2023-2024学年北京二十中高三适应性调研考试数学试题含解析

2023-2024学年北京二十中高三适应性调研考试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

_22

1.已知直线瓜-y+%=。过双曲线C：=-1=1（。>0/>0）的左焦点尸，且与双曲线C在第二象限交于点4,若

ab

\FA\=\FO\（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为

A.2B.V3+1C.75D.75-1

2.已知函数/（x）=C-x（a〉0）,若函数y=/（x）的图象恒在x轴的上方，则实数。的取值范围为（）

A.f—,+oo}B.（0,e）C.（e,+co）D.I-,1j

3.图奴JWr--=+ln（x+l）的定义域为（）

X

A.(2,+8)B.(-1,2)。(2,+8)C.(-1,2)D.(-

4.若复数Z满足力=1-i（i为虚数单位），则其共轨复数I的虚部为（）

A.-iB.iC.-1D.1

ym，则S]=(

5.已知函数y（x）=<)

,•A,-J.

A.1B.2C.3D.4

E~=a+bi(a,beR),则乘积的值是()

6.i是虚数单位，若

2-i

A.-15B.-3C.3D.15

7.已知四棱锥E-ABCD,底面48a>是边长为1的正方形，ED=1,平面ECD，平面A5CD,当点C到平面ABE

的距离最大时，该四棱锥的体积为（）

8.已知等差数列｛%｝中，。5=7,60+%=0,则。3+。4=（）

A.20B.18C.16D.14

9.已知集合A={x|1<%<24},B=Jx|y=,1=>,则（）

I'[V-x2+6x-5j

A.[x\x>5]B.[x\5<x<24）

C.[x\x<l^x>5^D.{x|5<x<24}

ycir|y

10.函数y==~」的部分图象大致为（）

1+X

11.设a=log3（）.5,b=log020.3,c=203,则”,仇c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

x+yW10

12.设实数X、y满足约束条件—,则z=2x+3y的最小值为（）

x>4

A.2B.24C.16D.14

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高

三年级为12人，则抽取的样本容量为_______人.

为有理数

14.数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数。（％）=<

0,x为无理数

称为狄里克雷函数.则关于0（%）有以下结论:

①0（%）的值域为［0』;

②X/xe7?,D（-x）=D（x）；

③VTwH,D（x+T）=D（x）；

@D（1）+D（V2）+D（A/3）++。（。2020）=45;

其中正确的结论是(写出所有正确的结论的序号)

15.已知函数/(x)=e2工，则过原点且与曲线y=/(x)相切的直线方程为.

16.(5分)已知曲线。的方程为y=-63+x(qeR),其图象经过点P(1,O),则曲线。在点P处的切线方程是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知定点4(-3,0),5(3,0),直线40、相交于点M,且它们的斜率之积为-：，记动点"的轨

迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程；

(2)过点T(l,0)的直线与曲线C交于P、。两点，是否存在定点S(1,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，

若存在，求出S坐标；若不存在，请说明理由。

18.(12分)已知a>0,函数/■(元)=xlnx+q-a(x-l).

(I)若"％)在区间，,上单调递增，求°的值；

(II)若aeZ〃尤)>0恒成立，求。的最大值.(参考数据：gk16)

19.(12分)设函数/(x)=|2x+a|+|2x—3].

(1)当a=l时，求不等式/(x)W6的解集；

(2)若不等式/(x)24恒成立，求实数。的取值范围.

20.(12分)已知函数〃x)=e2'—X"cosx_1(/UH),直线/是曲线y=/⑺在x=0处的切线.

(1)求证：无论实数4取何值，直线/恒过定点，并求出该定点的坐标；

(2)若直线/经过点(1,6),试判断函数/(x)的零点个数并证明.

21.(12分)已知向量a=(2sinx,—J^),3=(cosx,2cos2尤-1),f^x)=a-b.

(1)求/(%)的最小正周期；

(2)若AABC的内角A,5c的对边分别为a,4c,且。=省力=1,/(A)=g,求AABC的面积.

22.(10分)已知椭圆C:5+y2=l的右顶点为4,点P在V轴上，线段AP与椭圆C的交点6在第一象限，过点3

的直线/与椭圆C相切，且直线/交x轴于〃.设过点A且平行于直线I的直线交V轴于点Q.

(I)当3为线段AP的中点时，求直线A3的方程；

(II)记^BPQ的面积为5,AOMB的面积为邑，求5+$2的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

JT

直线岳-〉+机=0的倾斜角为易得4H尸0=c.设双曲线C的右焦点为E,可得△"E中，ZFAE^9Q,则

2cr-

\AE\=s/3c,所以双曲线C的离心率为e=七一=J3+1.故选B.

73c-c

2、B

【解析】

函数y=/(x)的图象恒在X轴的上方，x〉0在(0,+8)上恒成立.即C〉x,即函数y=《的图象在直线y=x

aaa

上方，先求出两者相切时。的值，然后根据。变化时，函数y=三的变化趋势，从而得。的范围.

a

【详解】

由题史—X〉0在(0,+8)上恒成立.即—>x,

aa

y=—的图象永远在y=X的上方，

a

J

设丫=幺与丁=］的切点(%,%)，贝卜a，解得"e,

aeXQ

一=%0

易知。越小，y=C图象越靠上，所以0<a<e.

a

故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒

成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围.

3、C

【解析】

2-x>0

函数的定义域应满足，,:.-l<x<2.

1+%>n0

故选C.

4、D

【解析】

由已知等式求出z,再由共朝复数的概念求得2,即可得N的虚部.

【详解】

1—；—Z（1—

由zi=l-i,—7=-l-z,所以共轨复数N=-l+i,虚部为1

il\~l）

故选D.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算和共辗复数的基本概念，属于基础题.

5、C

【解析】

结合分段函数的解析式,先求出了(-2),进而可求出/[/(-2)].

【详解】

由题意可得/(-2)=32=9,则/[/(-2)]=/(9)=log2(9-l)=3.

故选:C.

【点睛】

本题考查了求函数的值，考查了分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

6、B

【解析】

1+7，(1+70(2+0....,,,,2遥口

------=----------------=—l+3z,・・a==3,ab=-3,选B・

7、B

【解析】

过点E作即垂足为过〃作族垂足为尸，连接ER因为CD//平面A8E,所以点C到平面

TT

A5E的距离等于点H到平面A5E的距离〃.设NCDE=e（0<6<5）,将〃表示成关于。的函数，再求函数的最值,

即可得答案.

【详解】

过点E作瓦/J_CD,垂足为H,过H作族J_AB,垂足为凡连接EE

因为平面ECDL平面A3C。，所以石平面A3C。，

所以EH工HF.

因为底面A3C。是边长为1的正方形，HF//AD,所以班'=4）=1.

因为CD//平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.

易证平面EFH±平面ABE,

所以点H到平面ABE的距离，即为H到EF的距离丸.

不妨设NC£>E=e（O<eKQ）,则EH=sin。，EF=&+sin2，.

因为sEHF=3,EF»=3.EH-FH,所以。Jl+sin2e=sin。，

7sin。16

h———_———,<----------TT

所以一加荷拓一n~^~2，当夕=5时，等号成立・

Vsin20

1,1

此时EH与EO重合，所以EH=1,VE=-xl-xl=-.

33

故选：B.

【点睛】

本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力,

求解时注意辅助线及面面垂直的应用.

8、A

【解析】

设等差数列{4}的公差为d,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差，进而求得为+%即可•

【详解】

（、\as=7,fq+4d=7,\a}=15,

设等差数列{4}的公差为d.由5八得“cC，解得]c•所以

1

，^10+a7=0[%+9d+%+6d=0[d=-2

生+“4=2q+5d—2x15+5x（—2）=20.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.

9、D

【解析】

首先求出集合3,再根据补集的定义计算可得；

【详解】

解：•；—f+6x—5>0,解得1<%<5

,5={x[l<x<5},/.bAB={x15<x<241.

故选：D

【点睛】

本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.

10、B

【解析】

图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

【详解】

A—x）=—%+sin'—）=」+*x=_小）,故奇函数，四个图像均符合。

1+x1+X-

X+cinX

当xe（0,不）时，sinx>0,y=>0,排除C、D

1+x

ycipY

当xe（肛2不）时，sinx<0,y=>0,排除A。

1+x

故选B。

【点睛】

图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。

11,A

【解析】

选取中间值。和1,利用对数函数y=log3］，y=logo_2X和指数函数y=2"的单调性即可求解.

【详解】

因为对数函数y=log3X在（0,+8）上单调递增，

所以Iog3（）.5<k）g31=0,

因为对数函数J=log02x在（0,+。）上单调递减，

所以0=log021<log020.3<log020.2=1,

因为指数函数y=2,在R上单调递增，

所以2°3>2°=1,

综上可知,a<6<c.

故选:A

【点睛】

本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是

求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

12、D

【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.

【详解】

x+y<10

做出满足x-丁《2的可行域，如下图阴影部分，

x>4

根据图象，当目标函数z=2x+3y过点A时，取得最小值，

x=4［尤=4

由解得即4（4,2）,

x-y=2［y=2

所以z=2x+3y的最小值为14.

故选：D.

本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、42

【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

【详解】

设抽取的样本为“，

45+5+4

则由题意得一=-------，解得“=42.

12n

故答案为：42

【点睛】

本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.

14、②

【解析】

根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③，由定义求得比J痢小的有理数个数，即可确定④.

【详解】

对于①，由定义可知，当x为有理数时。(尤)=1；当x为无理数时。(力=0,则值域为{0,1},所以①错误；

对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足VxeR,£>(-X)=。(耳，所以②

正确；

对于③，因为TGR,当％为无理数时，x+T可以是有理数，也可以是无理数，所以③\/7€氏,。(％+7)=。(£)错

误；

对于④，由定义可知。(1)+£)(&)+。(后)++D(A/2020)

=D(l)+D(V4)+D(V9)+D(V16)+D(A/25)+D(府)++D(⑻++£>(A/2020)=44,所以④错

误；

综上可知，正确的为②.

故答案为：②.

【点睛】

本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.

15、2ex-y=0

【解析】

设切点坐标为Ge"),利用导数求出曲线y=/(x)在切点”建")的切线方程，将原点代入切线方程，求出f的值，

于此可得出所求的切线方程.

【详解】

设切点坐标为Qf(x)=e2x,:.f'(x)=2e2x,/'⑺=2e",

则曲线y=/(%)在点处的切线方程为y—e2=2*(x-t),

由于该直线过原点，则—e"=—得♦=’，

2

因此，则过原点且与曲线y=/(x)相切的直线方程为y=2ex,故答案为2ex-y=O.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：

(1)先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；

(2)将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；

(3)将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程.

16、2x+y—2=0

【解析】

依题意，将点尸(1,0)的坐标代入曲线C的方程中，解得。=1.由y=-V+x,得y'=-3f+i,则曲线C在点P处切线

的斜率左=川1=-2,所以在点尸处的切线方程是y=-2(x—l),即2x+y—2=0.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17、(1)—+/=l(x^±3)；⑵存在定点S(±3,O),见解析

9

【解析】

(1)设动点M(x,y),贝!UMA=上;/MB=*(xw土3)，利用％%=」，求出曲线C的方程.

x+3x-39

x=my+1

(2)由已知直线/过点T(LO),设/的方程为％=%+1,则联立方程组

/+9/二9,

消去x得。〃2+9)/+27町；-8=0,设2%，,),。(々，力)利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程,

推出结果.

【详解】

解：(1)设动点”(x,y),贝!xw—3)

JC十J

(xw3),

T即告y__1

X—3—9

无2

化简得：—+y2=lo

9'

2

由已知xw±3,故曲线。的方程为r土+Vxw±3)

9

(2)由已知直线/过点T(l,0),设/的方程为》=阳+1,

x=my+1,

2

则联立方程组X2，消去x得(加2+9)y2+2啊—8=0,

q+y=

2m

X+%=

m+9

设P2(x2,y2),贝卜

8

—--

m+9

又直线SP与SQ斜率分别为3熄%—7°

k%%

SQ

x2-x0my2+l-x0

-8

则ksp-kSQ

(阳1+1-3)(冲2+1一%)(片-9)病+9(1-

-82

当/=3时，\/m^R,ksp,k$Q2

9(l-x0)9

1

当毛=一3时，VmeT?,

18°

所以存在定点S(±3,0),使得直线SP与SQ斜率之积为定值。

【点睛】

本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题.

18>(I)〃=2；(II)3.

【解析】

(I)先求导，得:(x)=lnx+x+l-a,已知导函数单调递增，又/(X)在区间£,+8上单调递增，故

2—〃

+令g(a)=lng-g+l,求得g[a)=讨论得g(a)4g(2)=0,而g(a)40,故g(a)=O,

乙乙/Z2a

进而得解；

(II)可通过必要性探路，当尤=2时，由”2)=21n2+2i>0知”如2+2<4,又由于aeZ,贝(I。01ax=3,当

a=3,/(x)=xlnx+y-3(x-l),f'(x)=lnx+x-2,结合零点存在定理可判断必存在%e(1,1.6)使得7•'(%)=0,

得lnx°=2f,/(x)mn=/(xo)=xolnxo+1-3(xo-l),化简得〃尤=3-5-%，再由二次函数性质即可求证;

【详解】

(I)“X)的定义域为Q”)，f\x)^nx+x+l-a.

易知f'{x}单调递增,由题意有r^=lnj-j+l>0.

令g(")=l吟一|+1,贝！Jg，(a)=专:

令g®)=0得a=2.

所以当0<a<2时，g'(a)>0,g⑷单调递增；当。>2时，g'(a)<0,g(“)单调递减.

所以g(a)Vg⑵=0,而又有g(a"O,因此g(a)=O,所以a=2.

(II)由62)=21n2+2-a>0知q<21n2+2<4,又由于aeZ,则

下面证明a=3符合条件.

若a=3,/(x)=xlnx+5一3(x—1).所以f'(x)=In无+无一2.

易知广⑴单调递增，而广⑴=-1<0,/'(1.6)«0.5+1.6-2=0.1>0,

因此必存在毛e(LL6)使得/'(%)=0,即In}=2-毛.

且当龙«0,%)时，/'(力<0,7(%)单调递减；

当xe(Xo，+oo)时，/'(x)>0,〃尤)单调递增；

贝U/(x)1nhi=/(无。)=无。In%_3(尤0_1)

=x0(2-%0)+^-3(x0-1)=3-5一%>3-^1--1.6=0,12>0.

综上，。的最大值为3.

【点睛】

本题考查导数的计算，利用导数研究函数的增减性和最值，属于中档题

19、(1){x|-l<x<2}(2)(-<»,-7][l,+oo)

【解析】

⑴利用分段讨论法去掉绝对值，结合图象，从而求得不等式/(1)<6的解集;

⑵求出函数/(龙)的最小值，把问题化为了GL24,从而求得。的取值范围.

【详解】

(1)当。=1时,

/c1

—4x+2,x<—,

2

13

则/(%)=卜_3<%<5,

3

4-x—2,x,

所以不等式/(%)<6的解集为{x\-l<x<2}.

(2)/(力》4等价于疝+4+|2%—3性4,

ffij|2x+a|+|2x-3|>|a+3|,

故等价于卜+3性4,

所以。+324或。+34-4,

即Q21或a<—7,

所以实数a的取值范围为(­,-7][1,”).

【点睛】

本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻

辑推理能力、运算求解能力，难度一般.

20、(1)见解析，(―1,—2).(2)函数/(%)存在唯一零点.

【解析】

(1)首先求出导函数，利用导数的几何意义求出x=0处的切线斜率，利用点斜式即可求出切线方程，根据方程即可

求出定点.

(2)由⑴求出函数/(力,令〃x)=O,方程可转化为6一*+2cos无=0,记g(x)=e'—e-+2cosX,利用导

数判断函数g(x)在R上单调递增，根据g(-1^<0,g(0)〉0,由零点存在性定理即可求出零点个数.

【详解】

(1)/*(%)=2e2x+Aex(sinx—cosx),f1(0)=2—2,/(0)=—2

所以直线/方程为y=(2-几)%-4

即y=(2—4)(x+l)—2,恒过点(-L,_2).

(2)将(1,6)代入直线/方程，

得4=—2.考虑方程/(x)=0,

即e2'+2cosxex-1=0>等价于ex-e~x+Icosx-0,

iBg(x)=ex—e^x+Icosx,

则g'(x)=e*+eTx-2sinx>2^ex>e~x-2siwc=2-2sinx>0,

/\冗71

于是函数g(x)在R上单调递增，又g—g=)，—e2<o,g(o)=2〉O

所以函数g(x)在区间,o］上存在唯一零点，即函数〃龙)存在唯一零点.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、直线过定点、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，属于难题.

21、(1)%；(2)息或叵

22

【解析】

TT

(1)利用平面向量数量积的坐标运算可得/'(x)=2sin(2x-可)，利用正弦函数的周期性即可求解；(2)由(1)可求

O

sin(2A-工)=走，结合范围凝必4-£当，可求A的值，由余弦定理可求。的值，进而根据三角形的面积公

32333

式即可求解.

【详解】

(1)=2sinxcosx-A/3(2COS2X-1)

=sin2%一Gcos2%=2sin(2x--)

最小正周期T=?=".

2

(2)由⑴知/(x)=2sin12x—d，，/(A)=2sin[2A—g)=6

.加…115Tl

/.sin(2A—。又——<2A——<——

—2'333

.CA兀TCTC2冗..TC5TC

・・2A----=—或2A-----=—・解得A=—或kA=一

333332

77

当A=4时，由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?ccosA

即=12+02—Zxi.ccos^,解得c=2.

此时SgBC=-/?csinA=-xlx2sin-=—

2232

TT

当A=U时，由余弦定理得/=方2+，-2)ccosA.

即(6『=12+c2—2xl-ccos£,解得C=JL

.冗A/2

此时

=—bcsinA=—xA/2X1xsm—=----

2222

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的

综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题.

22、(I)直线AB的方程为y=-(IDV2

【解析】

(1)设点。(。,%)(%>0)，利用中点坐标公式表示点5,并代入椭圆方程解得为，从而求出直线的方程；(2)

/一rrj\

设直线/的方程为：y=kx+m(k<O,m^O),表示点M-10,然后联立方程，利用相切得出m2=2k2+19然

后求出切点8,再设出设直线AQ的方程，求出点Q(0,-伍)，利用A8两点坐标，求出直线A6的方

(1)

程，从而求出。0,亍