沪教版九年级数学下册同步练习 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（分层练习含解析）

27.2圆心角、弧弦、弦心距之间的关系（分层练习）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2023•上海浦东新区民办远翔实验学校九年级阶段练习）下列关于圆的说法中，错误的是（）

A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧

B.如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等

C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线

D.拱形不一定是弓形

2.（2023•上海浦东新•模拟预测）下列四个命题：

①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.

真命题的个数有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

3.（2023・上海•九年级专题练习）如图，已知A、B、C、。四点都在。。上，03_LAC,BC=CD,在下列四

个说法中，①AC=2CD;®AC=2CD；③。CLBD；®ZAOD=3ZBOC,正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2023・上海金山•二模）下列命题中，真命题是（）

A.平行四边形是轴对称图形B.互为补角的两个角都是锐角

C.相等的弦所对的弧相等D.等腰梯形的对角线相等

5.（2023・上海金山区世界外国语学校一模）如图，。是弧AD所在圆的圆心.已知点8、C将弧AD三等分,

那么下列四个选项中不正确的是（）

A.AC=2CDB.AC=2CDC.ZAOC=2NCODD.S^AOC=1S^COD.

6.（2023••九年级专题练习）如图，E、F是正方形A3CD边上的两个动点且=尸，连接b交8。于

点G,连接班交AG于点从若正方形ABCD的边长为2,则线段。〃长度的最小值为（）

A.75-1B.V2

7.（2023・上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，已知A3为，。的直径，点C,。在。上，若

/BCD=28°,贝IJZABD=（）

A.72°B.56°C.62°D.52°

8.（2023•上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在。O中，AB为直径，圆周角/ACD=20。，则/BAD

等于（）

A.20°B.40°C.70°D.80°

二、填空题

9.（2023・上海市民办新复兴初级中学九年级期中）如图，A2是。的直径，BC=BD，ZA=20°,则

Z.BOD=______.

10.（2023•上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，在。中，^B=^C,ZB=70。，则

ZBAC=______________

11.（2023・上海•七年级专题练习）在半面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1,0）,尸是第一象限内任意

一点，连接尸0、PA,若/尸。4=根。，ZPAO=n°,则我们把（m°,九。）叫做点P的“双角坐标”例如，点（1,

1）的“双角坐标”为（45。，90°）

（1）点（!;）的“双角坐标”为一.

22

（2）若“双角坐标”为（30°,60°）,则点坐标为一.

（3）若点尸到x轴的距离为则〃什〃的最小值为一.

12.（2023・上海•九年级专题练习）如图，若N1=N2,那么4B与BC相等（填“一定”、“一定不”、

“不一定”）.

13.（2023••九年级专题练习）如图，AB为。的直径，C为。上一动点，将AC绕点A逆时针旋转120。

得AO,若AB=4,则的最大值为

三、解答题

14.（2023•上海市进才实验中学九年级期中）如图，△ABC的边是。。的直径，点C在。。上，点。是

边AB上的一点，点E和点。关于3c对称，DE交边BC于点M,过点。作DE的垂线交EC的延长线于点

F,线段。/交AC于点M

(1)求证：四边形CMDN是矩形；

(2)联结CZ),当CO_L48时，求证：EF-CB=2AB-ME.

15.(2023•上海市青浦区教育局二模)如图，已知A2是。的直径，尸是A。上一点，点C、。在直径两侧

的圆周上，若PB平分/CPD,求证：劣弧BC与劣弧8。相等.

16.(2023•上海・九年级专题练习)如图，己知AB、AC是。。的两条弦，且AO平分NBAC.点M、N分

别在弦AB、AC上，满足AM=CN.

(1)求证：AB=AC；

MNOM

（2）联结OM、ON、MN,求证:

~AB~~OA

【能力提升】

一、单选题

1.（2023・上海・九年级专题练习）下列说法中，结论错误的是（）

A.直径相等的两个圆是等圆

B.长度相等的两条弧是等弧

C.圆中最长的弦是直径

D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧

二、填空题

2.（2023・上海•九年级专题练习）已知。。的直径是4,。。上两点5、C分。。所得劣弧与优弧之比为1：

3,则弦的长为.

3.（2023・上海静安•二模）如图，已知半圆直径AB=2,点C、O三等分半圆弧，那么△C3D的面积为.

4.（2023・上海•九年级专题练习）如图，△ABC中，ZA=70°,。。截△ABC的三条边所截得弦长相等，则

ZBOC=

5.(2023•上海市进才中学一模)如图，已知扇形AOB的半径为6,圆心角为90°,E是半径OA上一点,

产是上一点•将扇形AOB沿对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径相切于点G,若。E=

5,则O到折痕EF的距离为.

三、解答题

6.(2023••九年级专题练习)如图所示，已知。。的半径为2,弦BC的长为2道，点A为弦BC所对优弧

上任意一点（B、C两点除外）（参考数据：sin60°=—,cos30°=—,tan30°=—,cot300=A/3）.

223

(1)求/BAC的度数；

(2)求4ABC面积的最大值.

7.（2023•上海•九年级专题练习）如图，已知A3是。。的弦，半径OC、0。与A3分别交于点E、F,且

AE=BF.求证：AC=BD-

8.（2023•上海杨浦・三模）如图，已知在。中，OD±AB,垂足为点D,的延长线与：。相交于点C,

点E在弦A3的延长线上，CE与;。相交于点F,AB=CD=8,tanC=l.

9.（2023•上海虹口•二模）已知：如图，AB,AC是;。的两条弦，AB=AC,点河、N分别在弦AB、AC

上，且AW=C7V,AM<AN,联结加、ON.

（1）求证：OM=ON；

（2）当N3AC为锐角时，如果AC>2=AM.AC,求证：四边形AMON为等腰梯形.

10.(2023••九年级专题练习)己知：在RtzXABC中，ZACB=90°,AC=1,。是AB的中点，以C。为直

径的O。分别交BC、区4于点F、E,点E位于点。下方，连接E尸交CD于点G.

(1)如图1,如果2C=2,求DE的长；

GD

(2)如图2,设BC=x,-求y关于x的函数关系式及其定义域；

(3)如图3,连接CE,如果CG=CE,求的长.

图1图2图3

11.(2023・上海・九年级专题练习)如图，在R/AACB中，ZACB=90,以点A为圆心，AC长为半径的圆交

于点D,54的延长线交。A于点E,连接CE,C£>,产是。A上一点，点/与点C位于BE两侧，且

ZFAB=ZABC,连接班

(1)求证：NBCD=NBEC；

(2)若BC=2,BD=\,求CE的长及sinNABR的值.

3

12.（2023•上海•九年级专题练习）如图,AB是圆O的一条弦，点O在线段AC上,AC=AB,OC=3,sinA=w.求：

（1）圆O的半径长；（2）BC的长.

13.（2023・上海・九年级专题练习）已知：在。O中，弦AB=AC,AD是。O的直径.

求证：BD=CD.

14.（2023•上海杨浦•二模）已知：如图，是半圆。的直径，C是半圆上一点（不与点A、8重合）,过

点A作AZV/OC交半圆于点。，E是直径AB上一点，且AE=A。，联结CE、CD.

（1）求证：CE=CD；

（2）如果AO=3C£＞，延长EC与弦AO的延长线交于点色联结。。，求证：四边形0C7⑦是菱形.

15.（2023•上海市奉贤区金汇学校九年级期末）已知。。的直径42=4,点尸为弧A3上一点，联结出、P0,

点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结8C交必、PO于点。、E.

7

(1)如图，当cosNC8O=丁时，求的长;

8

(2)当点C为劣弧AP的中点，且△即尸与AAOP相似时，求NABC的度数;

(3)当AD=2Z）P,且△8E0为直角三角形时，求四边形AOEO的面积.

16.(2023•上海市民办新复兴初级中学九年级阶段练习)如图，菱形ABCD,以A为圆心,AC长为半径的

圆分别交边BC、DC、AB.D于点E、F、G、H.

(1)求证：CE=CF；

(2)当Er为CG中点时，求证：BE2=CECB.

17.(2023•上海•九年级专题练习)已知，AABC内接于(。，点尸是弧A2的中点，连接P4、PB-,

(1)如图1,若AC=BC,求证：ABYPC-,

(2)如图2,若上4平分/CPM,求证：AB=AC；

24

(3)在(2)的条件下，5gsinZBPC=—,AC=8,求AP的值.

27.2圆心角、弧弦、弦心距之间的关系（分层练习）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2023•上海浦东新区民办远翔实验学校九年级阶段练习）下列关于圆的说法中，错误的

是（）

A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧

B.如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等

C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线

D.拱形不一定是弓形

答案:B

分析：根据圆心角、弧、弦的关系对A、B进行判断；根据过圆心的直线都为圆的对称轴可

对C进行判断；根据拱形与弓形的定义对D进行判断.

【详解】解：A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意；

B.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合

题意；

C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意；

D.拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、

两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了轴对称.

2.（2023•上海浦东新•模拟预测）下列四个命题：

①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等.

真命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案:C

分析：利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，

不符合题意；

②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；

③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；

④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，

真命题有3个，

故选：C.

【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大.

3.（2023・上海・九年级专题练习）如图，已知A、B、C、。四点都在。。上，OBLAC,BC

=CD,在下列四个说法中，①AC=2CO;®AC=2CD；@OC±BD；®ZAOD=3ZBOC,

正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案:C

分析：根据题意和垂径定理，可以得到AC=B。，AB=BC，CD=BC，然后即可判断各个

小题中的结论是否正确，从而可以解答本题.

【详解】解：'：OBLAC,BC=CD,

AB=BC，CD=BC>，

，AC=2CD，故①正确；

AC<AB+BC^BC+CD=2CD,故②错误；

OC±BD,故③正确；

ZAOD=3ZBOC,故④正确；

故选：C.

【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利

用数形结合的思想解答.

4.（2023•上海金山・二模）下列命题中，真命题是（）

A.平行四边形是轴对称图形B.互为补角的两个角都是锐角

C.相等的弦所对的弧相等D.等腰梯形的对角线相等

答案:D

分析：根据平行四边形的性质，补角的性质，圆内弧、弦、圆周角的关系，等腰梯形的性质，

逐项判断即可求解.

【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，故原命题是假命题，不合题意；

B、互为补角的两个角不一定是锐角，例如100。和80。，故原命题是假命题，不合题意；

C、同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原命题是假命题，不合题意；

D、等腰梯形的对角线相等，故原命题是真命题，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，补角的性质，圆内弧、弦、圆周角的关系，等

腰梯形的性质，判断命题的真假，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

5.（2023•上海金山区世界外国语学校一模）如图，。是弧AO所在圆的圆心.已知点3、C

将弧三等分,那么下列四个选项中不正确的是（）

A.AC=2CDB.AC=2CDC.=D.S扇形人。。=2S扇形。。力.

答案:B

分析：利用三等分点得到AB=BC=C。，由此判断A；AB=BC=CD,得至UAB+BCAC,

由此判断B；根据AC=2C。即可判断C；根据A3=3C=CD，得到

S扇形AOB=S扇形Bo。=S扇形C8，由此判断D.

【详解】解：连接A3、BC,OB,

・・•点5、。将弧AD三等分，

•**AB=BC=CD，

***AC=2CD，故A选项正确；

,**AB=BC=CD，

：.AB=BC=CD,

VAB+BOAC,

：.AC<2CD,故B选项错误；

,•*AC=2CD^

：.ZAOC=2ZCOD9故C选项正确;

AB=BC=CD，

：.ZAOB=ZBOC=ZCOD,

••S扇形AOB=S扇形BQ。=S扇形co。,

扇形AOC=2s扇形co。,故D选项正确;

故选：B.

【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相

等，另两个量也对应相等.

6.（2023••九年级专题练习）如图，E、尸是正方形ABCD边AD上的两个动点且=

连接CF交于点G,连接跖交AG于点H.若正方形ABCD的边长为2,则线段。〃长

LL36

A.V5—1B.C.-D.y

答案:A

分析：延长AG交CD于M,如图1,可证△ADG0ZXDGC可得NGCD=NDAM,再证

△ADM0ZXDFC可得DF=DM=AE,可证△ABE0△ADM,可得H是以AB为直径的圆上

一点，取AB中点O,连接OD,OH,根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度

的最小值.

【详解】解：延长AG交CD于M,如图1

VABCD是正方形

；.AD=CD=AB,ZBAD=ZADC=90°,ZADB=ZBDC

VAD=CD,ZADB=ZBDC,DG=DG

.'.△ADG^ADGC

NDAM=NDCF且AD=CD,ZADC=ZADC

AAADM^ACDF

；.FD=DM且AE=DF

AE=DM且AB=AD,ZADM=ZBAD=90°

.•.△ABE^AADM

ZDAM=ZABE

•?ZDAM+ZBAM=90°

ZBAM+ZABE=90°,即ZAHB=90°

.,.点H是以AB为直径的圆上一点.

如图2,取AB中点O,连接OD,OH

在RtAAOD中，OD=dAD。+ACP=亚，

,.,DH>OD-OH,

•,.DH>75-1,

故选：A.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是

以AB为直径的圆上一点.

7.(2023•上海市民办新北郊初级中学九年级期末)如图，已知为。的直径，点C,D

在〈。上，若N3CD=28。，则()

A.72°B.56°C.62°D.52°

答案:C

分析：连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求/BAD的度数，再根据直径所对的圆周角

是90。，利用内角和求解.

【详解】解：连接AD,则NBAD=/BCD=28。，

VAB是直径，

ZADB=90°,

ZABD=90o-ZBAD=900-28o=62°.

故选：C.

【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的

圆周角是90。是圆中构造90。角的重要手段.

8.（2023•上海市民办新北郊初级中学九年级期末）如图，在。O中，AB为直径，圆周角

ZACD=20°,则/BAD等于（）

A.20°B.40°C.70°D.80°

答案:C

分析：连接根据/AOO=2/ACZ),求出/A。。，利用等腰三角形的性质即可解决问题.

【详解】连接OD

,/ZACD=20°,：.ZAOD=2ZACD=40°.

\'OA=OD,：.ZBAD=ZADO=-(180°-40°)=70°.

2

【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.

二、填空题

9.（2023・上海市民办新复兴初级中学九年级期中）如图，A2是。的直径，BC=BD，

分析：根据圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半）求解即

可.

【详解】解：=ZA=20°,

/BOD=2/4=40。，

故答案为：40°.

【点睛】本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式

出现，属于基础题，难度不大.

10.（2023•上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，在C。中，

浊=双;ZB=70。，则NBAC=-

答案：40。##40度

分析：根据同圆中等弧所对的圆周角相等，求出NC的度数，即可利用三角形内角和定理求

出NA4c的度数.

【详解】解：,在。中，AB=AC>

：.ZC=ZB=70°,

ZBAC=180。—NB—NC=40°,

故答案为：40°.

【点睛】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，正确求出/C的度数

是解题的关键.

11.（2023・上海•七年级专题练习）在半面直角坐标系尤Oy中，点A的坐标为（1,0）,「是

第一象限内任意一点，连接尸。、PA,若/尸。4=优。，ZPAO=n°,则我们把（能。，心）叫

做点P的“双角坐标”例如，点（1,1）的“双角坐标''为（45°,90°）

⑴点（；］）的“双角坐标”为—.

（2）若“双角坐标”为（30。，60°）,则点坐标为一.

（3）若点尸到x轴的距离为g,则机+〃的最小值为一.

答案：（45°,45。）（3,走）90

44

分析：（1）分别求出tan/POA、tan/必。即可得/POA、/B4O的度数，从而得出答案;

（2）作尸于点8,设=利用三角函数求出。2、AB,由Q?+AB=Q4即可解

出答案；

(3)根据三角形内角和定理知若要使取得最小值，即NP0A+NB4。取得最小值，则

/。必需取得最大值，以。4中点为圆心，!■为半径画圆，与直线y=|■相切于点尸，由/0B4

=/1>/。尸幺知此时/。以最大，Z.OPA=90°,即可得出答案.

【详解】解：(1)•:P*，,04=1,

tanZP0A=禹=1,tanZPA0=

.•.ZPOA=45°,ZB4O=45°,

即点尸的“双角坐标”为(45。，45°),

故答案为:(45°,45°)；

(2)如图，点尸的“双角坐标”为(30°,60°),作尸8，。4于点2,

:“双角坐标”为(30°,60°),

AZPOA=30°,ZPAO=60°,

设=

PBx\[3x

A.D———

tanZPAOtan6003

4J3

:.OA=OB+AB=x=1

解得x咛

・j'邛'°8=后¥弓

•••点P的点坐标为G

故答案为:

（3）根据三角形内角和定理知若要使加+w取得最小值，即NPO4+NR1。取得最小值，则

ZOPA需取得最大值，

如图，

,点P到x轴的距离为g,04=1,

.,.以0A中点为圆心，g为半径画圆，与直线相切于点P,

在直线y=1■上任取一点尸'，连接尸'。、P'A,PO交圆于点。，

VZ0fi4=Zl,Zl>ZOP'A,

：.ZOPA>ZOP'A,

此时/OB4最大，ZOPA=9Q°,

的最小值为：180—90=90.

故答案为90.

【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质、锐角三角函数、三角形内角和定理、外角的性质

及圆周角定理，根据内角和定理推出，取得最小值即为/。以取得最大值，且找到满足

条件的点尸位置是解题关键.

12.（2023・上海・九年级专题练习）如图，若Nl=/2,那么A8与BC相等（填“一

定”、“一定不”、“不一定”）.

答案:一定

分析：根据圆心角、弧、弦关系定理进行解答即可.

【详解】解：

.\AB=AC,

AB=BC，

故答案为：一定.

【点睛】本题考查的是圆心角，熟知在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等是解答此题的

关键.

13.（2023••九年级专题练习）如图，AB为。的直径，C为。上一动点，将AC绕点A逆

时针旋转120。得AD,若AB=4,则3。的最大值为

答案:2g+2

分析：将△ABD绕点A顺时针旋转120°,则D与点C重合，B，是定点，BD的最大值即BC

的最大值，当BlO,C三点共线时，BD最大

【详解】解：将AABD绕点A顺时针旋转120。，则D与点C重合，B，是定点，BD的最大

值即BC的最大值，当B，，O,C三点共线时，BD最大

过点B，作B-EXAB,交BA的延长线于点E

由题意可得A，B=AB=4,NEAB，=60°

；.AE=2,B，E=25OC=OB=2

在RtAOEB，中，B,O=^B'E2+OE2=J(2舟+4?=277

.,.B,D=B,O+OC=2A/7+2

故答案为：2币+2

【点睛】本题考查旋转的性质、含30。角的直角三角形、三角形三边关系等知识，是重要考

点，题目有一定的难度，掌握相关知识是解题关键.

三、解答题

14.(2023•上海市进才实验中学九年级期中)如图，AABC的边是。。的直径，点C在

。。上，点。是边上的一点，点E和点。关于BC对称，DE交边BC于点M,过点Z)

作。E的垂线交EC的延长线于点兄线段。尸交AC于点N.

F

C

N

(1)求证：四边形CMDN是矩形；

(2)联结CD,当C£»_LA8时，求证：EF・CB=2AB，ME.

答案:(1)过程见解析

(2)过程见解析

分析：对于(1),先根据直径所对的圆周角是直角得NACB=90。，再根据对称的性质可得

ZCMD=9Q°,然后根据已知条件得出NE/m=90。，即可得出结论；

对于(2),连接CD根据同角的余角相等得再根据对称的性质得CD=CE,

可知进而得出然后结合“两个角对应相等的两个三角形相似”得

ACB..FDE,再根据相似三角形的性质得要=丝，然后根据。代入得出

DEEF

答案即可.

(1)

是圆。的直径，

ZACB=90°.

:点E和点。关于8C对称，

：.DM=EM,DELBC,

：.ZCMD=9Q°.

■:DELDF,

：.NEDF=9Q°,

：./ACB=/EDF=/CMD=9。。,

.,•四边形CAffiW是矩形；

(2)

如图，连接CD

F

C

N

'：CD±AB,

：.ZCDB=90°,

：.ZDCM+ZB=90°.

'JDELDF,

：.ZCDM+ZDCM=90°,

：.ZCDM=ZB.

・・,点E和点。关于3。对称，

・•・CD=CE,

:・NCDM=NE,

：・/B=/E.

,/ZACB=ZFDE=90°,

：•一ACB_FDE,

.BC_AB

^~DE~~EF"

BPEFBC=ABDE.

由（1）得DM=EM,

：.DE=2MEf

・・・EFBC=AB2ME,

BPEFBC=2ABME.

【点睛】这是一道关于圆的综合问题，考查了矩形的判定，相似三角形的性质和判定，对称

的性质等.

15.（2023•上海市青浦区教育局二模）如图，已知是：。的直径，P是AO上一点，点。、

。在直径两侧的圆周上，若PB平分/CPD,求证：劣弧5c与劣弧8D相等.

答案:见详解

分析：过点。分别作OEJ_PC,OFLPD,垂足分别为E、F,连接。C、OD,由题意易得

OE=OF,然后可得=进而问题可求证.

【详解】证明：过点。分别作尸C,OF1PD,垂足分别为E、F,连接OC、OD,如

图所示：

PB平分/CPD,

：.OE=OF,

'：OC=OD,

:.£\EOC经4FOD(HL),

NC=ND,

：.ZBOC=ZBOD,

BC=BD-

【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的联系是解题的关键.

16.(2023・上海•九年级专题练习)如图，已知AB、AC是。O的两条弦，且AO平分NBAC.点

M、N分别在弦AB、AC上，满足AM=CN.

(1)求证：AB=AC；

MNOM

(2)联结OM、ON、MN,求证：

ABOA

答案：（1）见解析；（2）见解析.

分析：（1）过点。作ODLAB于点D,OELAC于点E,利用角平分线的性质和垂径定理

即可得出答案；

（2）联结OB,OM,ON,MN,首先证明BOM=AON,然后再证明,NOWBOA,

根据相似三角形的性质即可得出答案.

【详解】证明：（1）过点O作ODLAB于点D,OELAC于点E,如图所示：

：AO平分NBAC.

.•.OD=OE.

AD2=AO2-OD2,AE-=AO2-OE2,

AD=AE.

OD.LAB,OE±AC,

AB=2AD,AC=2AE,

.*.AB=AC；

(2)联结OB,OM,ON,MN,如图所示,

VAM=CN,AB=AC

・・・BM=AN.

VOA=OB,

・・・NB=NBAO.

VZBAO=ZOAN,

AZB=ZOAN,

.'.△BOM^AAON(SAS),

AZBOM=ZAON,OM=ON,

.\ZAOB=ZMON,

AANOM^ABOA,

.MN_OM

"~AB~~OA

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质,

熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

【能力提升】

一、单选题

1.（2023・上海•九年级专题练习）下列说法中，结论错误的是（）

A.直径相等的两个圆是等圆

B.长度相等的两条弧是等弧

C.圆中最长的弦是直径

D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧

答案:B

分析：利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；

【详解】A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；

B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合

题意；

C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；

D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，

故选B.

【点睛】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键.

二、填空题

2.（2023•上海•九年级专题练习）已知。。的直径是4,。。上两点3、C分。。所得劣弧与

优弧之比为1：3,则弦3C的长为.

答案：2&

分析：根据题意可得出劣弧所对的圆心角的度数，利用半径是2,由勾股定理求出即可.

【详解】解：•••圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，

劣弧的度数为:360按1=90?,

劣弧所对的圆心角的度数90°,

:。。的直径是4,

；.OB=OC=2,

BC=y/0B2+0C2=A/22+22=272>

故答案为：2垃.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及勾股定理，根据已知得出圆心角的度数

90°,再利用勾股定理求出是解题的关键.

3.（2023・上海静安•二模）如图，已知半圆直径AB=2,点C、。三等分半圆弧，那么

的面积为•

答案:立

4

分析：连接OC,OD,过点。作OE±CD,垂足为点E,点C、。三等分半圆弧，可知

是等边三角形，从而可以证得CO〃A8,所以△COZ）和△CBD的面积相等，利用30。所对

的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得面积.

【详解】解：连接OC,OD,过点。作OELCO,垂足为点E,如图，

:点C、。三等分半圆弧,

ZCOD=ZBOD^60°,

:OC=OD,

是等边三角形，

：.ZCDO=60°,

：.ZCDO=ZBOD,

：.CD//AB,

••S^cBD=S^COD，

•：OELCD,

：.ZCOE=^ZCOD=30°,

：.CE=-OC=-x-AB=-x-x2=~,

222222

在RtACOE中，OE=yj0C2-CE2=Jgx2)一g)=与,

•••5ACBfl=SACOD=|cZ).OE=1x2CExO£=lx2xlx^=^.

故答案为：旦

4

【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、30。

所对的直角三角形的性质和勾股定理.

4.(2023・上海・九年级专题练习)如图，△ABC中，ZA=70°,。。截△ABC的三条边所截

得弦长相等，则NBOC=_.

答案:125。

分析：先利用O截AABC的三条边所得的弦长相等，得出即。是AABC的内心，从而,

Z1=Z2,N3=N4,进一步求出NBOC的度数.

「△ABC中/A=70。，O截AABC的三条边所得的弦长相等，

.-.O到三角形三条边的距离相等，即O是AABC的内心，

AZ1=Z2,Z3=Z4,Z1+Z3=1-(180°-ZA)=；(180o-70°)=55°；

•,.ZBOC=180o-(Zl+Z3)=180o-55o=125°.

故答案为125°.

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握圆

的相关知识与应用.

5.(2023•上海市进才中学一模)如图，已知扇形AOB的半径为6,圆心角为90°,E是半

径OA上一点，尸是A8上一点.将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧AP恰好与

半径OB相切于点G,若OE=5,则。到折痕EF的距离为.

答案:厉

分析：过点G作0G的垂线，交AE的延长线于点。'，连接OO'交EF于点“，连接AO',

则点A、G、f在以点O'为圆心，O'G为半径的圆上，证得四边形AOGO为矩形，接着求得

AO'的长，再求得OO'的长，又证得EF_LOO,,从而得到，进而得到0到折痕EF

的距离.

【详解】解：如图，过点G作OG的垂线，交AE的延长线于点。，连接OO'交EF于点H,

连接AO',则点A、G、/在以点O'为圆心，O'G为半径的圆上，

A!F与AF是等弧

・•・。与O是等圆

O'G=OA

*：AO-LOB,OrG-LOB

：.AO//O'G

・•・四边形AOG9为矩形

AO'LAO

AO,=^lEO,2-AE2

*/AE=AE,O,A=O,G=OA

：.EO'=EO

若。石=5贝！JAE=1,石O'=5

AOf=276

OOf=yjAO2+AOn=2万

连接A4',有

ZAEA,=NOEO；ZAAE=ZAAE,ZEOO1=ZEOfO

ZAEA：+ZAAE+ZAAE=NOEO'+ZEOO'+ZEO'O=180°

ZAAE=ZE(JO

：.Mltoo'

・•・OO'_LEF

OH=OrH

：.OH=-OO'=sIi5

2

即o到折痕EF的距离为后

故答案为：yJ15.

O'

【点睛】本题考查轴对称、三角形、矩形与圆的综合问题，是填空题的压轴题，懂得根据题

意构造出等圆是解题的关键.

三、解答题

6.(2023••九年级专题练习)如图所示，已知。。的半径为2,弦BC的长为2⑺，点A为

弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)(参考数据…06。。=%33。。=%

tan30。=*,cot3(T=拘.

(1)求NBAC的度数；

(2)求4ABC面积的最大值.

答案：(1)60°；(2)373

分析：(1)连接BO并延长交。。于点D,连接CD,得到NDCB=90。，BD=4,再解直

角三角形即可解答.

(2)因为AABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，AABC的面积最大，此

时点A应落在优弧BC的中点处，过OELBC于点E,延长EO交O于点A,则A为优弧

BC的中点，连接AB,AC,贝l|AB=AC,由圆周角定理可求出/BAE的度数，在R3ABE

中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式

即可解答.

【详解】(1)连接BO并延长交。O于点D,连接CD.

：BD是直径，；.BD=4,ZDCB=90°.

在RtADBC中，smZBDC=-=^-=—,

BD42

.•.ZBDC=60°,.,.ZBAC=ZBDC=60°.

(2)因为AABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，AABC的面积最大，此时点

A应落在优弧BC的中点处.

过O作OELBC于点E,延长EO交OO于点A,则A为优弧BC的中点.连结AB,AC,

贝UAB=AC,ZBAE=|ZBAC=30°.

在RtAABE中，

：BE=5ZBAE=30°,

BEa

.AE=-----------------------------3

tan30°73

3

S/^c=$x2石义=3A/3.

答：△ABC面积的最大值是.

【点睛】此题考查圆周角定理，解直角三角形，解题关键在于灵活运用特殊角的三角函数值.

7.(2023・上海•九年级专题练习)如图，已知是。。的弦，半径OC、。。与A3分别交

于点E、F,S.AE=BF.求证：AC=BD-

答案:见解析

分析：取A3中点G,联结OG并延长与。。交于H,利用圆心角、弧、弦之间的关系得到

AH=BH，再根据=及垂径定理求解即可；

【详解】证明：取中点G,联结OG并延长与。。交于.

:。是圆心，且G是弦的中点，

•*-AH=BH>OHLAB,

•/AG=BG且AE=&F,

:.EG=GF.

OHLEF,OH平分EF,

：.OE=OF.

0G平分NEOF.

：.ZCOH=ZDOH.

又；0G过圆心，

；•CH=HD.

AH-CH=BH-HD,AC=BD-

【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理，准确分析证明是解题的关键.

8.（2023•上海杨浦・三模）如图，已知在。中，垂足为点。，DO的延长线与（O

相交于点C,点E在弦A3的延长线上，CE与。相交于点尸，AB=CD=8,tanC=l.

答案：（1）5；（2）|

分析：（1）连接。4,设半径为小利用垂径定理结合勾股定理即可求出厂；

（2）延长8交。于点Q,连接。尸，利用圆周角定理以及已知条件求出CE和CF的长即

可计算C三F的值.

EF

【详解】解：（1）连接。4,如图所示：

设＜。半径为广，则由题意可知：OA=OC^r,OD=CD-OC=?,-r,

又*OD1AB,垂足为点。，

AD=—xAB=—x8=4,

22

在RtAQD中，AO2=OD2+A£>2,

即,r2=(8-r)2+42,

解得：r=5,

，。的半径长为5；

(2)延长8交。于点Q,连接。尸，则NCFQ=90。，

由(1)可知CQ=10,

tanC=1,

:.ZC=45°,

：.CF=QF,

在RtZ\C4P中：QF2+CF2=CQ2,CQ=10,

CF=542>

在RtZXCDE中，NC=ZE=45°,

2

:.EF=CE-CF=8垃-5&=3夜，

.CF_5&_5

"~EF~342~3'

【点睛】本题考查圆的相关计算，涉及圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练相关

知识结合图形合理作出辅助线是解题关键.

9.(2023・上海虹口・二模)已知：如图，AB、AC是。的两条弦，AB^AC,点M、N分

别在弦A3、AC上，且AM=C7V,AM<AN,联结。A/、ON.

⑴求证：OM^ON；

(2)当—8AC为锐角时，如果AO?=AM.AC,求证：四边形AMON为等腰梯形.

答案：(1)见解析

⑵见解析

分析：(1)证明△AOM二△CON即可；

(2)由可得AwACO,可得OM=ON=AM,再证明0M〃AC即可.

(1)

,**AB>AC是。的两条弦，AB=AC,

：.ZOAB=ZOAC=ZOCA

在，AO暇和一CON中

OA=OC

<ZOAM=ZOCN

AM=CN

:•△AOMSCON(SAS)

：.OM=ON；

(2)

9.9AO2=AMAC

.AOAC

**AM-AO

ZOAB=ZOAC

：.AOMACO

：.ZAOM=ZACO

9：ZOAB=ZOAC=ZOCA

：.ZOAB=ZOAC=ZOCA=ZAOM

：.AM=MO,OM//AC

：.AM=MO=ON

・・・四边形AMON为等腰梯形.

【点睛】本题考查圆的弧弦关系、全等三角形的证明、等腰梯形、相似三角形的性质与判定,

解题的关键是由弦AB=AC得到ZOAB=ZOAC=ZOCA.

10.(2023••九年级专题练习)已知：在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=1,。是A5的中

点，以CD为直径的。。分别交5C、5A于点尸、。点E位于点。下方，连接E尸交CD于

点G.

(1)如图1,如果5。=2,求的长；

(2)如图2,设羽栗=y，求y关于x的函数关系式及其定义域；

(3)如图3,连接CE,如果CG=CE,求的长.

分析：(1)如图1中，连接CE.在R3CQE中，求出CO,CE即可解决问题.

(2)如图2中，连接CE,设AC交。。于K,连接FK,DF,DK.想办法用x表示CD,

DE,证明FK〃AB,推出票=黑，延长构建关系式即可解决问题.根据点£位于点。下

GQFQ

方，确定x的取值范围即可.

(3)如图3中，连接PK.证明ED=EC,由此构建方程即可解决问题.

【详解】(1)如图1中，连接CE.

.1.AB=712+22=5/5，

'：CD是。。的直径，

：.ZCED=90°,

：.CE±AB,

\"BD^AD,

:|-AB-CE=I-BC-AC,

:.CE=—

5

3A/5

在RtACOE中，DE^^CD--CE2=

lo-

(2)如图2中，连接CE,设AC交。。于K,连接FK,DF,DK.

图2

•/ZFCK=9Q°,

是。。的直径，

直线尸K经过点Q,

：CO是。。的直径，

/CFD=/CKD=90°,

：.DF