AB＝AF，∴AB＝AF＝BF，∴△ABF是等边三角形，∴∠BAF＝60°，又∵∠BAE＝∠FAE，∴∠BAE＝30°，∴sin∠BAE＝．故答案为：．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．熟练掌握折叠的性质、矩形的性质是解题的关键．3．小江同学在学习勾股定理后，用两对全等的直角三角形（Rt△DHC≌Rt△BFA，Rt△ADE≌Rt△CBG）和正方形EFGH拼成如图所示的▱ABCD（无重叠也无缝隙），其中，AD＝4，AB＝5．记Rt△ADE，Rt△BFA的面积分别为S1，S2.则S1﹣S2＝，若，则正方形EFGH的面积＝．【思路点拨】如图，由题意知Rt△DHC≌Rt△BFA，Rt△ADE≌Rt△CBG，四边形HEFG为正方形，则DH＝BF，DE＝BG，HC＝AF，GC＝AE，HE＝EF＝FG＝HG，设DH＝BF＝x，GC＝AE＝y，正方形边长HE＝a，则DH2+HC2＝DC2＝52，DE2+AE2＝AD2＝42，则x2+（a+y）2＝25①，y2+（x+a）2＝16②，推出ay﹣ax＝，根据b2+a2+2ab+x2+x2+a2+2ab+b2﹣2ab﹣2bx﹣2a2﹣2ax﹣2bx＝6，得出2b2+2x2﹣4bx＝6，则b﹣x＝，根据a（b﹣x）＝，得出a，进而计算即可．【解析】解：如图，由题意知Rt△DHC≌Rt△BFA，Rt△ADE≌Rt△CBG，四边形HEFG为正方形，∴DH＝BF，DE＝BG，HC＝AF，GC＝AE，HE＝EF＝FG＝HG，设DH＝BF＝x，GC＝AE＝y，正方形边长HE＝a，∴DH2+HC2＝DC2＝52，DE2+AE2＝AD2＝42，∴x2+（a+y）2＝25①，y2+（x+a）2＝16②，∴①﹣②得2（ax﹣ay）＝﹣9，即ay﹣ax＝，∵＝＝＝＝，∵b2+a2+2ab+x2+x2+a2+2ab+b2﹣2ab﹣2bx﹣2a2﹣2ax﹣2bx＝6，∴2b2+2x2﹣4bx＝6，∴（b﹣x）2＝3，b﹣x＝，∵a（b﹣x）＝，∴a＝＝，∴S正方形HEFG＝故答案为：，．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．4．如图，某兴趣小组运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，并过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则该圆的半径长是．【思路点拨】先求得AD＝10，AB＝6，利用垂径定理求得BD＝3，在Rt△OBD中，由勾股定理求解即可．【解析】解：∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接OB，∴AD＝2+4+2+2＝10，BC＝2+2+2＝6，∴．设该圆的半径长是x，则OB＝x，OD＝10﹣x，在Rt△OBD中，由勾股定理得x2＝（10﹣x）2+32，解得．∴该圆的半径长是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，解答本题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形．5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝4，BE⊥AD于点E，交AC于点F，则S△AEF＝．【思路点拨】由菱形的性质推出AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AD＝AB，由勾股定理求出AB＝＝2，由菱形ABCD的面积＝AD•EB＝AC•BD，求出BE＝，由勾股定理求出AE＝＝，求出△AOD的面积＝OA•OD＝4，由△AEF∽△AOD，推出＝＝，即可求出S△AEF＝．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AD＝AB，∵AC＝8，BD＝4，∴OA＝4，OB＝2，∴AB＝＝2，∵BE⊥AD，∴菱形ABCD的面积＝AD•EB＝AC•BD，∴2BE＝×8×4，∴BE＝，∴AE＝＝，∵∠AOD＝90°，OA＝4，OB＝2，∴△AOD的面积＝OA•OD＝4，∵∠AEF＝∠AOD＝90°，∵∠EAF＝∠OAD，∴△AEF∽△AOD，∴＝＝，∴S△AEF＝．故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由菱形的性质，勾股定理求出BE的长，由△AEF∽△AOD，推出＝＝．6．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，点E在DC延长线上，连接BE、OE，OE与BC交于点F，若∠CEB＝45°，BE＝DE，下列三个结论：①OE⊥BD；②EF＝AC；③BF＝2CF；④．其中正确的结论是①②④．【思路点拨】①根据矩形的性质得OD＝OD，AC＝BD，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，再根据