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文档简介
2021-2022学年重庆市大足区九年级(上)期末
数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代
号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案
所对应的方框涂黑.
1.方程尤(x+5)=x的根是()
A.-5B.xi--5,X2~~O
C.xi=-4,x2=0D.xi=-6,X2=O
2.若方程/+5x-4=0的两根为XI和X2,则X1+X2-X1X2的值为()
A.-1B.1C.-9D.9
3.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如%(x+3)=10的方程的正数解,方法为:
如图,将四个长为x+3,宽为1的长方形纸片(面积均为10)拼成一个大正方形,于是
大正方形的面积为10X4+9=49,边长为7,故得x(x+3)=10的正数解为尤=」W=2.小
2
智按此方法解关于尤的方程W+HU-〃=0时,构造出类似的图形.已知大正方形的面积
为40,小正方形的面积为16,则相和”的值分别是()
且当-2时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是()
A.a>-2B.a<4C.-2Wa<4D.-2<aW4
5.抛物线y[x2-4与X轴交于A,B两点,。是以C(0,3)为圆心,2为半径的OC上
一动点,E为中点,则线段OE的长可能为(
6.已知抛物线y=a/+6x+c(aWO,a>b')的对称轴为直线x=-2.若当x=a时,y<c,
则a的取值范围是()
A.a<-4B.-4<a<0C.a>0D.。<-4或。>0
7.如图,把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度。得到AA'B'C,ZA=40°,ZB'DC
=70°,则旋转角0度数为()
A.70°B.55°C.40°D.30°
8.如图,绕点C逆时针旋转60°得到△DEC(点A与点。是对应点,点B与点E
是对应点),点。是A8中点,与8c相交于点尸,BF=y[3,则EE的长为()
9.如图,点A、B、C在。。上,ZACB=30°,则NAOB的度数是()
C.60°D.65
10.如图,直线A3、CD相交于点。,ZAOD^30°,半径为2c机的。尸的圆心在直线AB
上,且位于点O左侧的距离10c机处.如果OP以2cm/s的速度沿由A向8的方向移动,
那么()秒钟后OP与直线相切.
A.3B.7C.3或7D.6或14
11.不透明的袋子中有三个小球,上面分别写着数字“1”,“2”,“3",除数字外三个小球无
其他差别.从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小
球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为4的概率是()
A.AB.Ac.AD.2
4323
12.张老师有两双完全一样的皮鞋,混在一起后,随手拿两只正好配成一双穿在脚上的概率
为()
4金
A.AB.Ac.2D.都不对
233
二、填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分)
13.已知方程尤2+云+4=0的一个根是1,则它的另一根是.
14.已知抛物线y=/+6尤-3,下列说法:①抛物线与x轴必有两个交点;②若抛物线经过
(5-m,1),(5+力,1)两点,则6=-10;③若抛物线与无轴两个交点的距离大于4,
则b<-2;④若抛物线经过位于对称轴两侧的(-3,yi),(1,”)两点,且yi<y2,
则2Vb<6.其中一定正确的结论有(填写序号即可).
15.如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点8的坐标为(4,0),连接A8,将4
ABO绕着点B顺时针旋转60°得到△DBC,则点C的坐标是.
16.如图,。。的半径为6c7九,AB是。。弦,以点A为圆心,A8为半径画弧,交于点
C,若4BOC=120°,则阴影部分的面积为.
A
三、解答题:(本大题2个小题,每小题8分,共16分)解答时每小题必须给出必要的演
算过程或推理步骤,请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17.城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路,是国家高速G69银百高速公路(银
川至百色)的一段,线路全长129.3公里,甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工
程,隧道总长2100米,甲、乙分别从隧道两端向中间施工,计划每天各施工6米.因地
质结构不同,两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样.甲每合格完成1米隧
道施工成本为8万元;乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元.
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的3,求甲最多施工多少米?
2
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂,甲乙两队每日完成量和成本都发生变化.甲
每合格完成1米隧道施工成本增加机万元时,则每天可多挖四米,乙在施工成本不变的
2
情况下,比计划每天少挖旦米,若最终每天实际总成本比计划多(9/77-2)万元,求m
3
的值.
18.已知关于x的一元二次方程/+(2A+1)x+M+l=O有两个不等实数根xi,X2.
(1)求女的取值范围;
(2)若X1+X2+2X1X2=1,求人的值.
四、解答题:(本大题7个小题,每个小题10分,共70分)解答时每小题必须给出必要的
演算过程或推理步骤,请将解答过程书写在对应的位置上.
19.如图1,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地
草坪喷水的平面示意图,喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米,当喷射
出的水流与喷涨架的水平距离为10米时,达到最大高度6米,现将喷灌架置于坡地底部
点。处,草坡上距离。的水平距离为15米处有•棵高度为1.2米的小树AB,A3垂直水
平地面且A点到水平地面的距离为3米.
图1
(1)计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响?
(2)求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值.
20.石家庄某运动馆使用羽毛球发球机进行辅助训练,假设发球机每次发球的运动路线是抛
物线,如图所示.在第一次发球时,球与发球机的水平距离为无(米)(x》0),与地面的
米;求y与x的函数解析式;
(2)当球拍触球时,球与发球机的水平距离为3米,求此时球与地面的高度;
(3)发球机在地面的位置不动,调整发球口后,在第二次发球时,y与尤(x>0)之间满
足函数关系y=-LX24X+3.
992
①为确保球拍在(2)中高度还能接到球,求球拍的接球位置应前进多少米;
②通过计算判断第一、二次发球中,当两球与发球机的水平距离相同时,两球的高度差
能否超过1米.
21.如图,已知△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△&£>£,连接
BD,CE交于点E
(1)求证:△AEC之△AOB;
(2)若AB=2,ZBAC=45°,当四边形ADFC是平行四边形时,求线段EC的长.
22.如图:在平面直角坐标系中,网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度,已知△
ABC.
(1)作出△ABC以。为旋转中心,顺时针旋转90°的△ALBICI(只画出图形).
(2)作出AABC关于原点。成中心对称的△AzB2c2(只画出图形).
(3)请在y轴上找一点尸,使尸Bi+PCi的值最小,并直接写出点P的坐标.
23.如图,是O。的直径,BC与。。相切于点3,是。。的弦,AD//OC,延长C。、
54相交于点£.
(1)求证CE是。。的切线;
(2)若A恰好是OE的中点,AD=3,则阴影部分的面积为
24.唐代李皋发明了桨轮船,这种船是原始形态的轮船,是近代明轮航行模式之先导,如图,
某桨轮船的轮子被水面截得的弦A8长为6切,轮子的吃水深度。为L5祖,求该桨轮船
的轮子直径.
25.嘉嘉同学去文具店购买笔记本,购买情况如表所示:
单价/元468
数量/个112
(1)求出所购买笔记本的平均价格;
(2)若嘉嘉已拿出一个4元笔记本后,准备从剩余3个笔记本中随机再拿出一个本.
①所剩的3个笔记本价格的中位数与原来4个笔记本价格的中位数是否相同?并说明理
由;
②在剩余的3个笔记本中,若嘉嘉同学先随机拿出一个笔记本后不放回,之后又随机拿
一个笔记本,用列表法(如表)求嘉嘉两次都拿到相同价格的笔记本的概率.
后拿
先拿
参考答案与试题解析
1.方程X(x+5)=%的根是()
A.%=-5B.xi=-5,X2=O
C.xi=-4,X2=OD.xi=-6,X2=O
【解答】解:X(x+5)=x,
x(x+5)-x=0,
x(x+5-1)=0,
.*.x=0,x+5-1=0,
.*.xi=-4,X2=O.
故选:C.
2.若方程X2+5x-4=0的两根为XI和I2,则X1+X2-%1%2的值为()
A.-1B.1C.-9D.9
【解答】解:•・•方程W+5x-4=0的两根为xi和12,
・・Xl+%2=-5,X1X2^-4,
.*.X1+X2-X1X2
=-5-(-4)
=-1,
故选:A.
3.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x(x+3)=10的方程的正数解,方法为:
如图,将四个长为x+3,宽为龙的长方形纸片(面积均为10)拼成一个大正方形,于是
大正方形的面积为10X4+9=49,边长为7,故得x(x+3)=10的正数解为尤=』W=2.小
2
智按此方法解关于尤的方程f+mx-n=0时,构造出类似的图形.已知大正方形的面积
为40,小正方形的面积为16,则相和〃的值分别是()
A.m=6,〃=4B.m=10,n=V40C.m=4,〃=6D.m=V40.n=10
【解答】解:把方程d+mx-iL。变形得到尤(尤+MI)—n,
如图,将四个长为X+H7,宽为x的长方形纸片(面积均为“)拼成一个大正方形,于是大
正方形的面积为40=4〃+16,解得〃=6,小正方形边长为W1=4=x+m-x=ir,故得尤(尤+加)
=”的正数解为x。星坦,
x2
即〃=6,m=4,
故选:C.
4.已知二次函数y=(x-tz-1)(x-fl+1)-2a+9(〃是常数)的图象与x轴没有公共点,
且当xV-2时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是()
A.a>-2B.QV4C.-2Wa<4D.-2<a^4
【解答】解:y=(%-〃-1)(%-q+l)-2a+9
=/-2OX+〃2-2。+8,
・・,图象与x轴没有公共点,
・•・△=(-2a)2-4(〃2一2〃+8)<0
解得〃<4;
・・,抛物线的对称轴为直线x=-二耳=〃,抛物线开口向上,且当%〈-2时,y随x的增
2
大而减小,
-2,
・•・实数a的取值范围是-2W〃V4.
故选:C.
5.抛物线y[x2-4与X轴交于A,8两点,。是以C(o,3)为圆心,2为半径的OC上
一动点,E为中点,则线段OE的长可能为()
A.1B.2.5C.4D.5
【解答】解:连接AC、CD,取AC的中点凡连接£/、OF,如图,
当y=0时,_4=0,解得xi=-4,皿=4,
4
(-4,0),B(4,0),
VC(0,3),
AC=442+32=5,
点为AC的中点,E为的中点,
/.OF=1-AC=^-,£F=AC£)=1,
222
:。尸-(当且仅当E、F、。共线时取等号),
1W0EW1+2
22
即1.5WOEW3.5.
故选:B.
6.已知抛物线y=ox2+bx+c(“WO,a>b)的对称轴为直线尤=-2.若当x=a时,y<c,
则a的取值范围是()
A.a<-4B.-4<a<0C.a>0D.-4或〃>0
【解答】解:•.•抛物线>=以2+a+。(a#0,a>b)的对称轴为直线彳=-2,
--b=_2
2?~
••b~~4〃.
•.•当x=q时,y<c,
'•a*a+ab+c<.c.
/.d!*d!2+4«2<0.
a2(〃+4)<0.
.\a<-4.
故选:A.
7.如图,把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度9得到AA'B'CfZA=40°,DC
【解答】解:由旋转的性质可知,NA'=ZA=40°,Q=ZACA',
:.Q=ZACA'=ZB'DC-ZA'=30°,
故选:D.
8.如图,△ABC绕点。逆时针旋转60。得到(点A与点。是对应点,点B与点E
是对应点),点。是A5中点,DE与5C相交于点尸,BF=M,则EF的长为()
【解答】解:・.・△ABC绕点。逆时针旋转60°得到△DEC,
ZACD=60°,AC=DC,
・・・△ACO为等边三角形,则AC=AZ)=C。,ZADC=60°,
•・•点。是A5中点,
:.AD=BDf
:.AC=AD=CD=BDf
ZB=ZDCB=yZADC=30°,
9:ZCDF=ZA=60°,
:.ZBDF=120°-60°-60°=60°,
在△3。/中,ZBFD=180°-ZB-ZBDF=9Q°,
•*-BD=BIL=—零°=2,
cosBcos30
:.DE=AB=2BD=4,
:・BD=2,
22
・•・DF=VBD-BF=74^3=b
;・EF=DE-DF=4-1=3,
故选:A.
9.如图,点A、B、C在。。上,ZACB=30°,则NAOB的度数是()
A.30°B.40°C.60°D.65°
【解答】解:,.•/AOB=2NAC8,ZACB=30",
AZAOB=60°,
故选:C.
10.如图,直线A3、C£>相交于点。,ZAO£>=30°,半径为2c机的O尸的圆心在直线A2
上,且位于点0左侧的距离10a”处.如果OP以2cmis的速度沿由A向2的方向移动,
那么()秒钟后OP与直线。相切.
C.3或7D.6或14
【解答】解:①由题意可知CD与OP相切于点E,
:.P\ELCD,
:OP半径为2c7”,
'.P\E=2cm,
VZAOD=30°,P\ELCD,
.,.PlO=4cm,
;.尸为=尸0-PiO=10-4=6(cm),
;,=3秒.
②当圆心P在直线C£>的右侧时,PP2=PO+P1O=10+4=14(cm),
则需要运动的时间为7秒.
综上所述,OP与直线。相切时经过的时间为3或7秒钟,
故选:C.
11.不透明的袋子中有三个小球,上面分别写着数字“1”,“2”,“3",除数字外三个小球无
其他差别.从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小
球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为4的概率是()
A.AB.Ac.AD.Z
4323
【解答】解:画树状图如下:
开始
第一次123
第二次123123123
和234345456
由树状图知,共有9种等可能结果,其中两次摸出的小球所标数字之和为4的有3种结
果,
所以两次记录的数字之和为4的概率是旦=」,
93
故选:B.
12.张老师有两双完全一样的皮鞋,混在一起后,随手拿两只正好配成一双穿在脚上的概率
为()
A.AB.Ac.2D.都不对
233
【解答】解:画树状图如下:
共有12种等可能的结果,其中张老师随手拿两只正好配成一双穿在脚上的结果有8种,
.••张老师随手拿两只正好配成一双穿在脚上的概率方-=2,
123
故选:C.
13.已知方程/+云+4=0的一个根是1,则它的另一根是
【解答】解:设另一根为根,根据根与系数的关系可得:相Xl=4,
,机=4,
・••方程/+人工+4=0的另一个根是4.
故答案为:4.
14.已知抛物线y=/+b尤-3,下列说法:①抛物线与x轴必有两个交点;②若抛物线经过
(5-«7,1),(5+7”,1)两点,则b=-10;③若抛物线与无轴两个交点的距离大于4,
贝Ub<-2;④若抛物线经过位于对称轴两侧的(-3,yi),(1,”)两点,且yi<”,
则2Vb<6.其中一定正确的结论有①②(填写序号即可).
【解答】解:由题意,*/A=庐+12,
又庐》0,
A212>0.
...抛物线与x轴必有两个交点,故①正确.
:抛物线经过(5-m,1),(5+加,1)两点,
抛物线的对称轴是直线x=5-m+5~Hn=5.
2
-电=5.
2
:・b=-10,故②正确.
Vxi+X2=-b,X1*X2=-3,
二抛物线与x轴两个父点的距曷为|xi-x2\=yl(Xj+x2)2_4X|X2=Vb2+12,
由题意,,匕2+12>%
,b>2或6<-2,故③错误.
由题意,对称轴是直线x=-土,
2
又对于(-3,"),(1,”)两点,都有yi<”,且抛物线开口向上,
.\|-3+A|<|l+A|.
22
2
:.2<b<6,故④正确.
故答案为:①②③.
15.如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点2的坐标为(4,0),连接A3,将4
A8O绕着点B顺时针旋转60°得到△O8C,则点C的坐标是(2,人用)_.
【解答】解:过点C作x轴的垂线,垂足为
08=4.
由旋转可知,
BC=OB=4,ZOBC=60°.
在RtZ^CBM中,
sin/C2M="
CB
则更正,
42
:.CM=2/3-
•••BM=742-(2V3)2=2,
则0M=4-2=2,
.•.点C的坐标为(2,
故答案为:(2,2V§)•
16.如图,的半径为6c7九,4B是。。弦,以点A为圆心,为半径画弧,交。。于点
C,若N3OC=120。,则阴影部分的面积为18mm.
【解答】解:连接BC,过点。作OOLBC于点
•/BOC=120°,
•ZBAC=yZBOC=60°,ZBOD=yZBOC=60°,
.△ABC是等边三角形,
.AB=BC^AC,
./O8D=30°,
*QO的半径为6cm,
•0D比B=3,
•BD=VOB2-OD2=Ve2-32=3^3'
•BC=2BD=6V3«
••・阴影部分的面积为蚓UJ^lli=18TT(cm2),
360
故答案为:18TR7〃2.
17.城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路,是国家高速G69银百高速公路(银
川至百色)的一段,线路全长129.3公里,甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工
程,隧道总长2100米,甲、乙分别从隧道两端向中间施工,计划每天各施工6米.因地
质结构不同,两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样.甲每合格完成1米隧
道施工成本为8万元;乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元.
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的3,求甲最多施工多少米?
2
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂,甲乙两队每日完成量和成本都发生变化.甲
每合格完成1米隧道施工成本增加“万元时,则每天可多挖旦米,乙在施工成本不变的
2
情况下,比计划每天少挖码米,若最终每天实际总成本比计划多(9m-2)万元,求m
3
的值.
【解答】解:(1)设甲施工尤米,则乙施工(2100-尤)米,
由题意得:9(2100-x)^8xX
解得:尤W900,
答:甲最多施工900米;
(2)由题意得:(8+m)(6+码)+9(6-处)=6X(8+9)+9m-2,
23
整理得:m2-4m+4—0»
解得:mi=m2=2,
答:小的值为2.
18.已知关于次的一元二次方程/+(2Z+1)x+M+l=0有两个不等实数根xi,12.
(1)求女的取值范围;
(2)若Xl+X2+2xiX2=l,求%的值.
【解答】解:(1)・・,关于X的一元二次方程/+(2k+l)x+F+l=0有两个不等实数根XI,
XI,
・・・△=(2H1)2-4(M+1)=4左-3>0,
••北〉旦;
4
(2)根据根与系数的关系,可得Xl+X2=-2k-1,%1%2=9+1,
又X1+X2+2X1X2=1,
・•・-2k-1+2(F+l)=1,
解得k=U或女=1,
由(1)得女〉3,
4
k=1.
19.如图1,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地
草坪喷水的平面示意图,喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米,当喷射
出的水流与喷涨架的水平距离为10米时,达到最大高度6米,现将喷灌架置于坡地底部
点。处,草坡上距离0的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB,AB垂直水
平地面且A点到水平地面的距离为3米.
图1
(1)计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响?
(2)求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值.
【解答】解:(1)由题意得:该抛物线的顶点坐标为(10,6),
设该抛物线的解析式为:y=a(x-10)2+6,
将点(0,1)代入y=a(x-10)2+6得:1=。(0-10)2+6,
解得:
20
・1z、2
•,(x-10)+6
2
当X=15时,y=-^(15-10)+6=4.75>1.2
水流能浇灌到树后面的草坪,小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响
(2)由题意得A(15,3),
...直线OA的解析式为:
ys
水流的IWI度与斜坡铅垂图度差h=[看(x-10)?+6Ax=(x-8)
/U3NUD
水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值为2L
5
20.石家庄某运动馆使用羽毛球发球机进行辅助训练,假设发球机每次发球的运动路线是抛
物线,如图所示.在第一次发球时,球与发球机的水平距离为无(米)(x》0),与地面的
米;求y与%的函数解析式;
(2)当球拍触球时,球与发球机的水平距离为3米,求此时球与地面的高度;
(3)发球机在地面的位置不动,调整发球口后,在第二次发球时,y与x(x>0)之间满
足函数关系尸-Lx24*』.
992
①为确保球拍在(2)中高度还能接到球,求球拍的接球位置应前进多少米;
②通过计算判断第一、二次发球中,当两球与发球机的水平距离相同时,两球的高度差
【解答】解:(1)由题意,抛物线的对称轴是直线x=.4+1-6和.
2
当尤=1时,y=2.25,即顶点为(1,2.25).
球经发球机发出后,最高点离地面2.25米.
设y与x的函数解析式为(x-1)2+2.25,
将(0,2)代入y=a(x-1)2+2.25,
解得a=1.
4
・・y=G(x-l)
故答案为:2.25.
(2)当x=3时,y=—(x-l)2号得,
.•.此时球与地面的高度为$米.
4
(3)①当二J4*金旦整理得4怔-4x-9=0,
9924
(舍).
•・X1=-2-'
/.3上叵口叵,即球拍的接球位置应前进昱叵米.
222
②球的高度差为
1,9,1213、52715,7J139
7(x-l)q-(-豆x+yx7)=^xpx友=育仁下)580
.•.当x=l时,球的高度差最大为出米.
5180
,两球的高度差不能超过1米.
21.如图,已知AABC中,AB=AC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△&£>£,连接
BD,CE交于点F.
(1)求证:AAEC^AADB;
(2)若A8=2,ZBAC=45°,当四边形尸C是平行四边形时,求线段EC的长.
【解答】(1)证明:由旋转的性质得:△AB&AADE,且A8=AC,
C.AE^AD,AC=AB,ZBAC^ZDAE,
:.ZBAC+ZBAE=ZDAE+ZBAE,即ZCAE=ZDAB,
在△AEC和△AOB中,
AE=AD
<ZCAE=ZDAB-
AC=AB
:.AAEC咨AADB(SAS);
(2)解:•••四边形AOFC是平行四边形,
:.AC//DF,
:.ZABD^ZBAC=45°,
5L":AD=AB,
:.ZADB=ZABD=45°
:.ZDAB=90°,
由勾股定理得3。=2加,
△AEgAADB,
:.EC=DB=2圾.
22.如图:在平面直角坐标系中,网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度,已知△
ABC.
(1)作出AABC以。为旋转中心,顺时针旋转90°的△4810(只画出图形).
(2)作出AABC关于原点。成中心对称的△AzB2c2(只画出图形).
(3)请在y轴上找一点尸,使P21+PC1的值最小,并直接写出点尸的坐标.
【解答】解:(1)如图1,AAiBiCi即为所求;
J泳
图I
(2)如图2,AA2B2c2即为所求,
图2
(3)如图3,点尸即为所求,
附
点尸的坐标(0,3).
23.如图,AB是的直径,BC与。。相切于点2,是。。的弦,AD//OC,延长CZX
BA相交于点E.
(1)求证CE是。。的切线;
(2)若A恰好是0E的中点,AD^3,
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