2021-2022学年重庆市大足区九年级（上）期末数学试卷含解析

2021-2022学年重庆市大足区九年级（上）期末

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代

号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案

所对应的方框涂黑.

1.方程尤（x+5）=x的根是（）

A.-5B.xi--5,X2~~O

C.xi=-4,x2=0D.xi=-6,X2=O

2.若方程/+5x-4=0的两根为XI和X2,则X1+X2-X1X2的值为（）

A.-1B.1C.-9D.9

3.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如％（x+3）=10的方程的正数解，方法为:

如图，将四个长为x+3,宽为1的长方形纸片（面积均为10）拼成一个大正方形，于是

大正方形的面积为10X4+9=49,边长为7,故得x（x+3）=10的正数解为尤=」W=2.小

2

智按此方法解关于尤的方程W+HU-〃=0时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积

为40,小正方形的面积为16,则相和”的值分别是（）

且当-2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）

A.a>-2B.a<4C.-2Wa<4D.-2<aW4

5.抛物线y[x2-4与X轴交于A，B两点,。是以C（0,3）为圆心，2为半径的OC上

一动点，E为中点，则线段OE的长可能为（

6.已知抛物线y=a/+6x+c（aWO,a>b'）的对称轴为直线x=-2.若当x=a时，y<c,

则a的取值范围是（）

A.a<-4B.-4<a<0C.a>0D.。<-4或。>0

7.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度。得到AA'B'C,ZA=40°,ZB'DC

=70°,则旋转角0度数为（）

A.70°B.55°C.40°D.30°

8.如图，绕点C逆时针旋转60°得到△DEC（点A与点。是对应点，点B与点E

是对应点），点。是A8中点，与8c相交于点尸，BF=y[3,则EE的长为（）

9.如图，点A、B、C在。。上，ZACB=30°,则NAOB的度数是（）

C.60°D.65

10.如图，直线A3、CD相交于点。，ZAOD^30°,半径为2c机的。尸的圆心在直线AB

上，且位于点O左侧的距离10c机处.如果OP以2cm/s的速度沿由A向8的方向移动，

那么（）秒钟后OP与直线相切.

A.3B.7C.3或7D.6或14

11.不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，“3"，除数字外三个小球无

其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小

球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（）

A.AB.Ac.AD.2

4323

12.张老师有两双完全一样的皮鞋，混在一起后，随手拿两只正好配成一双穿在脚上的概率

为（）

4金

A.AB.Ac.2D.都不对

233

二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）

13.已知方程尤2+云+4=0的一个根是1,则它的另一根是.

14.已知抛物线y=/+6尤-3,下列说法：①抛物线与x轴必有两个交点；②若抛物线经过

（5-m,1）,（5+力，1）两点，则6=-10；③若抛物线与无轴两个交点的距离大于4,

则b<-2；④若抛物线经过位于对称轴两侧的（-3,yi）,（1,”）两点，且yi<y2,

则2Vb<6.其中一定正确的结论有（填写序号即可）.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点8的坐标为（4,0）,连接A8,将4

ABO绕着点B顺时针旋转60°得到△DBC,则点C的坐标是.

16.如图，。。的半径为6c7九，AB是。。弦，以点A为圆心，A8为半径画弧，交于点

C,若4BOC=120°,则阴影部分的面积为.

A

三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演

算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

17.城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路（银

川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工

程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米.因地

质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样.甲每合格完成1米隧

道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元.

（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的3,求甲最多施工多少米？

2

（2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化.甲

每合格完成1米隧道施工成本增加机万元时，则每天可多挖四米，乙在施工成本不变的

2

情况下，比计划每天少挖旦米，若最终每天实际总成本比计划多（9/77-2）万元，求m

3

的值.

18.已知关于x的一元二次方程/+（2A+1）x+M+l=O有两个不等实数根xi,X2.

（1）求女的取值范围；

（2）若X1+X2+2X1X2=1,求人的值.

四、解答题：（本大题7个小题，每个小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的

演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在对应的位置上.

19.如图1,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地

草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射

出的水流与喷涨架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部

点。处，草坡上距离。的水平距离为15米处有•棵高度为1.2米的小树AB,A3垂直水

平地面且A点到水平地面的距离为3米.

图1

（1）计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响？

（2）求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值.

20.石家庄某运动馆使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛

物线，如图所示.在第一次发球时，球与发球机的水平距离为无（米）（x》0）,与地面的

米；求y与x的函数解析式;

（2）当球拍触球时，球与发球机的水平距离为3米，求此时球与地面的高度;

（3）发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，y与尤（x>0）之间满

足函数关系y=-LX24X+3.

992

①为确保球拍在（2）中高度还能接到球，求球拍的接球位置应前进多少米;

②通过计算判断第一、二次发球中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差

能否超过1米.

21.如图，已知△ABC中，AB=AC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△&£>£,连接

BD,CE交于点E

（1）求证：△AEC之△AOB；

（2）若AB=2,ZBAC=45°,当四边形ADFC是平行四边形时，求线段EC的长.

22.如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知△

ABC.

（1）作出△ABC以。为旋转中心，顺时针旋转90°的△ALBICI（只画出图形）.

（2）作出AABC关于原点。成中心对称的△AzB2c2（只画出图形）.

（3）请在y轴上找一点尸，使尸Bi+PCi的值最小，并直接写出点P的坐标.

23.如图，是O。的直径，BC与。。相切于点3,是。。的弦，AD//OC,延长C。、

54相交于点£.

(1)求证CE是。。的切线；

(2)若A恰好是OE的中点，AD=3,则阴影部分的面积为

24.唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图,

某桨轮船的轮子被水面截得的弦A8长为6切，轮子的吃水深度。为L5祖，求该桨轮船

的轮子直径.

25.嘉嘉同学去文具店购买笔记本，购买情况如表所示：

单价/元468

数量/个112

(1)求出所购买笔记本的平均价格；

(2)若嘉嘉已拿出一个4元笔记本后，准备从剩余3个笔记本中随机再拿出一个本.

①所剩的3个笔记本价格的中位数与原来4个笔记本价格的中位数是否相同？并说明理

由；

②在剩余的3个笔记本中，若嘉嘉同学先随机拿出一个笔记本后不放回，之后又随机拿

一个笔记本，用列表法(如表)求嘉嘉两次都拿到相同价格的笔记本的概率.

后拿

先拿

参考答案与试题解析

1.方程X(x+5)=%的根是()

A.%=-5B.xi=-5,X2=O

C.xi=-4,X2=OD.xi=-6,X2=O

【解答】解：X(x+5)=x,

x(x+5)-x=0,

x(x+5-1)=0,

.*.x=0,x+5-1=0,

.*.xi=-4,X2=O.

故选：C.

2.若方程X2+5x-4=0的两根为XI和I2,则X1+X2-%1%2的值为()

A.-1B.1C.-9D.9

【解答】解：•・•方程W+5x-4=0的两根为xi和12,

・・Xl+%2=-5,X1X2^-4,

.*.X1+X2-X1X2

=-5-(-4)

=-1,

故选：A.

3.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x(x+3)=10的方程的正数解，方法为:

如图，将四个长为x+3,宽为龙的长方形纸片(面积均为10)拼成一个大正方形，于是

大正方形的面积为10X4+9=49,边长为7,故得x(x+3)=10的正数解为尤=』W=2.小

2

智按此方法解关于尤的方程f+mx-n=0时，构造出类似的图形.已知大正方形的面积

为40,小正方形的面积为16,则相和〃的值分别是()

A.m=6,〃=4B.m=10,n=V40C.m=4,〃=6D.m=V40.n=10

【解答】解：把方程d+mx-iL。变形得到尤（尤+MI）—n,

如图，将四个长为X+H7,宽为x的长方形纸片（面积均为“）拼成一个大正方形，于是大

正方形的面积为40=4〃+16,解得〃=6,小正方形边长为W1=4=x+m-x=ir，故得尤（尤+加）

=”的正数解为x。星坦，

x2

即〃=6,m=4,

故选：C.

4.已知二次函数y=（x-tz-1）（x-fl+1）-2a+9（〃是常数）的图象与x轴没有公共点，

且当xV-2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）

A.a>-2B.QV4C.-2Wa<4D.-2<a^4

【解答】解：y=（%-〃-1）（%-q+l）-2a+9

=/-2OX+〃2-2。+8,

・・,图象与x轴没有公共点，

・•・△=（-2a）2-4（〃2一2〃+8）<0

解得〃<4；

・・,抛物线的对称轴为直线x=-二耳=〃，抛物线开口向上，且当％〈-2时，y随x的增

2

大而减小，

-2,

・•・实数a的取值范围是-2W〃V4.

故选：C.

5.抛物线y[x2-4与X轴交于A，8两点，。是以C（o，3）为圆心，2为半径的OC上

一动点，E为中点，则线段OE的长可能为（）

A.1B.2.5C.4D.5

【解答】解：连接AC、CD,取AC的中点凡连接£/、OF,如图,

当y=0时，_4=0,解得xi=-4,皿=4,

4

(-4,0),B(4,0),

VC(0,3),

AC=442+32=5,

点为AC的中点，E为的中点，

/.OF=1-AC=^-,£F=AC£)=1,

222

：。尸-(当且仅当E、F、。共线时取等号)，

1W0EW1+2

22

即1.5WOEW3.5.

故选：B.

6.已知抛物线y=ox2+bx+c（“WO,a>b）的对称轴为直线尤=-2.若当x=a时，y<c,

则a的取值范围是（）

A.a<-4B.-4<a<0C.a>0D.-4或〃>0

【解答】解：•.•抛物线>=以2+a+。（a#0,a>b）的对称轴为直线彳=-2,

--b=_2

2?~

••b~~4〃.

•.•当x=q时，y<c,

'•a*a+ab+c<.c.

/.d!*d!2+4«2<0.

a2(〃+4)<0.

.\a<-4.

故选：A.

7.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度9得到AA'B'CfZA=40°,DC

【解答】解：由旋转的性质可知，NA'=ZA=40°,Q=ZACA',

：.Q=ZACA'=ZB'DC-ZA'=30°,

故选：D.

8.如图，△ABC绕点。逆时针旋转60。得到（点A与点。是对应点，点B与点E

是对应点），点。是A5中点，DE与5C相交于点尸，BF=M，则EF的长为（）

【解答】解：・.・△ABC绕点。逆时针旋转60°得到△DEC,

ZACD=60°,AC=DC,

・・・△ACO为等边三角形，则AC=AZ）=C。，ZADC=60°,

•・•点。是A5中点，

：.AD=BDf

：.AC=AD=CD=BDf

ZB=ZDCB=yZADC=30°，

9：ZCDF=ZA=60°,

：.ZBDF=120°-60°-60°=60°,

在△3。/中，ZBFD=180°-ZB-ZBDF=9Q°,

•*-BD=BIL=—零°=2,

cosBcos30

:.DE=AB=2BD=4,

:・BD=2,

22

・•・DF=VBD-BF=74^3=b

；・EF=DE-DF=4-1=3,

故选：A.

9.如图，点A、B、C在。。上，ZACB=30°,则NAOB的度数是（）

A.30°B.40°C.60°D.65°

【解答】解：,.•/AOB=2NAC8,ZACB=30",

AZAOB=60°,

故选：C.

10.如图，直线A3、C£>相交于点。，ZAO£>=30°,半径为2c机的O尸的圆心在直线A2

上，且位于点0左侧的距离10a”处.如果OP以2cmis的速度沿由A向2的方向移动,

那么（）秒钟后OP与直线。相切.

C.3或7D.6或14

【解答】解：①由题意可知CD与OP相切于点E,

：.P\ELCD,

：OP半径为2c7”,

'.P\E=2cm,

VZAOD=30°,P\ELCD,

.,.PlO=4cm,

；.尸为=尸0-PiO=10-4=6(cm),

；，=3秒.

②当圆心P在直线C£＞的右侧时，PP2=PO+P1O=10+4=14(cm),

则需要运动的时间为7秒.

综上所述，OP与直线。相切时经过的时间为3或7秒钟,

故选：C.

11.不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，“3"，除数字外三个小球无

其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小

球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是（）

A.AB.Ac.AD.Z

4323

【解答】解：画树状图如下：

开始

第一次123

第二次123123123

和234345456

由树状图知，共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球所标数字之和为4的有3种结

果，

所以两次记录的数字之和为4的概率是旦=」，

93

故选：B.

12.张老师有两双完全一样的皮鞋，混在一起后，随手拿两只正好配成一双穿在脚上的概率

为（）

A.AB.Ac.2D.都不对

233

【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中张老师随手拿两只正好配成一双穿在脚上的结果有8种，

.••张老师随手拿两只正好配成一双穿在脚上的概率方-=2，

123

故选：C.

13.已知方程/+云+4=0的一个根是1,则它的另一根是

【解答】解：设另一根为根，根据根与系数的关系可得：相Xl=4,

，机=4,

・••方程/+人工+4=0的另一个根是4.

故答案为：4.

14.已知抛物线y=/+b尤-3,下列说法：①抛物线与x轴必有两个交点；②若抛物线经过

（5-«7,1）,（5+7”，1）两点，则b=-10；③若抛物线与无轴两个交点的距离大于4,

贝Ub<-2；④若抛物线经过位于对称轴两侧的（-3,yi）,（1,”）两点，且yi<”，

则2Vb<6.其中一定正确的结论有①②（填写序号即可）.

【解答】解：由题意，*/A=庐+12,

又庐》0,

A212>0.

...抛物线与x轴必有两个交点，故①正确.

:抛物线经过（5-m,1）,（5+加，1）两点,

抛物线的对称轴是直线x=5-m+5~Hn=5.

2

-电=5.

2

:・b=-10,故②正确.

Vxi+X2=-b,X1*X2=-3,

二抛物线与x轴两个父点的距曷为|xi-x2\=yl（Xj+x2）2_4X|X2=Vb2+12,

由题意，，匕2+12>%

，b>2或6<-2,故③错误.

由题意，对称轴是直线x=-土，

2

又对于（-3,"），（1,”）两点，都有yi<”，且抛物线开口向上，

.\|-3+A|<|l+A|.

22

2

：.2<b<6,故④正确.

故答案为：①②③.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点2的坐标为（4,0）,连接A3,将4

A8O绕着点B顺时针旋转60°得到△O8C,则点C的坐标是（2,人用）_.

【解答】解：过点C作x轴的垂线，垂足为

08=4.

由旋转可知，

BC=OB=4,ZOBC=60°.

在RtZ^CBM中，

sin/C2M="

CB

则更正，

42

:.CM=2/3-

•••BM=742-（2V3）2=2，

则0M=4-2=2,

.•.点C的坐标为（2,

故答案为：（2,2V§）•

16.如图，的半径为6c7九，4B是。。弦，以点A为圆心，为半径画弧，交。。于点

C,若N3OC=120。，则阴影部分的面积为18mm.

【解答】解：连接BC,过点。作OOLBC于点

•/BOC=120°,

•ZBAC=yZBOC=60°，ZBOD=yZBOC=60°，

.△ABC是等边三角形,

.AB=BC^AC,

./O8D=30°,

*QO的半径为6cm,

•0D比B=3,

•BD=VOB2-OD2=Ve2-32=3^3'

•BC=2BD=6V3«

••・阴影部分的面积为蚓UJ^lli=18TT(cm2),

360

故答案为：18TR7〃2.

17.城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路(银

川至百色)的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工

程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米.因地

质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样.甲每合格完成1米隧

道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元.

(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的3,求甲最多施工多少米？

2

(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化.甲

每合格完成1米隧道施工成本增加“万元时，则每天可多挖旦米，乙在施工成本不变的

2

情况下，比计划每天少挖码米，若最终每天实际总成本比计划多(9m-2)万元，求m

3

的值.

【解答】解：(1)设甲施工尤米，则乙施工(2100-尤)米，

由题意得：9(2100-x)^8xX

解得：尤W900,

答：甲最多施工900米；

(2)由题意得：(8+m)(6+码)+9(6-处)=6X(8+9)+9m-2,

23

整理得：m2-4m+4—0»

解得：mi=m2=2,

答:小的值为2.

18.已知关于次的一元二次方程/+(2Z+1)x+M+l=0有两个不等实数根xi,12.

(1)求女的取值范围；

(2)若Xl+X2+2xiX2=l,求％的值.

【解答】解：(1)・・,关于X的一元二次方程/+(2k+l)x+F+l=0有两个不等实数根XI,

XI,

・・・△=(2H1)2-4(M+1)=4左-3>0,

••北〉旦；

4

（2）根据根与系数的关系，可得Xl+X2=-2k-1,%1%2=9+1,

又X1+X2+2X1X2=1,

・•・-2k-1+2(F+l)=1,

解得k=U或女=1,

由(1)得女〉3,

4

k=1.

19.如图1,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地

草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射

出的水流与喷涨架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部

点。处，草坡上距离0的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB,AB垂直水

平地面且A点到水平地面的距离为3米.

图1

(1)计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响？

(2)求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值.

【解答】解：(1)由题意得：该抛物线的顶点坐标为(10,6),

设该抛物线的解析式为：y=a(x-10)2+6,

将点(0,1)代入y=a(x-10)2+6得：1=。(0-10)2+6,

解得：

20

・1z、2

•,(x-10)+6

2

当X=15时，y=-^(15-10)+6=4.75>1.2

水流能浇灌到树后面的草坪，小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响

(2)由题意得A(15,3),

...直线OA的解析式为：

ys

水流的IWI度与斜坡铅垂图度差h=［看（x-10）?+6Ax=（x-8）

/U3NUD

水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值为2L

5

20.石家庄某运动馆使用羽毛球发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛

物线，如图所示.在第一次发球时，球与发球机的水平距离为无（米）（x》0）,与地面的

米；求y与％的函数解析式;

（2）当球拍触球时，球与发球机的水平距离为3米，求此时球与地面的高度;

（3）发球机在地面的位置不动，调整发球口后，在第二次发球时，y与x（x>0）之间满

足函数关系尸-Lx24*』.

992

①为确保球拍在（2）中高度还能接到球，求球拍的接球位置应前进多少米;

②通过计算判断第一、二次发球中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差

【解答】解：（1）由题意，抛物线的对称轴是直线x=.4+1-6和.

2

当尤=1时，y=2.25,即顶点为（1,2.25）.

球经发球机发出后，最高点离地面2.25米.

设y与x的函数解析式为（x-1）2+2.25,

将（0,2）代入y=a（x-1）2+2.25,

解得a=1.

4

・・y=G（x-l）

故答案为：2.25.

（2）当x=3时,y=—（x-l）2号得，

.•.此时球与地面的高度为$米.

4

（3）①当二J4*金旦整理得4怔-4x-9=0,

9924

(舍).

•・X1=-2-'

/.3上叵口叵，即球拍的接球位置应前进昱叵米.

222

②球的高度差为

1,9,1213、52715,7J139

7（x-l）q-（-豆x+yx7）=^xpx友=育仁下）580

.•.当x=l时，球的高度差最大为出米.

5180

，两球的高度差不能超过1米.

21.如图，已知AABC中，AB=AC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△&£>£,连接

BD,CE交于点F.

(1)求证：AAEC^AADB；

(2)若A8=2,ZBAC=45°,当四边形尸C是平行四边形时，求线段EC的长.

【解答】（1）证明：由旋转的性质得：△AB&AADE,且A8=AC,

C.AE^AD,AC=AB,ZBAC^ZDAE,

：.ZBAC+ZBAE=ZDAE+ZBAE,即ZCAE=ZDAB,

在△AEC和△AOB中，

AE=AD

<ZCAE=ZDAB-

AC=AB

:.AAEC咨AADB（SAS）；

（2）解：•••四边形AOFC是平行四边形，

：.AC//DF,

：.ZABD^ZBAC=45°,

5L"：AD=AB,

：.ZADB=ZABD=45°

：.ZDAB=90°,

由勾股定理得3。=2加，

△AEgAADB,

:.EC=DB=2圾.

22.如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知△

ABC.

（1）作出AABC以。为旋转中心，顺时针旋转90°的△4810（只画出图形）.

（2）作出AABC关于原点。成中心对称的△AzB2c2（只画出图形）.

（3）请在y轴上找一点尸，使P21+PC1的值最小，并直接写出点尸的坐标.

【解答】解：（1）如图1,AAiBiCi即为所求;

J泳

图I

(2)如图2,AA2B2c2即为所求,

图2

(3)如图3,点尸即为所求,

附

点尸的坐标(0,3).

23.如图，AB是的直径，BC与。。相切于点2,是。。的弦，AD//OC,延长CZX

BA相交于点E.

(1)求证CE是。。的切线;

(2)若A恰好是0E的中点，AD^3,