天津市八所重点学校2023-2024学年高三年级上册期末联考试题 数学含答案

2024年天津市八所重点学校高三毕业班联考

数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.考试结束

后，上交答题卡.

第I卷（选择题,共45分）

一.选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一项是

符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上.

1、已知全集U=[1,2,34,5},集合A={3,5},B={1,2,5},则Bn（如㈤=（）

A.{2}C.[2,4}D.[1,2,4}

2、若久yAO,则"％2=y"是"2+7=—2”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3、已知a=ln|,Z?=logos1-5,c=（|），则（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

4、函数/（%）的部分图象如下图所示，则/（%）的解析式可能为（）

sinx1

&•/（%）=D.f（x）=ex+e~x-sinx--

—x1

C/（%）=D.f（x）=ex+ef+sin%--

5、已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为3：1,货车和客车中途停车修理的概率分

别为0.03和0.01,贝Ut辆汽车中途停车修理的概率为（）

A1n—c—n—

504030

6、已知五=（1|1）%=（加|—l）,m为实数，若310—0则向量益在Lt的投影向量为（）

硝1）B.（—惠）

7、清初著名数学家孔林宗曾提出一种“茨藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体

组合而成（如图1）,也可由正方体切割而成（如图2）.在“蓑藜形多面体”中，若正四面体的棱长

为2,则该几何体的体积为（）

H

图1图2

A.42B.2C.2V2D.4

8、已知过原点O的直线，与双曲线Z:《—2=l（a>0力>0）交于A,B两点（点A在第一象

限）,HR分别为双曲线E的左、右焦点，延长AF?交E于点C,若|B&I=|ZC|/%BF2S，则

双曲线E的渐近线方程为（）

A.y=±y[2xx=±V2yC.y=±V3xD.x=±V3y

9、已知函数/（%）=Zsin（3K+w）（o）>Q,A>0,|卬|<5的对称中心到对称轴的最小距离为了

将/（%）的图象向右平移得个单位长度后所得图象关于y轴对称，且/（久2）1^。工=1,关于

函数/（%）有下列四种说法：

①%是/（久）的一个对称轴：②（一目0）是/（久）的一个对称中心；

③/（久）在（og）上单调递增：④若/（久。=/（犯）=0,则巧一久2=:（kez）.

以上四个说法中，正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

第n卷（非选择题，共105分）

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题纸上.

10.若复数z满足z={1上心（其中i是虚数单位），则z的虚部为—.

11.在（久-I）'的展开式中，/项的系数为.（用数字填写答案）

12.已知直线％—zny+2=0与。C:x2+/=4交于A,B两点,写出满足“ZXABC面积为遮"的

实数m的个值______（写出其中个即可）

13.学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益.为实现中华民族伟

大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮.某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模

块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：

天数X1234567

一次最多答对题数y12151618212427

参考数据：元=4,歹=19,2蠢步=140,2蠢贯=2695,27=6例=600,76〜2.45,

2

相天系数r=Jz仁1（--五）2,J■41%-（）2=|Lixf-nx-21Vs?=iyt-ny--

由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数%之间是—相关（填“正”或"负”），其

相关系数e（结果保留两位小数）

14.已知点A为抛物线y2=2%上一点（点A在第一象限），点F为抛物线的焦点，准线为，，线

段AF的中垂线交准线1于点D,交x轴于点E（D、E在AF的两侧），四边形ADFE为菱

形，若点P、Q分别在边DA、EA上,加=疝1厨=丽5,若24+〃=|,则而•丽的最小

值为,\tFA-^FE\+\tFA-FE\（tER）的最小值为.

15.函数/（%）=｛（%+2尸+^+^3^+2）+3a,x<-2，函数以乃=如一2],若函数九（乃=f

（%-2）-g（久+2）-2恰有2个零点，则实数a的取值范围是.

三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分14分）

在AABC^,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c—2b+2acosC=0.

（1）求角A的大小；

（2）若a=V3,c—孚，

⑴求sin（2C+4）的值；（ii）求△ABC的面积.

17.（本小题满分15分）

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知.1CD,=(

CD=1.点P为线段EC的中点.

(1)求证:BF〃平面CDE;

(2)求直线DP与平面BDF所成角的正弦值;

⑶求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值.

18.(本小题满分15分)

已知椭圆。:今+真=1(。>5>0),2,乙分别是椭圆©的左、右焦点，点A为左顶点，椭圆

上的点到左焦点距离的最小值是焦距的右

(1)求椭圆C的离心率；

(2)直线2过椭圆C的右焦点F2,与椭圆C交于P,0两点(点P在第一象限).且△4PQ面积

的最大值为学

(i)求椭圆C的方程；

(ii)若直线AP,AQ分别与直线久交于M,N两点，

求证：以MN为直径的圆恒过右焦点F2.

19.(本小题满分15分)

已知数列是正项等比数列，｛bn｝是等差数列，且ai=2/=2,02==4。3,

(1)求数列｛的J和｛九｝的通项公式；

(2)印表示不超过％的最大整数，74n表示数列｛(-1)审•郎｝的前4n项和，集合2=

｛川4W名卢jiCN*｝共有4个元素，求入范围；

(国二产田为奇数

数列｛0｝的前2n项和为S2n,求证：S2n<H+停—3

(3)C九—Qn+zjb九+2bzi

、an.bn,ri为偶数

4n+1.

20.(本小题满分16分)

1

已知函数f(x)=e"-久eX-aln^(e是自然对数的底数).

(1)当a=11时,求函数/(%)在点(1/(1))处的切线方程;

(2)当a>e时,

⑴求证：函数/(%)存在唯一的极值点％1；

2024年天津市八所重点学校高三毕业班联考

数学试卷评分标准

一.选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.

1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.A8.A9,B

填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含2个空的，答对1个空的

得3分，全部答对的得5分.

10.211.-1012.±V3,土?(四个答案写出其中一个即可)

13.正，0.9914.3,—15.(―8,0]u肉+8)u{j}

三.解答题(本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

16.(本小题满分14分)

(1)解：

法一:

由。-26+2acosC=0,根据正弦定理有5出。一25足5+25111/©05。=0,..............1分

因为sinB=sinQ+C),所以

sinC-2sin(Z+C)+2sin4cosC=sinC-2sin24cosC-2cos4sinC+2sinAcosC=0

整理得sinC-2cos/sinC=0，2分

i兀

因为sinCwO,所以cos/二万因为4£(0,兀)，所以.......4分

法二：

由c-26+2〃cosC=0,根据余弦定理有c-2b+2a-"+'-=0..............1分

2ab

整理得6c—262+〃2+62_02=o,n\\b2+c2-a2=bc.............2分

二.cosJ+cT上I，因为/e(0,7T)

所以/三.............4分

2bc2bc

(2)因为0=6(=渔，由(1)知/=可

23

V6

(i)由正弦定理二三二一一，/=—/.sinC=-

..............5分

sinZsinCJ3sinC4

又因为c<a,所以/C为锐角，.•.cosC=YR

..............6分

数学答案第1页共10页

所以sin2c=2sinCcosC=虫，cos2C=l-2sin2C=y..............8分

44

所以sin(2C+A)=sin2Ccos/+cos2CsinA=x—+—x......10分

42428

(ii)法一：由c-26+2acosC=0,将。=百，c=^，cosC=四代入，

24

解得6=布+同,.....12分

4

„1,,^1昌V6+730V63也+3岳工小

^\ARC=—absmC=—x<3x------------x=...................................14TT

MBC224416

法二：sinB=sin(C+A)

sinB=sinCcosA.+cosCsinA-----x—i--------x—=..................12

42428

,„_1_10V6V6+V30_3V3+3V15..

..S——acsinBD——x。3xx------------------------------...............14刀

MBC222816

17.（本小题满分15分）

（1）证明：法一：

取CD的中点"，连接瓦W

因为48〃CD,AB=~CD,所以48//DM,且48=。〃，

2

所以四边形4DMB为平行四边形，所以且40=的0,..............2分

又因为四边形/£）所为正方形，

所以昉〃8M,且EF=BM,所以四边形FEA"为平行四边形，.......3分

所以AF〃£M,又因为面CDE,ENu面CDE..............4分

所以B尸〃平面CDE.

法二：

因为48〃CD,48<z面COE,CDu面COE,

所以46〃平面CDE,..............2分

同理，N尸〃平面CD£,又4BC”=4,所以平面尸//平面CDE,.............3分

因为3FU平面尸，.......4分

所以3尸//平面CDE.

数学答案第2页共10页

(2)因为平面平面/BCD,平面/DEbA平面=CDLAD,

CDU平面48CD,

所以CD1平面ADEF,又OEU平面ADEF,

故CDLED.

而四边形/是正方形，所以力

又CD_LN。，以〃为原点，DA,DC,所在直线分

别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系

Dxyz

AD=\,则。(0,0,0),4(1,0,0),5(1,1,0),尸(1,0,1),C(0,

-----►1

DP=(0,l,-)..............6分

设平面尸的法向量为〃=(x,y,z),

nDB=0,Ge+y-0,

则,_即-

n-nF=Q,k+z=0,

令x=l,则y=z=-l,所以"=(1,-1,-1).............8分

设直线DP与平面BDF所成角的大小为a,..............9分

贝!!sina=|cos<DP,n>|=।当白=W..............11分

\DP\-U

所以直线。尸与平面下所成角的正弦值为乎.(设角或答话写一个即可)

(3)取平面COE的一个法向量房=(1,0,0),..............12分

设平面甲与平面CDE夹角的大小为。，.......13分

贝Ucos6=|cos<DA,n>\=।।=—...............15分

M.J3

所以平面BDF与平面CDE夹角的余弦值是号(设角或答话写一个即可)

数学答案第3页共10页

18.（本小题满分15分）

解：⑴由题意可得a—c=/2c

•••2a=3c1分

椭圆的离心率为"合|2分

⑵

（i）由（1）可知层=^c2,b2=^c2

3

•••4（一/,0）

设椭圆方程为基+整=1

法一：

由题意可知直线PQ的斜率显然不为0

设直线PQ.方程为：x=my+c,P（%i，yi）,Q（%2，y2）

联立［20/+36y2=45c2

Ix=my+c

消去工整理得（20zn2+36）y2+4Qrncy-25c2=04分

由题意知A>0恒成立

则rn.i为,+先=—由lum,c乃乃=而不—ZS正L

贝1JS^APQ=g|AF2“yi—yzl=+旷2尸-4”2=2,映手....6分

令t=Vm2+1/贝！Jt>1

c2c2J

SAAPQ=~T'rt2+4=~T'7~4因为》=5,+3在1,+8)上单调递增,

4DL十勺，5tn-tt匕

当t=l时，S—PQ有最大值

PAAPQJ^=彳。.5T4=T

.・.c2=4...8分

••c=2,a=3,b=V5

椭圆方程为：9+9=1……9分

法二：当直线PQ的斜率存在时，由题知，k#0

此时，设PQ：y=k(x-c)

20x+36y=45c,^0+36^2)X2-72^2CX+36^2C2-45c2=0

联立(24分

y=k(x-c)

数学答案第4页共10页

设尸(占,％),。(>2，%)由题意知△>()恒成立

12kle36^2C2-45C2

西+12=7-5.%2=75分

20+36/20+36/

SxPQ=g|4闯・|乃-y2|=gx(c•同一履2]=1C'|^|7(X1+X2)2-4x^2

222

51,,J12k2c〃,36^C-45C752,,,Jl+/

-C-R(-----------Y-4------------------=——c2•网-------r

41'V20+364220+36424115+9k2

因为>=5f+：在(l,+oo)上单调递增，

u4C,,、c75c2175c2125c2

5tH—>9(/>1),SPo=----------------<----------=-------7分

t1Q44912

t

当直线尸。的斜率不存在时，此时尸。：x=c,代入驾■+&0=1中,

9c5c

得|尸。|吾，.,•也户2=；.图卜|尸,……8分

7S7S

所以，AAPQ面积的最大值为||c2=y,C2=4

22

椭圆方程为二+匕=1……9分

95

(ii)法一：由(i)知力(-3,0),&(2,0)

,■%P=等7%=含

直线4P的方程为：y=^--(x+3),直线ZQ的方程为：y=^--(%+3)

•/C1十J%2十。

弓*着)，'信用11分

数学答案第5页共10页

-15%),pjy=(_£15yz)

•••F2M=4'4(%i+3)J2I4'4(%2+3)J.........12分

r+tr/曰।一zum—NDn

由c=2,特归+旷2=-'为力=-'x=my+2

____.____.25225ViVo

22

1616(%i+3)(%2+3)

25225yy

=-------1-----------------------------1----2---------------

1616(myi+5)(my2+5)

25225y/2

="——|--------'-----------------------------------------------------

1616m2yly2+5m(y1+y2)+25

_25225为力

...-,—I-----------------------------------------------------

16162—25匚-20m今匚

mz--~~o~~-+5m--~~n_-+25

5m2+957n2+9

至+经(A二0.........14分

1616V97

・•・F2M1&N

・•.以MN为直径的圆恒过右焦点..........15分

法二：由(i)知4(-3,0),尸2(2,0)

当直线PQ的斜率不存在时，有尸(2$,0(2,-6

令》=:,得同理

直线AP:y=—x+1

■3

5__2

此时外M.外N990.........10分

4144-4

当直线PQ的斜率存在时，y=k(x-2)

,■以P=+kAQ=焉

••・直线力P的方程为：y=^--(%+3),直线2Q的方程为：y=^--(x+3)

)

呜岛)，15y211分

I4，4(X2+3))

・•.FM=(三15yl)g=(—♦15y2).........12分

24'4(巧+3)12I4'4(%2+3)J

数学答案第6页共10页

36/-45

由c=2…Xi-x=-------

5+9左2-25+9k2

25.225yiy25225k2-2)(X-2)

・・FMFN-----1------------------2------=------1---------------------------2---------

•2-2=1616

(xi+3)S+3)1616(X1+3)(x2+3)

2「36/_45c36k2

25+225_22[一9一2(七+/)+4]=交+咨5+请一.57^+(

22

1616xtx2+3(%1+X2)+9161636k-4536k

一~----------------5F3-------+9

5+9d5+9H

25225左2[36廿-45-72/+20+36后2]2522525/，，八

161636左2—45+108左2+45+81左21616225r

・••F2M1F2N

・••以仞V为直径的圆恒过右焦点.……15分

19.(本小题满分15分)

解：⑴设数列｛%｝首项%=2公比通〉0),设数列仿〃｝首项仇=1公差d

42

a5=4a3a1q=4a1q

•/</,...1分

a2=b4axq=b1+3d

：.q=2,q=-2(舍),d=1

n

an=2.bn—n3分

22+2

(2)「4“=(bj_%2_后+64)+(652-Z>6-bf+^8)-"+^4»-3-d"T~+64/)

瓯不-b^n-2-b4„-i2+d/=(4n-3)2-(4〃-2)2_(4"-1)2+(4〃r=4....4分

T=4〃,­="("+2),

4n6分

册+22"

集合，自4华2,”**卜设)=华9

2+「与=迎±吗臼_巫±2=弋2,所以当

7分

〃十1n2〃+12"2"+1

31S3

〃=1时，。2〉。1，当〃22时，。2＞。3＞。4＞…=一，。2=2,D=—,。4=一，。5=,因为

2382

数学答案第7页共10页

集合有4个元素，—<X<-.8分

322

4J.+1-&

(3)C“=,2"2.Jn(n+2),〃为奇数，S2n=Cl+C2+C3+---+C2„

n-T,“为偶数

2462n

^An=C2+C4+C6+---+C2„=2-2+4-2+6-2+---+2n-2

44,=2-24+4-26+---+(2n-2)-22,!+2n-22,,+29分

46822,,+2242n+2

-3An=8+2(2+2+2+---+2")-2«-2=8+2'-2n-2—10分

20OO2〃+2

=8-----+-------------2n•22n+2

33

所以‘“/[»海…•口分

4五+1-~Jn4+2-y/~n1_________]

当〃为奇数时,13分

2计2.J〃("+2)2"2.7«(n+2)2"•a2"+2.J〃+2

111

-------1^=^=<—

222n+1-72^+12

14分

2)Q2M+2

$Q2“=4+%<g+[y_§J,2.......15分

20.（本小题满分16分）

解：(1)〃=1时，/(x)=ex-xex+Inx,/(x)=-xex+—.......1分

x

/./'(l)=-e+l,.......2分

又/⑴=0・・・・・・3分

所以切线方程为：>=(l_e)x_l+e……4分

数学答案第8页共10页

(2)(i)当a>e时，/a)="lnx-(xT)e‘，"一》‘"一x,……5分

令g(x)=a-e'x2(x>0),g%r)=-1(/+2x)<0,...6分

则g(x)在(0,+8)上单调递减，

由Q〉e,得lna〉l,In2a>1,贝UI—I/QCO,

又g(l)=a_e>0g(ln«)=a-elnfl-In2a=a(1-In2a)<0&分

由零点存在性定理可知，存在唯一看e(l,lna)使g(X])=0,即"力才=0,……9分

当xe(0,X])时，g(x)>°,/'(x)>0,/(X)在(0,可)上单调递增，

当xe(X],+co)时，g(x)<0,/'(x)<0,/(x)在(孙+°°)上单调递减，……io分

则/（X）在*=丐处取得极大值，即“X）存在唯一的极值点看.

(ii)由⑴可知，a-ex'x^=0,即①

X1

由/>匹，且Xie(l,lna),得%>1,

由/(尤0)=。，得alnx()-(%-1)*=0,。山“。=8°,②

Xo-1

②式除以①式，得1。』=五屿，