2023年高考数学一轮复习讲义（新高考1）：圆的方程

§8.3圆的方程

【考试要求】1.理解确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程2

能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆

标圆心cm,协

(x—d)2+(y—Z?)2=/(7>0)

准半径为二

方

程圆心《一'-f)

x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2~4F>0)

般半径r=^D2+E2-4F

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(xo，yo)与圆C：(x—6)2=户之间存在着下列关系：

(1)\MC\>r^M在圆处，即(比一a)2+3)—心产0M在圆外；

⑵\MC\=r^M在圆上，即(xo—a)2+Go—加2=户0M在圆上；

(3)IMCKrOAf在圆内,即(xo—aT+Go—by〈产0M在圆内.

【常用结论】

1.以A(X1,yi),B(X2,>2)为直径端点的圆的方程为(X—XI)(X—X2)+(y—yi)(y—>2)=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(V)

(2)圆炉+>2=°2的半径为X)

(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=CW0,B=0,D2+E^~

4AF>0.(V)

(4)若点M(x(),yo)在圆尤2+产+瓜+小+歹=0夕卜，则%+弱+£)M)+£涧+尸>0.(J)

【教材改编题】

1.圆/+y2—4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是()

A.(2,3),3B.(—2,3),事

C.(-2,-3),13D.(2,-3),A/13

答案D

解析圆的方程可化为(x—2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径r=回.

2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(x-l)2+Cv-l)2=lB.(x+l)2+(y+l)2=l

C.(x+1)2+。+1)2=2D.(无一1)2+。-1)2=2

答案D

解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径厂=护方=正，则该圆的方程为(X—1)2

+(y-1)2=2.

3.若坐标原点在圆(X—m)2+。+,")2=4的内部，则实数机的取值范围为.

答案(一仙，也)

解析,原点(0,0)在圆(x—m)2+(y+m)2=4的内部，

(0—m)2+(0+m)2<4,

解得—y/2<m<\/2.

■探究核心题型

题型一圆的方程

例1(1)(2022•深圳模拟)已知圆M与直线3x-4y=0及3x—4y+10=0都相切，圆心在直线

y=-X—4上，则圆M的方程为()

A.(x+3)2+ty—1)2=1B.(X—3)2+8+1)2=1

C.(x+3)2+(j+l)2=lD.(x-3)2+Cv-l)2=l

答案C

解析到两直线3x—4y=0,3x—4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,

3x—4y+5=0,

联立,

j=—%—4,

x=~3,

解得，

y=-i-

又两平行线间的距离为2,所以圆M的半径为1,从而圆M的方程为(X+3)2+G+1)2=L

(2)已知圆的圆心在直线x—2y—3=0上，且过点4(2,-3),3(—2,—5),则圆的一般方程

为.

答案N+W+2x+4y—5=0

解析方法一设所求圆的标准方程为

(x—a)2+-6)2=/，

(2—a)2+(—3—Z?)2=r2,

由题意得＜(—2—4)2+(—5—Z7)2=/,

a—2b—3—0,

Q=1,

解得(匕=—2,

、产=10,

故所求圆的方程为a+l)2+(y+2)2=10,

即x2+j2+2x+4y—5=0.

方法二线段AB的垂直平分线方程为2x+y+4=0,

12x+y+4=0,

联立

[x—2y—3=0,

得交点坐标0(—1,-2),

又点O到点A的距离d=y[Td,

所以圆的方程为。+1)2+。+2)2=10,

即x1+y2+2x+4y~5=0.

【教师备选】

1.已知圆E经过三点4。,1)，8(2,0),C(0,-1),则圆石的标准方程为()

AQ—IA户卷B(X+£)2+户得

c(x-|〉+y2卷D.(x—D+尸日

答案C

解析方法一(待定系数法)

设圆E的一般方程为x2+j2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

C3

1+E+F=Q,D=--,

则由题意得(4+2。+/=0,解得《尸=n

匕U,

ll-£+F=0,二__1

3

所以圆E的一般方程为炉+V—京—1=0,

即Q一5+户得

方法二(几何法)

因为圆E经过点A(0』)，5(2,0),所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y—；=2(x—1)上.

由题意知圆E的圆心在x轴上,

所以圆£的圆心坐标为C，0).

则圆E的半径为

\EB\=寸(2-今2+(0_0)2=*

所以圆£的标准方程为G—3十尸磊

2.在平面直角坐标系O”中，以点(0,1)为圆心且与直线无一力+26+1=0相切的所有圆中,

半径最大的圆的标准方程为()

A.x2+(y—1)2=4B.N+。一］尸2

C.炉+⑪一1尸=8D.N+3-1)2=16

答案B

解析由直线无一处+26+1=0可得该直线过定点A(—l,2),设圆心为8(0,1),由题意可知要

使所求圆的半径最大，则rmax=|AB|={(—1—0)2+(2_1)2=让,所以半径最大的圆的标准方

程为x2+(y—1)2=2.

思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

⑵待定系数法

①若已知条件与圆心(a,6)和半径厂有关，则设圆的标准方程，求出a,b,厂的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出O,E,F的值.

跟踪训练1(1)圆心在y轴上，半径长为1,且过点A(l,2)的圆的方程是()

A.炉+⑪一2)2=1B.x2+(j+2)2=l

C.(x-l)2+(y-3)2=lD.N+&-3尸=4

答案A

解析根据题意可设圆的方程为f+(y—力2=1,因为圆过点A(l,2),所以八十(2—力2=1,

解得b=2,所以所求圆的方程为/+(y—2)2=1.

(2)(2022.长春模拟)若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x—3y=0和x轴都相切,

则该圆的标准方程是()

A.(x-3)2+(y-l)2=lB.(x—2)2+@—])2=1

C.(x+2)2+。―1)2=1D.(X—2)2+0+1)2=1

答案B

解析设圆心坐标为(a,6)(a>0,6>0),

14〃—3b\

由圆与直线4x—3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=5=r=l,

化简得|4a—36|=5,①

又圆与无轴相切，可得|b|=r=l,解得。=1或6=—1(舍去),

把b=l代入①得4a—3=5或4a—3=-5,

解得a=2或a=一；(舍去)，

所以圆心坐标为(2,1),

则圆的标准方程为(x—2)2+(y—1)2=1.

题型二与圆有关的轨迹问题

例2已知RtZkABC的斜边为且A(—1,0),8(3,0).求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

解(1)方法一设C(x,y),因为A,B,C三点不共线，所以yWO.

因为AC_LBC,且BC,AC斜率均存在，

所以kAC，kBC=-l，

又,kBC=

所以我•言=f

化简得x2+y2—2%—3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为好+y一2%—?：。。¥。).

方法二设AB的中点为。，由中点坐标公式得。(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=^4B|

=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以。(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C三点不共

线，所以应除去与无轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为(x—l)2+y2=4GW0).

(2)设M(x,y),C(x0,加)，因为B(3,0),M是线段BC的中点，由中点坐标公式得尤=也『

州+0

产M

所以xo=2x—3,yo=2y.

由(1)知，点C的轨迹方程为(x—1)2+丁2=4。#0),

将xo=2x—3,yo=2y代入得(2x—4)2+(2y)2=4,

即(x—2)2+y2=1(yW0).

因此动点M的轨迹方程为(x—2)2+y2=i(y#0).

【教师备选】

已知圆/+产=4上一定点A(2,0),8(1,1)为圆内一点，P,。为圆上的动点.

(1)求线段A尸中点的轨迹方程；

(2)若/P8Q=90。，求线段PQ中点的轨迹方程.

解(1)设A尸的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知点尸坐标为(2x—2,2y).

因为点尸在圆x2+y2=4上，

所以(2尤-2)2+(2y)2=4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x—1)2+产=1.

(2)设PQ的中点为N(x,y).

在RtAPBQ中,|PN|=|BN|.

设0为坐标原点，连接ON(图略)，

贝ION±PQ,

所以|。尸|2=|0即十|尸川2

=|ON|2+IW，

所以x2+j2+(x—l)2+(y-1)2=4.

故线段尸0中点的轨迹方程为

x2-t-y2-x-y-l=0.

思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

⑴直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.

(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

跟踪训练2(1)当点P在圆/+*=1上运动时，连接它与定点。(3,0),则线段PQ的中点M

的轨迹方程是()

A.(x+3)2+j2=lB.(x—3)2+)^=1

C.(2x-3)2+4/=lD.(2x+3)2+4y2=l

答案C

解析设M(x,y),P(x0,y0),因为PQ的中点为M,

(xo+3

I■=2

所以

Vo+0

\xo=2x—3,

所以—c

(yo—2y,

又因为尸在圆xz+y2=l上，

所以(2x—3)2+4产=1,

所以M的轨迹方程即为(2彳-3)2+4产=1.

(2)自圆C：(x—3)2+。+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q,尸。的长度等

于点P到原点。的距离，则点尸的轨迹方程为()

A.8x—6y—21=0B.8x+6j—21=0

C.6x+8y—21=0D.6x—8y—21=0

答案D

解析由题意得，圆心C的坐标为(3,-4),半径厂=2,连接尸C,CQ(图略)，

因为|尸。|=|尸。|,S.PQLCQ,

所以IPOF+产=|pq2,

所以x2+j2+4=(x—3)2+(J+4)2,

即6x—8y—21=0,

所以点P的轨迹方程为6x-8y—21=0.

题型三与圆有关的最值问题

命题点1利用几何性质求最值

例3已知M(x,y)为圆C：N+y2—4x—i4y+45=0上任意一点，且点。(-2,3).

(1)求眼。|的最大值和最小值；

(2)求的最大值和最小值；

x+2

(3)求y—x的最大值和最小值.

解⑴由圆C：/+产-4尤一14、+45=0,

可得(x—2)2+(j—7)2=8,

：.圆心。的坐标为(2,7),半径厂=2吊1

又|QC|=、(2+2)2+(7—3尸4

；•|MQmax=4媳+2吸=班，

IMQImin=4^2—2"\/2=2^2.

(2)可知泞表示直线MQ的斜率k.

设直线MQ的方程为y-3=k{x+2),

即kx—y+2Z+3=0.

:直线MQ与圆C有交点，

.|217+2%+3|r-

-户中,

可得2—小WkW2+小,

二冷的最大值为2+小，最小值为2—5.

(3)设y—x=b,则x—y+b=0.

当直线y=x+b与圆C相切时，截距。取到最值，；」2「7+.2陋,

.,.b=9或b=l.

x的最大值为9,最小值为1.

命题点2利用函数求最值

例4(2022・湘潭质检)设点P(x,y)是圆N+。―3)2=1上的动点，定点4(2,0),8(—2,0).则

丽•丽的最大值为.

答案12

解析由题意，得B4=(2—x,—y),

PB=(—2—x,—y),

所以R17B=x2+y2—4,

由于点尸(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程/+(>-3)2=1,

故x2=—(y—3)2+1,

所以启.译=-(y-3)2+l+y2-4

=6y-12.

易知2WyW4,所以当y=4时，丽・丽的值最大，最大值为6义4-12=12.

延伸探究若将本题改为“设点尸(龙，y)是圆(x—3)2+产=4上的动点，定点A(0,2),8(0,

-2)”，则|丽+两的最大值为.

答案10

解析由题意，知24=(—x,2—y),

PB=(—x,—2—y),

所以R1+PB=(—lx,—2y),

由于点尸(x,y)是圆上的点，

故其坐标满足方程(x—3)2+*=4,

故产=一(x—3>+4,

所以|读+而|=^/4x2+4y2=2^/6x-5.

由圆的方程仪-3)2+产=4,易知lWx<5,

所以当尤=5时，|滴十两|的值最大，最大值为2^6X5—5=10.

【教师备选】

1.已知圆C：(x—3)2+(y—4)2=1和两点A(—m,0),B(m,0)(加>0).若圆C上存在点P,

使得NAP3=90。，则机的最大值为()

A.7B.6C.5D.4

答案B

解析,?在RtAAPB中，原点。为斜边中点，

\AB\=2m(m>0),

，|OC|—rW%=|OP|W|OC|+r,

又C(3,4),r=1,

，4W|OP|W6,即4WAWW6.

2.若点尸为圆N+V=l上的一个动点，A(—1,O),8(1,0)为两个定点，则陷+IPBI的最大值

为()

A.2B.2^2C.4^2D.4

答案B

解析由已知得线段为圆的直径.

所以|网2+|即2=4,

由基本不等式得

(|网+阿|)《陷2+|尸3|22

所以照I+IPBIW2表，

当且仅当|以|=尸8|=也时，等号成立.

思维升华与圆有关的最值问题的求解方法

(1)借助几何性质求最值：形如t=ax+by,(尤一a)2+(y—6)2形式的最值问题.

(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选

用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.

(3)求解形如1PM+|PN|(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：

①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和

转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

跟踪训练3(1)已知A(—2,0),8(2,0),点尸是圆C：(x—3)2+。一巾>=1上的动点，贝lj|AP|2

十逐尸F的最小值为()

A.9B.14C.16D.26

答案D

解析设O为坐标原点，P(x,y),

则\AP\2+IBP/=(无+2)2+*+(X-2y+/

=2(/+y2)+8=2|尸。|2+8.

圆C的圆心为C(3,巾),半径为r=l,OC=4,

所以1Poi2的最小值为(OC—r)2=(4-l)2=9,

所以以尸|2十|8尸|2的最小值为26.

(2)已知X,＞满足炉+了2—4x—2y—4=0,则:的最大值为()

A.2B.fC.fD呼

答案B

解析由x2+y2—4x—2y—4=0

得(x_2)2+gl)2=9.

2x+3y+3厂1

f-=2+3X=2+3%外,

x+3

其中A(—3,1)为定点，点/(%,y)为圆上一点.

设过定点A的直线/：y—l=-x+3)与圆相切,

则⑺的加=3,

3

解得左=9，

33

所以一^忘如忘不

所以好詈的最大值为2+3号="

课时精练

4s础保分练

1.圆尤2+,2+4x—6y—3=0的圆心坐标和半径分别为()

A.(4,-6),16B.(2,-3),4

C.(—2,3),4D.(2,-3),16

答案C

解析将圆的一般方程化为标准方程得(x+2)2+(j—3)2=16,则圆心坐标为(一2,3),半径为

4.

2.圆(X—1)2+。一2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为()

A.(x-2)2+(y~])2=lB.(x+l)2+(y-2)2=l

C.(x+2)2+(y~l)2=lD.(x-l)2+(y+2)2=l

答案A

解析已知圆的圆心C(l,2)关于直线y=x对称的点为C'(2,1),所以圆(x—l)2+(y—2)2=1

关于直线y=x对称的圆的方程为(x—2)2+。-1)2=1.

3.已知圆C的半径为2,圆心在x轴正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的

方程为()

A.N+y2—2%—3=0B.x2+y2+4x=0

222

C.x+/+2r-3=0D.x+y-4x=0

答案D

|3a+4|3a+4

解析设圆心为(a,0)(a>0),由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=

<32+42—5

=r=2,解得。=2,所以圆心坐标为(2,0),则圆C的方程为(尤-2)2+产=4,化简得x2+^

-4x=0,故选D.

4.点P(4,—2)与圆N+V=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()

A.(x-2)2+(y+l)2=lB.(x—2)2+G+1)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+Cv-1)2=1

答案A

解析设圆上任一点为Q(xo,州)，PQ的中点为Mx,y),

4+xp

x=2

则

—2+yo

pvo=2x—4,

解得卜)=2y+2.

因为点。在圆x2+y2=4上，

所以舟+吩=4,

即(2x—4)2+(2y+2)2=4,

化简得(x—2)2+。+1)2=1.

5.(多选)已知AABC的三个顶点为A(T,2),B(2,l),C(3,4),则下列关于△ABC的外接圆圆

M的说法正确的是()

A.圆M的圆心坐标为(1,3)

B.圆M的半径为小

C.圆M关于直线x+y=0对称

D.点(2,3)在圆M内

答案ABD

解析设△ABC的外接圆圆M的方程为N+y2+Dx+Ey+F=0,

'1+4—O+2石+/=0,D——2,

则<|4+1+2。+E+/=0,解得『-6,

、9+16+3。+4石+尸=0,1=5.

所以△ABC的外接圆圆M的方程为N十炉―2%—6y+5=0,即a-1)2+&-3)2=5.故圆M的

圆心坐标为(1,3),圆M的半径为小，因为直线x+y=O不经过圆M的圆心(1,3),所以圆M

不关于直线x+y=O对称.因为(2—1尸+(3—3)2=1<5,故点(2,3)在圆M内.

6.(多选)设有一组圆Ci：(x—左)2+。-k)2=4(kCR),下列命题正确的是()

A.不论上如何变化，圆心C始终在一条直线上

B.所有圆G均不经过点(3,0)

C.经过点(2,2)的圆G有且只有一个

D.所有圆的面积均为47r

答案ABD

解析圆心坐标为(hk),在直线y=x上，

A正确；

令(3—k)2+(0—幻2=4,

化简得2产-6左+5=0,

7/1=36-40=-4<0,

...2R—6左+5=0无实数根，

/.B正确；

由(2—左)2+(2—%)2=4,

化简得％2—4左+2=0,

VJ=16-8=8>0,有两个不相等实根，

经过点(2,2)的圆或有两个，C错误；

由圆的半径为2,得圆的面积为4兀，D正确.

7.已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点4-1,1),8(1,3),若黄)在圆C内，则

的取值范围为.

答案(0,4)

解析设圆心为C(a,0),由|CA|=|CB|,

得(a+1尸+12=伍-1)2+32,解得a=2.

半径r=|CA|=^/(2+l)2+l2=V10.

故圆C的方程为(*-2)2+V=10.

由题意知(，"-2)2+(A/6)2<10,解得0<m<4.

8.已知A(0,2),点尸在直线尤+y+2=0上，点。在圆C：x2+/-4.r-2y=0±,则|E4|十|PQ|

的最小值是.

答案2小

解析因为圆C：N+y2—4x—2y=0,

故圆C是以C(2,l)为圆心，半径厂=小的圆.

设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m,ri),

(m+0n+2

I2+2卜2=0,

故

n~2

Lm—0］，

故A'(—4,-2).

连接A'。交圆。于Q(图略)，由对称性可知

\PA\+\PQ\=\AfP\+\PQ\^\ArQ\

=\A'C\-r=2yl5.

9.已知圆心为C的圆经过点4—1,1)和2(—2,-2),且圆心在直线/：尤+厂1=0上.

(1)求圆心为C的圆的标准方程；

⑵设点尸在圆C上，点Q在直线X—>+5=0上，求|尸。|的最小值.

解(1)设圆的标准方程为

(x—a>+-6)2=/(厂>0),

•••圆经过点4(—1,1)和8(—2,-2),

且圆心在直线/：x~\-y—1=0Ji,

卜_]_02+(—)2=凡

二彳(_2—a)2+(—2—6)2=凡

la+Z?—1=0,

解得a=3,b=—2,r=5,

...圆的标准方程为(x—3)2+0+2)2=25.

(2):.圆心C到直线x—y+5=0的距离为

,|3+2+5|1-

d==5y12>5,

.•.直线与圆C相离，

，|尸。|的最小值为d~r=5y[2-5.

10.已知点A(—3,0),8(3,0),动点尸满足人|=2|尸母

⑴若点尸的轨迹为曲线C,求此曲线的方程；

⑵若点。在直线Z1：x+y+3=0上，直线72经过点。且与曲线C只有一个公共点求IQM

的最小值.

解(1)设点P的坐标为(x,y),

则K(尤+3y+y2=2^/(x-3)2+y2,

化简可得(x—5)2+产=16,此方程即为所求.

(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.

由题意知直线/2是此圆的切线,

连接CQ,

贝KlCQFTCMFKICQFT6,

当IQM最小时,ICQI最小,此时CQL/1,

\CQ\=L|5^+3A|=4^l,

则\QM\的最小值为732—16=4.

或技能提升练

11.点A为圆(X—1)2+*=1上的动点，B4是圆的切线，|以|=1,则点尸的轨迹方程是()

A.(X—l)2+y2=4B.(x—l)2+y2=2

C.y2=2xD.y2=~2x

答案B

解析V|B4|=1,

...点尸和圆心的距离恒为也，

又圆心坐标为(1,0),设P(x,y),

..•由两点间的距离公式，得(x—l)2+y2=2.

12.等边△ABC的面积为973,且△ABC的内心为M,若平面内的点N满足“M=l,则丽.标

的最小值为()

A.一5-2仍B.-5一4小

C.—6-2小D.-6—4^/3

答案A

解析设等边△A2C的边长为“，

则面积5=坐/=”［，

解得。=6.

以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

由M为△ABC的内心，则M在OC上，AOM=^OC,

则A(—3,0),8(3,0),C(0,3小)，M(0,®

由|MW=1,则点N在以M为圆心，1为半径的圆上.

设N(x,y),则无2+(y—5)2=1,

即N+y2—2小y+2=0,

且方—1WyW1+小，

又病=(-3—x,—y),NB=(3-x,—y),

所以两.标=(x+3)(x—3)+产

=j?+y2—9=2-\/3y-11

》2小乂他一1)-11=-5一2小.

13.(多选)已知圆C过点M(l,—2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()

A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上

B.满足条件的圆C有且只有一个

C.点(2,—1)在满足条件的圆C上

D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4娘

答案ACD

解析因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(l,-2),所以设圆心坐标为(a,-a)(«>0),

故圆心在直线y=—x上，A正确；圆C的方程为(x—0)2+。+02=层，把点M的坐标代入

可得/-6a+5=0,解得。=1或a=5,则圆心坐标为(1,一1)或(5,—5),所以满足条件的

圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x—l)2+