2.2.6二次函数的最值

二次函数的最值（2016•滕州市校级模拟）已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x（）A．有最大值﹣4.5 B．有最大值4.5 C．有最小值4.5 D．有最小值﹣4.5【考点】二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】可先求得N点坐标，再把M和N的坐标分别代入所满足的函数解析式，整理可求得ab和a+b的值，代入可求得二次函数解析式，可求得其最值．【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），∴N点坐标为（﹣a，b），∵点M在双曲线y=上，∴2ab=1，解得ab=，∵点N在直线y=x+3上，∴b=﹣a+3，解得a+b=3，∴二次函数解析式为y=﹣x2+3x，∴当x=﹣=3时，函数有最大值，ymax=﹣×9+9=4.5．故选B．【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据点的对称及点的坐标与函数解析式的关系求得ab和a+b的值是解题的关键．（2015•无锡校级一模）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如：max{1，﹣3}=1，max{﹣4，﹣2}=﹣2．则max{x2﹣1，x}的最小值是（）A．0 B．1 C． D．【考点】二次函数的最值；一次函数的性质．【专题】新定义．【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据max{a，b}的含义解答即可．【解答】解：解得x1=，x2=，则{，}，{，}，则max{x2﹣1，x}的最小值是：，故选D．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，读懂题目信息，理解定义符号的意义并考虑求两个函数的交点是解题的关键．（2015•乐山）二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】二次函数的最值．【专题】计算题．【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+5，∵a=﹣1＜0，∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．（2015•雅安）在二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0【考点】二次函数的最值．【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．【解答】解：抛物线的对称轴是x=1，则当x=1时，y=1﹣2﹣3=﹣4，是最小值；当x=3时，y=9﹣6﹣3=0是最大值．故选A．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．（2015•黄冈校级自主招生）如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（）A．AD的中点 B．AE：ED=（﹣1）：2 C．AE：ED=：1 D．AE：ED=（﹣1）：2【考点】二次函数的最值．【分析】设AE=x．则DE=1﹣x．剪下的两个正方形的面积之和为y，所以由正方形的面积公式得到y=AE2+DE2=2（x﹣）2+．当x=时，y取最小值．即点E是AD的中点．、【解答】解：设AE=x．则DE=1﹣x．剪下的两个正方形的面积之和为y，则y=AE2+DE2=x2+（1﹣x）2=2（x﹣）2+．当x=时，y取最小值．即点E是AD的中点．故选A．【点评】本题考查了二次函数的最值．此题是利用配方法求得二次函数的最值的．（2013•顺庆区校级自主招生）设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A． B．18 C．20 D．不存在【考点】二次函数的最值．【专题】计算题．【分析】由2x+y=6，得y=6﹣2x，代入u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y，根据x≥0，y≥0，求出x的取值范围即可求出答案．【解答】解：由已知得：y=6﹣2x，代入u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y，整理得：u=2x2﹣6x+18，而x≥0，y=6﹣2x≥0，则0≤x≤3，u=2+18﹣，当x=0或x=3时，u取得最大值，umax=18，故选B．【点评】本题考查了二次函数的最值，难度不大，关键是先求出x的取值范围再根据配方法求最值．（2015•黄冈中学自主招生）设ab≠0，且函数f1（x）=x2+2ax+4b与f2（x）=x2+4ax+2b有相同的最小值u；函数f3（x）=﹣x2+2bx+4a与f4（x）=﹣x2+4bx+2a有相同的最大值v；则u+v的值（）A．必为正数 B．必为负数 C．必为0 D．符号不能确定【考点】二次函数的最值．【专题】计算题．【分析】本题给出四个函数的解析式及两条重要信息f1（x）与f2（x）有相同的最小值u；f3（x）与f4（x）有相同的最大值v，将函数化为顶点式，再根据条件列出等式即可求解此题．【解答】解：∵f1（x）=x2+2ax+4b=（x+a）2+4b﹣a2≥4b﹣a2，f2（x）=x2+4ax+2b=（x+2a）2+2b﹣4a2≥2b﹣4a2，已知4b﹣a2=u=2b﹣4a2，得﹣2b=3a2①∵ab≠0，∴b＜0，又∵f3（x）=﹣（x﹣b）2+4a+b2≤4a+b2，f4（x）=﹣（x﹣2b）2+2a+4b2≤2a+4b2；已知4a+b2=v=2a+4b2，得2a=3b2，②∵ab≠0，∴a＞0，∴3a﹣3b+2＞0，∴②﹣①得，2（a+b）=3（b2﹣a2），解得a+b=0或（舍去），当a+b=0时，2（u+v）=（6b﹣5a2）+（6a+5b2）=（a+b）[6+5（b﹣a）]=0，∴u+v=0，故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值，难度较大，做题时关键是将函数的标准形式化为顶点形式．（2015•石家庄模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（）A．20 B．1508 C．1550 D．1558【考点】二次函数的最值．【专题】压轴题．【分析】此题实际上是求二次函数y=﹣2（x﹣20）2+1558在定义域x∈【15，2】内的最大值的问题，因为该二次函数的开口方向向下，所以当x﹣20=0时，y取最大值．【解答】解：∵一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=﹣2（x﹣20）2+1558，且15≤x≤22，∴当x=20时，y最大值=1558．故选D．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．此题要注意x的取值范围，在15≤x≤22范围内求解．（2015•湖州模拟）已知二次函数y=3x2﹣12x+13，则函数值y的最小值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【考点】二次函数的最值．【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．【解答】解：∵二次函数y=3x2﹣12x+13可化为y=3（x﹣2）2+1，∴当x=2时，二次函数y=3x2﹣12x+13有最小值1．故选C．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．（2015春•东台市月考）已知二次函数y=ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（）A．3 B．﹣1 C．4 D．4或﹣1【考点】二次函数的最值．【分析】根据题意：二次函数y=ax2+4x+a﹣1的最小值是2，则判断二次函数的系数大于0，再根据公式y最小值=2列出关于a的一元二次方程，解得a的值即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2+4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值===2，整理，得a2﹣3a﹣4=0，解得a=﹣1或4，∵a＞0，∴a=4．故选C．【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．（2015•温州模拟）二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3.125 B．4 C．2 D．0【考点】二次函数的最值．【分析】由图可知，x≤1.5时，y随x的增大而减小，可知在﹣1≤x≤0范围内，x=0时取得最大值，然后进行计算即可得解．【解答】解：∵x≤1.5时，y随x的增大而减小，∴当﹣1≤x≤0时，x=0取得最大值，为y=2．故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性求最值，准确识图是解题的关键．（2015•诸城市二模）对于抛物线y=x2﹣m，若y的最小值是1，则m=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】二次函数的最值．【专题】数形结合．【分析】抛物线y=x2﹣m在对称轴x=0时取得最值，将x=0代入抛物线公式即可得出m的值．【解答】解：抛物线y=x2﹣m的对称轴为x=0，并且抛物线的开口向上，所以当x=0时，抛物线y=x2﹣m取最小值﹣m，故﹣m=1，解得m=﹣1．故选A．【点评】本题主要考查了二次函数的最值问题，数形结合的方法是解题的关键，同学们在平常训练时要加强该方法的练习．（2015•同安区一模）已知：x2+y=3，当﹣1≤x≤2时，y的最小值是（）A．﹣1 B．2 C． D．3【考点】二次函数的最值．【分析】此题实际上是求二次函数y=﹣x2+3的最小值．根据二次函数的图象的性质进行答题．【解答】解：∵x2+y=3，∴y=﹣x2+3．∴该抛物线的开口方向向下，且其顶点坐标是（0，3）．∵﹣1≤x≤2，∴离对称轴越远的点所对应的函数值越小，∴当x=2时，y最小值=﹣4+3=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．（2015•周村区一模）已知0≤x≤，则函数y=x2+x+1（）A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值1C．有最小值1，有最大值 D．无最小值，也无最大值【考点】二次函数的最值．【分析】先求得函数图象的对称轴，根据抛物线的开口方向和抛物线的增减性进行解答．【解答】解：∵y=x2+x+1=（x+）2+．∴该函数图象的对称轴是x=﹣，在0≤x≤上，y随x的增大而增大，∴当x=0时，y最小=1；当x=时，y最大=．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣或 B．﹣或2C．﹣或﹣或2 D．﹣或﹣或或2【考点】二次函数的最值．【分析】分类讨论：m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1，根据函数的增减性，可得答案．【解答】解：当m＜﹣2，x=﹣2时，y最大=﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，解得m=﹣（舍），当﹣2≤m≤1，x=m时，y最大=m2+1=4，解得m=﹣；当m＞1，x=1时，y最大=﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述：m的值为﹣或2，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．（2015•宜城市模拟）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（）A．或﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．或﹣【考点】二次函数的最值．【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1，可化为：y=﹣x2+2mx+1，故二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=3，解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，m2+1=3，解得m=﹣，m=（舍去）；③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=3，解得m=．综上所述，m的值为或﹣．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．（2015•杭州模拟）已知y1=x2﹣3x+2，y2=2x+8，设函数H=max{y1，y2}，G=min{y1，y2}．（max{a，b}表示a，b中较大的数，min{a，b}表示a，b中较小的数．比如max{﹣1，3}=3，min{﹣1，3}=﹣1）．则下列结论中正确的是（）A．H有最大值20 B．H有最小值6 C．G有最小值6 D．G有最大值20【考点】二次函数的最值；一次函数的性质．【专题】新定义．【分析】首先求出两函数交点坐标，进而利用函数图象得出交点，即可得出H的最小值．【解答】解：y1=（x﹣）2﹣，y1的图象是顶点为（，﹣），对称轴为x=，开口向上的抛物线，解方程组，得，，即函数y1与y2的图象的交点为（﹣1，6），（6，20），函数max{y1，y2}的图象如图所示，当x=﹣1时，y1=y2=6，故H有最小值6．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数最值以及一次函数与二次函数交点坐标求法，利用数形结合得出是解题关键．（2015•杭州模拟）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如：max{1，﹣5}=1，max{﹣3，﹣4}=﹣3．则max{x2+x﹣2，﹣x}的最小值是（）A．﹣1+ B．﹣1﹣ C．1﹣ D．1+【考点】二次函数的最值；一次函数的性质．【专题】分类讨论．【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据max{a，b}的含义解答即可．【解答】解：将y=x2+x﹣2和﹣x组成方程组得，解得x1=﹣1﹣，x2=﹣1+，则{1+，1+}，{1﹣，1﹣}，则max{x2+x﹣2，﹣x}的最小值是1﹣，故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，读懂题目信息，理解定义符号的意义并考虑求两个函数的交点是解题的关键．（2015•杭州模拟）已知y=﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a=9 B．a=5 C．a≤9 D．a≤5【考点】二次函数的最值．【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在[1，5]和对称轴在[1，5]内两种情况进行解答．【解答】解：解：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的左边，函数方能在这个区域取得最大值，x=＜1，即a＜5，第二种情况：当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为x=1，∴=1，即a=5综合上所述a≤5．故选D．【点评】本题考查了二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系，难度较大．（2015•滕州市校级模拟）已知二次函数y=a（x+1）2+b有最大值0.1，则a与b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定【考点】二次函数的最值．【分析】根据所给的顶点式和a＜0，可以判断a的值，也可判断出b为最大值，但a和b的大小无法判断．【解答】解：∵y=a（x+1）2+b有最大值0.1，∴抛物线开口向下，a＜0，又∵（﹣1，0.1）是最高点，∴b=0.1．∴a＜b．故选：B．【点评】本题主要考查了对顶点式的理解和对二次函数性质的掌握情况，是一道好题．（2015•宜兴市校级模拟）当a＞0，x＞0时，因为（﹣）2≥0，所以x﹣2+≥0，从而x+≥2（当x=取等号）．记函数y=x+（a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．已知函数y1=x﹣2（x＞2）与函数y2=（x﹣2）2+4（x＞2），则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】二次函数的最值；一次函数的性质．【专题】新定义．【分析】根据题意首先得出得出=x﹣2+，当x﹣2=2时，最小，进而求出即可．【解答】解：∵函数y1=x﹣2（x＞2）与函数y2=（x﹣2）2+4（x＞2），∴==x﹣2+，由题意可得：当x﹣2=2时，最小，故的最小值为：4．故选：C．【点评】此题主要考查了函数最值，根据题意得出当x﹣2=2时，最小是解题关键．（2015•杭州校级二模）已知0≤x＜，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣6 B．﹣2.5 C．2 D．不能确定【考点】二次函数的最值．【分析】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．【解答】解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．∴当x=时，y取最大值，y最大=﹣2（﹣2）2+2=﹣2.5．又∵0≤x＜，∴y=﹣2x2+8x﹣6的最大值小于﹣2.5．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC的面积最小．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数的最值．【专题】动点型．【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．【解答】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Smm2，则有：S=S△ABC﹣S△PBQ=×12×24﹣×4t×（12﹣2t）=4t2﹣24t+144=4（t﹣3）2+108．∵4＞0∴当t=3s时，S取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．（2015秋•长清区期末）小明、小亮、小梅、小花四人共同探讨代数式x2﹣6x+10的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找其值为1时的x的值，小亮负责找其值为0时的x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（）A．小明认为只有当x=3时，x2﹣6x+10的值为1B．小亮认为找不到实数x，使x2﹣6x+10的值为0C．小梅发现x2﹣6x+10的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值D．小花发现当x取大于3的实数时，x2﹣6x+10的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值【考点】二次函数的最值；一元二次方程的解．【分析】根据函数的定义函数值随自变量的值的变化而变化，因此在二次函数中确定其最大值或最小值与给定的取值范围有关，所以正确分析题意解决问题．【解答】解：A、小明认为只有当x=3时，x2﹣6x+10的值为1．此说法正确．∵x2﹣6x+10=1，解得：x=3，∴正确．B、小亮认为找不到实数x，使x2﹣6x+10的值为0．此说法正确．∵方程x2﹣6x+10=0无解，∴正确．C、小梅发现x2﹣6x+10的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值．此说法错误．∵函数y=x2﹣6x+10的开口向上，∴有最小值且最小值为1．D、小花发现当x取大于3的实数时，x2﹣6x+10的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值．此说法正确．故答案选C．【点评】本题主要考查了二次函数的最值与一元二次方程的关系．（2015秋•台州期中）对于实数c，d，我们可用min{c，d}表示c，d两数中较小的数，如min{3，﹣1}=﹣1．则关于x的代数式min{3x，x2+2x+1}的最小值是（）A． B．﹣1 C．﹣ D．﹣2【考点】二次函数的最值．【专题】新定义．【分析】先分别求出y=3x与y=x2+2x+1的最小值，再根据min{c，d}表示c、d两数中较小的数即可求出代数式的最小值．【解答】解：∵y=3x的最小值=﹣，y=x2+2x+1的最小值==0，∵﹣＜0，∴关于x的代数式min{3x，x2+2x+1}的最小值是﹣．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．（2015秋•舟山校级月考）已知二次函数y=（a+2）x2有最大值，则有（）A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2【考点】二次函数的最值．【分析】本题考查二次函数的性质：当二次项系数小于0时会取得最大值．【解答】解：因为二次函数y=（a+2）x2有最大值，所以a+2＜0，解得a＜﹣2．故选C．【点评】考查二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．（2015秋•安定区校级月考）关于二次函数y=（x﹣1）2+2，则下列说法正确的是（）A．当x=1时，y有最大值为2 B．当x=1时，y有最小值为2C．当x=﹣1时，y有最大值为2 D．当x=﹣1时，y有最小值为2【考点】二次函数的最值．【分析】根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2当x=1时，y有最小值为2．故选B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，比较简单，熟练掌握利用顶点式解析式求最值的方法是解题的关键．（2015秋•安徽月考）已知二次函数y=a（x+3）2﹣h（a≠0）有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（3，1） D．（3，﹣1）【考点】二次函数的最值．【分析】二次函数y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵二次函数y=a（x+3）2﹣h（a≠0）有最大值1，∴﹣h=1，根据二次函数的顶点式方程y=a（x+3）2﹣h（a≠0）知，该函数的顶点坐标是：（﹣3，﹣h），∴该函数图象的顶点坐标为（﹣3，1）．故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y=a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．（2015秋•萧山区校级月考）若实数a，b满足a+b2=2，则a2+6b2的最小值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4【考点】二次函数的最值．【分析】由a+b2=2得出b2=2﹣a，代入a2+6b2得出a2+6b2=a2+6（2﹣a）=a2﹣6a+12，再利用配方法化成a2+6b2=（a﹣3）2+3，即可求出其最小值．【解答】解：∵a+b2=2，∴b2=2﹣a，a≤2，∴a2+6b2=a2+6（2﹣a）=a2﹣6a+12=（a﹣3）2+3，当a=2时，a2+6b2可取得最小值为4．故选D．【点评】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+6b2=（a﹣3）2+3是关键．（2015秋•遂宁校级月考）已知函数y=2（x﹣3）2﹣4（1≤x≤6）的最大值与最小值的和为（）A．18 B．0 C．10 D．无法确定【考点】二次函数的最值．【分析】根据抛物线的自变量的取值范围问题，可得出二次函数的最值，再求和即可．【解答】解：∵函数y=2（x﹣3）2﹣4的对称轴为x=3，当x=3时，函数有最小值﹣4，∵1≤x≤6，∴当x=6时，函数的最大值为14，∴﹣4+14=10．故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．（2015秋•南宁校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6【考点】二次函数的最值．【专题】计算题．【分析】根据二次函数的性质可判断二次函数有最小值0，则可判断C选项正确．【解答】解：因为抛物线的顶点在x轴上，抛物线开口向上，所以二次函数有最小值0．故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣，y=．（2014•龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A． B． C．1 D．0【考点】二次函数的最值；正比例函数的性质．【专题】新定义．【分析】画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=﹣x2+1与正比例函数y=﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令﹣x2+1=﹣x，即x2﹣x﹣1=0，解得：x=或，∴A（，），B（，）．观察图象可知：①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为；③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所示，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．（2014•德阳）已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6【考点】二次函数的最值．【分析】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．【解答】解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤，∴当x=时，y取最大值，y最大=﹣2（﹣2）2+2=﹣2.5．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的最值．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．（2014•镜湖区校级自主招生）已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）A． B．0 C．1 D．【考点】二次函数的最值；完全平方公式．【专题】常规题型．【分析】利用完全平方公式把a4+ab+b4配成关于ab的二次三项式，再根据平方数非负数（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2求出ab的取值范围，然后根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，∴2|ab|≤a2+b2=1，∴﹣≤ab≤，令y=a4+ab+b4=（a2+b2）2﹣2a2b2+ab=﹣2a2b2+ab+1=﹣2（ab﹣）2+，当﹣≤ab≤时，y随ab的增大而增大，当≤ab≤时，y随ab的增大而减小，故当ab=﹣时，a4+ab+b4的最小值，为﹣2（﹣﹣）2+=﹣2×+=0，即a4+ab+b4的最小值为0，当且仅当|a|=|b|时，ab=﹣，此时a=﹣，b=，或a=，b=﹣．故选B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，完全平方公式，配方成关于ab的形式并求出ab的取值范围是解题的关键．（2014•衡阳一模）已知二次函数的图象y=ax2+bx+c（0≤x≤3）如图．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值﹣1，有最大值0C．有最小值﹣1，有最大值3 D．有最小值﹣1，无最大值【考点】二次函数的最值．【分析】根据二次函数的最值问题解答即可．【解答】解：由图可知，0≤x≤3时，该二次函数x=1时，有最小值﹣1，x=3时，有最大值3．故选C．【点评】本题考查二次函数的最值问题，准确识图是解题的关键．（2014•房山区二模）如果二次函数y=x2﹣2x+m的最小值为负数，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1【考点】二次函数的最值．【分析】将二次函数配方后利用最小值为负数得到有关m的不等式，求得m的取值范围即可．【解答】解：∵y=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，∴最小值为m﹣1，∵二次函数y=x2﹣2x+m的最小值为负数，∴m﹣1＜0，解得：m＜1，故选A．【点评】本题考查了二次函数的最值，正确的配方是解答本题的关键．（2014•江干区校级模拟）已知y=x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a=9 B．a=5 C．a≥9 D．a≥5【考点】二次函数的最值．【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在[1，5]和对称轴在[1，5]内两种情况进行解答．【解答】解：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的右边，函数方能在这个区域取得最大值，x=＞5，即a＞13，第二种情况：当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在区间1≤x≤5的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=5的地方取得最大值，即：x=≥，即a≥9（此处若a取5的话，函数就在1和5的地方都取得最大值）综合上所述a≥9．故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系，难度较大．（2014•拱墅区一模）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D．当△ODA是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A． B． C．2 D．【考点】二次函数的最值；等边三角形的性质．【分析】连接PB、PC，根据二次函数的对称性可知OB=PB，PC=AC，从而判断出△POB和△ACP是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接PB、PC，由二次函数的性质，OB=PB，PC=AC，∵△ODA是等边三角形，∴∠AOD=∠OAD=60°，∴△POB和△ACP是等边三角形，∵A（4，0），∴OA=4，∴点B、C的纵坐标之和为4×=2，即两个二次函数的最大值之和等于2．故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，等边三角形的判定与性质，作辅助线构造出等边三角形并利用等边三角形的知识求解是解题的关键．（2014•鹿城区校级二模）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值0，有最大值4C．有最小值1，有最大值3 D．无最小值，有最大值4【考点】二次函数的最值．【分析】根据二次函数的最值问题，结合图形解答即可．【解答】解：由图可知，x=1时，函数有最大值4，x=3时，有最小值0．故选B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，准确识图是解题的关键．（2014•杭州模拟）已知非负数a，b，c满足a+b=2，c﹣3a=4，设S=a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（）A．9 B．8 C．1 D．【考点】二次函数的最值．【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．【解答】解：∵a+b=2，c﹣3a=4，∴b=2﹣a，c=3a+4，∵b，c都是非负数，∴，解不等式①得，a≤2，解不等式②得，a≥﹣，∴﹣≤a≤2，又∵a是非负数，∴0≤a≤2，S=a2+b+c=a2+（2﹣a）+3a+4，=a2+2a+6，∴对称轴为直线a=﹣=﹣1，∴a=0时，最小值n=6，a=2时，最大值m=22+2×2+6=14，∴m﹣n=14﹣6=8．故选B．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于a的函数关系式．（2014•溧水县校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；（2）若y＜0，则x的取值范围为0＜x＜2；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】二次函数的最值；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点的纵坐标为0对各小题分析判断即可得解．【解答】解：（1）由表可知，x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4，故本小题正确；（2）若y＜0，则x的取值范围为﹣1＜x＜3，故本小题错误；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0），（3，0），它们分别在y轴两侧正确，故本小题正确；综上所述，正确结论的个数是2．故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，从图表数据准确获取信息是解题的关键．（2014秋•杭州期末）已知k，n均为非负实数，且2k+n=2，则代数式2k2﹣4n的最小值为（）A．﹣40 B．﹣16 C．﹣8 D．0【考点】二次函数的最值．【分析】先根据题意得出n=2﹣2k，由k，n均为非负实数求出k的取值范围，再代入代数式2k2﹣4n求出其最小值即可．【解答】解：∵k，n均为非负实数，2k+n=2，∴n=2﹣2k，∴2﹣2k≥0，∴0≤k≤1．∴2k2﹣4n=2k2﹣4（2﹣2k）=2（k+2）2﹣16∴当k=0时，代数式有最小值，∴代数式2k2﹣4n的最小值为﹣8．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意把原式化为二次函数的形式是解答此题的关键．（2014秋•上城区期末）已知二次函数的图象（﹣3≤x≤0）如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值1，无最小值 B．有最大值1，有最小值0C．有最大值1，有最小值﹣3 D．有最大值0，有最小值﹣3【考点】二次函数的最值．【分析】直接根据函数图象即可得出结论．【解答】解：由函数图象可知，当x=﹣1时，y最大=1；当x=﹣3时，y最小=﹣3．故选C．【点评】本题考查的是二次函数的最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键．（2013秋•昌平区校级期末）当二次函数y=x2+4x+9取最小值时，x的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．9【考点】二次函数的最值．【分析】把二次函数整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：∵y=x2+4x+9=（x+2）2+5，∴当x=﹣2时，二次函数有最小值．故选A．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，整理成顶点式形式求解更加简便．（2014秋•博白县期中）已知二次函数y=x2+2x+3，当0≤x≤3时，下列说法正确的是（）A．有最小值2，最大值18 B．有最小值3，最大值18C．有最小值0，最大值3 D．有最小值2，最大值12【考点】二次函数的最值．【分析】利用抛物线的增碱性判定函数的最值．【解答】解∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，∴该抛物线的开口方向向上，且对称轴是x=﹣1，即在0≤x≤3上，y随x的增大而增大，∴当x=0时，y最小值=3当x=3时，y最大值=（3+1）2+2=18，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．（2014秋•凉州区校级月考）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值﹣1，有最大值0C．有最小值﹣1，有最大值2 D．有最小值﹣1，无最大值【考点】二次函数的最值．【分析】根据函数图象以及自变量的取值范围写出最小值和最大值即可．【解答】解：由图可知，二次函数有最小值﹣1，有最大值2．故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，准确识图是解题的关键．（2013•常州）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选B．【点评】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（2013•乌鲁木齐）已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．2.5【考点】二次函数的最值．【专题】压轴题．【分析】首先求出k的取值范围，进而利用二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值求出即可．【解答】解：∵m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，∴m，n，k最小为0，当n=0时，k最大为：，∴0≤k，∵2k2﹣8k+6=2（k﹣2）2﹣2，∴a=2＞0，∴k≤2时，代数式2k2﹣8k+6的值随k的增大而减小，∴k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值为：2×（）2﹣8×+6=2.5．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数增减性等知识，根据二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值是解题关键．（2013•宁波自主招生）若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2=0，则x2+y2+2x的最大值是（）A．14 B．15 C．16 D．不能确定【考点】二次函数的最值．【专题】计算题．【分析】由已知得y2=﹣2x2+6x，代入x2+y2+2x中，用配方法求最大值．【解答】解：由已知得：y2=﹣2x2+6x，∴x2+y2+2x=x2﹣2x2+6x+2x，=﹣x2+8x，=﹣（x﹣4）2+16，又y2=﹣2x2+6x≥0，解得：0≤x≤3，∴当x=3时，y=0，所以x2+y2+2x的最大值为15．故选：B．【点评】根据已知条件将所求式子消元，转化为二次函数求最大值．关键是根据自变量的取值范围确定式子的最大值．（2013•镇海区校级自主招生）二次函数y=﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值=﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（）A．t=0 B．0≤t≤3 C．t≥3 D．以上都不对【考点】二次函数的最值．【专题】计算题．【分析】将标准式化为顶点式为y=﹣x2+6x﹣7=﹣（x﹣3）2+2，由t≤x≤t+2时，y最大值=﹣（t﹣3）2+2，当x≥3时，y随x的增大而减小，由此即可求出此题．【解答】解：∵y=﹣x2+6x﹣7=﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，ymax=f（3）=2，与ymax=﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≥t+2时，即t≤1时，ymax=f（t+2）=﹣（t﹣1）2+2，与ymax=﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≤t，即t≥3时，ymax=f（t）=﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3，故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值，难度较大，关键是判断出当x≥3时，y随x的增大而减小，由此此解决这类题．（2013•天桥区二模）在矩形ABCD的各边AB，BC，CD和DA上分别选取点E，F，G，H，使得AE=AH=CF=CG，如果AB=60，BC=40，四边形EFGH的最大面积是（）A．1350 B．1300 C．1250 D．1200【考点】二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】设AE=AH=CF=CG=x，四边形EFGH的面积是S．分别求出矩形四个角落的三角形的面积，再利用矩形的面积减去四个角落的三角形的面积，可得四边形EFGH的面积S；先配方，确定函数的对称轴，再与函数的定义域结合即可求出四边形EFGH的面积最大值．【解答】解：设AE=AH=CF=CG=x，四边形EFGH的面积是S．由题意，BE=DG=60﹣x，BF=DH=40﹣x，则S△AHE=S△CGF=x2，S△DGH=S△BEF=（60﹣x）（40﹣x），所以四边形EFGH的面积为：S=60×40﹣x2﹣（60﹣x）（40﹣x）=﹣2x2+（60+40）x=﹣2（x﹣25）2+1250（0＜x≤40）；当x=25时，S最大值=1250．故选C．【点评】本题重点考查四边形面积的计算，考查利用配方法求二次函数的最值，应注意函数的对称轴与区间结合，确定分类的标准．（2013•永嘉县校级二模）已知y=﹣x2+x+2的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3.125 B．4 C．2 D．0【考点】二次函数的最值．【分析】根据函数图象，x＜1.5时，y随x的增大而减小，所以，当x=0时，该函数取最大值，然后进行计算即可得解．【解答】解：由图象可知，x＜1.5时，y随x的增大而减小，∵﹣1≤x≤0，∴当x=0时，函